（基础数学专业论文）heisenberg群上的拟共形映射的royden代数刻划与共形不变量.pdf

浙江大学硕士学位论文 1 中文摘要 本文的第二节我们用b a n a c h 代数空间屿( q ) 来刻j 1 h e i s e n b e r g 群上的 拟共形映射，其中区域qc ”有界。即对于有界区域n ，盯c 研，及同 胚映射，：n q 7 ，为拟共形映射的充要条件是映射妒，： 如n + 2 ( q 7 ) 一 m 2 n + 2 ( n ) ，乱卜“of ，是b a n a c h 代数同构。 第三节回忆了h e i s e n b e r g 群上的拟正则映射的定义和一些性质，并利用 水平曲线族的模定义了量肛g ，a g 。我们证明这样两个结果 ( 1 ) 若，：g 一掣= f a 是k 一拟共形映射，其中区域g g i - i ”，那么 丝妥害；掣肛，g ( ，扛) ，( 可) ) k n + l p gx ，g ) ， 掣掣a ，g ( m ) ：m ) ) 州a g ( 剐) ， 其中z ，y g 且z y 。 ( 2 ) p g ( z ，) ，a a ( x ，f ) 是共形不变量。 关键字：h e i s e n b e r g 群，拟共形映射，r o y d e n 代数，b a n a c h 代数，拟正 则映射，s o b o l e v 空间，r o y d e n 紧性化，d - 容量，模。 浙江大学硕士学位论文 2 a b s t r a c t i nc h a p t e r2 ，w ee s t a b l i s ht h ec h a r a c t e r i z a t i o no fq u a s i c o n f o r m a lm a p - p i n g so nt h eh e i s e n b e r gg r o u pb yu s i n gt h eb a i i l a e hs p a c e 朋；( n ) ，w h e r eq i s ab o u n d e dd o m a i ni nt h eh e i s e n b e r gg r o u p n a m e l y , i fq ，q 7a r eb o u n d e dd o - m a i n si n 研a n di ff ：q _ n 7i sa h o m e o m o r p h i s m ，t h e nf i saq u a s i c o n f o r m a l m a p p i n gi fa n do n l yi ft h em a p p i n g 妒，：m 2 n + 2 ( 科) _ 且如n + 2 ( 啊，h “of ，i s ab a n a c ha l g e b r ai s o m o r p h i s m i nc h a p t e r3 ，w er e c a l lt h ed e f i n i t i o n sa n ds o m ep r o p e r t i e so fq u a s i r e g u l a r m a p p i n go nt h eh e i s e n b e r gg r o u p ，a n dd e f i n et h eq u a n t i t i e sp g ，a gb yu s i n g m o d u l u so ff a m i l i e so fh o r i z o n t a lc l l r v e s t h e nw ep r o v et h ef o l l o w i n gt w o r e s u l t s ： ( 1 ) i ff ：g - g = f ai sak q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g ，w h e r eg ，g b e d o m a i n si n “t h e n p g ( z ，y ) n + l a a ( x ，y ) n 十l p ，g ( ，( z ) ，( 可) ) 曼k 仉+ 1 肛g ( 石，y ) a ，g ( ，( 。) ，( 拶) ) sk ”+ 1 a a ( z ，爹) ， w h e r ex ，y ga n dz y ( 2 ) 肛g ( z ，可) ，a a ( z ，y ) a r ec o n f o r m a li n v a r i a n t s k e y w o r d s ：h e i s e n b e r gg r o u p ，q u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g ，r o y d e na l g e b r a ， b a n a c ha l g e b r a ，q u a s i r e g u l a rm a p p i n g ，s o b o l e vs p a c e ，r o y d e nc o m p a c t i f i c a - t i o n ，p - c a p a c i t y , m o d u l u s 浙江大学硕士学位论文 4 1 引言 拟共形映射理论是数学中一个非常活跃的分支，它实质上是对无限小球 的形状和大小保持一致有界偏差的同胚，在数学的很多领域中都有着广泛的 应用。h e i s e n b e r g 群上的拟共形映射是由m o s t o w 1 6 引入的，a k o r d n y i 干l l h m r e i m a n n 3 贝0 完善了这一理论，并给出了拟共形映射的度量、几 何、分析定义。1 9 6 0 年，n a , k a i 1 5 i 正明了两个黎曼面是拟共形等价的 充要条件是它们的r o y d e n 代数是同构的。1 9 7 1 年，lg l e w i s 1 3 将这 个性质推广到更高维的空间。首先他在欧式空间融中的任意开的连 通的集合q 上定义t r o y d e np - 代数( q ) ，其中实数p 1 。运用f w ， g e h r i n g 和w p z i e m e r 的结果证明了础上的两个区域q 和n 7 拟共形等价的 充要条件是它们的r o y d e nn - 代数作为b a n a c h 代数是同构的。受文章1 3 的 启发，我们将此性质推广到h e i s e n b e r g 群上。首先像在欧式空间讨论的一 样，定义3 h e i s e n b e r g 群上的任意区域上的r o y d e n 代数，借助于已经知道 的h e i s e n b e r g 群上的一些知识和性质，得到了 定理1 1 设有界区域q ，q 7c p ，且令f ：q q 7 是同胚映射，则，为拟共 形映射的充要条件是映射妒，：。+ 2 ( n 7 ) 一a 如叶2 ( q ) ，u no ，是b 卸a c l l 代 数同构的。其中空间尬n + 2 ( n ) 尬n + 2 ( 科) 分别是区域q ，q 7 的r o y d e n2 n + 2 4 j 己 数。 y u g r e s h e t n y a k 2 9 是第一个在础上引进并研究了拟正则映射的人， 他的进一步研究f 3 0 1 得出如下的结果：一个非常值的拟正则映射是离散的， 开的且几乎处处可微的，且满足l u s i n s 条件( n ) 即拟正则映射将零测集映为 零测集。利用拟正则映射的这些拓扑性质和分析性质，可以证明曲线族的 模在拟正则映射下满足所谓的k o 一不等式和硒一不等式。k o 一不等式归功于0 m a r t i o ，s r i c k m a n 和j v i i s f l i 1 9 1 ，而k r 不等式是由e a p o l e t s l 【i i f 6 1 证 明。o m a r t i o ，s r i c k m a n $ 口j v i i s i l i ，f w g e h r i n g ，m v u o r i n e n ，b b o j a r s k i ，t l v a n i e c 和其他人继续研究拟正则映射类，得出了拟正则映射可 以用具有非负的j a c o b i a n 的s o b o l e v 映射逼近，且可将无穷小的球映到无穷小 的椭圆，且长短半轴的比有界。同样在h e i s e n b e r g 群上，s k v o d o p y a n o v 也定义拟正则映射，并讨论它的许多性质。 对于贰“中的子区域g ，利用模的共形不变性引进两个共形不变量阳( o ，y ) a g ( z ，) ，z ，y g 。i s c a 1 0 和t k u u s a l o 2 7 研究了共形量p g ，它的对偶 浙江大学硕士学位论文 5 量k 是由j f e r r a n d 1 1 e j i 进的。这两个共形不变量描述了点z ，可关于彼此 和g 的边界的位置，可以用来研究区域的共形几何性质。当g = b ”， 模度量p g ( z ，) 和双曲度量p g 有关，而一般情况，p g ( z ，g ) 反映了区域g 的 “c a p a c i t a r yg e o m e t r y ”。量a g ( z ，) ，当g = b ”也和阳有关。类似欧式 空间，在h e i s e n b e r g 群上的真子区域上g 也定义了量, a a ( x ，) ，a a ( z ，) ，其 中z ，y g 。我们证明了 定理1 2 君，：g g = ，( ；是k 一拟共彤映射，那么 竺； u s g ( f ( z ) ，( ) ) k n + l p g ( z ，) 垒；篆掣a ，g ( ，( z ) ：，( 可) ) 墨k n + i a g ( z ，夕) 其中。y g i t x y 。 定理1 3 m e ( x ，9 ) ，a a ( z ，) 是共形不变量。 存证明定理1 2 时，我们用到了如下的结论， 性质t 4 若，：q q 7 ) o k 一拟共形映射，其中区域q ，q c 丑”。那么对于所 有的水平曲线族r q ，有以下式子成立， m 2 n + 2 ( r ) k “+ 1 m 2 n + 2 ( f f ) k “+ 1 m 2 n + 2 ( r ) 在欧式空间黔上，可以借助于曲线族的模给出拟共形映射的另一种定 义：令n ，q 是p 内的区域，f ：q q 7 是一个同胚映射，则，是胙拟共形的 充要条件是对于每个曲线族rcf 2 有， m 。( r ) k 茎m 。( r ) j f m 。( r ) j v f i i s f i l 苴在 1 2 】中证明了此定义与拟共形映射的度量定义和几何定义是等 价。在h e i s e n b e r g 群p 上，我们只证明了拟共形映射的必要条件( 性质1 4 ) ， 充分条件未能证明。 2 用n 知) 空间来刻划h e i s e n b e r g 群上的拟共形映射 2 1 h e i s e n b e r g 群- 的基本知识和一些性质 h e i s e n b e r g 群研是以r 2 n + 1 为底空问的一个简单的非交换l i e 群，其上的 非交换乘法为 p g ：( 五，( 岱，t ) = + t 7 + t 一2 ( + ，一z j ) ) j = l 其中z ：( z 1 ，z 2 ，茹2 。) ，z ，= ( z j ，z ! ，z ；。) 琏鲰：t ，t 7 r 。群中的零元 素e = ( o ，0 ) ，逆元素( z ，矿1 = ( 一z ，一t ) 。 h e i s e n b e r g 群上的左不变向量场为 玛= 熹砌州爰，川，m = 去一z 兰，卅，m t = 昙 它们构成了h 幽e n b e r g 群的李代数g 的一组基且有非平凡的l i e 括号 玛，蜀+ j 】= 4 t , j = 1 ，2 ，n 其它的l i e 括号为零。李代数g 的维数为2 n + 1 ，且可分为两部分的直和 g = o 其中u ：s p a n x 1 ，恐，x 2 。) 称为水平空间，= r t 。根据定义，在 点q 研的水平切空问h 乃是切空间五的子空间，由在g 点的向量场 x 1 ( q ) ，x 2 。( q ) 生成。 在h e i s e n b e r g 群上经常会用到两个不同但等价的左不变度量：h e i s e n b e r g 距离和c a r n 毗c a r a t h 6 0 d o r y 度量。点p = x ，t ) 驴的齐次模定义为： 圳：l ( x ，t ) l = ( i x l 4 + t 2 ) ； 对任意的两点p ，q p ，它们的h e i s e n b e r g 距离定义为d ( p ，q ) 5l p 一q i n c a r n o t c 缸a t h o d a r y 度量d 。的定义是基于水平曲线的曲线长度。一条 曲线。：k6 1 。n ，如果切向量( s ) 几乎处处属于水平切空间，即存 浙江大学硕士学位论文 7 2 n 在函数( s ) s e m 使得( s ) = ( s ) 玛( ，( s ) ) ，则称1 为水平曲线。 j = 】 由c h o w 2 8 的结果知对任意的两点p ，q p ，存在连接此两点的光滑水平曲 线。 在空间日码定义一个二次型，) 使得向量场x l ( q ) ，五( q ) 在点 q 皿“关于这个二次型是正交。那么曲线1 的长度f ( 1 ) 由下面公式定义 ，= 小s 咖s = z 6 隆j = l n 5 妇 则c a r n o t c a r a t h 6 。d o r y 距离d c ( p ，g ) = ，i n l fl ( 7 ) ，其中r 为连接p , q 两点的所 有水平曲线族。 定义2 1 一条闭曲线- y ：i = a ，6 i 一驴称为可求长的，如果 其中上确界取遍i 的所有分割：o = 8 0ss 1s 8 p = b 。 p p a n s u 在2 1 1 中证明了任何可求长曲线是几乎处处可微。可求长曲线的 定义是基于c a r n o t c a r a t h 6 0 d o r y 度量的，故若曲线不是水平的则为不可求 长曲线( 参见2 ) ，所以从现在开始只考虑水平曲线。 考虑水平曲线族x ，形成了开集uc 蛐“的光滑纤维。通常，曲线- y x 可作为个光滑水平向量场x k 的积分蛆线。如果我们记妒。为关于这个 向量场的相伴流，那么1 ( s ) = 妒。( p ) ，其中点p s ( 曲面s 横截于这个向量 场x ) ，参数s j ( 开区问) c 瓞。故我们可以假设在开集uc “上的纤维) ( 有一个测度d 7 。x 上的测度却等同于向量场x 与双不变测度出的内 积( 例子可参见 3 1 ) ，满足双向不等式 k o b ( z ，兄) f 等嘶k , i b ( z ，r ) f 等 对于充分小的球b ( x ，r ) cu 且常数j 如，k 1 与口( z ，r ) 无关( 3 ) 1 】) 。这里 2 b ( x ，r ) = 可“：d ( 。，可) r ) ，q = i d i m v = 2 n + 2 称为h e i s e n b e r g t = 1 群皿“的齐次维数。 o 使得对任意的互不相交的开区间列( 嘶，屈) c ，且，( 屈一。) 6 ， 有d ( 7 ( 屈) ， ，( ) ) 茎e 则称7 为一条绝对连续曲线。 i 一条闭的绝对连续曲线1 ： a ：明一丑“总是可求长的。 定义2 3 一个函数u ：q r ，称为线上的绝对连续函数( 简记为 a c l ( q ) ) ，如果对于任意区域u 满足驴cq 和任意的由左不变向量场 玛，j = 1 ，2 n 决定的纤维x ，对d 1 一几乎处处的曲线1 x ，函数“在 ，y n u 上绝对连续。 u a c l ( q ) ，则导数置“在q 内几乎处处存在 3 】，j = 1 ，2 ，- - ，2 n 。 若对所有的j = 1 ，2 n 有玛u l p ( q ) ，则称u a c l 9 ( q ) 。注意每个函 数“a c l 均有水平梯度，记为v o u = ( 置u ，x 2 。札) ，且 v o “ f 2 n 附1 - j = 1 对于一般可积函数u ，如果分布导数r l 乞。( q ) 使得对任意的u 冒( q ) 有 上山出一上城池， i 乩，z n ( 1 ) 那么v o 札= ( r 1 ，r 2 ”) 称为u 的弱水平梯度。从而可以定义函数“的d i r i c h - l e t p - 积分 d p m ( 1 v 。“l ，d z = ：f l 主i = 三li r 。1 2 5 d z 若“有局部可积的偏导数，则它们几乎处处等同于r 且满足( 1 ) 式。所 以，若“a c l ( 1 2 ) ，且d v “】 o 。，上面定义的v o u 就是通常的水平梯度。 渐江大学硕士学位论文 9 2 2 容量 定义2 4 局部可积函数“：q 一肽& q - s o b o l e v 空间孵( q ) ，如果 l p ( q ) 以及它的偏导数玛u l p ( q ) ，j = 1 ，2 n 。 如果“岛( n ) ，”有水平梯度且d m 。，则“叼( q ) 。一个同胚 映射f ：n 一“，如果，的每个坐标函数均属于叼( f 2 ) ，则说函数i ，属于 叼( q ) 。 在空间叼( n ) 内赋予有限范数 毯l w 曙( n ) ( 上| 乜l ，出) ；+ ( 上 v 。姓p 如) ； 或半范： 1 1 u 1 1 = f ，1 v 。钍1 9 d x ) ； 注2 5 在文献 3 1 中，函数“ew ：( q ) 可用函数列u 。ec 。( n ) 来逼近，使 得 一u局部地在l 】( n ) 内 x u 。一x u在k ( n ) 内，对所有的x m 眭质2 6 ( 【3 ，命 - 9 ) a c l p ( q ) = c ( u ) nw ：( q ) 记宜”= h “uo 。为h e i s e n b e r g 群的单点紧化，开集rc 疗唾k 为一个 环，若r 的补集为两个互不相交的，紧的，连通的的非空分支的并。若记为 岛，q 则c r = c o u c l 。通常记r = ( 日“；c o j c l ) 或若。是g 或c i 内的 一点，则记r = ( h ”；c o ，c 1 ) 。 定) z 2 7 一个环兄的p 一容量定义为 。a p p r = i n j r i v o , 。i 9 出1 p o 。， 其中下确界取遍所有 , 满z - u l c o = 0 ，珏j g = 1 的实值函数缸c o 。( 矗“) 。这样 的函数称作容许函数。 下面a c p ( 豆) 表示在五( 五c 岔n ) 上连续的且限制到区域兄上属于a c p ( r ) 的函数的全体。则性质2 。6 隐含 a c l 9 ( 豆) = e ( 豆) n 叼( r ) 浙江大学硕士学位论文 1 0 性质2 8 ( 3 1 ，命题1 1 ) 设r = ( h “；c o ，c 1 ) ，有 r c a p p ( h ”；q ，g ) = i n f 川v o u 严d x “j r 其中下确界取遍所有满足u c o 。d r = 0 ，“【凸n a r = 1 的连续函数“a c l p ( 圣) 所以由上面的性质，容量定义中容许函数u 可为满足u 1 g o n 船= 0 ，u i g 。n a 月 = 1 且属于空间a c i f ( i ) 的所有连续函数。这时容许函数 ，0 i ts1 ，称为 简单容许函数。若环r 存在一个简单容许函数u ，使得 ， c a p p ( r ) = i v o u 9 d x l p o 。 j 凡 则称“为环同均e x t r e m a l 函数。注只要环存在e x t r e m a l 函数那么它是唯一。 在h e i s e n b e r g 群皿“，n 1 上，对于任意的球环存在e x t r e m a l i 函数【3 1 】。球 环r 曲= p ： d ( p ，p o ) 6 ) 的p _ 容量( 0 。 b o o ) 可以借助于极坐 标具体计算出： c a p p r b = 剩群： 当p 22 n + 2 时 f 2 1 当p 2 n + 2 时 、7 其中g ( q ，p ) 是正的常数，q = 2 = ；兰产，文献【4 】中有它的具体的计算值。特 别当p = 2 n + 2 时，c ( a ，p ) = 2 2 - “”1 r ( 2 n ) 巧泸币再可。 定义2 9 ( 拟共形映射的度量定义) 设区域n ，q 7c n ，一个同胚映射f ： q q 7 称为拟共形映射，如果 日( p ) = l i r a s u p h ( p ，r ) 。，m a x d ( m ) ：，d ( ，( p ) ，( g ) ) 5n 哿p 面盖葛而丽 是一致有界的。如果i i h i i 。= s u p h ( v ) k ，对于某个常数k ：1 k o o ，则称同胚映射，是k 拟共形的。1 一拟共形映射称为共形映射。 h e i s e n b e r g 群上的拟共形映射可以用容量来定义，且 3 】中证明了拟共形 映射的这两种定义是等价的。 性质2 1 0 设区域q ，q c 皿“，同胚映射f ：q q 7 为胙拟共形映射，当且 仅当对于所有的有界环r ：立cq ，存在某个常数k 7 ：1 茎k 7 0 ( 3 ，有 k “1 c a p q rsc a p q f ( r ) sk 7 c a p q r ( 3 ) 成立，q = 2 n + 2 为h e i s e n b e r g 群的齐次维数。 浙江大学硕士学位论文 2 3 r o y d e np 一代数 记黔为e u c l i d e a nn 一空间，l g l e w i s 1 3 在黔内的每个有界子区域q 上 定义t r o y d e n p - 代数 易( q ) ，其中p 为大于1 的任意实数。l e w i s 并指出且靠( n ) 是具有主单位元的半单交换的b a n a c h 代数。那么就可以建立q 的关于r o y d e n p _ 代数的g e l f a n d 紧致化，称之为q 的r o y d e np - 紧致化 7 】。同时，也定义 了q 到科上的q p - 映射，并证明了：设区域q ，q 7c 础，且令t ：q q 7 上的 同胚映射，那么映射妒丁：a ( n 7 ) 一a 靠( q ) ，一，o t 是代数同构映射的等价 条件是t # j q p - 映射。下面我们在h e i s e n b e r g 群上也作如上的讨论。 设区域q 属于h e i s e n b e r g 群n ，记且厶( q ) 为所有满足以下条件的连续函 数u 的全体， ( i ) 7 2 a c l ( f 2 ) ， ( i i ) l l “l l 。= s u pi “( z ) i o o ， ( i i i ) d p m o o 在集合地( q ) 内定义函数的通常加法和乘法运算，则对任意的 h ，u m j m ) ，由m i n k o w s i s 不等式得： d ，阻”】= i v 。( u v ) l ，d x 茎1 1 “1 1 。d p 叫；+ i i v i l 。d ， “】； 0 0 所以u v 屿( q ) ，乘法封闭。显然乘法和加法满足分配律和结合律，因 而鸠，( n ) 在点态积下为一代数。 性质2 1 1 在空间珥( q ) 内定义忪i | = i l u l l o 。4 - b m ；，且设区域q 为有界 集。则屿( n ) 为一个交换的b a n a c h 代数。 证明：对于任意的，u ( n ) l | 4 - v l i = l i “4 - u i l 。4 - d p u4 - u ； l i u i i 。4 - i i v l l 。4 - q 【u 】；4 - b p 】； = 州1 4 - i v l l 所以上面定义的| | 为一范数。又因为 i i u 训i = 1 1 7 2 - 1 1 。4 - b 【u u p 茎i l u l l 。l l 叫。+ l l 训i 。d ， 叫；4 - l i u i i 。b u 】； = i l u l l 。l i v l l4 - i i - i i 。b u p i l u l | | i v l l 浙江大学硕士学位论文 1 2 所以下面的工作只需要证明空间m ；( q ) 在范数 | | 下是完备的。 任取 嘶) 为屿( q ) 内的c a u c h y 列，j = 1 ，2 、。由l + ( 1 2 ) 空间 的完备性知 哟) 一致收敛到一个有界连续函数u 且 五哟) 为如( n ) 空 间内的c a u c h y 列，其中i = l ，2 n 。所以存在函数r i l v ( n ) 使得 l l 五均一叫l l ，( n ) 一0 。 因为五u ，是“，的偏导数，所以对任意的u c 铲( q ) ，我们有 正ju j x i w d x = - 舢p a 笆 由控制收敛定理可得 ，l 。i m 。 nu j x i u 出= j ( u 五u 妇 j _ o o ，nn h s l d e r 不等式和u c 铲( q ) 得 上( 五吩r ) u d z = 上，( 五嘶r 。) u 如 ( ，。 x i u j - r i i d 。) ；( z ，l u 【a d z ) ； 删宁( 加u j - r t 啊z ) t 其中q 7 为u 的紧支集，c 2 搿| u ( z ) i ，q 。寺。 再由五哟在l v ( q ) 内收敛到一，所以上式两边求极限可得 联合式子( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 可得 ，l 。i m 。， n ( x i u i 一一) u d z = 。 lu x i w d x j n lr i w d x j a 这样就验证了乱和矿满足( 1 ) 式，即u 有弱水平梯度且有 岛m = ( 郭。) 5 妪。 又因为 1 1 u 1 1 ，= ( l u l 一如) ；1 v i a l 0 ，z r “，t 孤；昂，疋均为共形映射。 定义2 1 2 设区域n ，q 7c 丑”，一个映射，：q n 7 ，在点p n 称为p 一可 微的，如果当c 一0 时，映射 硭o t 蠢o | o t p 。6 c 局部一致收敛到h e i s e n b e r g 群上的同态映射，且它保持水平空i 司h t 。 定义2 1 3 设区域qc 酽，一个光滑映射f ：n 一“称为切触的，如 果对于所有的点q n 和m = 1 ，2 n ，有，( q ) h t f ( q ) 。一个映 射f ：q 一n 称为弱切触，如果对于几乎所有的点q n 扣m = 1 ，2 n ， 有墨。，( q ) h t f ( 口) 。 如果对于几乎所有的点q g x m f ( q ) h d ( q ) ，矩阵( 五。 ，( q ) ) ，m ，j = 1 ，2 n ，定义了一个线性算子_ d h ，：m k 。我们称之为形式水平微分。 算子d h f 的模定义为 i 珊m ) 卜e ；器群，i 珊他) 乳 在 1 1 7 1 1 2 3 中已经证明了形式水平微分d n f 可以延拓为李代数上的同态映 射d f ：g g ，称为形式微分。d f ( q ) 的行列式称为，的( 形式) j a c o b i a n 记为j ( q ，) 。“群上映射的可微性可以参见 1 7 2 1 】 2 3 】。 性质2 1 4 ( 3 】，命题7 ) 如果，为k - 拟共形映射，在x 点是p - 可微，则有 i d h ，( z ) 1 2 ”+ 2 茎k n + l j ( z ，) 定义2 1 5 设区域q ，n 7c 研，：q n 7 的同胚映射，若对每个球环r ： 豆cq ，存在某个常数k 。o ，使得 c a p p f ( r ) k c a p p r ， 则记f q p ( i n ) 简记f q p ( ) 。如果对某个常数k 有，q ，( ；q ) ，一1 ( ；q ) ，则称，为q ，一映射。 浙江大学硕士学位论文 1 4 设区域q ，q c 研，且设，：q q 7 为同胚映射。定义映射妒，： ( n ) 一屿( n ) ，一“of ，其中( n ) ，屿( n 7 ) 分别为区域n ，q i 筝j r o y d e n p 代数，1 p o 。 性质2 1 6 若映射，为q 2 。+ 2 一映射，则【p ，为从空间m 2 叶2 ( n 7 ) 到空问 尬n + 2 ( q ) 上的代数同构映射。 证明：对任意的u ，u m 2 r i d - 2 ( n ，) ) z n 有 ( ) 。，】( z ) = ( 札 ) 。，( z ) ( 越。，) ( z ) ( 。，) ( 力 ，( u ) ( 。) 妒，( u ) ( z ) 所以妒，保持代数运算。故f 面只需证明妒，为一一映射即可，出于对称性即 只要证妒，( 如2 ( q ，) ) c 如2 ( q ) 。 任取尬。+ 2 ( n 7 ) 由 3 】知拟共形映射保持a c l 性质，故 = 乱。f a c l ( 2 ) 且对于几乎处处的z q 有v o v ( x ) = d h f ( x ) 7 v o u ( ，( 。) ) ，所以再由 性质2 ，1 4 和定理3 6 的变量替换公式( 1 2 ) 可得 上i v 。垆+ 2 如f l 。洲妒+ 2 i v 。u ( m 驯2 n + 2 如 1 上陬u ( m 川耕2 m 如 = k 卅1 上，i v 。“1 2 n + 2 d y 即d 2 。+ 2 【u 墨k n + l d 2 。+ 2 u l 。， | ) l 如。+ 2 ( q ) 。 故”。+ 2 ( n ) ，也即妒，( 尬。+ 2 ( q 7 ) ) c 一个集合e 称为分离一个环r 的边界分支，如果ecr 且c e 的每个 分支至多包含c r 的一个分支。 引理2 ，1 7 如果环月1 ，岛，风( 后为某个正的整数且危c 皿”) 为互不相交 的环且每个环分离环n ( nc ”) 的边界分支，且环兄，兄具有非退化的边界 分支，那么有 r k 1 一p c a p ，r i c a p p ( 兄) 南1 浙江大学硕士学位论文 1 5 证明：对每个环忍，令u i 为r 的容许函数且“i 岛。= 0 ，“l 口，。= 1 ，其中 国。q 。为忍的边界分支，i = 1 ，k 。 kk 令“= a i u 。，其中a 。= 1 ，a t 0 因为尼为互不相交的环，u 。的支 i = 1i = l 集互不相交，从而有 加剖恤= 善kn ；厶l v 呲i 设环r 的边界分支为g ，q ，显然c occ o m c lcc 1 。i = 1 ，k 因而u 为 环r 的容许函数。所以 c 舻上l v 刊9 如一善k 醇厶i v 嗍i 对上式每个取下确界，可得： r 一1 故令吼= c a p p ( p u ) 一占l c 峨( r ) 南i 代入上面的不等式，可得结论。 l i = lj 引理21 8 设区域n ，n c ”，并假设同胚映射f ：n q 7 具有以下性 质：对于n 内的球环r 且豆cq ，若u 为r 的e x t r e m a l 函数，1 p o 。， 则= 。f _ 1 为，( r ) 的容许函数。如果存在常数k 1 玛和球环r = 茁：a d ( z ，z o ) b ) ，x ，z o q 且詹cn 使得 c a p , f ( r ) d 9 c a p , r ( 7 ) 令 r o 护r当p = 2 n + 2 时， 铲1 芈卜邬2 n + z 时 其中k 为任意的正整数，q = 掣，j = 0 ，1 ，2 ，。令 r 3 = z ：q1 d ( z ，z o ) o ) ：j = 1 ，2 ，一，k r 畔 豸 。 一 r 昂 吼 浙江大学硕士学位论文 1 6 则局为互不相交的球环且每一个均分离球环r 的边界分支。又因为，为同 胚映射，所以环，( 局) 互不相交且每一个分离环，( r ) 的边界分支。 由引理2 1 7 矢1 1 ： c a p ，c r ， 宴c c a p p1 - l p 1 一 由马的做法及公式2 知，对任意= 1 ，k ，有以下式子成立 c a p p r j = k p c a p p r 联合( 7 )