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非线性二次矩阵方程数值分析 摘要 在最优控制理论，随机过程控制，系统结构分析，振动理论等 多个领域经常出现一类非线性二次矩阵方程 q ( x ) = a x 2 + b x + c = 0 ，a ，b ，c ，x c 脓” 的求解问题，对于此类方程解的讨论具有非常重要的意义。本文主 要研究该类矩阵方程解的数值算法。 首先，本文运用二次特征值和广义舒尔分解理论研究了二次矩 阵方程解的存在性充分条件及解的个数问题，给出有关解的特征理 论，并给出了二次矩阵方程的条件数以及解的向后误差分析。 其次，本文给出了二次矩阵方程的符号求解方法，以及基于二 次特征值和舒尔分解理论的数值方法，并研究了二次矩阵方程的牛 顿和牛顿下山数值迭代方法，分别讨论了各迭代序列的收敛性。 另外，本文研究了二次矩阵方程的非线性最优化数值方法，讨 论了非线性二次矩阵方程的共轭梯度数值算法，并对该算法的收敛 性进行了理论证明，得到了相应的结论。 最后，本文运用波形松弛多分裂方法，对二次矩阵方程进行了 有关并行多分裂算法的研究，得到了并行多分裂迭代算法的收敛性 定理。同时，在并行多分裂算法的基础上，引入牛顿法，提出了非 线性多分裂牛顿数值方法，并运用积分中值定理，证明了关于多分 裂牛顿迭代方法的二次收敛性，大大提高了运算效率。本文还就各 数值方法进行了比较，给出了相应的数值示例。 关键词：二次矩阵方程，牛顿法，牛顿下山法，共轭梯度法，并行 算法，并行多分裂法，非线性多分裂牛顿法，波形松弛方法 n u m e r i c a la n a l y s i so fn o n l i n e a r q u a d r a t i cm a t r i xe q u a t i o n a b s t r a c t t h i s p a p e r c o n s i d e rt h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a l a l g o r i t h m f o r s o l v i n gan o n l i n e a rq u a d r a t i cm a t r i xe q u a t i o n q ( x ) = 么。y 2 + 丑x + c = 0 ，a ，b ，c ，x c 脓”， w h i c ho c c u r si nav a r i e t yo fa p p l i c a t i o n sa n da r i s e si nt h eo p t i m a l c o n t r o lt h e o r y ，s t o c h a s t i cp r o c e s sc o n t r o l ，a n a l y s i so fs t r u c t u r a ls y s t e m a n dv i b r a t i o nt h e o r ye t c f i r s t ，w ec h a r a c t e r i z et h ee x i s t e n c ea n dt h en u m b e ro fs o l v e n t so f t h eq u a d r a t i cm a t r i xe q u a t i o nu s i n gt h eq u a d r a t i ce i g e n v a l u ep r o b l e m a n dt h eg e n e r a l i z e ds c h u rd e c o m p o s i t i o n a l s ow eg i v ec h a r a c t e r i s t i c t h e o r yo fs o l v e n t s a tt h es a m et i m e ，w ed e r i v eac o n d i t i o nn u m b e rf o r t h ep r o b l e ma n ds h o wh o wt oc o m p u t et h eb a c k w a r de r r o ro fa n a p p r o x i m a t es o l v e n t s e c o n d ，f o rf i n d i n gs o l v e n t so ft h eq u a d r a t i cm a t r i xe q u a t i o nw e c o n s i d e r s y m b o l i c s o l u t i o na n ds e v e r a ln u m e r i c a lm e t h o d sf o r c o m p u t i n gs o l v e n t sb a s e do nt h et h e o r yo ft h eq u a d r a t i ce i g e n v a l u ea n d t h e g e n e r a l i z e ds c h u rd e c o m p o s i t i o n a l s o w es t u d i e dn e w t o n s m e t h o d sw i t ha n dw i t h o u te x a c tl i n es e a r c h e sf o rs o l v i n gt h eq u a d r a t i c m a t r i xe q u a t i o n ，a n dd i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo ft h ec o r r e s p o n d i n g i t e r a t i v es e q u e n c e s t h i r d ，w eg i v e a t h o r o u g h t r e a t m e n to fn o n l i n e a ro p t i m a l n u m e r i c a lm e t h o d ，a n ds t u d yt h ec o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d ，a l s oo b t a i n t h ec o n v e r g e n c eo ft h i sa l g o r i t h m f i n a l l y , w es t u d yt h ew a v e f o r mr e l a x a t i o nm e t h o df o rs o l v i n gt h e q u a d r a t i c m a t r i x e q u a t i o n ，o b t a i n t h e c o n v e r g e n c e t h e o r e m w e i n c o r p o r a t en e w t o ni n t op a r a l l e lm u l t i s p l i t t i n gm e t h o d ，a n dg i v e a n o n l i n e a rm u l t i s p l i t t i n g n e w t o n i t e r a t i v ea l g o r i t h m ， a n do b t a i na c o n v e r g e n c e t h e o r e mt h a tt h ec o n v e r g e n c e r a t ei sq u a d r a t i c a l l yb y m a k i n gu s eo fi n t e g r a lm e a n v a l u et h e o r e m a l s ow ei l l u s t r a t e s o m e n u m e r i c a le x p e r i m e n t sf o rt h ed i f f e r e n ta l g o r i t h m s k e yw o r d s ：q u a d r a t i cm a t r i xe q u a t i o n ，n e w t o nm e t h o d ，n e w t o n d e s c e n tm e t h o d ，c o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d ，p a r a l l e la l g o r i t h m ，p a r a l l e l m u l t i s p l i t t i n g m e t h o d ，n o n l i n e a rm u l t i s p l i t t i n g n e w t o n m e t h o d ， w a v e f o r mr e l a x a t i o nm e t h o d i i i t r a c e ( a ) 符号说明 1 1 1 1 维复空间 矩阵彳的转置 复数域右半平面 复数域左半平面 二次矩阵方程在x 处的弗雷谢导数 矩阵彳的转置共轭 矩阵么的行列式值 矩阵么的f r o b e n i u s 范数 f ( x ) 的梯度 矩阵x 的列拉直向量 矩阵彳的迹 i v ) d 由 的 ，i、r卜 p ，lq仗姒龇耵嘣 非线性二次矩阵方程数值分析 原创性声明及关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 日期：盈巨乒l 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解陕西科技大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅；本人授权陕西科技大学可以将本学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。同时授权中国科学技 术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并 通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：臻导师签名：蚴期：2 q q 基生 非线性二次矩阵方程数值分析 1绪论 矩阵代数理论在1 9 世纪中叶由c a y l e y 提出，经过一个多世纪的发展，可 以很好的解决分析并计算各种系统结构问题。然而在现实生活中，我们所碰见 的多数是非线性问题，尤其是在控制理论中，经常遇见的是非线性代数方程 【，l 。本文所要讨论的则是常见于最优控制理论，随机过程控制 1 4 1 5 】，系统结构 分析【m 】，振动理论 t t l 等多个领域中更为一般的二次矩阵方程 q ( x ) = 彳x 2 + b x + c = 0 ，a ，b ，c ，x c 删一 ( 1 1 ) 如果一个矩阵s 满足q ( s ) = 0 ，则我们称矩阵s 为二次矩阵方程( 1 1 ) 的 解。为了区分矩阵方程 x 2 么+ 叉露+ c = 0 ，a ，b ，c ，x c 一埘 ( 1 - l a ) 的解，我们把( 1 1 ) 的解称为右解，而把( 1 1 a ) 的解称为左解。将方程( 1 1 a ) 经过转置 彳t ( y t ) 2 + b t x t + c t = 0 ，a ，b ，c ，x c 舢 ( 1 - l b ) 可以看到该方程仍为( 1 1 ) ，故在本论文中只考虑( 1 1 ) 的数值解法。 1 1研究背景 “ 在许多动力学控制问题中，我们经常遇到求解一个非线性方程组成的系统 做+ b 譬+ c x = 厂( f ) 。对于此问题，我们一般是根据微分方程理论，先求出其特征 方程的解，然后通过特征值来分析，还有一种方法是将其转化为矩阵方程，进 而求出矩阵方程的解，然后运用代数特征值理论来分析。下面我们通过一些实 例，来说明二次矩阵方程的应用背景。 例1 1 1两连杆机器人 图1 1 双臂机器人示意图 f i g1 1s k e t c h - m a po fb i n a r y a r mr o b o t i 陕西科技大学硕士学位论文 考虑如图1 1 所示的两连杆机器人，根据分析力学中的h a m i l t o n 原理，我 们可得其动力学方程 省+ b 口+ 季( g ) = f ( 1 - 2 ) 其中q = ( 以厂) t 为机器人的广义位移坐标向量；m = 肘( g ) 为惯量矩阵：b = b ( g ，雪) 为哥氏力及离心力项；季( 鸟) 为重力项或未知扰动；f 为控制力矩向量。 m l = ( 观+ ) 2 + 历2 孑+ 2 吒吒c o s 7 ，m 2 = 鸩l = 孑+ ，i 吃c o s 7 ，心= 孑+ 以， 且l = - 2 m 2 r l r z ) ； s i n y ，垦2 = 一m 2 r l r 2 f , s i n 7 ，岛l = m 2 q r 2 j s i n y ，岛2 = 0 ， 岛= 1 ( 确+ 鸭) 吒c o s s + m 2 r z c o s ( 0 + 力】g ，受= 一m 2 r 2 9 c o s ( 0 + y ) 例1 1 2移动机器人 图l 2 移动机器人示意图 f i g1 - 2s k e t c h m a po fm o b i l er o b o t 考虑如图1 2 所示的典型三轮移动机器人，它由具有两个同轴的驱动轮和 一个辅助前轮的小车组成，后轮两个独立的电机驱动其移动。其中( x ，d 为惯 性坐标系；( 五，誓) 为小车坐标系；q 为小车的几何中心，即小车轮轴的中点， 其惯性坐标为( x q ，均) ；c 为小车重心坐标，其惯性坐标为( x c ，y c ) ；b 为驱动轮 与q 点之间的距离；，为驱动轮半径；m 为小车及负载重量；i 为小车在轴上绕 c 点的转动惯量；d 为点q 与点c 之间的距离；( x ，力为小车轮轴中心点q 在惯 性坐标系中的位置：8 为坐标系 q ，五，k ) 和惯性坐标系之间的夹角。由图1 2 知( 屹，虼) = ( x + d c o s 8 ，y + d s i n o ，为使小车在运动时不存在打滑现象，即小车只 能在与驱动轮轴垂直的方向上运动，必须满足纯滚动和无打滑条件 站c o s 8 一s i n 8 一彩= 0 ( 1 - 3 ) 2 例1 1 3 牛顿摆 非线性二次矩阵方程数值分析 图1 - 3 牛顿摆示意图 f i g1 3s k e t c h m a po fn e w t o n sp e n d u l u m 考虑如图1 3 所示的在重力作用下摆动的牛顿摆，假设摆的长度为，质 量为m 集中在摆的末端，摩擦阻尼具有黏性，摩擦系数为d ，其运动方程 m l o + d o + m g s i n 8 = 0 当m ，z ，d 取定时，可以做出其轨线的相图。 丙 哥 已 叁 x x 图1 4 运用m a t l a b 作出的相图 f i g1 - 4p h a s eg r a p h i cu s i n gm a t l a b 图l - 5 运用m a t l a b 作出的增广相振动图 f i g1 - 5g e n e r a l i z e dp h a s ev i b r a t i o ng r a p h i cu s i n gm a t l a b ( 1 4 ) -苗暑告-乏苷芒口 陕西科技大学硕士学位论文 - _ - _ - - l l i _ _ _ - _ _ _ l - _ - - - - _ _ - - _ 一1 1 一 i l _ - _ _ i _ _ _ - _ - _ - - _ - _ - i _ l - - t h ep h a s eg r a p h i c y 图1 6 运用m a p l e 作出的相图 f i g1 - 6p h a s eg r a p h i cu s i n gm a p l e 例1 1 4 质量弹簧系统 f 0 ) 图1 7 多自由度系统实物示意图 f i g1 - 7s k e t c h m a po fm u l t i f r e ed e g r e es y s t e m 考虑如图1 7 所示的多自由度质量弹簧系统，根据动力学知识来建立方程 旌+ 擞+ k x = g u 当分别取参数m = l ，q = 乞= c 3 = 4 ，k = 3 时，运动方程 ( 1 5 ) m 墨兰； 差 + c 丢三 耋 + 七 吾三 蒌 = ； 甜 c - 6 ) 对于此方程，我们可以将其转化为状态方程，并运用m a t l a b 进行仿真。 图1 8 运用m a t l a b 作出的任意状态运动图 f i g1 - 8m o t i o ng r a p h i co fs t a t ev a r i a b l e su s i n gm a t l a b 4 非线性二次矩阵方程数值分析 由上面的几个例子我们可以看到，尽管描述的现象不同，即所描述的实际 背景不同，但其共同特点皆为微分二阶系统，要对其进行分析，求解，亦可转 化为对最为一般的二次矩阵方程( 1 1 ) 进行分析求解。总之，矩阵代数广泛 存在于各种实际问题中，而二次矩阵方程问题更是有着深刻的物理背景和广泛 的应用背景。 1 2 研究现状 由前面的分析我们可知二次矩阵方程( 1 1 ) 的广泛应用性已引起了很多 学者的关注，但由于其复杂性，以及和二次特征值问题 q ( 五) x = ( 见2 a + a b + c ) x = 0 ， a ，b ，c c ”跏，五c ，x 0 c 玎 ( 1 - 7 ) 的紧密联系，亦使得其研究具有很大的难度，并产生了复杂的矩阵方程( 组) 分支问题，同时也使得其和其他特殊矩阵方程，诸如l y a p u n o v 矩阵方程 ij 9 - 2 5 1 a x + x b = c ，彳，b ，c c ，s y l v e s t e r 矩阵方程 2 6 3 0 1 a x b + c x d = e ，彳，b ， c ，d ，e c 脚等的研究结合的更加紧密。下面我们就二次矩阵方程( 1 1 ) 目前的主要研究成果以及研究方法作以介绍。 在文献【31 - 3 3 】中，g j d a v i s 对二次矩阵方程f ( x ) = 似2 + 戤+ c = 0 作了 扰动理论分析，并详细给出了牛顿三角形化迭代方法的算法以及相应的误差分 析。 算法1 2 1牛顿三角形化迭代法( s q u i n t - - s o l v i n gt h eq u a d r a t i cb yi t e r a t i n gn e w t o n t r i a n g u l a r i z a t i o n ) 迭代格式：k l = 五- r , ，其中z = f 。( 五) 1 f ( 五) ，f = r 1 ，2 ， 下面我们主要叙述修正项霉的数值算法，由于乃是系统( 戤+ b ) 巧+ 彳互五= f ( 五) ， ( f = 0 ，1 ，2 ，) 的解，则我们可以使用酉变换使得戗+ 召和彳变为上三角形式，而置变 为下三角形式。 s t e p l ：寻找酉矩阵q 和z 使得q ( 戤+ b ) z = u l ，q a z = 为上三角形式； s t e p 2 ：寻找一个酉矩阵尺使得r h z r = 三为下三角形式； s t e p 3 ：将上述变换代入修正项z 中，改写互为( q h u z h ) 霉+ ( q h z h ) 巧( 肚r h ) = f ( 五) ， 同时计算系统u - 4 - i 三= 鲈( 五) r 中的r = z h z r ； s t e p 4 ：计算霉= z r 尺日 对于特殊的二次矩阵方程x 2 一e x f = 0 ，e ，f ，x r “”且e 是对角矩 阵，同时f 是m 矩阵 3 4 m 】，c h u n h u ag u o 在文献【3 6 】中作了一些研究。主要是 通过将上面的二次矩阵方程转化为一类特殊的非对称代数r i e e a t i 方程 5 陕西科技大学硕士学位论文 ( a l g e b r a lr i c c a t ie q u a t i o n 。a r e ) ，然后运用直积运算，将方程转化为方程组， 从而给出了迭代算法，得到了几个定理。 令y = 口，一x ，贝i j x 2 一点x f = 0 ，e ，f ，x 乏删一 ( 1 - 8 ) 变为 】，2 一】，( 口，) 一( a i e ) 】，+ ( 口2 i - a e - f ) = 0 ( 1 - 9 ) 如果取参数口满足口 0 ，口2 i a e f 0 ，同时令q ，z 分别为e 和f 的主对角 线上的第f 个元素，则很容易得到所有口的集合( a o ，0 0 】， 且 ：m a x ( e , + 露+ 4 z 彳 0 。当，为非奇异m 矩阵或者为不可约奇异m 矩阵 时，令& 为( 1 - 9 ) 的一个最小非负解，并令工= ( 口：，墨一f - c 矗e ，口， 则我们可以得到下面的定理。 定理1 2 1如果f 是一个非奇异m 矩阵，且d 是一个正向量有f v 0 ，那 么三有刀个特征值在c 上和诈个特征值在c 。上，且a i - & 是一个非奇异m - 矩 阵，同时& p 口d ；如果f 是一个不可约奇异m 矩阵，且u ，d 是正向量有f v = 0 和 t f = 0 ，则 i ) 如果u t e o = 0 ，那么工有刀一1 个特征值在c ，上和刀一1 个特征值在c 。上， 而另外有两个零特征值，且仅有一个线性无关的特征向量，同时口，一瓯是一个 不可约奇异m 矩阵有& u = 口d ； i i ) 如果u t e o 0 ，那么有n 个特征值在c ，上和玎一1 个特征值在c 。上， 另外有一个零特征值，同时口，一& 是一个不可约非奇异m 矩阵有s o 口d 。 定理1 2 2如果f 是一个非奇异m 矩阵，那么二次矩阵方程( 1 8 ) 有一 个确定的非奇异m 矩阵解；如果f 是一个不可约奇异m 矩阵，那么二次矩阵 方程( 1 8 ) 有m 。矩阵解，且每个m 矩阵解的所有元素都是非零的。对定理 1 2 1 中的i ) ，i i ) 而言，二次矩阵方程( 1 8 ) 有个确定的奇异m 矩阵解； 对定理1 2 1 中的i i i ) 而言，二次矩阵方程( 1 8 ) 有一个确定的非奇异m 矩 阵解，但可能也有奇异m 矩阵解。 例1 2 1 令e = ( 三二) ，f = ( 二，- ，1 ，显然满足定理t 2 中的- z - ，那 6 非线性二次矩阵方程数值分析 么我们可以发现相应的二次矩阵方程有两个m 矩阵解f - 0 2 2 2 7 7 0 。3 3 ：乏等) 和 匕臻裟) ，且一个腓奇异的，另一个是奇异的。 令口= ，则我们可以对( i - 9 ) 应用牛顿迭代法，有迭代格式 ( 口，一e 一影) 曩l + 瓦l ( 口，一巧) = 口2 i - a e - f - y j 2 ，i = 0 ，1 ， ( 1 1 0 ) 定理1 2 3 对于上述迭代格式( 1 1 0 ) ，我们令虼= 0 ，则产生的迭代序列 z ) 相对定理1 2 1 中的i ) 而言，二次收敛或者以l 2 的速率线性收敛到& ； 而对于定理1 2 1 中的其他情况而言，则是二次收敛到& 。 如果令a = 0 ，b = i ，c = 一c ，那么方程( 1 - 1 ) 变为 f ( x ) = x 2 一c = 0 ( 1 - i i ) 我们称满足f ( s ) ；0 的矩阵s 为c 的矩阵方根。下面我们定义c 的一个特殊的矩 阵方根c ，如果c 必没有非正实特征值，即( c ) 2 ：c 且对于所有的七， r c 五( c ) 0 ，其中五( c ) 为c 的特征值，则称c 必为c 的唯一的矩阵方根。 定义1 2 1 设c c 删有p 个不同的特征值 ，五，以，且重数分别为 嘲，鸭，m p ，满足+ + + = 刀 则存在一个唯一的非奇异矩阵l ，满足 c = 阿】，一1 c m 晰 其中 ，= d 诹( 以( 五) ，以( 如) ，( 以”，以( 五) = 五 i 0 o 五 1 五 c 弧碘 j 称为c 的若当规范型，以称为着当块。 定义1 2 2 矩阵函数m ，1如果c 有j p 个不同的特征值，我们定义 y ( a ) = n ( 名一五) ，其中仇为相应丸的最大若当块的维数，则我们称厂气丸) k - ! ( 0 ，- i ，l 七s ) 为函数厂在矩阵c 的谱上的值；如果厂是定义在矩阵c 谱上的函数，则f ( c ) = 厂( c ) ，且满足插值条件 r u ) ( 五) = f t ) ( 以) ，0 喙- i ，1 七s 7 陕西科技大学硕士学位论文 其中，是一个特殊的l a g r a n g e - s y l v e s t e r 插值多项式，且度数小于圭像：d e g y 例m 2 m 卜匕1 + 吲a 2 2 叫，口比可以看到对于一个矩阵c ，存 在矩阵方根但不是矩阵函数。 引理1 2 i t 9 l对于五0 的若当块以( 五) 恰好有两个上三对角矩阵方根 z ：；，= 牟( 以) = 小) - 1 ) ! 。小) _ 2 ) ! i ；。i 00 乃( 五) ，= l ，2 其中乃( 允) = 口，名乃，q = 1 ，= - 1 ，且指标j 表示了方根在五邻域的分枝。 定理1 2 4 令c 是非奇异的，有若当规范型以( 如) c = 阿y 。1 c 脚 其中，= 咖( 以( ) ，以( 如) ，以( 以) ) ；且令s p ( p 为c 的不同特征值的个数) ， 则c 恰好有2 5 个方根是矩阵c 的函数 x ，= y d i a g ( 1 瑶j o , 墨夕，墨，) 】，一，1s 2 5 相应的五是l 或者2 ，( k = l ，2 ，p ) ，且满足当以= 五时z = 五；如果s o o 时，丑哼c ， q 专c 一 最后我们介绍另外一个比较优秀的算法一一舒尔方法 4 4 ，4 5 ，计算式( 1 1 1 ) 中的矩阵c 的舒尔分解 c = q r q h 其中q 为酉矩阵，丁是上三角矩阵。如果我们可以找到一个上三角矩阵【，满足 ( ，2 ：丁 这时，可以取y ( x ) 的矩阵方根为 9 陕西科技大学硕士学位论文 s = q u q 爿 关于上三角矩阵的矩阵方根计算可参阅文献 3 9 】，【4 5 】，【4 6 】。 1 3 非线性矩阵方程的微商 在研究二次矩阵方程( 1 1 ) 的数值解法前，为了方便以后的理论分析， 下面我们首先给出一般非线性矩阵方程g ( x ) = 0 ( g ：c 雕一_ c 职”) 微商的定义。 定义1 3 1如果g ( x + e ) 一g ( x ) = g ( x ) e + g ( e ) ，其中g ：c 踟专c 删”，g ( x ) 是有界线性算子， u e i i - 0 “皆北我们称函数g 在x 上弗雷谢可 微，同时称g ( x ) e 为在方向e 上的弗雷谢导数。 下面我们根据定义1 3 1 来计算二次矩阵方程( 1 1 ) 的弗雷谢导数 q ( x + e ) = 彳+ e ) 2 + j 5 f ( x + e ) “ ( 1 1 5 ) = q ( x ) + ( 彳e y + ( 彳x + b ) e ) + a e 2 从定义i 3 i 我们可以很快地得到二次矩阵方程( 1 i ) 在x 处的弗雷谢导数 巩( e ) 嚣a e x + ( 以x + b ) e ( 1 1 6 ) 简记为巩( e ) 1 4 本文研究工作 本文针对一类二次矩阵方程数值分析理论进行了论述与研究，包括内容有 l 、二次矩阵方程解的存在性条件，解的个数，以及二次矩阵方程近似解的向 后误差( b a c k w a r de r r o r ) 计算；2 、二次矩阵方程解的数值迭代方法( i t e r a t i o n m e t h o d s ) ，如牛顿迭代法( n e w t o ni t e r a t i o nm e t h o d ) ，广义舒尔算法( g e n e r a l i z e d s c h u ra l g o r i t h m ) ，海森伯格- 舒尔算法( h e s s e n b e r g - s e h u ra l g o r i t h m ) ，牛顿下 山法( n e w t o nd e s c e n tm e t h o d ) ；3 、共轭梯度法( c o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d ) ； 4 、二次矩阵方程的波形松弛多分裂( w a v e f o r mr e l a x a t i o nm u l t i - s p l i t t i n g ) 数 值解法。 l o 非线性二次矩阵方程数值分析 2 二次矩阵方程的可解性及其解的扰动性 这章将考虑关于二次矩阵方程( 1 1 ) 的解的存在性条件及解的个数问题。 首先，可以很快的由( 1 1 1 ) 的矩阵方根解的理论，知道二次矩阵方程可能没 有解，或者有有限个解，甚至无穷多个解。由于二次矩阵方程( 1 1 ) 和二次 特征值问题( 1 - 7 ) 的紧密联系，所以我们可以通过对二次特征值问题进行处 理，以此来得到关于二次矩阵方程解的存在性条件。同时，我们也可以通过直 接分析方程，研究解的存在性充分条件以及有关解的特征。 2 1 解的存在性条件及解的个数 2 1 1 数值二次方程规则的应用 在考虑二次矩阵方程( 1 1 ) 解的存在性条件时，很自然的一个想法是我 们能否用数值二次方程解的存在性条件? 令彳= ，。b 和c 可交换，且曰2 4 c 有 矩阵方根，则我们可以应用数值二次方程解的存在性条件到二次矩阵方程 ( 1 1 ) 上，并得到方程( 1 1 ) 的解 s = 一兰召+ 丢( b 2 4 c ) ( 2 - 1 ) 其中4 表示彳的任一方根。如果假设彳，丑皆为单位矩阵，则方程( 1 1 ) 可 写为 x 2 + x + c ：0( 2 2 ) 同时，如果( ，一4 c ) 必是非奇异的，则( 2 1 ) 也可以应用到( 2 - 2 ) 上。令j 一4 c 是一个埃尔米特正定矩阵，则方程( 2 - 2 ) 有一个埃尔米特解 s = 一i 七q 一4 c ) 22 、 定理2 1 1 f ，9 】任意一个埃尔米特正定矩阵都有唯一的一个埃尔米特正定 方根。 定理2 1 2如果c 为一个给定的埃尔米特矩阵，则方程( 2 - 2 ) 有一个埃 ， 尔米特矩阵解当且仅当五( c ) c ( 咱， ，其中z ( c ) 是矩阵c 的谱 证明由于c = 一( 彳2 + x ) 是一个关于x 的多项式，c ，z 可以同时对角化。 陕西科技大学硕士学位论文 因此，存在一个酉矩阵u ，使得 u x u x ：d ，u c u = a 其中j d ，人分别为x 和c 的特征值的对角矩阵。此时，方程( 2 - 2 ) 可以转化为 d 2 + d + 人= 0 且对角线元素满足 砰+ 珥+ 以= 0 ，j = l ，2 ，力 这样可以计算出面= j 1 ( 一l 历) ，显然当五丢时，喀是实的。 证毕 x u 和l u 在文献【4 8 】证明了当a = i ，b 和c 同时对角化时解的存在性定 理。( 注意如果b 和c 可交换，则这个条件仍然满足 s o j ) 定理2 1 3 t * t l假设存在一个非奇异矩阵u 使得秀= u b u 一= ( 砖) 和 否= u c u = ( 磊) 同时为上三角矩阵。如果有或，见：，死c 满足 i ) 。露+ 五l 歹! | + c ：i i = o ，i = l ，2 ，”； i i ) 如果或= 轧，则或- - c “o 且如果兑乃，那么或+ 以死+ o ，i j 则x 2 + 戤+ c = o 有解y = u 一1 魄) u ，其中哥= ( 或) 是上三角矩阵。 2 1 2 解的存在性 e i s e n f e l d 4 9 利用压缩映射原理证明了二次矩阵方程( 1 一1 ) 至少存在两个 解的充分性条件。 定理2 1 4 1 4 9 1 令4 ，b ，c 是非奇异的，且 4 1 b 。钏矿1 c 8 l 则q ( x ) 至少存在两个解。 定理2 1 5 t s o l 令b 是非奇异的，且满足 4 眇i i a i i1 1 8 - c 1 1 - 艿 l 和1 一( 1 4 万) _ 2 l i b 一1 弛l i l 则二次矩阵方程q ( x ) 存在一个解s 满足l i n l 以= s ，其中，鼍= ( b + 矾一。) 一c p l a n c a s t e r 和j o ng r o k n e 在文献【5 1 】中通过k a n t o r o v i c h 定理( 见第4 1 2 非线性二次矩阵方程数值分析 章) 也证明了一些解的存在充分性条件。 定理2 1 6 t s j 令口是非奇异的，且满足 h - 4 1 1 b 。钏c l i - i 同时定义 f 2 羽1 ( 1 一商，2 相( 1 + 厕 则q ( x ) = o 在球体s = x ：l i x l l _ t ) 上有一个解，且在r = x ：x f ”) 上唯一。 定理2 1 7令彳，召是非奇异的，设 h - 4 1 1 8 q 彳l | 1 1 4 。1 c b 一么0 l ，和，”如定理2 1 6 所示，则q ( x ) = o 在球体s = x ：i x + a 一1 b l l t 上有一个解， 且在丁= x ：i x + a 。b 0 4 k 似) k ( c ) ，则条件( 2 - 3 ) 肯定满足，其 中k ，缸分别表示相应的最大和最小特征值。 2 1 4 基于二次特征值理论的二次矩阵方程解的存在性 对于二次矩阵方程( 1 1 ) ，关于解的存在性及其解的结构我们可以经过二 次特征值问题( 1 7 ) 来分析，也可以直接进行分析。下面主要介绍基于特征 值理论的广义舒尔分解方法。首先注意到二次矩阵方程可能没有解，或者是有 限个解，当然还有可能是无穷多个解。 例2 1 1令a = ，b = 0 , c = 0 ，则q ( ) = x 2 = 0 ，同时我们取阶数刀= 2 ，显 然我们可以计算该方程有无穷多个解，且其解的形式为：x ：f 口 6 1 ，其中 k c 川 口0 ，a 2 = b c 显然此解包括0 解。 例2 。1 2 令彳= l b = ( - 1 ：) ，c = ( 三：刁，则我们可以经过计算知道该方 程只有五个解 ( 三呈 ，( 三；) ，( ； 呈) ，( 三三) ，( 三呈 川一匿篓 1 4 f8 9 1 2 5 - 2 9 4 2 53 1 6 2 5 c = l - 7 5 4 2 5- 8 5i ，则可 i0 6 2 5- 5 9 2 5 2 5 1 2 5j彪巧彪眨山娩兰! 刮抛 非线性二次矩阵方程数值分析 以计算该二次矩阵方程没有解。 由第l 章的分析以及兄矩阵理论d s 朋】我们可以知道：对于二次矩阵方程 ( 1 1 ) 和二次特征值问题( 1 7 ) ，如果s 是q ( x ) 的一个解，那么s - 2 1 便是q ( 2 ) x 的一个右除数因子。这个我们可以很快地从下面的式子可以得到： 五2 a + a b + c = 一( b + a s + 2 a ) ( s g , i ) 因此s 的特征对便是q ( x ) 的特征对。事实上，我们可以通过q ( a ) 的特征对来构 造q ( x ) = 0 的解。 设彳在q o , ) 中是非奇异的，则 d e t ( q ( 2 ) ) = d e t ( a ) d e t ( 2 2 i + a - 1 鼢+ 彳q c ) a d e t ( , 月2 1 + a - i b 2 + 彳。c ，= a e t ( ( 一：，c 一二，b ) 一名( 丢：) 中我门可以看到，由 于d e t ( q ( a ) ) 的次数是2 以，因此q ( 五) 有2 ，个特征值。如果么是奇异的，则d e t ( q ( a ) ) 的次数小于2 ，因此q ( 名) 有小于2 行个有限个特征值。如果d c t ( q ( 2 ) ) 量0 ，则g ( 旯) 将有无穷多个特征值。 定理2 1 1 3 1 s ，5 9 】 如果二次特征值问题( 1 7 ) 有力个线性无关的特征向量e ( f _ 1 ，疗) ，相应的特征值为五( f = l ，刀) ，则我们可以构造出一个解 s = 队y ，y = “，) ，人= d i a g ( , ) ( 2 - 4 ) 证明由于砰彳m + 巩+ = 0 ，我们有 a v a 2 + b v a + c v = 0( 2 5 ) 又根据y 的定义，我们知道矿是可逆的，所以给( 2 5 ) 右乘以v ，有 a v a 2 v - 1 + b v a v 一1 + c = a ( v a v 一1 ) ( v a v 一1 ) + b ( v a v 一1 ) + c = a ( v a v 一) 2 + b ( y a y 1 ) + c = 0 这就表明了二次矩阵方程9 ( 柳有一个解s = 卧矿一 证毕 定理2 1 1 4 设q ( 名) 有p 个不同的特征值a ，f = l ，p ，且狞p 2 n ，同时 相应的p 个特征向量( f = 1 ，p ) 所组成的集合满足h a a r 条件【6 0 l ( 即其中任 意子集中的n 个向量是线性无关的) ，那么二次矩阵方程q ( x ) 至少存在q 个解， 且当p = 2 n 时，其解的具有如下形式： s = w d i a g ( i z j ) w 一，w = ( m ，w 2 ，) 其中，特征对( 鸬，w ) ( f = l ，厅) 是从q ( 名) 的特征对( 名，) ，f = 1 ，p 中选取的。 证明根据题设条件，很显然我们可以选择c ：个解。由于 彳么m + 鸬眺+ c 心= o ，所以有a w d i a g ( 1 z i ) 2 + b w d i a g ( j z | f ) + c 矿= 0 ，又由于矿是可 逆的，我们右乘，有 a w d i a g ( u j ) 2 形- 1