（应用数学专业论文）具有时滞的lurie控制系统的鲁棒绝对稳定性研究.pdf

摘要 摘要 本文研究l u r i e 控制系统的绝对稳定性问题，主要探讨时滞的l u r i e 控制系统 的鲁棒绝对稳定性条件。将l u r i e 控制系统绝对稳定性问题已有的研究成果给予了 完善和改进。具体包括以下内容： 1 研究了具有控制时滞的滞后型l u r i e 控制系统的绝对稳定性问题。通过构造 适当l y a p u n o v 泛函，结合不等式分析的技巧，得到了具有控制时滞的滞后型l u r i e 控制系统绝对稳定的时滞无关和时滞相关条件，这些条件用线性矩阵不等式表示 易于验证且保守性低，最后通过实例验证了所得结果的有效性。 2 研究了中立型l a f i e 控制系统的时滞相关鲁棒绝对稳定性问题。讨论了具有 控制时滞的中立型l u r i e 控制系统的时滞相关鲁棒绝对稳定性问题。利用l y a p u n o v 泛函方法，在处理矿的导数时，不进行放大估计。而通过引入一些恰当的0 项，构 造多个l m i ，从而获得基于多个l m i 的时滞相关绝对稳定的充分条件和鲁棒绝对 稳定的充分条件。最后的数值例子说明所得结论的有效性。 3 研究了具有分布时滞的中立型l u r i e 控制系统的鲁棒绝对稳定性问题。所考 虑系统的不确定性是时变有界的，应用l y a p u n o v 泛函方法结合不等式分析的技巧， 得到系统绝对稳定的充分条件。这些充分条件是基于线性矩阵不等式的，因此易 于验证。最后的数值例子验证了本文研究结论的有效性。 4 研究了时滞多非l u r i e 控制系统的绝对稳定性问题。通过系统变换，选择一 个适当的l y a p u n o v 泛函，结合不等式分析的技巧和拆分矩阵的方法，得到了时滞 多非l u r i e 控制系统的基于线性矩阵不等式的绝对稳定性的充分条件。最后的算例 说明本文的结论较已有文献的保守性低。 关键词：l a r i e 控制系统，绝对稳定性，鲁棒绝对稳定性，线性矩阵不等式，时滞 相关，分布时滞 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ep r o b l e mo fa b s o l u t es t a b i l i t yo fl u r i ec o n t r o ls y s t e m si ss t u d i e d ， a n dt h em a i np u r p o s ei st od i s c u s st h er o b u s ta b s o l u t es t a b i l i t yc o n d i t i o n sf o rt h el u r i e c o n t r o ls y s t e m sw i t ht i m e - d e l a y s o m er e s u l t so b t a i n e da r ei m p r o v e da n dp e r f e c t e d 1 d e a l sw i t ht h ep r o b l e mo ft h ea b s o l u t es t a b i l i t yo fl u r i ec o n t r o ls y s t e m sw i t h t i m ed e l a yi nc o n t r o li n p u t b yc o n s t r u c t i n ga p p r o p r i a t el y a p u n o vf u n c t i o n a la n d c o m b i n i n gt h et e c h n i q u eo fa n a l y z i n gi n e q u a l i t y , d e l a y i n d e p e n d e n t a n d d e l a y d e p e n d e n tc o n d i t i o n sf o r t h ea b s o l u t es t a b i l i t yo fs u c hs y s t e m sa r eo b t a i n e d t h e d e r i v e ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ee x p r e s s e di nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m l ) t of i n dt h el e s sc o n s e r v a t i v ec r i t e r i a w h i c hc a nb ee a s i l yv a l i d a t e db ym a t l a bt o o l b o x n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d 2 d e a l s w i t hd e l a y d e p e n d e n tr o b u s ts t a b i l i t yo fn e u t r a ll u r i ec o n t r o ls y s t e m s w i t hm u l t i p l en o n l i n e a r i t i e sa n dt i m e - v a r y i n gs t r u c m r e du n c e r t a i n t i e s t h el y a p u n o v f u n c t i o n a lm e t h o di su s e d b ya d d i n gs o m ea p p r o p r i a t ez e r ot e r m st ot h ed e v i a t i o no f va n dc o n s t r u c t i n gs o m el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s t h e nt h ed e l a y d e p e n d e n ta b s o l u t e s t a b i l i t ya n dr o b u s ts t a b i l i t ys u f f i c i e n tc o n d i t i o n si sd e r i v e d f i n a l l y , an u m e r i c a l e x a m p l ei sp r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o d 3 t h er o b u s ts t a b i l i t yo fu n c e r t a i nn e u t r a ll u r i ec o n t r o ls y s t e m sw i t hd i s c r e t ea n d d i s t r i b u t e dd e l a y si si n v e s t i g a t e d t h eu n c e r t a i n t i e su n d e rc o n s i d e r a t i o na r en o r m b o u n d e da n dp o s s i b l yt i m ev a r y i n g b yc o n s t r u c t i n ga p p r o p r i a t el y a p a n o vf u n c t i o n a l a n dc o m b i n i n gt h et e c h n i q u eo fa n a l y z i n gi n e q u a l i t y , t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e a b s o l u t es t a b i l i t yo fs u c hs y s t e m sa r ed e r i v e d n ep r o p o s e ds t a b i l i t yc r i t e r i o n sa r e f o r m u l a t e di nt h ef o r mo fal i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ya n di ti se a s yt oc h e c kt h er o b u s t a b s o l u t es t a b i l i t i e s an u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h e p r o p o s e dm e t h o d 4 皿es t a b i l i t yo ft u l i ec o n t r o ls y s t e m sw i t hm u l t i p l et i m e d e l a y si si n v e s t i g a t e d t h es y s t e mw i t hm u l t i p l et i m e d e l a y si st r a n s f o r m e d ，t h e nas u i t a b l e l y a p u n o v f u n c t i o n a li ss e l e c t e d , t h ed e l a y - d e p e n d e n ta b s o l u t e l ys t a b l ec o n d i t i o nf o rl u r i ec o n t r o l s y s t e m sw i t hm u l t i p l et i m e c l a y si so b t a i n e db ya p p l y i n gt h et e c h n i q u eo fa n a l y z i n g a b s t r a ( 丌 i n e q u a l i t ya n dt h em e t h o do fd e c o m p o s i n gt h em a t r i c e s t h ec o n d i t i o ni sb a s e do nt h e l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y f i n a l l y , an u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt od e m o n s t r a t et h e d e r i v e dc o n d i t i o ni sl e s sc o n s e r v a t i v et h a nt h o s eg i v e ni nt h el i t e r a t u r e k e y w o r d s ：l u r i ec o n t r o ls y s t e m s ，a b s o l u t es t a b i l i t y , r o b u s ta b s o l u t es t a b i l i t y , l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , d e l a y d e p e n d e n t ，d i s t r i b u t e dd e l a y s i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：! 里j 釜盘日期：口7 年f 月，。日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名： ! 丑焦毫导师签名：垒堑鱼重垄 日期：0 7 年1 月i ir 第一章绪论 第一章绪论 1 1 动力系统中的稳定性理论 稳定性的概念曾被拉普拉斯、拉格朗日、马克斯威尔、汤姆逊和德特、庞加 莱等人采用过，但都没有精确的数学定义。达朗贝尔、拉格朗日、马克斯威尔、 魏施涅格特斯基、茹可夫斯基及斯图多等采用过一次近似方法研究稳定性，但也 没有从数学上严格证明其合理性。直到1 8 9 2 年俄国数学力学家李雅普诺夫院士在 他著名的博士论文“运动稳定性的一般性问题”中，将p e a n o ，b e n d i x s o n 和d a r b o u x 等人建立的微分方程解对初值和参数的连续依赖性这一概念，由自变量( 时间) 在 有限区间上变化拓宽到无穷区间上，从而给出了运动稳定性严格、精确的数学定 义，一举奠定了稳定性理论的基础。 李雅普诺夫首创的运动稳定性理论受到了各国学者的高度重视，苏联控制论 专家列托夫、数学家马尔金先后在他们的专著序言中说到：“无论现代控制以何 种方法描述，总是建立在李雅普诺夫运动稳定性的牢固基础上”，美国数学家 i _ a s a l l e 也说过：“稳定性理论在吸引着全世界数学家的注意，李雅普诺夫直接法得 到了工程师们的广泛赞赏，稳定性理论在美国正迅速变成训练控制论方面的工程 师们的一个标准部分”。我国著名科学家钱学森、宋健在工程控制论中写到： “对于控制系统的第一个要求是稳定性，从物理意义上讲，就是要求控制系统能 稳妥地保持预定的工作状况，在各种不利因素的影响下不至于动摇不定，不听指 挥”这些足以说明了稳定性具有普遍意义。事实上，在经典控制中，稳定性 是唯一的要求，即使在现代控制中，它仍然是主要的性能指标。 近十余年来，人工神经网络的理论和应用的研究，形成了世界性的热潮，其 中稳定性扮演着重要的角色，利用动力系统的吸引子和电子电路的实现来完成某 些智能优化计算、联想记忆、学习算法。从而，对稳定性理论感兴趣的已远远不 止数学、力学、自动控制专业的学者。 稳定性的重要意义，小到一个具体的控制系统，大到一个社会、金融系统、 生态系统，在各种偶然的或持续的干扰下运动的，承受这种干扰之后，能否保持 预定的运行或工作状态，而不致于失控，摇摆不定，有至关重要的意义。 在实际控制问题中，许多系统由于模型的误差、测量的误差和线性化近似等 1 电子科技大学硕士学位论文 不确定就会出现在控制系统中，时间滞后现象是经常发生的，它常常是系统不稳 定的根源，因此关于不确定性时滞系统的稳定性研究，具有重要的理论意义和实 际应用价值。 1 2 课题背景 1 2 1 课题来源 本课题属于理论研究范畴，来源于实际问题中广泛存在的不确定系统。主要 是针对不同的时滞h r i e 控制系统进行绝对稳定性分析，以期获得使该系统绝对稳 定性充分条件。 1 2 2 研究的目的及意义 时滞控制系统在化工处理、柔性机器人、神经网络、最优控制等领域具有广 泛的背景，时滞的存在使得稳定性的检验变得更加复杂，经过国内外很多学者的 共同努力，迄今为止，已有很多检验稳定性的方法。现有的稳定性准则大致可分 为两类：其一为时滞独立准则，它不含时滞的任何信息；其二为时滞相关准则， 它与滞后的大小有关。由于缺少时滞的信息，时滞独立准则必然会使其稳定性准 则具有保守性，尤其是滞后量较小的情况，近年来不确定时滞系统的稳定性问题 得到广泛的研究。 动态系统理论研究中的一个重要问题就是系统的稳定性问题。关于连续性动 态系统的稳定性研究自从上个世纪7 0 年代开始即已被人们所关注，近三十年来一 直是国际控制理论界研究的热点问题之一。目前国际上的学术期刊及一些重要的 会议都设有此类研究的专栏，同时也吸引了国内外大批的科研工作者从事此项研 究，至今也已获得了相当丰富和较为完善的研究成果。在实际问题中，由于不可 避免地存在着各种各样的误差或者未建模动态，使得任何一个动态系统都带有一 定的不确定因素。这些不确定因素对系统的稳定性产生着重大影响，甚至可以使 得系统不稳定。系统常常存在着时间滞后( 简称时滞) 现象。时滞可能是已知的 或未知的，也可能是定常的或时变的，事实已经证明时滞的存在对系统的稳定性 也构成重大危害。因此，我们所讨论的系统稳定性通常都是指带有不确定性和时 滞的不确定性系统的稳定性问题，即所谓系统的鲁棒稳定性。相应的系统控制问 题则成为鲁棒控制问题，即设计一个确定的控制器来控制不确定性和时滞满足一 2 第一章绪论 定条件的不确定时滞系统，使所有这些系统都是鲁棒稳定的。在过去的三十年中， 不确定连续时滞系统的鲁棒控制问题得到了广泛的重视和深入的研究，无论是在 系统的鲁棒稳定性分析方面，还是在鲁棒控制器设计方面，或者在鲁棒性能分析 方面都获得了大量的研究成果。l y a p u n o v 方法、特征值方法、矩阵测度方法、r i c c a t i 方法和线性矩阵不等式( l m i ) 方法等都在鲁棒控制研究中起着重要作用。针对系 统中不确定性的多种结构形式和时滞的多种情形，提出了各种鲁棒稳定性条件( 如 时滞无关的稳定性条件和时滞相关的稳定性条件等) 及各种鲁棒控制器设计方法 ( 如有记忆的无记忆的状态反馈控制器，输出反馈控制器等) ，且所有这些研究成 果在实际中都得到了广泛的应用。 l u f i e 控制系统是一类非常重要的非线性控制系统，是由前苏联著名学者l u f i e 在二十世纪四十年代研究飞机自动驾驶仪的控制问题时提出来的。经过4 0 年的发 展，l u f i e 控制系统的绝对稳定性以趋于成熟，特别是对用常微分方程描述的稳定 性l u f i e 控制系统的绝对稳定性，理论和实践均有强有力的判定方法，从6 0 年代 起，有些学者开始研究难度较大的用时滞微分方程或泛函微分方程描述的l u f i e 系 统的绝对稳定性问题。实际中具有时滞的控制系统一般分为两种情况，一种是未 受控制系统中含有时滞，另一种是控制项即反馈中含有时滞。s o m o l i n o s 和阮炯用 类似二次型加积分项的l y a p u n o v 泛函方法讨论了第一种情况的稳定性。张维构造 特殊l y a p u n o v 泛函得到了第二种情况的绝对稳定性的充分条件，为l u f i e 控制系 统的绝对稳定性研究开辟了道路。半个世纪以来，l u r i e 控制系统的绝对稳定性研 究有了很大发展，形成了自动控制理论中具有完整理论体系的一个重要分支。由 于在实际控制系统中不可避免地存在有各种各样的广泛关注的不确定因素，而且 在建模过程中也不可避免地存在各种误差，同时人们希望控制系统还要有一定的 抗干扰能力，因而控制系统绝对稳定性的研究受到国内外学者关注。 本论文将以时滞l l l r i e 控制系统为研究对象，以该系统的稳定性和鲁棒稳定性 分析为研究目标，以期获得使系统绝对稳定性和鲁棒绝对稳定的充分条件，并力 争使其比以往的结果更好，这无论在理论上还是在实际应用中都有着重要的意义。 1 3 国内外的研究现状 1 3 1 连续系统的鲁棒稳定性发展概况 关于不确定性系统的鲁棒稳定性分析问题的研究开始于二十世纪二十年代。 3 电子科技大学硕士学位论文 分为频域分析和时域分析，频域分析应用矩阵奇异值分解来研究，时域分析应用 l y a p u n o v 稳定性理论进行研究。本文主要关注的是时域分析的情况。时域分析最 早的研究由b e l l m a n ”、b a m e t l e t a l 【”、d e s o e r e t a l 口1 和h a l e t 4 】针对一般动态系 统给出，他们奠定了这一方面的理论基础。关于线性系统中不确定参数的鲁棒稳 定界的明确概念，则由p a t e l e t a l 1 目和l e e l 6 1 提出，他们给出了线性系统不确定性 的具体描述，以及求不确定参数界的方法。y a d a v a l l i 7 , 8 1 、y a d a v a l l i e t a l 1 9 1 和 z h o u e t a l 1 0 1 进一步发展了上述研究成果，使得对不确定性的描述更全面，计算结 果更精确。至此，关于鲁棒稳定性的线性不确定性也有了三个明确的概念：强结 构不确定性，非结构不确定性和矩阵多胞型结构不确定性，因此，对于无时滞的 不确定性系统的鲁棒性研究形成了一套较为完整的理论。从目前所发表的文献来 看，主要讨论的系统为线性系统和非线性系统。但是由于非线性系统本身的复杂 性，关于此类不确定性系统的鲁棒稳定性研究结果很少，而对线性系统的讨论则 比较热烈，也产生了一些比较好的研究结果。当然，有些结果还有待改进，还有 些结果本身也存在一定的问题。这些问题都需要在不断的研究过程中加以改进和 克服。线性系统分为连续性线性系统和离散性线性系统。其中连续性线性系统又 分为不确定线性定常线性系统和不确定线性时变系统。对于这两个系统的研究方 法比较多的是采用l y a p u n o v 方法和特征值方法。离散性线性系统有分为离散线性 定常系统和离散线性时变系统，所采用的研究方法大体上与上述方法类似。关于 线性定常系统的讨论，有的是利用相应的方法和有关性质得到一个具有更低保守 性的鲁棒稳定性判据。胡庭姝等1 1 1 1 利用特征值方法并结合矩阵、行列式的特殊性 质，导出了具有更低保守性的鲁棒性判据；曹永岩等是基于一种非线性向量幂 变换将结构不确定性线性系统的鲁棒稳定性问题转化为相应参数矩阵的非奇异问 题来解决，得到了保证系统鲁棒稳定的充分条件和参数允许界。它们存在的共同 问题是：这些结果固然很好，但是它们都各自针对的是不同的系统，不具有普遍 性。有的是将前人的研究结果进行了合理地改善并使之具有计算容易等优点， p e t k o v s k i t t s l 给出了线性定常系统的鲁棒稳定性范围的新的改善界限，在结构扰动 的情况下，该文给出的鲁棒稳定性界限比其他人的相应结果更好，而且计算更容 易。但是在非结构的扰动下，该文的结果就不适用了。关于线性时变系统的讨论， 这方面的文章比较多，但是大体上都是通过利用l y a p u n o v 方法，再加上相关的矩 阵知识及一系列不等式技巧的运用，得到了诸多关于判定系统鲁棒绝对稳定的充 分条件和充分必要条件，而这些结果在一定程度上都比先前的结果好一些，且是 易于判断和求解的。 4 第一章绪论 1 3 2l u d e 时滞控制系统研究现状和发展态势 已有的文献对l u r i e 时滞控制系统的绝对稳定性研究所采用的方法基本上是基 于l y a p u n o v 方法和特征值方法。由于针对不同的系统在构造l y a p u n o v 函数上缺 乏一定的准确性以及利用不同的不等式技巧，这在一定程度使得到的结果产生了 一系列的保守性，如文献 1 4 ，1 5 1 。冯俊涛等【1 4 i 应用l y a p u n o v 泛函方法，讨论了具 有结构扰动和范数扰动界的不确定滞后型l u f i e 直接控制系统和间接控制系统的鲁 棒绝对稳定性，给出了系统鲁棒绝对稳定性的充分条件，并以l m i 形式给出，可 以运用m a t l a b 工具箱来求解；年晓红等【1 5 】应用b e l l m a ng r o n w c l l 不等式和 l y a p u n o v 泛函方法研究了不确定l u r i e 控制系统的鲁棒绝对稳定性，并给出了系统 时滞相关和时滞无关稳定的充分条件判据；年晓红等口6 】应用l y a p u n o v 方法讨论具 有时滞反馈的l a d e 控制系统的绝对鲁棒稳定的充分条件；刘祖润等【1 7 】应用 l y a p u n o v 方法讨论了具有状态和控制时滞的l u r i c 控制系统的绝对稳定性，给出了 这类系统绝对稳定的若干充分条件。这是控制项中含有时滞的情况，用本文的结 论可直接计算具有时滞反馈的l u f i e 控制系统的绝对稳定的鲁棒扰动界。但是这些 判据难以验证、不易判断。较多的文献对于滞后型非线性反馈的l u f i e 控制系统讨 论了其绝对稳定性的时滞无关条件。其中利用矩阵范数得到的充分条件是比较保 守的，如文献 1 6 ，1 7 。文献【1 8 】利用l m i 所得到的结果具有可解性，降低了结果的 保守性，但其结果也只适用与有限扇形角的情形，且在非线性条件处理上，采用 的是一个简单的向量不等式，导致较大的保守性。另外，基于文献【1 9 】的p a r k 不 等式，有些文献虽然给出了具有滞后型非线性反馈的l a d e 控制系统的绝对稳定性 的时滞相关条件，如文献【1 】所述，其利用牛顿莱布尼兹公式将l y a p u n o v 函数的 导数中某些x “一f ，用x ( f ) 一r 孟( s l 缸代替，而其它的x ( t f j 却保留下来，也就是 j l 说他们采用的是固定的权矩阵，是导致时滞相关保守性的一个重要原因。已有的 文献研究时滞无关稳定性的相对要多一些，而时滞无关稳定性的充分条件对系数 矩阵的要求很严格，有很强的保守性。而研究时滞相关稳定性的相对要少一些。 目前已有的文献对难度较大含有分布时滞的i a l l i e 控制系统绝对稳定性的研究比较 少，对于具有滞后型多非线性反馈的l u f i e 时变时滞系统的绝对稳定性研究的也很 少，目前还没有对具有分布时滞的l a d e 控制系统的时滞相关绝对稳定性进行研究 的文献。目前讨论l a d e 时滞控制系统的绝对稳定性保守性最低和最常用运用的是 l y a p u n o v 方法。但是针对不同的系统，构造l y a p u n o v 函数没有固定的标准和方法， 都是在构造之初进行试凑的，并且在对其导数进行处理的过程中，大多数文献采 5 电子科技大学硕士学位论文 用的不等式处理技巧都很单一，这是造成结论具有较强的保守性，如文献 2 0 ，2 1 1 。 文献 2 2 1 在对l y a p u n o v 函数导数进行放大处理的过程中运用了s 过程获得绝对稳 定的时滞无关条件，减少了向量不等式带来的保守性，并且所得到的结论不仅适 用于有限扇形角，而且适用于无限扇形角，为进一步的研究l u r i e 时滞控制系统的 绝对稳定性研究提供了很好的参考意义。更多的应用l y a p u n o v 泛函方法研究l u r i e 时滞控制系统的鲁棒绝对稳定性的文献如【2 3 3 2 】。z x g a n ，w g g e 3 3 - 3 5 | 应用 l y a p u n o v 泛函方法研究了一般多非线性l u r i e 控制系统的绝对稳定性问题，得到了 系统绝对稳定的充分必要条件。文献【3 6 ，3 8 】应用l y a p u n o v 泛函方法结合线性矩阵 不等式的方法，得到多非线性l u r i e 控制系统的绝对稳定性问题的充分必要条件， 较文献 3 3 3 5 1 具有更低的保守性。因此，对l y a p u n o v 函数导数进行放大处理的方 式也需要进行进一步的研究，降低时滞依赖绝对稳定性结论的保守性。今后l u r i e 控制系统的绝对稳定性的研究主要方向是寻找处理l y a p u n o v 函数时间导数的较好 方式，降低现有文献时滞依赖绝对稳定性结论的保守性。对于具有滞后型多非线 性l a r i e 时滞控制系统的时滞相关绝对稳定性和鲁棒绝对稳定性、中立型l u r i e 控 制系统的时滞相关绝对稳定性需要进一步研究，对于具有分布时滞的l u r i e 控制系 统的绝对稳定性需要尝试性的研究。 1 4 本文的主要工作 由于l u r i e 控制系统是一类非常重要的非线性控制系统，其研究对于非线性系 统的分析和设计具有十分重要的意义，因此关于l u r i e 控制系统的绝对稳定性研究 十分必要。近年来，关于l u r i e 控制系统的绝对稳定性研究得到了国内外学者的重 视。 对于l u r i c 控制系统的绝对稳定性理论的研究与应用已经越来越受到人们的重 视，但已有的文献对l u r i e 时滞控制系统的绝对稳定性研究所采用的方法基本上是 基于l y a p u n o v 方法，这样便于应用线性矩阵不等式处理，降低时滞的保守性。由 于针对不同的系统在构造l y a p u n o v 函数上缺乏一定的准确性以及利用不同的不等 式技巧，这在一定程度使得到的结果产生了一系列的保守性。因此，本文将对l i h i ： 控制系统的绝对稳定性的理论作简单的介绍，对一些典型的l u r i e 控制系统的模型 的绝对稳定性稳定性作一些讨论，使得大家对这类控制系统的稳定性理论有更多 的认识，也便于进行进一步的研究。 6 第二章连续系统l y a p u n o v 稳定性理论 第二章预备知识 本章介绍连续动态系统的状态空间模型，稳定性概念和l y a p u n o v 稳定性理论 以及l a r i c 控制系统的基本问题，最后再介绍几个后面的结论要用到的引理。 2 1 连续动态系统的数学模型描述和稳定性概念 一个一般的连续时间动态的状态空间模型具有如下形式： 章g ) = ( x o ) ，“o ) ，f ) ，工( f 0 ) 一x o ( 2 - 1 ) y ；g ( x ( f ) ，“( f ) ，f )( 2 2 ) 其中x e r 4 ，y e r ”，“6 r 7 分别表示系统的状态向量、输出向量和控制向量， ，( ，) 为厅维向量函数，g ( ，) 为肌维向量函数，t 为时间变量，同时向量方程( 2 1 ) 称为系统的状态方程，( 2 3 ) 称为系统的量测方程。 当式( 2 1 ) 和( 2 2 ) 中向量函数均为x o ) 和“( f ) 的线性函数时，即： 厂( x o ) ，o ) ，f ) t 血( f ) + 口“o ) g ( x ( f ) ，u ( o ，f ) = c x ( t ) + d “o ) 时，系统( 2 1 ) 和( 2 2 ) 称为线性连续系统，即： ( 2 3 ) ( 2 q 莺o ) - 一o 皿o ) + 口( f ) “o ) ( 2 - 5 ) y o ) i c o 弦o ) + d o 姐o ) ( 2 6 ) 其中爿( f ) r ，b ( t ) e w ”，c ( t ) e r “”，d ( t ) e r 分别为系统矩阵，控制 输入矩阵，量测矩阵和反馈矩阵。系统( 2 1 ) 和( 2 2 ) 称为非线性连续系统。 特别地，当矩阵4 0 ) ，8 ( f ) ，c ( t ) ， 定常线性系统，即： 圣( f ) - a x ( t ) + b u ( t ) y ( f ) 一c x ( f ) + d “o ) d o ) 均与f 无关时，系统( 2 5 ) 和( 2 - 6 ) 称为 而系统( 2 - 5 ) 和( 2 6 ) 称为时变线性系统。 当上述各项系统中无控制输入项“o ) 时，相应的系统称为自由系统。 7 ( 2 - 7 ) ( 2 8 ) 电子科技大学硕士学位论文 对于由泛函方程所描述的自治系统 童o ) 一f ( x ，f ) ，x ( t o ) 一x o ，t 之t o ( 2 9 ) 其中x 为n 维状态向量，( ，) 为，l 维向量函数。进而，如果系统为定常的，则其状 态方程( 2 - 9 ) 将不显含f ；如果系统为线性，那么方程( 2 9 ) 中，( ，) 为x 的线性函数， 即 膏( f ) 一a ( t ) x ，x ( t o ) = 而，t - t o( 2 1 0 ) 对于由泛函微分方程所描述的自治系统 圣( f ) 一f ( x ，f )( 2 - 1 1 ) 当在任意时间都能满足 ，化，f ) ；0 时，称t 为系统的平衡状态。 对于线性定常系统 圣一a x ( t ) 当a 为非奇异时，x 一0 是唯一的平衡状态；如果a 是奇异的，则有无穷多解，系 统有无穷多个平衡点。对于非线性系统，一般有一个或多个平衡状态。 下面介绍平衡点xtx 的 稳定性概念。el y a p u n o v 定义2 1 1 t 矧设x 。为动力学系统圣o ) - f ( x ，f ) 的一个孤立的平衡状态。如果对 球域s 0 ) 或任意正实数，0 ，都可以找到另一个正实数6 ( ，t o ) 或球域s p ) ，当初 始状态满足0 一忙6 ( p ，f o ) 时，由此出发的x 的运动轨迹定有脚i ! x o t 4 s s ， 则此系统为l y a p u n o v 意义下的稳定。如果6 于初始目寸n t o 无关，则称平衡状态t 为 一致稳定。 定义2 1 2 1 5 2 i 设石。为动力学系统i ( t ) if ( x ，f ) 的孤立平衡状态，如果它是稳定 的，且从充分靠近t 的一个初始状态x o 出发的运动轨迹有墅婴i k t 0 一。或者 1 i m ( 而一) - o ( i - l 2 , 撑) ，即收敛于平衡状态以，则称平衡状态t 为渐近稳定。 如果6 与初始时亥t t o 无关，则称平衡状态t 为一致渐近稳定。如果对状态空间中的 任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性。即l i m ( 而一h ) 一o ( i - 1 ，2 ，万) 对所有点成立，则称平衡状态t 为大范围渐近稳定。 定义2 1 3 t ”l 如果平衡状态x ，既不是渐近稳定的，也不是稳定的，当t t o 并 8 第二章连续系统l y a p u n o v 稳定性理论 无限增大时，从出发的运动轨迹最终超越s 0 ) 域，则称平衡状态x 。为不稳定的。 2 2l y a p u n o v 稳定性理论 下面介绍连续时间系统 圣a f ，f ) 其中1 ( o , 0 一o ( t o ) 定理2 2 1 例对于连续系统( 2 1 3 ) ， 存在，并且满足以下条件： ( 2 1 3 ) 如果有连续阶偏导数的标量函数矿o ，t ) ( 1 ) v o ，f ) 是正定的； ( 2 ) y ，f ) 是负定的。 则系统在原点的平衡状态是渐近稳定的。如果随着一m ，有v ( x ，t ) 一。o ，则在 原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的。 定理2 2 2 i s 2 对于连续系统( 2 1 3 ) ，如果存在一标量函数v ( x ，t ) ，它具有连续 的一阶偏导数，且满足下列条件： ( 1 ) v 0 ，f ) 是正定的； ( 2 ) 矿o ，f ) 是负半定的； ( 3 ) 矿 ( f ，x 0 ，t o ) ，f ) 对任意f o 和任意而- o 在t 苫t o 时不恒为零。 则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果还有俐一* ，v o ，t ) 一* ，则为大 范围渐近稳定。( 式中o ( t ，而，t o ) 表示t = t o 时从出发的轨迹线) 定理2 2 j i 矧对于连续系统( 2 1 3 ) ，如果存在一标量函数v ( x ，t ) ，它具有连续 的一阶偏导数，且满足下列条件： ( 1 ) v 0 ，f ) 是正定的； ( 2 ) 矿 ，f ) 是负半定的，但是在某一x 值恒为零。 则系统在原点处的平衡状态在l y a p u n o v 定义下是稳定的，但非渐近稳定。 定理2 2 4 吲对于连续系统( 2 - 1 3 ) ，如果存在一标量函数v ( x ，t ) ，它具有连续 的一阶偏导数，且满足下列条件： ( 1 ) y “f ) 在原点的某邻域内是正定的； ( 2 ) 矿o ，f ) 在同样的邻域内是正定的。 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。 9 电子科技大学硕士学位论文 2 3l u r i e 型非线性控制系统 1 9 4 4 年前后，前苏联数学控制专家l u r i e 从飞机自动驾驶仪的研究中提出了如 下形式的微分方程组： 式中x 彤是状态向量，b ，c e r “是已知向量，仃是反馈向量，f ( a 、是非线 性函数，具体表达式未知，仅知道它属于某类函数集墨。州，互。朋，只。这里 ：一 ，f ，( 0 ) 一o ，o c a f ( t r ) s k a 2 ，盯一o ) 啪一 f i f ( o ) 。0 ，0 c a f ( a ) t k e y 2 ，盯一o ) 只- ，l ，( o ) t o ，0 o ( v e 0 ，0 ss k ) ，矩阵爿+ e b c 稳定； ( 2 ) r e a ) s 0 ，即的所有特征值全部在复平面的闭左半平面内； ( 3 ) c r b s 0 。 1 1 电子科技大学硕士学位论文 第三章l u f i e 控制系统的鲁棒绝对稳定性问题 下面的内容是针对几种典型的l u r i e 控制系统的模型，给出绝对稳定性的充分 条件，且这些充分条件都是基于线性矩阵不等式方法的，因此有必要介绍一下线 性矩阵不等式方法。 3 1 线性矩阵不等式( l m i ) 方法 近十年来，随着鲁棒控制理论的不断发展，线性矩阵不等式( l m i ) 也取得了很 大的发展，被广泛应用于系统的分析、设计和系统辨识中。随着解决线性矩阵不 等式的内点法的提出，m a t l a b 软件中l m i 工具箱的推出，线性矩阵不等式这一工 具越来越受到人们的注意和重视，应用l m i 来解决系统与控制问题已经成为这些 领域中的一大研究热点。 一个线性矩阵不等式就是具有如下形式闱： f ( x ) | t 磊+ 五互+ 工2 e4 - - - + 巴 0( 3 1 ) 的一个表达式。其中t ( f l 2 ，) 是m 个实数变量，称为线性矩阵不等式( 3 1 ) 的 决策变量。x 一瓴，x 2 ，) f e r 4 是由决策变量构成的向量，称为决策向量， 互i f r o l o ，1 ，m ) 是一组给定的实对称矩阵，( 3 1 ) 式中的不等号“ ”指的 是矩阵f 仁) 是负定的，即对所有的非零向量z 彤，z * f ( x ) zc0 ，或者f b ) 的 最大特征值小于零。 在许多系统与控制问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的，例如l y a p u n o v 矩阵不等式： f ( x ) 一彳2 z + j 么+ q 0 为常数时滞。a ，b e r ；c ，d ，e r “。，( ) f k d i a g ( k 1 ，k 2 ，k 。) ，k i 苫o ，i - 1 ，2 ，i n 。o q ) 。( ( ( f ) ，o z ( t )