（分析化学专业论文）小波变换型分析仪器的研制与分析化学信号处理.pdf

中文摘要 小波分析是近几年发展起来的新的数学工具，并已被广泛地应用于许多科学 领域。本论文首先研制开发了小波变换型垡塞分析馋，然后对小波变换用于史分， 折化学信号的在线分析、光声光谱信号的求导计算和重叠分析化学贫号自搿折作 了些探讨和研究。 首先，经过大量的文献调研，对小波分析的原理与基本算法，包括小波变换 的概念和基本性质、j e 交小波基的构造、m a l l a t 算法及其改进作了系统的介绍， 并详细综述了近年来小波变换在分析化学中的应用。 基于在线小波变换能够在采样的同时对数据进行变换分解的特点，将在线小 波变换应用于电分析化学仪器的研制，研制出了小波变换一伏安分析仪。该分析 仪在采样的同时给出原始伏安信号经小波变换后的各成分信息。通过阶梯斜坡扫 描伏安信号、线性扫描伏安信号及方波伏安信号的在线分析，结果表明：该分析 仪在伏安信号的滤噪、定性及定量分析方面，均取得了令人满意的结果。小波变 换一伏安分析仪将在线小波变换用于小波变换型分析仪器的研制，不仅促进了小 波变换的发展，而且为新型虚拟仪器的发展作了有益的探索。 根据h a a r 小波变换的特点，提出了一种h a a r 连续小波变换用于信号近似导 数计算的新方法，该方法能方便地得到原始信号的近似肛阶导数。通过传统求导 方法与连续小波变换法对模拟信号的求导结果表明：对于不含噪音的信号，结果 相似：对于含噪音的信号，连续小波变换法所得结果的信噪比明显高于传统方法。 用该方法对v r ( g l y ) 3 c i ，- 3 h 2 0 和p r c l 3 6 h 2 0 光声光谱信号的一阶和二阶导数光谱 的计算结果表明：与稀土离子的能级分布相比较，导数光谱中的每一个峰都有对 应的能级归属。该方法为分析化学信号的求导计算提供了一种新的工具。 针对文献用于重叠伏安信号解析的“峰分辨器”方法的不足之处，分析了其 原因并提出了一种用于解析重叠峰的新方法一免疫遗传算法，并对各种不同条件 下的模拟重叠峰进行了解析，解析后峰位置的相对误差小于1 0 ，峰面积的相 对误差小于5 0 。该方法为重叠分析化学信号的解析提供了一种新的途径一。 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si san e wm a t h e m a t i c a lt e c h n i q u ed e v e l o p e di nr e c e n ty e a r s ，a n dh a sb e e n u s e ds u c c e s s f u l l yi nm a n yf i e l d si nt h e s et h e s i s ，av o l t a m m e t r i ca n a l y z e rw i t ht h eo n - l i n ew a v e l e t t r a n s f o r m ( w t - v o l t a m m e t r i ca n a l y z e r ) w a sd e v e l o p e d ，a n da p p l i c a t i o n so f t h ea n a l y z e ri ne l e c t r o - a n a l y t i c a lc h e m i s t r y ，t h ed e r i v a t i v e c a l c u l a t i o no fa n a l y t i c a l s i g n a l su s i n gc o n t i n u o u sw a v e l e t t r a n s f o r m ( c v c r ) a n dt h er e s o l u t i o no fo v e r l a p p i n ga n a l y t i c a ls i g n a l su s i n ga ni m m u n ea l g o r i t h m a n d g e n e t i ca l g o r i t h mw e r es t u d i e d ，r e s p e c t i v e l y w i n la t h o r o u g hr e v i e wo fr e f e r e n c e s t h e b a s i ct h e o r i e sa n da l g o r i t h m so ft h ew a v e l e t t r a n s f o r m ( w t ) ，i n c l u d i n gt h ec o n c e p t sa n dp r i n c i p l e s ，m a n a ta l g o r i t h ma n dm o d i f i e dm a l l a t a l g o r i t h mw e r ei n t r o d u c e d a n da p p l i c a t i o n so ft h e 、v ti na n a l y t i c a lc h e m i s t r yd u r i n gr e c e n ty e a r s 、a sr e v i e w e di nd e t a i l b e c a u s et h eo n - l i n e ti sa b l et od e e o m p o f f es a m p l e ds i g n a ls i m u l t a n e o u s l yw i t ht h ep r o g r e s s o fs a m p l i n g av o l t a m m e t r i ea n a l y z e rw i t ht h eo n - l i n e 、v tw a sd e v e l o p e d1 1 l e t - v o l t a n u n e t r i c a n a l y z e rg i v e sa l lt h ec o m p o n e n t sc o n t a i n e di nt h es a m p l e dv o l t a m m o g r a mb yt h eo n - l i n ea n a l y s i s o fs t a i r c a s ev o l t a m m e t r i cs i g n a l s ，l i n e a rs w e e pv o l t a m m e t r i cs i g n a l sa n ds q u a r ew a v ev o l t a n u n e t r i c s i g n a l s i tw a sd e m o n s t r a t e dt h a tr e s u l t so fa p p l y i n gt h e 、v t - v o l t a r n m e t r i ca n a l y z e rt ov o l t a r m n e t r i c a n a l y s i s ，i n c l u d i n gd e - n o i s i n g ，q u a l i t a t i v ea n a l y s i sa n dq u a n t i t a t i v ea n a l y s i sw e r es a t i s f a c t o r yt h i s w o r ka o to n l yp r o m o t e dt h ed e v e l o p m e n to f 叮b u ta l s op r o v i d e du s e f u li n f o r m a t i o nf o rt h e d e v e l o p m e n to f n e w a n a l y t i c a li n s t r u m e n t i l lt e r m so ft h ec h a r a c t e r i s t i co fh a a rw a v e l e tt r a n s f o r m ，an o v e lm e t h o db a s e do nc o n t i n u o u s w a v e l e tt r a n s f o r mu s i n gh a a rw a v e l e tf u n c t i o nw a sp r o p o s e df o ra p p r o x i m a t ed e r i v a t i v ec a l c u l a t i o n o fa n a l y t i c a ls i g n a l s a na p p r o x i m a t en t hd e r i v a t i v eo fa n a n a l y t i c a ls i g n a l g a l lb eo b t a i n e d c o n v e n i e n t l yu s i n gt h em e t h o d t h er e s u l t so b t a i n e df r o mc o n v e n t i o n a lm e t h o d sw e r ec o m p a r e d w i t bt h ep r o p o s e dc w t m e t h o d ，i tw a sd e m o n s t r a t e dt h a tt h er e s u l t sa r es i m i l a rf o rs i g n a l sw i t h o u t n o i s e b u tt h ep r o p o s e dc w tm e t h o di ss u p e r i o rt oc o n v e n t i o n a lm e t h o d sf o rn o i s ys i g n a l s n e a p p r o x i m a t ef i r s t a n ds e c o n dd e r i v a t i v eo ft h ep h o t o a c o u s t i es p e c t r ao fp r ( g l y ) 3 c 1 3 3 h 2 0a n d p r c l 3 - 6 h 2 0 w e r ec a l c u l a t e du s i n gt h ep r o p o s e dc w tm e t h o d ，t h ep o s i t i o no fp e a k si nt h e d e r i v a t i v e sc o i n c i d e dv e r yw e l tw i t ht h ec o r r e s p o n d i n ge n e r g yt r a n s i t i o ub a n d st h 速m e t h o dm a y p r o v i d ea na l t e r n a t i v ew a y f o rt h ed e r i v a t i v ec a l c u l a t i o no f a l i a l y t i e a ls i g n a l s b e c a u s et h e “p e a kr e s o l u t e r m e t h o d ，w h i c hi su s e dt or e s o l v eo v e r l a p p i n gv o l t a m m e t r i cp e a k s ， h a sm a n yl i m i t a t i o n s ，t h er e a s o no fi tw a sp r e s e n t e da n dan o v e li m m u n ea l g o r i t h mw i t ht h ea i do f g e n e t i ca l g o r i t h mw a sp r o p o s e dn l ea l g o r i t h mw a s u s e dt or e s o l v eo v e r l a p p i n g p e a k s w h i c hw e r e s i m u l a t e du n d e rv a r i o u sc o n d i t i o n st h er e l a t i v ee r r o r so f p e a kp o s i t i o nw e r el e s st h a n 】o a n d t h er e l a t i v ee r r o r so f p e a ka r e aw e r el e s st h a n 50 i t w a sp r o v e nt h a tt h em e t h o di sa ne f f i e i e n t t o o lf o rt h er e s o l u t i o no f o v e r l a p p i n ga n a l y t i c a ls i g n a l s 致谢 本论文是在导师邵学广教授的精心指导下完成的。邵老师在科研 知识和技能上的指导令我受益匪浅。从论文的选题，实验的设计，文 章的撰写，甚至程序的编制，都得到邵老师的精心指导和帮助。邵老 师在科研工作中表现出的敏锐的洞察力、敏捷活泼的思路、胆大心细 的设想及敢于推陈出新的勇气，让我懂得了一个优秀的科研工作者应 具备的基本素质。邵老师对待科研工作认真负责，孜孜以求的态度给 我留下了很深的印象。他这种勤勉治学的态度及脚踏实地的敬业精神 永远值得我学习，也必将激励我继续前进。 林祥钦老师、吴守国老师、苏庆德老师和张汉昌老师在我学习期 间也给予我大量的帮助。他们从理论、实验方面给予我大量的指导， 使我受益良多，在此表示深深的感谢。 感谢陈宗海、邵利民、孙莉、李婉、孙承华等同学的合作和帮助。 最后，感谢我的父母和亲人多年来对我的培养和支持。 第一章小波分析的原理与基本算法 小波分析是现代傅立叶分析的重大突破。它是泛函分析、傅立叶分析、样条 分析、调和分析、数值分析的最完美结晶。它具有正交性、方向选择性、可变的 时一频域分辨率、可调节的局部支撑等优良特性。在应用领域，尤其是在信号分 析1 1 + 7 1 、图象处理【”】、生物医学6 4 】、化学”。”、模式识别“。8 1 及众多非线性科学 等领域 1 9 - 2 2 1 ，小波分析都引起了广泛的关注与研究。 1 1 小波变换的发展历史 傅立叶变换( f o u r i e rt r a n s f o r m ) 作为一种有效的时频分析工具，一直在理论 研究和实际应用中占有重要的地位。但由于傅立叶变换在时间域上是完全非局部 化的，这就限制了其在非平稳信号分析和实时信号处理中的应用【2 ”。为了改善这 种状况，g a b o r 于1 9 4 6 年引入了“加窗傅立叶变换”( 即g a b o r 变换) ，用于提取 信号傅氏变换的局部信息( 2 4 j ，但g a b o r 变换是一种窗e l 大小和形状均固定的时一 频局部化分析，并不能满足信号分析中高频成分需要窄的时间窗，低频成分需要 宽的时间窗的要求。这样就促使人们寻找性能更优的时一频局部分析工具，从而 导致了小波变换的建立。 小波变换最早是由m o r l e t 在研究地震数据分析时提出的【25 2 “。后来，m o r l e t 与理论物理学家g r o s s m a n 合作，共同发展了连续小波变换的几何级数表达形式 1 2 7 2 8 1 。这种表达形式是基于仿射群下的不变性，即平移和伸缩，把信号分解为分 别属于空间和标度下的各种贡献。1 9 8 5 年，m e y e r 将连续小波变换推广到了n 维空间。此时，人们发现小波变换可以将信号分解为不同标度下的各种贡献，还 可以分离出信号中具有不同角度因子的各种贡献。由于小波变换的这种特性，人 们誉之为“数学显微镜”和“数学检偏器”。 1 9 8 6 年前的大部分工作是理论上的分析以及小波变换理论的进一步探索。 1 9 8 6 年，d a u b e c h i e s 等人1 2 9 1 在连续小波空间选取了一个离散子集，这个子集构 成了l 2 k ”j 空f m 中的一个半正交的完备系，称为“小波标架”( w a v e l e tf r a m e ) ， 开始了离散小波变换的研究，从而为小波变换在信号处理领域的应用奠定了基 础。作为对d a u b e e h i e s 工作的补充，m o r l e t 和g r o s s m a n 定义了一个插值方程， 从一个离散子集的小波系数来恢复连续小波变换的系数f 2 ”。1 9 8 8 年，m a l l a t 在 b u t t 和a d e l s o n 图像分解和重构算法的启发下，引入了“多分辨分析” ( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m r a ) 的概念1 3 ”，将构造正交小波基的方法统一起来。 而后m a l l a t 又提出了快速小波算法 3 1 , 3 2 1 。至此，离散小波变换方面的工作逐渐增 多。人们陆续发现了许多正交小波基。其中，b a t t l e 。l e m a r i e 小波具有指数衰减 形式：r i o u l 小波具有离散的正交基；d a u b e c h i e s 小波具有紧支撑的特性。1 9 9 0 年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的单正交小波函数，并讨论了具有最好 局部化性质的多尺度分析的生成函数以及相应的小波函数盼3 4 j 。1 9 9 0 年后，由 c o i f m a n 和w i c k e r h a u s e r 等人发展了小波包( w a v e l e tp a c k e t s ) 算法【3 5 j “，使得小波 理论体系更趋成熟。 1 2 连续小波变换和离散小波变换 小波理论正处在发展和完善的阶段。可以认为小波就是小的波形。所谓“小” 是指它们具有衰减性，比如是局部非零的1 “波”是指它的波动性，即其振幅呈 现正负相问的振荡形式。仅具有快速衰减性质，即“小”的性质如拖尾的窗函数， 见图1 ，或者仅具有振荡性，即“波”的性质如正弦波，见图2 ，都不能作为小 波。图3 是一个典型的小波( m o r l e t 小波) 。 图1 拖尾的汉宁窗函数 f i g u r e1 t h et r a i l i n gh a r m i n gw i n d o wf u n c t i o n 靴v v v 扒 图2 正弦波函数 f i g u r c2t h es i n ew a v ef u n c t i o n 图3m o r l e t 小波函数 f i g u r e3 m o r l e tw a v e l e tf u n e t i o n 我们称满足条件： n 痧( m ) n 。i d c oc 懈 或 i 妒( f ) 西= 0 的平方可积函数y ( f ) ( u py ( f ) r ( 尺) ) 为一个基本小波或小波母函数”1 。上述两 个条件确保了y ( f ) 一定是振荡型的函数( 正负部分互相抵消) ，再加上对妒( f ) 的局 部性要求( 在有限区间外恒等于0 ，或很快趋于0 ) ，这是小波这一名称的由来。 如果将小波母函数进行一系列的伸缩和平移，即： 蹦，) = 南y ( 半) ，咖酮。 称为由母函数v 生成的依赖于参数珥6 的连续小波，简称小波。a 被称为伸缩因 子，6 被称为平移因子。如图5 是图4 中的小波母函数经伸缩和平移后得到的一 系列的小波。 图4小波母函数 f i g u r e4 m o t h e rw a v e l e tf u n c t i o n - 5051 0 图5 平移和伸缩后的小波函数 as e r i e so f w a v e l e t b y d i l a t i o na n dt r a n s l a t i o n5 0 u 一 喀 f f ) 连续小波变换及其反变换 设厂( ，) 2 ( 月) ，g r i n 续小波变换为： f 哆 ，6 ) = 1 ，厅? z ) ， b = n b u a u 一”( 6 n o ，盯e z ) 则离散小波为： 矿。( f ) = a o m7 - l f ，( a 2 t 力6 。) 其中m ，h 分别称为频率范围指数和时间步长指数。 取d 。= 2 ，b 。= 1 ，即得所谓的二进小波： y 。( f ) = 2 删。y ( 2 “f n )( m ，n z ) 没- 厂( ，) r ( j r ) ，y ( f ) 的离散小波变换为： c z ( m ，”) 2 ( ( ，) ，一( ，) ) = j 一。( ，) ，。p 矽 1 3 小波变换的基本性质 ( ) 若小波i s , 。( f ) 构成空间r ( 一o o ，+ m ) 的组标准正交基，即： f f 1m 2 卅力= 力 j 。”( ) “矽2 oo 聃赢 则对( 鸭+ 。) 中的任一函数，( f ) 有展开式： ，( ，) = 艺c s ( 川， ) ，。( f ) 目越 因此小波变换可以看作是求信号( f ) 在妒( f ) 的各尺度平移信号上的投影。 ( 二) 小波变换具有时频局部化性质 通过仪器测量得到的信号通常都是时间域上的信号。但是仅有信号在固定时 i n 或i n 定时间区域的孤立值往往是不够的，要对信号做另一种描述，即用它的 4 f o u r i e r 变换来描述它的频率特性。f o u r i e r 变换将信号的信息从时间域转向频率 域，从而使得许多在时间域上不能解决的问题在频率域上得到了很好的解决。但 f o u r i e r 变换在刻划信号的频率特性时，几乎不提供信号在时域上的任何信息。这 勾成信号分析中的一对基本矛盾：时域和频域的局部化矛盾。为解决这一矛盾， g a b o r 于1 9 4 6 年引入了窗口傅立时变换。它首先选取个光滑的窗口函数g ( ，1 ， 然后在傅立叶变换的基本函数之前乘上g ( n ，相当于将傅立叶变换中无限延伸的 正弦函数和余弦函数用一个窗口将它截断。通过逐步移动特定的步长，譬( ，) 所确 定的时间窗在t 轴上移动，使厂“) 逐步进入被分析状态，从而实现整个时间域上 的信号分析。加窗傅立叶变换符合研究信号不同位置上局部性质的要求，能给出 不同频率信号时间域上的一些信息。但是窗口函数一旦确定，它的窗口宽度也就 不再发生变化。这样对于高频率的峰信号，有时会由于窗口过大而导致“杂质” 信号混入。同样对于低频率的峰信号，有时会由于窗口过小而导致峰信号的丢失， 从而造成信号分析上的偏差乃至错误分析。 小波变换继承并发展了窗口傅立叶变换的局部化思想，同时又克服了窗口大 小不随频率变化的缺点，具有时频局部化性质【3 。所谓时间域上的局部化，就是 指小波绝大部分的能量集中在某一时间范围内，理想的情况是在这区间外，函数 值为零( 能量也为零) 。一般而言，是从函数中心位置迅速递减。所谓频率域上的 局部化，是指小波函数经傅氏变换后是局部化的，即它们的频率以频率带的形式 出现。这样通过小波变换，就能同时获得信号在时间域和频率域上的局部化信息。 ( 三) 小波变换的变焦( z o o m i n g ) 特性 由小波的定义可知，连续小波矿。( f ) 的作用与加窗f o u r i e r 变换中的“窗口” 相类似。因此可以形象地将小波视为窗口。为了定量描述窗口的位置与大小，我 们引进窗口中心与窗 j 宽度的概念。 若小放母函数1 】f ，( f ) 满足条件：1 】c ，( f ) 、f 1 】f ，( f ) r ，其窗口中心为f ：，宽度为 1l 妒，则对于相应的连续小波。( ，) = i - i - j 妒( = 兰) 窗口中一心为： ，二。= 嘭+ b 窗口宽度为： 。，。= j 口陋， 该连续小波的傅立叶变换统。( 频谱) 为： 见，6 ( 埘) = h i f l “驴( 疗搿) 谚。的窗口中心为： f ；啪= 昙f ； 窗口宽度为： 眈e = 南p 可以清楚地看到，f ：。随口( 设口 o ) 的减小而增大，即随a 的减小，连续小 波频谱眈。的窗口中一t l , 向高频方向移动。而同时连续小波妒曲的窗口宽度虬，s 则随口的减小而愈来愈狭小。这说明信号频率越高相应时间域的窗口越小。 我们知道个信号的频率反比于其时间周期长。因此对于高频信息而言，时 间区域相对窄：而对低频信息，时间区域相对宽。频率越高则时域窗 2 1 越小，才 满足实际闻题中高频信号的分辨率比低频信号分辨率高的要求。小波变换提供了 一个可调的时频窗1 2 1 ，符合高频信号分辨率较高的要求。我们把小波变换在高频 处的时间分辨率高，在低频处的时间分辨率低的特性，称为“变焦”特性口”。这 一特性决定了它在突变信号处理上的特殊地位及功能。 ( 四) h e i s e n b e r g 不确定原理 从上面的公式可以看出，当a 变小时，y 。的频谱眈。( ) 在向高频部分转移 时，其窗口宽度相应增加。为了使小波变换在时间域和频率域均有较好的局部性， 我们当然希望连续小波妒。及其频谱晚。的窗v i 宽度都小一些，也就是说窗口面 积尽可能小些。但由于窗口面积 1 虬，6 睨，6 = i 口l ，亩一= ，矿 j 又根据h e i s e n b e r g 不确定原理 3 8 】 y i 经 可见连续小波的窗口面积不随参数矾6 而变，且因为y 与。存在一定的制 约关系，两者不可能同时都任意小，所以窗口面积不可能太小。因此小波变换在 信号高频处，时问域的分辨率高，频率域的分辨率相应降低。而在低频处，时间 域的分辨率低，频率域的分辨率相应增高。 1 4 小波变换的计算方法 任何一种好的变换都要做到信号分解后不但能更好地进行分析，而且分解的 信号还能很好的重构回去。这就要求由小波母函数生成的小波基能构成空间 p ( 尺) 上的完备的标准正交基。否则会造成分解信号的部分重叠，以致即使能重 构，所得信号与原始信号也差别较大。如何构造不仅充分光滑，还有较好局部性 ( 支集紧或趋于零的速度比较快) 的小波正交基，成为小波变换的一个首要问题。 1 9 8 6 年，m e y e r l 4 j j 色造性的构造出了具有定衰减性的光滑函数沙，其二迸 r一，、 制伸缩与平移 5 f ，。( ，) = 2 以 f ，( 2 1 ，一后) ：工七e z 构成( 月) 的规范正交基。其后， tj l e m a r i e t 4 1 1 和b a t t l e 【4 2 1 又分别独立的给出了具有指数衰减的小波函数。1 9 8 7 年， m a l l a t 【4 列巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入小波分析，从而成 功地统一了在此之前各人提出的具体小波函数的构造。还研究了小波变换的离散 化情形，并将相应的算法，即m a l l a t 算法有效地应用于图象分解与重构。与此同 州，d a u b e c h i e s 【4 4 1 构造出了具有有限支集的正交小波基。这样，小波分析的系统 理论初步得到建立。下面将详细地介绍多尺度分析的思想及m a l l a t 算法。为了克 服m a l l a t 算法在实际应用中存在着的一些限制，本实验室对该算法进行了改进， 使之能成功的应用于在线小波变换。 141 正交小波基 若一个二进小波。( f ) 满足： n m 2 m ，疗= j 。( ，) “，( f 矽2 0 o 肪g 坶 则称 妒。，( ，) 构成空间l 2 ( 尺) 的一组标准正交基。 这种由一个函数的平移和伸缩构成的正交基是非常有用的，它能将分析问题 转化为代数问题来解决。小波变换的优越性之一就是它能为空间r ( r ) 提供一组 有良好局部性的结构简单的正交基。 ( ) 多尺度分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m ：r a ) 为了寻找空间上2 ( 尺) 的正交基，先从的某个子空间出发，在这个子空间中 建立起一组正交基，然后利用简单的变换，把这组正交基扩充到l 2 中去，这就 是多尺度分析的基本思想。 定义满, 足y y 4 j 条件的l 2 ( 尺) 中一列闭子空间序列l 。：为l 2 ( 尺) 的一个 m r a 。 ( 1 ) 单调性：圪v m z 。 ( 2 ) 逼近性：n k ，= ( o ，u 吃= 2 ( r ) 。 zm c z ( 3 ) 伸缩性：妒( f ) 吃r p ( 2 t ) 0 。 ( 3 ) 妒( f ) 妒( 2 ”t ) ( 4 ) 平移不变性：妒( f ) 铮妒( f n ) z o ，v n z ( 5 ) 砌e s z 基存在性：存在妒( f ) ，且彩( f 九境。z 是v o 的标准正交基。即 对于( f ) ，存在唯一的 。) ，使( f ) = c 。妒( f 一月) 。伊( f ) 称为此i v l r a n e z 的尺度函数( s c a l i n gf u n c t i o n ) 或“父函数”( f a t h e rf u n c t i o n ) 。 从性质( 3 ) ，( 4 ) ，( 5 ) 可以得出：若妒( f ) 则妒( 2 ”t ) ，且函数系 fn 1 2 i 妒( 2 “t 一甩) 构成了空间的一组标准正交基。但由于 吃) 。；。并不是 r 一1 l 2 ( 尺) 的正交分解，故 2 i 妒( 2 “f n ) 不能构成l 2 ( r ) 的标准正交基。为此， l，月“ 需引入在+ ，中的正交补空间耽。如图6 所示，- l ，且+ ，= 0 既。 图6 空间l 2 ( r ) 的多尺度分析 f i g u r e6m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i so f t h es p a c el 2 ( 尺) 显然对任意m ，m z ，既和眠，是相互正交的，且对于f ( t ) w o 有 f ( 2 t ) 既。 因为= 一。0 一，= 一：o 一：0 一，一 = 0 o + ，0 o 。 令寸+ 。，s 。一m ，即得上2 ( 尺) = 0 既。这样所有既的基就构成了 上二( 月) 的标准正交基。因此问题归结为利用p ( f ) 构造一个函数y ( f ) ，使它的整数 平移 矿( f 一胛) 构成空间的标准正交基。 ( 二) 双尺度方程与紧支集正交小波基构造 设吒l ；：及妒( f ) 是一个正交m r a 。由于p ( f ) 量k ， 且 劾( 2 f 一门) ) 。是巧中的标准正交基。所以有： 妒( f ) = cc p ( 2 t 一”) h e z 此方程称为双尺度方程。令 l ；c ，( f ) = ( 一1 ) “c l 一。o ( 2 t 一门) ”z 竺 及y ( f ) = 22 v ( 2 ”t 一门) 则由尺度函数妒( f ) 可以构造出小波母函数矿( f ) a ( f ) 伸缩和平移后形成的小波 函数系( 妒。 。就构成了l 2 ( 尺) 上的标准正交基。 将一函数用小波基展开时，为使每一项都能很好地反映该函数的局部性质， 要求小波基母函数v ( f ) 具有较好的局部性( 支集紧) 和光滑性，而这在很大程度上 取决于妒( f ) 的局部性和光滑性。但即使妒( f ) 的支集紧，相应v ( t ) 的支集也未必 是紧的。这是因为双尺度方程 妒( ，) = c o ( 2 t n ) 当上式右方包含无穷多项时，数列 e 。趋于零的速度对构作( f ) 的算法起着 关键胜的作用1 。因此比较简单且重要的情况是 e ) 。只有有限多项不为零， 且n e = 0 ，( 刀0 ，力) 此时方程的右方仅包含有限项，双尺度方程写成 妒( f ) = c e ( z t n ) n = o 若妒( f ) 是一个m r a 的紧支集尺度函数，则由此双尺度方程构造的正交小波 基的母函数y ( f ) 一定是紧支集的。紧支集正交小波基的重要性在于它在数字信 号的小波分解过程中可以提供有限的从而更实际的滤波器。 142 m a l l a t 塔式算法 设( ) j 。：是三：( ) 的一个m r a ，存在尺度函数妒( f ) ，小波母函数为y ( f ) 。 用爿l i 厂和彰厂分别表示函数f ( r ) ( r ( r ) ) 与尺度函数p 和小波函数】；f ，的内积， 即： 码，= ( ) 。 c 巴= ( ) 。z 其中，彳1 厂称为函数( 信号) 厂( r ) 在分辨率为27 下的“离散逼近”，代表函数厂 中频率不超过2 7 的成分。珑，称为f ( x ) 在分辨率为2 下的“离散细节”，代表 ，中频率介于2 ，和2 ”1 之间的成分。 对于分析化学来说，任何仪器测量的信号总是只具有有限的分辨率。设测 量的分辨率为l ，则爿二厂就是f ( x ) 在分辨率为1 下的离散逼近。因为通过a i d 转换，计算机处理的信号必然是离散信号，故计算过程中可以认为a a o f z f ( x ) 。 m a l l a t 证明了有如下递推关系成立1 3 1 】： = i c = - - - o o 甑。) 的值可由下式得到： g ( 门) = ( 一1 ) 1 - ” ( 1 一门) 令霄，g 为h 和g 的镜象滤波器，脉冲响应分别为石( 门) = ( 叫) ， 喜( ”) = 占( 一月) ，那么对于信号来说，有如下的“m a l l a t 塔式”分解： 爿；_ ，= z h ( 2 疗一| i ) 鬈+ - ， 嘭厂= z g ( 2 ”一) 嘭+ - f 式中一j 一1 ，j 为预先设定的尺度因子。当= 一1 时，离散逼近a j + a ，f = 爿茹， 即为原始信号( x ) 。 由上面两个计算式可以看出，a ，d 。f 与百的卷积可以算出4 ；，。a ，a 川与 0 的卷积可以算出d 曼。重复这个过程，最终所有的离散逼近a d s 与离散细节 d d f 都可由最初信号4 二，计算出来。下图形象地表示出这种塔形算法。 图中i l2 i 表示数据减半。通过重复图中过程，我们就可以把原始离散信号4 二，任 意分解到分辨率为2 。下。 与分解相对应的重构算法为： 锄厂= 2 ( r t - - 2 k ) a ：s f + 2 z g ( r t - - 扯) 哆， t - b r z 下图显示了重构的过程，其中l i 2 l 表示在相邻数据点间插一个零。通过在 a z f 与d ，d ，厂的每个相邻数据点间插入零，再用形成的新信号分别与h 和g 卷 1 0 积，求和后就能重构爿；+ 。重复图示过程，使从以1 递增，直至户。1 从而获得分辨率为1 时的原始离散信号爿二，。 l43 改进的m a l l a t 算法 对于一个有限采样点数的信号厂，我们经常将它的分解过程表示如下1 4 6 c 。( ”) jc 1 ( n ) 斗斗c 1 ”) c o s - i ) ( 疗) j c 飞 ) 山山、l 山 d ( 1 ( ”) d 2 ( 门) d 7 ( 胛) d 。( 门) 其中，门表示采样所得的第”个点。c o ( 门) 即原始信号4 二，。c 气即) 和d ( 门) 分 别表示离散逼近a f 与离散细节d l 厂。助设定的分解次数，0 j j 。本节 及后续论文都采用此种表述。 为了构造紧支集的正交小波基，要求双尺度方程中的数列 c 。) 。只有有限 项，即滤波器日只具有有限个数据点数。设卸拘数据点数为工。个，= l l 。a 则 相应的m a l l a t 算法可表示为： c o ) ( n ) = 莹h ( 1 ) c 0 - 1 ( 疗一2 i - 1 ，) d ( ，0 ) = 兰g ( ，) c ( 川( n 一2 s - i ，) 从这两个公式可以看出，尽管m a l l a t 算法在小波变换中有相当重要的作用， 但也存在着一些缺陷： ( 1 ) 对数据点数有严格的要求，需要是2 ”个点( z ) 。这就需要对实验所 得的数据预先进行处理，使得其点数为2 “。 f 2 ) m a l l a t 算法每次分解后，数据点数均减半。这对数据点数较少的谱图来 说，就会导致因为分解次数较多而使得到的离散细节或离散逼近不光滑和不连 续。 针对m a l l a t 算法的这两个缺点，本实验室对其小波变换的算法进行了改进 m 】。将每次分解去除一个相邻数据点，改为每次分解在滤波器相邻点间插入一个 零。计算公式为： c d ( n ) = 妻 ( ，( ，) c ( 1 ( n 一，) d ( m 疗) = 圭占1 ，) c ( 川( 一，) 其中三是滤波器( j ) = 弘吼，) ) 和g ( ，) = g 吼叫的数据点数。h 0 和g ( j 是 通过在最初的滤波器和g 相邻项间填加2 j 1 个零得到的。随着分解次数 每增加一次，的长度将会增加一倍。在第次分解时，= 2 r 1 。改进后的 m a l l a t 算法对实验数据点数没有要求，而且经过小波变换后，数据点数不发生改 变，从而克服了m a l l a t 算法的缺陷。对实现在线小波变换也提供了条件。 以下给出数字信号改进m a l l a t 算法的有限离散二进小波变换的计算程序m 】。 = 1 w h i l e j j c 7 n ) = 主矗，( ，) c 川( n 一，) + 当一，) d c o - ) ) ( 门) = 触( ，) c ( 疗一，) + 季( ，) d ( 门一，) 1 = 11 = 1 j = 一l e n do f w h i l e 参考文献 1 1 1c h e o n g ，c h ak e o n ，a i z a w a ，k i y o h a r u ，h a t c r i ，m i t s u t o s h i ，s a i t o ，t a k a h i r o ，e l e c t r o n i c sa n d o m m u n i c a t i o n s ，月j a p a n ，1 9 9 5 ，7 8 ( 4 ) ，9 2 f 2 1r i e d e ra ，n u m b e r m a t h e m a t i c s ，1 9 9 4 ，5 8 ，1 0 5 1 3 ja n g e l i d i spa ，m a g n e t i cr e s o n a n c gi m a g i n g ，1 9 9 4 ，1 2 ( 7 ) ，1 1 1 1 【4 1k i m ，y o n g k 2 a l ，g o nv i m ，h y o u n g ，t a ep a r k ，k y u ，e l e c t r o n i c sl e t t e r s ，1 9 9 5 ，3l ( 2 ) ，9 0 1 5 1p e t e rs e h r o d e r ，p r o c e e d i n go f t h e1 e e e , 1 9 9 6 ，8 4 ( 4 ) ，6 1 5 嘲6p o n g s k o r ns a i p e t c h ，b r u c e kth o ，r a r a e s hp a n w a r ，m a r c om a ，a n dj u nw e i ，衄 e n g i n e e r i n gi n m e d i c i n ea n d b i o l o g y ，1 9 9 5 ，s e p t e m b e r o c t o b e r ，5 8 7 ( 7 jw a l l e r b ，r i c k a r d s o nj r ，1 e e e e n g i n e e r i n g i nm e d i c t ) t ea n d b i o l o g y ，1 9 9 5 ， s e p t e m b e r o c t o b e r ，5 5 l f 8 c a l h e r i n emk o e u r ，s i e v e nkr o g e r s ，l e m u e lrm y e r s , t h o m a sb u r n s ，m a l l h e wk a b r i s k y ， i e e e e n g i n e e r i n gi nm e d i c i n ea n d b i o l o g y ，1 9 9 6 ，m a y j u n e ，9 5 【9l a n d r e wl a i n e ，j i a nf a n ，w u h a iy a n g , i e e ee n g i n e e r i n gi nm e d i c i n ea n d b i o l o g