行列式理论的应用.doc

行列式理论的应用班级 数学1103 学号 20112744 姓名 张冰清内容摘要：行列式是解决线性代数的工具，它最初的产生和应用都在解线性方程组中，应用范围十分广泛，成为数学、物理以及工科许多课程的重要工具.本文主要从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式; 最后综述了行列式在解析几何中的若干应用。行列式理论是代数学的重要组成部分，计算行列式的一般方法是不存在的，不同的行列式有不同的计算法.行列式在线性方程组的归纳求解，线性相关性的判定，线性空间和线性变换等中有广泛的应用. 关键词: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组正文部分导言：行列式自从被发现以来迅速发展壮大，各个学科都应用其性质解决了一些难题.时至今天因其应用而成果斐然的实例更是多不胜数，并且在一些应用领域越来越具有一些不可替代的作用.行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论的重要组成部分.本文主要研究行列式理论的总体概况，整理了行列式的定义、性质，并举例说明了行列式性质在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论的应用.例如线性方程组（见文1-5）、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置(见文2)、初等代数（见文9）、解析几何（见文6-8）、维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.具体内容部分1、行列式的概念及性质1.1行列式的定义以下给出给出行列式的两种定义方式一：对任何 阶方阵，其行列式记为 ， （1）其中是数组1，2， 的全排列，表示对关于这些全排列的项(共有 项)全体求和.方法二：行列式记作（或，它是关于方阵的一种算式，满足下列三个公理：公理1：数的行列式，等于其自身，即或，其中是数（为了不与绝对值相混淆，数的行列式一般避免写成）；公理2：分块三角形矩阵的行列式，等于其主对角线上各个子块的行列式之积.即有其中与均是方阵；公理3：两个同阶方阵的乘积的行列式，等于这两个方阵各自行列式之积，即|(或() () )，其中 与是阶数相同的方阵.将矩阵做行列式计算的结果，称为的行列式，简称为行列式.关于矩阵的若干名称，也相应地用于行列式.1.2行列式计算的相关性质性质1.行列互换，行列式不变.即性质1表明，行列式中行与列的地位是对称的，所以凡是有关行的性质，对列同样成立.性质2.对换行列式两行的位置，行列式反号.性质3.若行列式有两行相同,则行列式等于0.性质4.以一数乘行列式的一行,等于乘行列式，或者说一行的公因式可以提出去.即推论1.若行列式某行（列）元素都是0,则行列式等于0.由性质4和性质3又可得到:推论2.若一个行列式的任两行成比例,则行列式值为0.性质5.行列式具有分行相加性.即： =+性质6.把的一行的若干倍加到另一行,行列式值不变.2、行列式计算的应用2.1.1解方程例1.解方程解：由行列式性质可得，或.解一元2次方程可得，.另根据行列式的定义观察行列式中的最高次幂是4次（切系数不为零）可原得原方程有4个根，即.2.1.2计算行列式例2.计算阶行列式解：利用行列式性质可知当时，即是方程的根.再根据行列式的定义观察出行列式中的最高次幂是次并且系数是1,可判断出方程的根就是，在利用中主对角线上元素之积系数为可知=.2.1.3计算范德蒙行列式例3.我们称下面的行列式式为范德蒙行列式=将中不加区别看作，那么就是一个次的方程，利用行列式的性质可观察出时范德蒙行列式的值为零.不妨称是方程的根,或者说中含有的因子,利用排列原理知至少有个根也即至少有个的因子.事实上行列式中是对等的,我们根据行列式的定义略去之间,的区别,含有的最高次数(或各的各幂数之和)为,即至多有个根或至多有个因子;再利用主对角线上元素之积的系数为1可知 2.2行列式在多项式理论中的应用例1.证明一个次多项式至多有个互异根.证明：有个互异的零点，则有，1 即这个关于的齐次线性方程组的系数行列式因此.，这个矛盾表明有个互异根.2.3在线性变换理论中的应用例1.设数域上的维向量的线性变换有个互异的特征值则1）与可交换的的线性变换都是的线性组合，这里为恒等变换；2）线性无关的充要条件为，这里，. 证明：1）设是与可交换的线性变换，且，则是的不变子空间则由以下方程组.令，则有以下方程组 . （1）因为方程组（1）的系数行列式是范德蒙行列式，且，所以方程组（1）有唯一解，故是线性组合.2）充分性因为，所以并且所以是可逆矩阵，又因为是的一组基，线性无关.3）必要性设是分别属于的特征向量，则构成的一个基，因而有.若则是的属于的特征向量，故结论成立.若存在，使，不妨设全不为零，而，因而有.则利用范德蒙行列式可知有一个阶子式不为零，所以秩，从而，又因为线性无关，所以线性无关，矛盾.从而，这里，.3、行列式在线性方程组中的一个应用 设含有个变元的个一次线性方程组为 （1） 设方程组（1）的系数矩阵的秩是, 不失一般性, 假定不等于零的阶行列式是 . 行列式中的元素, 就是矩阵中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列. 我们把看作是未知数, 是已知数, 解方程组(1), 得 （2）式中是行列式的第列元素换以所成的行列式. 也就是.把中第列移到第一列, 得.上式右边的行列式用表示, 行列式是矩阵中去掉第列剩余下的元素所组成. 故.代入（2）式, 得, 或.结论2: 方程组（1）中的与成比例, 式中 是从矩阵中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.4、行列式在初等代数中的几个应用4.1 用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例4.1.1 分解因式：. 解 .4.2 用行列式证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例4.2.1 已知, 求证.证明 令, 则.命题得证.例4.2.2 已知 求证.证明 令, 则命题得证.5、行列式在解析几何中的几个应用5.1 用行列式表示公式5.1.1 用行列式表示三角形面积以平面内三点为顶点的的面积S是 (3)的绝对值.证明 将平面三点扩充到三维空间, 其坐标分别为, 其中为任意常数. 由此可得： , 则面积为 = .5.1.2 用行列式表示直线方程直线方程通过两点和的直线的方程为. （4） 证明 由两点式, 我们得直线的方程为.将上式展开并化简, 得此式可进一步变形为此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证.5.1.3 应用举例例 若直线过平面上两个不同的已知点, , 求直线方程.解 设直线的方程为, 不全为0, 因为点在直线上, 则必须满足上述方程, 从而有这是一个以为未知量的齐次线性方程组, 且不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于0, 即.则所求直线的方程为.同理, 若空间上有三个不同的已知点, 平面过, 则平面的方程为.同理, 若平面有三个不同的已知点, 圆过, 则圆的方程为.6、行列式在平面几何中的一些应用6.1 三线共点 平面内三条互不平行的直线相交于一点的充要条件是.6.2 三点共线 平面内三点在一直线的充要条件是.6.3 应用举例例 平面上给出三条不重合的直线:, 若, 则这三条直线不能组成三角形.证明 设与的交点为, 因为,将第1列乘上, 第2列乘上, 全加到第3列上去, 可得：.因为在与上, 所以, 且若与平行, 若也在上交于一点,无论何种情形, 都有不组成三角形.这说明由, 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.7、行列式在三维空间中的应用7. 1 平面组 设由个平面方程构成的方程组为 （5） 若方程组(5)中的各代以, 并用乘以(5)式两端: 得 （6）叫做点的齐次坐标. 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵 及 的秩及有关系. 现在分别叙述如下： ()当, 则方程组中各系数全是0. ()当 则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解.当, 将趋近于无穷大（假设趋近于0）. 在这种情况下, 我们说这个平面在无穷远重合. ()当, 则在矩阵及中所有二阶行列式全是0. 所以我们有以上等式表示个平面相合成一个平面. ()当 方程的系数中至少有两组数如及满足以下关系式上式表示平面平行但不相合. 也就是平面组中个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合. () 则矩阵及中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设.我们必可求得适合下式：式中, 否则行列式将等于0. 所以.以上等式表示平面经过直线就是个平面全经过一条直线. （）当 并假定方程组的系数至少有一组适合以下关系：（是中的一数）以上第一个等式表示组中第平面,与直线平行. 又因第二个不等式表示第平面不经过上述直线, 所以个平面有平行的交线.例如由方程组解得.因为行列式.而其它三个行列式不全是零故, 就是三个平面的交点在无穷远. 三个平面中每两个平面的交线是平行的. （）当, 并假定.在这种情况下, 平面相交于一点. 又因,（）故平面经过前面三个平面的交点, 就是个平面有一个交点, 不在无穷远. （）当, 则矩阵中至少有一个四阶行列式不等于零. 假设.（是中的一数）以上不等式表示平面,不经过前三个平面的交点.结论：本文收集并整理了行列式的两种常见定义、基本性质，然后重点讨论了行列式在解方程组，空间几何理论，多项式理论，线性变换理论等中的应用. 也研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.在以后的研究和讨论中可以更加深入的探讨行列式理论的应用，多进行这方面的研究和发现。参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)M. 北京: 高等教育出社, 2003.2高杨芝. 行列式浅说M. 江苏: 江苏人民出版社, 1958. 3王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)M. 北京: 高等教育出版社, 2003.4王品超. 高等代数新方法(下)M.