（基础数学专业论文）birmanmurakamiwenzl代数b8的表示理论.pdf

d i s s e r t a t i o no fm a s t e rc a n d i d a t ei n2 0l0 u n i v e r s i t yc o d e ：10 2 6 9 s t u d e m ) ：51 0 7 0 6 0 1 0 5l e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y t h e r e p r e s e n t a t i o n so fb i r m a n m u r a k a m i w e n z la l g e b r a 跷黾 d e p a r t m e n t ： m a j o r ： r e s e a r c hd i r e c t i o n ： s u p e r v i s o r ： c a n d i d a t e ： d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s p u r em a t h e m a t i c s r e p r e s e n t a t i o nt h e o r y p r o f h e b i n gr u i y o n g w e iz h a n g c o m p l e t e d i nm a y ，2 010 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文( b i r m a n m u r a k a m i w e n z l 代数编的表示理论， 是在华东师范大学攻读硬幽博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名：日期：多咖年歹月弓日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 ( b i r m a n m u r a k a m i w e n z l 代数量瑰的表示理论系本人在华东师范大学攻读学位期 间在导师指导下完成的硬生博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范 大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门 和相关机构如国家图书馆、中信所和”知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位 论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博 士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用 影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文木，于年 月日解密，解密后适用上述授权。 ( 叫2 不保密，适用上述授权。 导师签名：本人签名： 盈迎 纠扣年歹月3 日 宰“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定 过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为 有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为 公开学位论文，均适用上述授权) 。 张永伟硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 时俭益 教授华东师范大学 主席 谈胜利教授华东师范大学委员 胡乃红教授华东师范大学委员 陆俊讲师华东师范大学秘书 摘要 假设k 是一个含可逆元，q 的域，满足c h a r k 2 且o ( q 2 ) 8 本文主要研究 k 上b i r m a n m u r a k a m i w e n z l ( 简称b m w ) 代数玩的所有胞腔( c e l l ) 模的模结 构我们的结果说明，除去四种可能的例外情况，玩的所有胞腔( c e l l ) 模是重数 自由的 关键词：b m w 代数，c e l l 模，合成因子，分解数 a b s t r a c t s u p p o s eki saf i e l dw h i c hc o n t a i n si n v e r t i b l ee l e m e n t s 厂a n dqs u c ht h a tc h a r ( k ) ， t h ec h a r a c t e r i s t i co fk ，i sn o te q u a lt o2a n do ( q 2 ) ，t h em u l t i p l i c a t i v eo r d e ro f 矿，i s s t r i c t l yt h a n8 i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h em o d u l es t r u c t u r eo fa l lc e l lm o d u l e so f b i r m a n m u r a k a m i w e n z l ( o rb m w ) a l g e b r a 纸o v e rt h ef i e l dk o u rr e s u l t ss h o w t h a ta n yc e l lm o d u l eo f 级i sm u l t i p l i c i t yf r e ee x c e p tf o u rp o s s i b l ec a s e s k e yw o r d s - b m wa l g e b r a , c e l lm o d u l e ，c o m p o s i t i o nf a c t o r , d e c o m p o s i t i o nn u m b e r 6 目录 第一章绪言1 第二章预备知识 2 2 1c e l l u a r 代数和c e l l 模的定义2 2 2b i r m a n m u r a k a m i w e n z l 代数编的定义和性质2 第三章编的所有c e l l 模a ) u 2 ) 的合成因子 1 0 3 1 编= 4 ，5 ，6 ) 的所有c e l l 模l f , 五) u 2 ) 的合成因子 1 0 3 2 锄的所有c e l l 模a ) u 2 ) 的合成因子 1 6 3 3 玩的所有c e l l 模a ) u 2 ) 的合成因子 2 3 附录4 0 参考文献4 5 后记4 7 第一章绪言 b i r m a n ，w e n z l 【l 】和m u r a k a m i 【1 5 1 独立地引入了一类有限维结合代数- - b i r m a n m u r a k a m i w e n z l 代数玩，或简称为b m w 代数这类代数是辫子群的群代数的商代 数m o r t o n 和w a s s e r m a n n 【1 4 】证明了定义在交换环上的级同构于k a u f f m a n st a n g l e 代数【ll 】w e n z l 【2 1 】证明了带有特殊参数的复数域c 上的b m w 代数巩和量 子群u q ( g ) ( g s p 2 。，o n ) 【l o 】之间的s c h u r - w e y l 对偶另外b m w 代数也为进一步 研究分圆b m w 代数的表示理论打下了基础参见【4 ，5 ，6 ，7 ，9 ，1 8 ，2 0 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 6 由此可知b m w 代数踢。在不同数学的领域起着重要的作用 定义”( ，1 ) 是n 的所有分划的集合，= a ) l a a + 仍一2 3 。0 f ) 是个带有偏序 的有j 限集对每个a ，都存在一个有限指标 集m ( 以代数a 有一绍尺一基 dr j l ，俘，丁) 旭a ) 肘( i ) ) ( c 2 l 映射i 是a 上的r 线性反自同构( i 2 = i d ) 且将c ：t 映到c 冬e ( c 3 l 对任意_ ；l 1 s ，t m ( a 、和a a 。积c i t a 可以写为如t 形式： c , r a 兰r d ( 丁，u ) 四u m o d f f ( 2 1 ) u 坝舢 其中矛是由 硭ri ，s ，丁m ) ， a l 生成的自由尺一槐并且系数( lu ) 冠但不依赖于s 上面定义中的基 c ；ria j ，s ，t m ( a ) l 称作代数a 的c e l l u a r 基其中f 称 为代数a 的对合映射 若a 是一个c e l l u a r 代数，对每个a lg r a h a m - l e h r e r 【8 】定义了a 的一个 c e l l 模c ( ，1 ) ，它是由l c ；= c ；r + 万it m ( a ) 生成的自由r 一模，其中固定元素 s m ( ，并且对任意的a a 都满足以下关系式： 四口= ，4 ( 丁，u ) 劬 其中系数r 4 ( lu ) r 由式子( 2 1 ) 决定 2 2b i r m a n m u r a k a m i w e n z l 代数玩的定义和性质 用r 表示z 【r ，q ，( 口一旷1 ) 一1 】，其中r , q 都是不定元 定义2 2 ( 1 1 6 ) b i r m a n m u r a k a m i - w e n z l 代数编卫是尺上具有单位元的结合代魏 生成元为乃，l f n l ，满足以7 毛长税 j ( 瓦一q ) ( t i + q - i ) ( 乃一厂1 ) = 0 ，1 i n 一1 ； 2 乃乃+ i 乃= r i + 1 乃乃+ 1 ，1 i n 一2 i i 死乃= t j 乃，i i j i 1 ； 2 4 历丐e i = r 蜀，1 i n l ，- = i l ； 只最t = t 蜀= r - 1 置，1 i 力一l ； 其中e i = 1 - 6 - 1 ( 死一巧1 ) ，1si 以一l ，6 = q - q - 1 我们需要下面的一些组合知识，以叙述b m w 代数的胞腔结构 n 的一个分划是一个非负整数弱递减序列a = 【a l ，a 2 ，】，使得：= a l + 五2 + = n 令人+ ( 以) 是n 的所有分划的集合易知a + ( n ) 是个带有支配序垒作为它的 偏序的偏序集，其中的支配序垒为：假设l ，1 a 十( 以) ，如果对所有可能的f ，都有 a ，之，则称a 皂，如果a 乏p ，a p ，记为 卢1j = l 令a 。= ( a ) i a 人+ 加一2 f ) ，0 ，【n 1 2 l l ，其中研2 】表示n 2 的整数部分， 则也是带有皂作为偏序的偏序集更精确地说，如果f f 或者厂= ，ai 1 ，记为 t ) 垒( z ，) ；如果a ) 垒( 1 , j ) ，i f , a ) ( 1 , z ) ，记为a 珍( 1 , j u ) 惠昌常【2 5 】证明了 编上是偏序集上的c e l l u a r 代数 假设a ，是两个分划，如果存在一个f ，使得也= 胁+ l ，且对所有可能的j ( j d 都有a - z f ，则称t 是由通过添加一个格子得到，也称t 是由，t 通过去掉一个格 子得到，记为t _ t ，t u = ( f + 1 ) ，其中( f 也+ 1 ) 称为l 的可去点或p 的可加点 给定( 厂 a ) a n ，一个九一u p d o w na - t a b l e a u ，或更简单地说一个u p d o w n a t a b l e a u 是分划的一个序列t = ( t o ，t l ，如，厶) ，使得t o = o ，岛= a ，并且对i l ，2 ，n 都 有f f - 1 - 或矗一扯1 令犁( a ) 是，l 的所有u p d o w na t a b l e a u 的集合e n y a n g 【3 】 构造了百巩皿的每个c e l l 模u 五) ( a ) a 。) 的m u r p h y 基i m ，i t 。乡( a ) 对任意的五) 人玎，t 刃o ( a ) ，定义c t ( k ) r ，l k 以为 白( 幼= r q 2 0 _ o ，) 如果t k = 反一lu ( i ，力， 如果t k l = t ku ( i ，力 如果p = ( f ，d 【棚，定义 c a ( p ) = r q 2 ( j - o 因为c a ( p ) 只依赖于p = ( f ，力，而与 无关，所以以后将用c ( p ) 代替白( p ) 假设k ( c h a r k 2 ) 是个域，并且包含可逆元r , q ，使得o ( q 2 ) 一，= 吖，其中 a z ，8 = 1 记级j ：= 编皿蛳k ，或者简记为玩令d 为埘l 厂1 】在由l t 生成 的极大理想处的局部化，其中t 是不定元，k 是d 的分式域 给定s ，t z u d ( a ) ，如果对所有l f n ，都有c ，( f ) = c t ( i ) ，则称j ，t 在同一剩余 类里，记为s t ，且是c 乡：叫( 1 ) 上的一个等价关系类似m a t h a s 【1 3 】的构造方法令 ff=兀觋，而lk-ck=lc e c l ( 七) - 、。， 3 其中a ( 七) = i c , ( k ) l t 刃d ( ) 对每个t 刃o ( a ) ，令t 是t 在t 多：u d ( a ) 中的剩余类 定义 f r = ：e ， 蚕= m , f r ，如= f s m s l l l t f t 蔷 其中 m t l t 犁( i ) l 是抑在0 上的m u r p h y 基，t 是玩上的对合映射 令g 盯= b 圆i dl 七，根据【1 6 】中的命题2 8 ， 鼬i a ) ，s ，t 乡掣( 五) l 是百既的 一组c e l l u a r 基令t ) ( 1 ) ) 是编关于这组c e l l u a r 基的c e l l 模，它的一 组忌基为g ，= 雪，l t 如果a = 【a i , a 2 ，】，令= 【群，世，】是a 的对偶p a r t i t i o n ， 则c e l l 模的维数公式【1 7 】为 d i m 论卜姑， 其中h a “= a f + a ：一f j f + 1 根据【8 】，在j 既的每个c e l l 模a ) 上存在一个对称结合双线性映射妒胁使 得 暮s t 营r r 三咖f d 墓t ，暮r 、暮s r ( m o d9 为爱u 0 1 、 其中薪是由 季。，l u ，y 刃d 啦) ，( 学，j u ) 1 ) 张成的k 空间，定义1 ) 的g r a m 矩阵g ) 是个m m ( m = d i m a ( f , a ) ) 矩阵，使得矩阵中的第( 砖f ) 位 置为 ，而d e t ( g ( f , a ) ) 表示g ( 朋) 所对应矩阵的行列式，此时d e t ( g t f , a ) ) d 记m u l t ( d e t ( g t , - , a ) ) ) 为t 一1 在d e t ( g c f , m ) 中的重数由于我们假设c h a r k 2 ，故 t + l t 1 易知九_ ( 蚕，孰) 与j ，的选取无关，而且对任意的x , yea f t , 五) ，a 既都有 f , a ( x a ，y ) = 九a o ，弦) 令 r a d ( a 0 e , a ) ) = i x a ) l c z a x , y ) = 0 ，对任意的y a f t , 1 ) ) 那么r a d ( a ( f , a ) ) 是a ) 的一个级子模且d i f , 1 ) = a ) r a d ( a ( f , a ) ) 是0 或 是完全不可约模，而 d i a ) a n ，d 0 ) 是级所有两两不同构的不可约模 记巩- m o d 为右玩模范畴，考虑两个函子 冗：级- m o di 玩一2 - r o o d ，绯2 ：, , 留n - 2 - m o di 绍n - m o d ， 使得对任意的右编；谟m 和级- 2 摸，有 兀( m ) = m 己一1 ， 统一2 ( ) = ：oe 0 l 占致 为简单起见，以后用厂，鸟代替死，瓯- 2 下面引理2 1 是文献【1 8 】中分圆b m w 代数相关结论的特例： 4 引理2 1 ( 1 1 6 1 ) 假设( 工1 ) ，( z ，p ) 人斛2 ，则 口j 厂多= i 易) 9 ( c 厂a ) ) = a u + i ，a ) 纠厂( t ) ) = a ( 厂一i ，t ) 矽h o m s s + ：( 缪( ( 工a ) ) ，( z ，) ) 釜h o m a b ( a ( f , i ) ，厂( ( z ，) ) ) 彳劬七一槐 引理2 2 ( 1 1 6 1 ) 假设 ) a 。u 1 ) ，对任意的玩一模m 如果缈：允) 一m 是个非零习态则厂( 沙) 0 推论2 3 假设i f , a ) u 1 ) ，对任意的级一模如果砂： 抑- 是个非 零同态则缪( 砂) 0 证明：假设侈( 沙) = 0 ，则厂停( 缈) ) = 0 ，由引理2 1 得缈= 0 ，与假设矛盾，故颤缈) 0 给定两个分划i d a ，如果对所有可能的f 都有 p f ，则记1 ) 一个分划 五= 【l t ，1 2 ，】的y o u n g 图【州是一些格子的集合，这些格子是左对齐的，并且【棚 的第f 行有也个格子令叭肛】为斜y o u n g 图，即从【 】中去掉阻】中所有对应的格 子如果p = ( f ，力【朋，定义p + = ( f ，j + 1 ) ，p 一= ( f + 1 ，力 定义2 3r ，j 6 办给定l 人+ 铆) ，乒人+ 印一2 ) ，如果i ) p ，兀c 仞) = l ，而且当 p e l _ 加j c ( 力= q 础 a d p ，p 一 ；当c ( p ) = - q 一1 融【a 肛】l p ，p + ，则称a 是f ，关于域k 舶 ( 1 ，p ) - a d m i s s i b l e 定理2 4 ( 1 1 6 1 ) 假设l 人+ ( 以) ，a + 一2 ) ，则a ( o ，a ) 是a ( 1 ，) 的合成因子当且 仅当i 是( 1 ，i z ) - a d m i s s i b l e 定义2 4 ( 1 1 6 1 ) 给定a a + ) ，p a + 一2 f ) ，称a 是i z ) - a d m i s s i b l e ，如果下面 条件成立： ( 1 ) 1 ) p ( 2 ) 存在，对点i p f ，p f ( 1 f 力，使得c ( p f ) c ( 廖) = 1 这样的_ 对点 p i ，p i 我们称 为一个a d m i s s i b l e 对而且在阱肛】中有可能出现下面两种情况： ( b ) ( 3 ) 如果c ( p ) = q 和( p ，p - 是图( 口) 中的一个a d m i s s i b l e 础则在图( n ) 中那种形状 5 列数是偶数 ( 4 ) 如果c ( p ) = 一r 1 和 p ，p + l 是图( 6 ) 中的一个a d m i s s i b l e 对则在图( 6 ) 中那种 形状行数是偶数 对一个级一模m 和一个不可约玩一模令【肘：i v 为在m 的合成列中的 重数因为我们假设o ( q 2 ) n ，对应的a 型h e c k e 代数是半单代数由于a ( o ，1 ) 可 以看成h e c k e 代数的c e l l 模，所以它作为h e c k e 代数的模是不可约，因而也是不可 约编一模 定理2 5 ( 1 1 6 1 ) 假设a a + ( 万) ，p 人+ 伽一犰如果【) ：a ( o ，a ) 】o ，则a 是 ui z ) - a d m i s s i b l e 为了计算下章b m w 代数玩的所有c e l l 模a ) u 2 ) 的合成因子和分解 重数，我们首先给出几个结论，其中下面的引理2 6 是c e l l u l a r 代数表示理论中相关 结论的一个特例。 引理2 6 如果a ) ，如“g ( ，_ ) ) = 0 那么r a d ( a ( f , a ) ) 的合成因子只可能是形 如d ( 毗( z ，) 人 ，伉t 抄( z ，) ，j 。o ) 厅彤式 引理2 7 如果a ) ，( ，p ) 人。，则【1 ) ：d ( 伽】- 【( ，+ l ，1 ) ：“1 一】 证明：先证【a ) ：如】【i f - + l ，a ) ：d ( “1 掣】，再证【u + l ，a ) ：d ( “1 卅】 【a ) ：d ( 如】 ( 1 ) 如果d ( 7 一) 是u a ) 的合成因子，则存在a ) 的两个子模m l ，耽，且 m l 如，使得有短正合列 o 一尬一尬一d ( 妇) 一0 用函子参作用此短正合列，得正合列 g ( m 1 ) 一侈( 肘j ) _ g ( d 。一) - 0 又由于存在短正合列 0 一k e 印_ ( z ，) _ d ( 妇) _ 0 其中妒为满同态a ( ，) _ d ( ，用函子缪作用此短正合列，得正合列 g ( k e r 驴) - g ( a ( i ，) ) - 驭d ( 如) _ 0 根据引理2 1 ，得g ( a ( ，) ) = a ( + 1 , 0 ，则有 g ( d c t 一) ) 兰a ( + l ，) k e r 够( ) 6 又由d ( “1 一兰( z + 1 , z ) r a d ( a ( 1 + 1 ，) ) ，得 “1 一兰( ，+ l ，p ) k e r 箩( 妒) r a d ( a ( 1 + l ，卢) ) k e 哆( ) 兰够( d ( 妇) r a d ( a ( 1 + 1 , g ) ) k e r g ( ) 则存在满同态缪( d ( 如) _ d ( “1 川，从而存在满同态g ( 9 2 ) 一“1 州，则d ( “1 一) 是 够( 鹏) 的合成因子由于尬是u 1 ) 的子模，则g ( 9 2 ) 也是烈 ) ) = a i f + 1 ，1 ) 的子模，从而d ( f + l ) 是( ，+ l ，1 ) 的合成因子故若d ( 伽) 是a ) 的合成因子，则 “1 一) 也是u + l ，a ) 的合成因子，且【a ) ：姐】s 【a u + l ，a ) ：d ( “1 彬】 ( 2 ) 由于函子尸是正合函子，类似证明，若d ( “1 一) 是u + l ，椰的合成因子，则 妇) 也是u a ) 的合成因子，且【( 厂+ l ，a ) ：d ( “1 一】【a a ) ：d ( 4 t ) 根据( 1 ) ( 2 ) 得，【a ) ：砂妇】= 【a u + l ，a ) ：“l 一) 】 命题2 8 假设p a + 一4 ) ，d e t ( g ( 2 ) ) = 0 不存在，7 人+ 铆一2 ) ，使得r 是 ( 1 ，) 一a d m i s s i b l e , 但存在唯一的a a + ( ，1 ) ，使得i 是( 2 ，g ) - a d m i s s i b l e , 而且满足 m u l t ( d e t ( g ( 2 一) ) ) = d i m ( a ( o ，a ) ) ，则r a d ( a ( 2 ，p ) ) 冬a ( o ，1 ) 证明：根据引理2 6 ，得r a d ( a ( 2 ，p ) ) 的合成因子只能是形如川( u 功a ，( 2 ，a ) t , 抗叩) ) 的形式，从而f 0 ，l ，2 假设2 ，r ) 是r a d ( a ( 2 ，p ) ) 的合成因子，则1 a + 仍一4 ) 且p 丁根据引理2 2 得，存在非零同态a ( 0 ，t ) 一a ( o ，乒) ，由于a ( o ，) ，a ( o ，) 都是不可约模，从而= l 矛盾故f 0 ，1 假设d ( 1 ，”( 刁人+ 一2 ) ) 是r a d ( a ( 2 ，) ) 的合成因子，由于存在满同态：a ( 1 ，7 ) _ d ( ，从而存在非零同态妒：a ( i ，1 7 ) - a ( 2 ，) ，根据引理2 2 得，存在非零同态 只妒) ：a ( 0 ，7 ) _ a ( 1 ，p ) ，由于a ( o ，7 ) 是不可约模，从而a ( o ，1 1 ) 是a ( 1 ，1 ) 的合成因 子，由定理2 4 得，r 是( 1 ，p ) 一a d m i s s i b l e ，与题设矛盾，故f = 0 假设a ( 0 ，y ) 是r a d ( a ( 2 ，弘) ) 的合成因子，由定理2 5 得，y 是( 2 ，p ) 一a d m i s s i b l e ，由 a 的唯一性得 ，= a ，再根据m u l t ( d e t ( g ( 2 。, ) ) ) = d i m ( a ( 0 ，a ) ) ，得r a d ( a ( 2 ，) ) 兰a ( 0 ，1 ) 命题2 9 假设l a + 一2 ) ，p ”一4 ) ，d e t ( g ( 2 掣) ) = 0 ，a 是( 1 ，g ) - a d m i s s i b l e , 且 m u l t ( d e t ( g t 2 ) ) ) = d i m ( d 1 ， ) ，贝t j r a d ( a ( 2 ，) ) 兰d ( 1 ，m 证明：由于a 是( 1 ，p ) 一a d m i s s i b l e ，根据定理2 4 和a ( o ，a ) 是不可约模可知，存 在单同态砂：a ( o ，1 ) 一a ( i ，p ) 由推论2 3 ，得侈( 砂) ：a ( 1 ，五) _ a ( 2 ，) 是非零 同态由( 1 ，a ) 司( 2 ，p ) ，得i m g ( 沙) r a d ( a ( 2 ，p ) ) 又因为r a d ( a ( 1 ，) ) 是a ( 1 ，a ) 唯一的极大子模，所以k e r g ( g j ) r a d ( a ( 1 ，p ) ) 由同构基本定理，i m 缪( 砂) 垒 a ( 1 ，a ) k e r 侈( 沙) ，可知d ( 1 ，。) 是i m 够( 砂) 的合成因子，从而也是r a d ( a ( 2 ，) ) 的合成因 子由于d i m r a d ( a ( 2 ，卢) ) m u l t ( d e t ( g ( 2 ，“) ) ) = d i m ( d ( 1 。) ，从而i m 够( 砂) = r a d ( a ( 2 ，卢) ) 并且r a d ( a ( 2 ，) ) 兰1 t m 7 命题2 1 0 假设人+ 伽一6 ) ，d e t ( g f 3 ) ) = o ，d e t ( g ( 2 ) ) 0 ，不存在y a + 一4 ) ， 使得y 是( 1 ，p ) 一a d m i s s i b l e , 但存在难一的l 人+ ( n ) ，使得a 是( 3 ，i z ) - a d m i s s i b l e , 且 m u l t ( d e t ( g 0 一) ) ) = d i m ( a ( o ，1 ) ) ，则r a d ( a ( 3 ，) ) 兰a ( 0 ，a ) 证明：根据引理2 6 ，得r a d ( a ( 3 ，) ) 的合成因子只能是形如d ( 砌( ，7 ) ，( 3 ，珍 ，7 ) ) 的形式，从而f 0 ，1 ，2 ，3 1 假设d ( 3 埘是r a d ( a ( 3 ，p ) ) 的合成因子，则u a + 一6 ) 且p t o 根据引理2 2 得，存在非零同态a ( o ，山) _ a ( 0 ，) ，由于a ( 0 ，曲，a ( 0 ，卢) 都是不可约模，从而p = 山， 矛盾故f 0 ，l ，2 1 假设d ( 2 - 帕( 1 ，人+ 铆一2 ) ) 是r a d ( a ( 3 ，1 1 ) ) 的合成因子，由于存在满同态妒7 ：a ( 2 ，y ) 一d ( m ，从而存在非零同态妒：a ( 2 ，y ) 一a ( 3 ，p ) ，根据引理2 2 得，存在非零同态 严( 妒) ：a ( o ，y ) 一a ( 1 ，) ，由于a ( o ，y ) 是不可约模，从而a ( 0 ，y ) 是a ( 1 ，p ) 的合成因 子，由定理2 4 得，y 是( 1 ，p ) 一a d m i s s i b l e ，与题设矛盾，故f 0 ，1 假设d ( 1 功( ，7 人+ 一4 ) ) 是r a d ( a ( 3 ，) ) 的合成因子，由于存在满同态：a ( 1 ，7 ) 一，从而存在非零同态：a ( 1 ，叩) _ a ( 3 ，) ，根据引理2 2 得，存在非零同态 厂( ) ：a ( 0 ，r 1 ) _ a ( 2 ，p ) ，由于a ( o ，y ) 是不可约模，从而a ( o ，y ) 是a ( 2 ，p ) 的合成因 子，但d e t ( g ( 2 一) ) 0 ，则a ( 2 ，p ) 是不可约的，矛盾，故f = 0 假设a ( o ，y ) 是r a d ( a ( 3 ，) ) 的合成因子，由定理2 5 得，y 是( 3 ，) 一a d m i s s i b l e ，由 a 的唯一性得y = l ，再根据m u l t ( d e t ( g ( 3 u ) ) ) = d i m ( a ( 0 ，a ) ) ，得r a d ( a ( 3 ，) ) 兰a ( 0 ，i ) 命题2 1 1 假设人+ 加一6 ) ，d e t ( g 0 ) ) = 0 ，则 r j j 如果( o ， ) ( a a + 研一2 ) )a ( 2 ，) 的合成因子，l 罩m u l t ( d e t ( g 0 卅) ) ) = d i m ( d ( i , l i ) ) ， 则r a d ( a ( 3 ，) ) 兰d 1 m 例如果( 0 ，7 7 ) ( 叩人+ 一4 ) ) 是( 1 ，p ) 的合成因子，1 日_ m u l t ( d e t ( g 0 一) ) ) = d i m ( d ( 2 劫) ， 则r a d ( a ( 3 ，) ) 垒d r 2 1 ) 证明：( 1 ) 如果a ( o ，a ) ( l a + 一2 ) ) 是a ( 2 ，p ) 的合成因子，则存在单同态 妒：a ( o ， ) _ a ( 2 ，p ) 由推论2 3 ，得参( 妒) ：a ( 1 ，1 ) - a ( 3 ，p ) 是非零同态由( 1 ，a ) 司 ( 3 ，p ) ，得i m 够( 妒) r a d ( a ( 3 ，) ) 又因为r a d ( a ( 1 ，p ) ) 是a ( 1 ，i ) 唯一的极大子模，所 以k e r 萝( 9 ) r a d ( a ( 1 ，) ) 由同构基本定理，i m 够( 妒) 兰a ( 1 ， ) k e r 够( 9 ) ，可知d ( 1 a ) 是i m 够( 妒) 的合成因子，从而也是r a d ( a ( 3 ，p ) ) 的合成因子由于d i m r a d ( a ( 3 ，p ) ) ) m u l t ( d e t ( g o , u ) ) ) = d i m ( d ( 1 0 ) ，从而i m p ( 9 ) = r a d ( a ( 3 ，p ) ) 并且r a d ( a ( 3 ，p ) ) 兰d ( i , a ) ( 2 ) 如果a ( o ，刁) ( 刁a + 0 4 ) ) 是a ( i ，p ) 的合成因子，则存在单同态：a ( o ，7 ) a ( i ，p ) ，由推论2 3 ，得酽( ) ：a ( 2 ，功一a ( 3 ，) 是非零同态由( 2 ，7 ) 司( 3 ，p ) ， 得i m 酽( ) r a d ( a ( 3 ，p ) ) 又因为r a d ( a ( 2 ，p ) ) 是a ( 2 ，功唯一的极大子模，所以 k e r2 ( ) r a d ( a ( 2 ，p ) ) 由同构基本定理，i m 9 2 ( ) 兰a ( 2 ，r t ) k e r 酽( ) ，可知d ( 2 劫 8 是i m q 2 ( 驴) 的合成因子，从而也是r a d ( a ( 3 ，p ) ) 的合成因子由于d i m r a d ( a ( 3 ，p ) ) m u l t ( d e t ( g t 3 ) ) ) = d i m ( d t 2 * ) ) ，从而i m 9 2 ( ) = r a d ( a ( 3 ，) ) 并且r a d ( a ( 3 ，p ) ) 兰d ( 2 类似命题2 1 0 的证明过程，我们可以得到： 命题2 1 2 假设人+ 一8 ) ，d e t ( g ( 4 ) ) = o ，出“g f 3 ) 0 ，d e t ( g ( 2 , u ) ) 0 ，不存 在y a + 伽一6 ) ，使得y 是( 1 ，p ) 一a d m i s s i b l e , 但存在唯一的t 人+ ( n ) ，使得a 是 ( 4 ，) 一a d m i s s i b l e , 且m u l t ( d e t ( g ( 4 一) ) ) = d i m ( a ( o ，a ) ) ，贝矽r a d ( a ( 4 ，) ) 兰a ( 0 ，a ) 类似命题2 11 的证明过程，我们同样可以得到： 命题2 1 3 假设a + 一8 ) ，d e t ( g ( 4 ) ) = o ，则 t 1 ) 如果( o ，a ) a + o 一2 ) ) 是( 3 ，p ) 的合成因子_ 且m u l t ( d e t ( g ( 4 ) ) ) = d i m ( d ( 1 - ) 则r a d ( a ( 4 ，p ) ) 兰1 0 ) 例如果( o ，7 ) ( ，7 a + ( n 二4 ) ) 是( 2 ，p ) 的合成因子，且m u l t ( d e t ( g ( 4 ) ) ) = d i m ( d ( 2 咖) ， 则r a d ( a ( 4 ，p ) ) 兰d ( 刎 r 动如果( 0 ，y ) ( y a + 一6 ) ) 是( 1 ，j ) 的合成因子，局lm u l t ( d e t ( g ( 4 棚) ) ) = d i m ( d l ( 3 订) ， 则r a d ( a ( 4 ，1 ) ) 兰d r 3 y ) 最后，我们叙述一下域k 上b m w 代数的不可约表示分类定理，这是惠昌常【2 5 】 证明相关定理的特例： 定理2 1 4 假设七是一个含可逆元，q 的域满足c h a r k 2 且d ( 矿) 啊则 f j ，当6 o ，即r 甓i - q ，旷1 或者6 = 0 即厂 一q ，矿1 且n 是奇数蹦对任意 的u ，硒a mc e l l 模a f t , 袖有唯一的不可约单头( s i m p l eh e a d ) 沙并且 d 肼棚l a ) l 是玩所有的两两不司构的不可约槐 1 2 当6 = o 即r - q 。q l 、且n 是偶数时对任意的u 。袖k ，c e u 模 由有难一的不可约单头( s i m p l e h e a d ) ) 当且仅当i f , 1 ) ( 石n ，【o 】) 并且 。i a ) ，i f , a ) ( 芸，【o 】) 是谚，所有的两两不同构的不可约槐 9 第三章镪的所有c e l l 模五) 盯2 ) 的合成因子 假设k 是一个含可逆元r 鼋的域，满足c h a r k 2 且从矿) 8 本章主要研究k 上b m w 代数纸的所有c e l l 模a ) u 2 ) 的合成因子 3 1 玩q = 4 ，5 ，6 ) 的所有c e l l 模a ) ( 厂2 ) 的合成因子 为了计算锄和玩的所有c e l l 模i ) ( 厂2 ) 的合成因子，需要首先求出 玩o = 4 ，5 ，6 ) 的所有c e l l 模五) u 2 ) 的合成因子 除引理3 1 - 3 5 所列举的情况外，编o = 4 ，5 ，6 ) 的所有c e l l 模a ) = u 2 ) 引理3 1 西巩的c e l l 模a ( 2 ，【0 】) 厅晰有合成因子情况如百并且重数均为l ： f j j 当厂g 一3 + 1 = 0 融a ( 2 ，【o 】) 的合成因子为a ( 0 ，【l ，l ，l ，l 】) 和2 ，1 0 j ) 例当叼一1 + 1 = 0 耽a ( 2 ，【0 】) 的合成因子为d ( 1 【1 1 】) 伊j 当r + 1 = 0 融a ( 2 【o 】) 的合成因子为a ( o ，【2 ，2 】) 和d r 2 , 【o j ) f 却当r 一1 = 0 耽a ( 2 ，【o 】) 的合成因子为a ( o ，【2 ，2 】) 和d ( 2 t 【o j ) 仰当r q 一1 = 0 髓a ( 2 ，【0 】) 的合成因子为d ( 1 ，【2 】) 仰当一一1 = 0 耽a ( 2 ，【o 】) 的合成因子为a ( o ，【4 】) 和o r e , 【o 】) 证明：根据定理2 1 4 ，得：当r q - 1 + l = 0 或r q 一1 = 0 时，a ( 2 ，【o 】) 没有不可约单 头2 ，i o j ) ，而引理中的其它情况，a ( 2 ， 0 】) 都有不可约单头2 1 0 d ( 1 ) 当r 鼋- 3 + 1 = 0 时，d e t ( g ( 2 ，【o j ) ) = 0 ( 见附录) ，且不存在z ”( 2 ) ，使得z 是 ( 1 ，【0 ) - a d m i s s i b l e ，但存在唯一的a = 【l ，1 ，l ，l 】a + ( 4 ) ，使得a 是( 2 ，【o 】) 一a d m i s s i b l e ， 且m u l t ( d e t ( g ( 2 。t o p ) ) = 1 = d i m ( a ( o , 【l ，l ，1 ，l 】) ) ，根据命题2 8 得，a ( 2 ，【o 】) 的合成因 子为a ( o ，【1 ，l ，1 ，l 】) 和d ( 2 【o 】) ( 2 ) 当r q 一1 + l = 0 时，【l ，1 】是( 1 ，【0 ) - a d m i s s i b l e ，m u l t ( d e t ( g ( 2 ，【o j ) ) ) = 3 = 6 3 = d i m ( a ( 1 ，【l ，l 】) ) 一d i m r a d ( a ( 1 ，f l ，l 】) ) = d i m ( d ( 1 ，【l lj ) ) 根据命题2 9 得，a ( 2 ，【0 】) 的合 成因子为d ( 1 1 11 1 ) ( 3 ) 当，+ l = 0 时，d e t ( g ( z t 0 1 ) ) = 0 ( 见附录) ，且不存在p 人+ ( 2 ) ，使得是 ( 1 ，【0 ) - a d m i s s i b l e ，但存在唯一的a = f 2 ，2 】人+ ( 4 ) ，使得a 是( 2 ， 0 】) 一a d m i s s i b l e ， 且m u l t ( d e t ( g ( 2 t o j ) ) ) = 2 = d i m ( a ( 0 ，【2 ，2 】) ) ，根据命题2 8 得，a ( 2 ，【o 】) 的合成因子为 a ( o ，【2 ，2 】) 和d ( 2 ，f 0 j ) ( 4 ) 当r 一1 = 0 时，类似( 3 ) 得，a