（应用数学专业论文）基于改进cvar约束条件下的投资组合优化模型研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 1 9 9 7 年，亚洲金融危机爆发，世界金融业动荡开始加剧。特别是1 9 9 8 年 l o 月美国发生的长期资本管理公司( l 1 m c ) 事件，这家由华尔街精英、政府 前财政官员及诺贝尔经济学奖得主组成的，曾经红极一时的金融业巨子，在世 界金融界的冲击下也难逃难劫。这使得金融界开始警醒，进一步深入探讨风险 防范和风险管理问题。 本文以“基于改进c v a r 约束条件下的投资组合优化模型研究”为题。本文在 绪论里首先介绍了论题研究的背景和意义，而后按照时间的顺序，概述了在风 险度量，风险管理研究之路上起着里程碑意义的重要模型。具体包括均值一方 差( m o 模型、均值一风险价值( v a r ) 模型、均值一条件风险价值( c l i a r ) 模型。本 文的重点( 第三章) 是研究c v a r 在投资组合优化模型，用c v a r 来度量风险， 用均值来度量收益，并在此基础上建立了如下两种模型：一种是为了实现在收 益不小于某一给定值的约束条件下，使风险达到最小，建立均值一c 冶尺模型； 另一种是为了实现在风险不大于某一给定值的约束条件下，使收益达到最大， 建立基于c v a r 约束的投资组合优化问题。但是对于c v a r 的计算，一般需要假 设投资组合的收益服从某一对数正态分布的前提，在本文的第四章，提出了 w o r s t q 踟c v a r ( w c v a r ) 方法，对分布的假设条件进一步放宽，是对基于 c v a r 的投资组合优化模型的一个重要的改进和补充。本文还研究了在退出时间 不确定的情形下，将c v a r 方法推广为加权c v a r 方法，并在此基础上建立了各 自的优化模型，包括均值- a n 权c v a r 模型和基于加权c v a r 约束条件下的投资 组合优化模型。 关键词：投资组合；风险价值：条件风险价值；最坏条件风险价值； 加权风险价值 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t i n1 9 9 7 ，w i t ht h eo u t b r e a ko ft h ea s i a nf i n a n c i a lc r i s i s t h ew o r l df i n a n c i a l t u r m o i lb e g a ne x a c e r b a t e e s p e c i a l l yi no c t o b e r1 9 9 8 ，t h e l o n g - t e r mc a p i t a l m a n a g e m e n tc o m p a n i e si n c i d e n th a p p e n e d ，t h i sf r o mt h ew a l ls t r e e te l i t e ， g o v e r n m e n to f f i c i a l sa n df o r m e rf i n a n c i a ln o b e ll a u r e a t ei ne c o n o m i c s ，a st h e c o m p o s i t i o no ft h ef i n a n c i a li n d u s t r yg i a n t , c o u l dn o te s c a p et h e i m p a c to f c a t a s t r o p h e n 虹sm a k e st h ef i n a n c i a ls e c t o rb e g a na l e r t p e o p l eb e g i nt os t u d y f u r t h e ro l lr i s kp r e v e n t i o na n dr i s km a n a g e m e n ti s s u e s n i em a i nt o p i co ft h i sa r t i c l ei s ”t h er e s e a r c ho fo p t i m i z a t i o np o r t f o l i ob a s e d o ni m p r o v e dc v a r ”f i r s t l y , w ee x p l a i nt h er e a s o nw h yw ec h o s et h i st h e s i sa n dt h e b a c k g r o u n do fi t s e c o n d l y , w ed i s c u s ss o m ev e r yi m p o r t a n tt h e o r ya b o u tr i s k m e a s u r e m e n ta n dm a n a g e m e n t ，s u c ha sm e a n - v a r i a n c e ( m v ) m o d e l m e a n v a l l i e - a t - r i s k ( v a r ) m o d e la n dm e a n - c o n d i t i o n a l - v a l u e a t - r i s k ( c v a r ) m o d a l n l ef o c u s o f t h i sp a p e r ( c h a p t e r3 ) i sas t u d ya b o u tc v 叔p o r t f o l i oo p t i m i z a t i o nm o d e l ，r i s ki s m e a s u r e du s i n gc v a r , i n c o m ei sm e a s u r e du s i n gm e a n , o nt h i sb a s i s ，w ee s t a b l i s h t h ef o l l o w i n gt w om o d e l s ：o n ei st h ei n c o m eo f n o tl e s st h a na g i v e nv a l u e ，m i n i m i z e t h er i s kw ee s t a b l i s hm e a n c v a rm o d e l ；t h eo t h e ri st h er i s ko fn o tm o r et h a na g i v e rv a l u e ，m a x i m i z et h ei n c o m e ，e s t a b l i s ht h ei n v e s t m e n tp o r t f o l i oo p t i m i z a t i o n m o d e lw i t hc v a rc o n s t r a i n t s i nt h ef o u r t hc h a p t e ro ft h i sp a p e r , w ep r o p o s ea w o r s t - - - c a s ec v a rm e t h o d ，o nt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ed i s t r i b u t i o nc o n d i t i o n sc a n b ef u r t h e rr e l a x e d ，t h i sm e t h o di sa i m p o r t a n ti m p r o v e m e n ta n da d d e dt ot h ec v a r m e t h o d f o rt h ep o r t f o l i ow i t hu n c e r t a i ne x i tt i m e ，w ec a l ln o ts o l v et h e mw i t ht h e c o m m o nc v a r , i nt h el a s to ft h i sp a p e r , w ep r o p o s eaw e i g h t i n g - c v 报m e t h o dt o s o l v et h i sc o n d i t i o n , a n dw es e t 叩t w om o d e l s ：m e a n w e i g h t e d c v a rm o d e la n d t h ep o r t f o l i oo p t i m i z a t i o nm o d e lw i t hw e i g h t e d - c v a rc o n s t r a i n t s k e yw o r d s ：p o r t f o l i o ；v a r ；c v a r ；w c v a r ；w e i g h t i n g - c v a r i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 箍名： 痤垒肇日期：垫丑：廛! f 关于论文使用授权的说明 本人完仝了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权 保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：焦垒垒导师签名箍避日期：划 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 风险的研究背景 第1 章绪论 风险是金融市场活动的基本属性之一。所谓风险是未来结果的不确定性， 如未来收益、资产或债务价值的波动性或不确定性。金融风险是指企业未来收 益的不确定性或波动性，它来自于金融工具价格相当频繁与剧烈的波动。然而 金融工具的风险与收益密不可分，因此在金融市场中风险不可能完全被消除， 而只能对其进行管理。只有这样，风险承担者才可以更准确的识别、度量、分 解其所面临的金融市场风险，进而有效地规避、控制和转移风险。 近年来，由于受经济全球化与金融一体化、现代金融理论及信息技术、金 融创新等因素的影响，全球金融市场迅猛发展，金融市场呈现出前所未有的波 动性，工商企业、金融机构面临着日趋严重的金融风险。金融风险不仅严重影 响了它们的正常运营和生存，而且还对一国乃至全世界金融及经济的稳定发展 构成了严重的威胁。1 9 9 0 年之后，因操作衍生性金融证券而遭受巨额损失的事 件层出不穷，金融灾难频繁发生。而金融风险管理很重要的一个方面就是研究 投资组合优化问题，旨在解决满足收益不小于一个给定值的条件下，如何优化 该组合使风险最小化，或是满足风险不大于一个给定值的条件下，如何优化该 组合使收益最大化【1 2 】。 1 2 投资组合的研究背景 1 2 1 投资组合的意义 由于证券投资的预期收入受到多种因素的影响而具有不确定性，人们在投 资过程中往往通过分散投资的方法来规避投资中的系统性风险和非系统性风 险，实现投资效用的最大化。 证券投资组合管理的主要内容就是研究风险与收益的关系。一般情况下风 险与收益呈现正相关关系。即收益越高，风险越大：反之，收益越小，风险越 小。一个理性的投资者总是一方面希望收益率高而另一方面也希望投资的风险 尽可能小。证券投资者构建证券组合的原因是为了降低风险。投资者通过组合 武汉理工大学硕士学位论文 投资可以在投资收益和投资风险中找到一个平衡点，即在风险一定的条件下实 现收益的最大化或收益一定的条件下使风险尽可能的降低。资产组合理论证明， 证券组合的风险随着它所包含的证券数目的增加而降低，资产间关联性极低的 多元化证券组合可以有效的降低风险。当投资者将各种资产按不同比例进行组 合时，其选择就会有无限多种，这为投资者在给定风险水平的条件下获取更高 收益提供了机会。当投资者对证券组合的风险和收益做出权衡时，他能够得到 比投资单个资产更为满意的收益与风险的平衡。 1 2 2 投资组合的发展历史和概况 证券投资组合理论是由哈里马柯威茨( 1 4 m a r k o w i t z ) 1 9 5 2 年发表的具有历 史意义的论文证券组合选择和1 9 5 9 年出版的同名专著基础上发展起来的理 论框架，其主要内容是在投资者为追求高的投资预期收益，并希望尽可能躲避 风险的前提下，阐述了一整套理论框架，并运用一套复杂的数理统计方法，以 解决如何最有效地分散组合证券风险，求得最大收益。马柯威茨均值方差理论 依据以下几个假设【1 - 2 】： i ) 投资者通过投资组合在某一段时间内的预期收益率和标准差来评价这一 投资组合。 2 ) 投资者永不满足。因此，当面临其它条件相同的两种选择时，他们将选 择具有较高预期回报率的那一种。 3 ) 投资者是厌恶风险的。因此，当面临其它条件相同的两种选择时，他们 将选择具有较小标准差的那一种。 4 ) 税收和交易成本均忽律不计。 马柯维茨均值方差模型的核心思想是把资产组合的预期收益率作为投资 收益率，把资产组合收益率的方差作为投资风险。对于一个给定的预期收益率， 一个投资者可以通过最小化资产组合的方差得到最小风险；或者对于一个给定 的投资者能容忍的风险水平，可以通过最大化资产组合的预期收益率来得到最 大收益率。其数学模型为： im i n t r ：j 7 yz 卜焉7 二：， 2 武汉理工大学硕士学位论文 其中，x = k ，x 2 ，x 。r 是投资组合中各个证券的权重向量，是各个 证券之间的协方差矩阵，盯；和r ，= e ( o ) 是投资组合的预期方差和收益率，盯； 用来度量投资组合的风险，r = ( 置，五：，r 。) 7 ，其中置= e ( r t ) 是第i 个证券的 l 嚣， l 臻嵋：。 1 3v a r 的研究概况 风险价值( v a l u e - a t r i s k 简称v a r ) 方法最先是由j p m o r g a n 公司提出的。在 1 9 9 4 年1 0 月，j pm o r g a n 公司的总裁要求其下属每天在当天交易结束后的4 点 1 5 分，给他一份一页纸的报告( 即著名的4 1 5 报告) ，说明公司在未来的2 4 小 3 武汉理工大学硕士学位论文 时总体上的潜在损失是多大。为了满足这一要求，j p m o r g a n 的风险管理人员开 发了一个名为“风险度量”( r i s km e t r i c s ) 的系统，在其中提出了v a r 的概念， 即将所有风险集成为一个数的风险度量方法一v a r 方法。国外学者对v a r 的研 究己经十分成熟，还有很多学者在世界知名刊物上发表了大量关于f a r 的论文巧 - 6 ，此外还有一个专门的网站提供v a r 的研究情况( w w w g l o r i a m u n d i o r g ) ，几乎 所有权威的关于v a r 的论文在此网站都能查到。1 9 9 6 年巴塞尔委员会还推出了 一个关于市场风险模型扩展的建议，允许银行使用它们自己的v a r 模型来决定 其资本要求，2 0 0 1 年1 月巴塞尔银行监管委员会利用v a r 指标做出三项资本充 足性规定i l o 。 我国理论界对v a r 方法的探讨始于1 9 9 7 年。牛昂( 1 9 9 7 ) 首先对v a r 方法及 其在国际银行业风险管理中的应用进行了简介。此后，郑文通( 1 9 9 7 ) 、雷克( 1 9 9 8 ) ， 姚刚( 1 9 9 8 ) 、黄智猛( 2 0 0 0 ) 、t 春峰t 2 3 j ( 2 0 0 1 ) 等先后对v a r 方法的模型技术问题 进行了探讨，刘宇飞( 1 9 9 9 ) 、李亚静、朱宏泉、何跃( 2 0 0 0 ) 对v a r 的计算方 法做了改进。杨晓光、马超群 2 4 1 、文风华( 2 0 0 2 ) 研究了在砌足风险度量下， 收益具有厚尾性质的资产投资组合优化问题。范英( 2 0 0 0 ) 运用v a r 方法对深市 综合指数的风险进行探索，发现运用v a r 方法只略微低估了深市综合指数的市 场风险，这项研究为v a r 方法在我国的应用找到了一些经验证据。另外，还有 许多研究者对v a r 的应用及内部性质进行了较深的研究。而在国内众多关于 v a r 的著作中，最具代表性的就是天津大学管理学院王春峰教授的专著金融 市场风险管理，该书详细介绍了f a r 的产生背景、概念、计算及应用等，为v a r 在我国的发展起到了重要的作用1 2 4 - 2 6 。 1 4c v a r 的研究概况 国内对条件风险价值( c o n d i t i o n a lv a l u e a t - r i s k 简称c v a r ) 的研究刚刚起 步，仅有的几篇论文都是对c v a r 的概念及优化进行简单的介绍与探讨【2 们，国外 对c 玩霞的研究从1 9 9 9 年开始，目前己经较为成熟。最早提出c 砌r 风险度量 方法的是美国人r o c k a f e l l a r 和u r y a s e v1 7 - $ 1 他们于1 9 9 9 年9 月5 日在网上发 布文章( o p t i m i z a t i o no f c o n d i t i o n a lv a l u e a t - r i s k ) ) 1 1 6 1 , 描述了一种投资组合优 化的新方法，称为c o n d i t i o n a lv a l u e a t r i s k ( c v a r ) ，首次提出了c v a r 的概念。 在这篇文章里，r o c k a f e l l a r 和u r y a s e v 给出了c f a r 的基本概念，建立了c v a r 投 4 武汉理工大学硕士学位论文 资组合优化模型，同时还给出了正态分布下的线性资产组合的c v a r 风险值的 基本计算方法”。继该篇文章之后，j o n a sp a l m q u i s t ，u r y a s e v 和 p a v l ok r o k h m a l ( 1 9 9 9 ) ”1 在对均值一c v a r 有效前沿进行研究的基础上，又对 c v a r 的探讨进一步扩展到对c v a r 约束的讨论，探讨了投资组合最优化问题， 同时用历史模拟法进行了1 0 0 种股票的c v a r 值计算。尽管这些学者对均值一 c v a r 有效前沿进行了研究，但只在一定条件下得到有效前沿的三种等价定义 和样本逼近的近似算法，没有从根本上解决有效前沿的问题。这两篇文章基本 建立起了c v a r 模型体系，随后的几篇关于c v a r 的文章，基本上都是在这个框 架下展开讨论的，如a l e x a n d e r 和b a p t i s t a ( 2 0 0 3 ) 讨论了针对某投资组合的 c v a r 约束和v a r 约束，将两者进行了比较；n i k o l a s ( 2 0 0 2 ) 利用c v a r 对资 本配置进行了分析与实证研究。r o c k a f e l l a r ( 2 0 0 2 ) 等对c v a r 的优化算法和应 用作了较详细的综述，对于损失服从一般分布的c v a r 模型也进行了研究。 f r e d r i ka n d e r s o n ，h e l m u tm a u s s e r ，d a n r o s e n 和s t a n i s l a vu r y a s e v ( 2 0 0 1 ) 成 功地将c v a r 方法引入了信用风险度量，用蒙特卡罗模拟法产生随机数，模拟 了债券的收益分布，最终把该信用风险度量问题转化成线性规划，求解投资组 合的权重，使得c v a r 值最小。至此，c v a r 完成了从市场风险度量手段到多样 化风险度量的转变，c v a r 风险度量的框架进一步扩大 1 3 。j 。 1 5 本文的重要工作 本章( 第l 章) 通过查阅国内外参考文献，详细阐述了风险的定义与产生 的社会背景，以及学者们对投资证券风险度量方法的研究进展，介绍了现代投 资组合的形成与发展现状。 论文的第2 章从风险为一定概率水平下的可能损失的观点出发，进一步探 讨了证券投资组合风险度量方法v a r ，分析了v a r 风险度量的性质和计算方法， 以及它的局限性，探讨了对v a r 模型的改进模型：c v a r 模型，介绍了证券投 资组合c v a r 风险度量模型的理论与方法。 论文第3 章，是在第2 章的基础上，根据c v a r 风险度量方法的理论，建 立了无交易成本约束的证券投资组合的均值一c v a r 模型和只有c v a r 约束的 最优投资组合模型，然后又进步考虑成本制约、收益制约等条件，又建立了 在多约束条件下的均值一c v a r 优化模型和基于c v a r 有多重约束条件的最优 5 武汉理工大学硕士学位论文 投资组合模型。 论文第4 章提出了w c v a r 方法和加权c v a r 方法，其中w c v a r 对c v a r 方 法的一个重要的改进和补充， w c v a g 则是从投资者投资决策的实际出发，一 个投资组合包括若干个证券，每一个证券可能根据它自身的情况，在持有期内 选择一个恰当的时间退出。当一个投资组合里的各个证券退出时间不相同的时 候，用常规的方法便无法度量这个组合的风险。第四章，提出了加权一c v a r 方 法，成功了度量了此类投资组合的风险。 论文的第5 章是对这篇论文的总结和展望。 6 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章v a r 和c v a r 的研究概况 2 1v a r 的定义 v a g 英文为v a l u e a t r i s k ，通常称为风险值，其含义是“处于风险中的价值”， 指在市场正常波动下，某一金融资产或证券组合的最大可能损失，更为精确的 讲就是：在一定的概率水平下( 置信度) ，某一金融资产或证券组合在未来特定 时间内的最大可能损失，用数学表达式可表达为：p r ( a v v a r 】。c v a r 代表了超额损失下的平均水 平，反映了损失超过v a r 时可能遭受的平均潜在损失的大小，较之v a r 更能体 现潜在的风险价值【7 1 ； ( 2 ) c v a r 是满足一致性公理的风险度量方法。著名的一致性公理 ( c o h e r e n t l x i o m ) 由a r t z n e r 等( 1 9 9 7 ，1 9 9 9 ) 提出。其内容是：若某种风险计量方法 满足平移不变性( t r a b s l a t i o ni n v a r i a n c e ) 、次可加性( s u b a d d i t i v i t y ) 、正齐次 性( p o s i t i v e i o m o g e n e 砂) 和单调性( m o n n t o n i c i t y ) 四个条件，则该风险计量方法就 是一致性风险计量( c o h e r e n t 砌s km e a s u r e m e n t ) 。a r t z n e r 等指出，只有一致性 的风险计量方法才能充当投资组合的管理工具。若用x 和y 表示表示两个投资 组合的随机回报率，用p ( 力和p ( 力表示它们的风险计量，则一致性公理的四个 条件可以表述如下： 1 ) 次可加性：以x + y ) p ( x ) + p ( y ) 。次可加性反映了投资组合具有分散 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 风险的特点。因此，任何投资组合的总风险应该小于或等于该组合中各种资产 分别计量的风险之和。 2 ) 正齐次性：p ( a x ) = a p ( x ) ，其中a 为常数。此条件实际上是次可加性的 特列，它反映了没有分散风险的效应。 3 ) 单调性：若x y ，则p ( x ) p ( y ) 。若一个投资组合优于另一个投资组 合，即前者随机回报的各分量大于或等于后者随机回报所对应的分量，则前者 的风险至少不大于后者。 4 ) 平移不变性：p + b ( 1 + r ) ) = p ( x ) 一b ，其中，为无风险利率，b 0 表 示无风险资产。若增加无风险头寸到组合中，组合风险将随着无风险头寸的增 加而减少。 ( 3 ) c v a r 的计算可通过构造一个构造函数而化为一个凸函数的优化问 题，在数学上容易处理，如用样本均值逼近总体均值，凸规划还可化为线性规 划问题，计算更加简便易行： ( 4 ) 计算c v a r 的同时，相应的v a r 值也可同时获得，因此可对风险实行 “双监管”，这比用单纯的v a r 更加保险，更不易遭受非法操纵与篡改。 正因为具有如此优良的性质，c v a r 自提出后，在金融风险度量中也得到 了深入的研究和广泛的应用。 2 6c v a r 的具体概念及其参数选择 2 6 1c v a r 概念 c v a r 是c o n d i t i o nv a l u e a t r i s k 的缩写，通常译为条件风险价值，也可 称为平均超额损失( m e a ne x c e s sl o s s ) 、平均短缺( m e a ns h o r t f a l l ) 或尾部v a r ( t a i lv a r ) ，其含义可解释为：在一定的置信水平上( 置信度) ，损失超过v a r 的潜在价值，更为精确的讲就是指损失超过v a r 的条件均值，反映了超额损失 的平均水平。它比v a r 更能体现投资组合的潜在风险。可用数学表达式表达如 下： c v a r x = 砌尺+ e f ( x ，少) 一v a r xf ( x ，y ) v a r x 】 = 研f ( x ，y ) if ( x ，y ) v a r x 】 其中： x = ( 而，x 2 ，吒) 7 为，1 种资产的投资权重向量： 1 3 武汉理工大学硕士学位论文 y = ( 乃，y 2 ，只) 7 为引起组合价值发生损失的市场因子，例如可以理解为 资产价格； ，y ) 为组合的预期损失函数； k 为置信水平。 易知：c v a r v a r 。当然也可以用更加详细的公式来表达c v a r ，现设p ( y ) 为向量y 的密度函数，则对任意的t 2 , r ，预期损失的分布函数可以表达为： ( x ，a ) =l p ( y ) d y ，( ，；) “ 它是关于口的非增、右连续函数。则对于任意置信水平的k ( 0 ，1 ) ， v a r x = m i n a r ：( x ，盯) 后 于是： c v a r r = v a r k + e f ( x ，力一v a r xl f ( x ，力 v a r r 】 = ( 1 一七) 。1 l f ( x ，y ) p ( y ) 砂 ，( z ，) 施i x ) 为了更好地理解c v a r 的概念，可以举一个例子来说明：假定某一投资组 合在2 0 0 3 年7 月2 9 日在置信度取9 8 时日v a r 值为1 0 0 万元，日c v a r 值为 1 3 0 万元，根据v a r 和c v a r 的定义可知：该组合有9 5 的把握可以保证，这一 天由于市场价格的变动而带来的损失不会超过1 0 0 万元，同时也有9 5 的把握 可以保证该组合由于多种因素而带来的极端潜在损失不会超过1 3 0 万元，或者 说损失超过1 0 0 万元的条件损失为1 3 0 万元。 2 6 2c v a r 的参数选择 尽管在c v a r 的定义中，有三个重要参数：持有期、置信水平与v a r 。但 是对于任何一个组合，在持有期和置信水平在给定的情况下，其v a r 值是一定 的，所以v a r 应该是内生的。任何c v a r 只有在给定持有期和置信水平这两个 参数的情况下才有意义。下面分析影响这两个参数确定的重要因素。 1 ) 置信水平的选择 置信水平的选择依赖于对c v a r 验证的需要、内部风险资本的需求、监管 要求以及在不同机构之间进行比较的需要。同时，正态分布或其它一些具有较 好性质分布特征的分布形式( 如t 分布) 也会影响到置信水平的选择。 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 有效性验证 如果非常关心c v a r 实际计算结果的有效性，则置信水平不应该选择太高。 因为置信水平越高，则实际中潜在损失超过c v a r 的可能性越小，但是为了验 证c v a r 预测结果，所需要的数据就越多，因此，在实际中无法获取大量数据 的约束就会抑制较高置信水平的选择。 内部风险资本需求 当考虑内部风险资本需求时，置信水平的选择依赖于金融机构或投资者对 极端事件风险的厌恶程度。风险厌恶程度越高，则越需要准备更加充足的风险 资本来补偿额外损失。因此，用c v a r 模型来确定内部风险资本时，安全性追 求越高，置信水平选择也就越高，相反，风险偏好者就会选择较低的置信水平。 置信水平反映了金融机构维持机构安全性的愿望与抵消设置风险资本对银行利 润不利影响之间的均衡。 外部监管要求 金融监管当局为保持金融系统的稳定性，就会要求金融机构设置较高的置 信水平。例如巴塞尔委员会1 9 9 7 年年底生效的资本充足性条款中要求的置信水 平为9 9 。 统计和比较的需求 不同的投资机构或投资者计算其组合的c v a r 时会选择不同的置信水平， 如果存在标准的转化方法，将不同置信水平下的c v a r 转换成同一置信水平下 的c v a r 进行比较，则置信水平就无关紧要了。例如，在正态分布假设的条件 下，一种置信水平的c v a r 可以方便地转换为另一种置信水平下的c v a r 。因此， 在正态分布假定下可以选择任意水平的置信度，不会影响不同金融机构或不同 组合之间的比较，如果不服从正态分布或一些具有类似性质的分布，则一种置 信水平下的c v a r 数值将无法说明另一种置信水平下的情况了。 综上所述，不同置信水平适用于不同目的：当考虑c v a r 的有效性时，需 要选择较低的置信水平；而内部风险需求和外部风险监管要求则需要选择较高 的置信水平；此外，对于统计和比较的目的需要选择中等或较高的置信水平。 2 ) 持有期的选择 持有期是计算c v a r 的时间范围。由于波动性与时间长度呈正相关，所以 c v a r 随持有期的增加而增加。通常的持有期是一天或一个月，但某些金融机 构也选择更长的持有期如一个季度或一年。在1 9 9 7 年年底生效的巴塞尔委员会 1 5 武汉理工大学硕士学位论文 的资本充足性条款中，持有期为两个星期( 1 0 个交易日) 。一般来讲，金融机 构使用的最短持有期是天，但理论上可以使用小于一天的持有期。考虑持有 期时，往往需要考虑以下四种因素：流动性、正态性、头寸调整、数据约束。 流动性 影响持有期的第一个因素是金融机构所处的金融市场的流动性。在不考虑 其它因素的情况下，理想的持有期是由市场流动性决定的。如果交易头寸可以 快速流动，则可以选择较短的持有期；但如果流动性较差，由于交易时寻找交 易对手的时间较长，则选择较长的持有期更加合适。在实际中，金融机构大多 在多个市场上持有头寸，而在不同市场达成交易的时间差别很大，这样，金融 机构很难选择一个很好地反映交易时间的持有期。因此，金融机构通常根据其 组合中比重较大的头寸的流动性选择持有期。 正态性 在计算c v a r 时，往往假定资产的回报服从正态分布。金融经济学的实证 研究表明，时间跨度较短，实际回报分布越接近正态分布。因此，选择较短的 持有期更适用于正态分布的假定。典型的情况是包含期权的证券组合，通常期 权的回报在实际中并不服从正态分布，但一般仍然在正态分布的假定下进行计 算，当持有期较短的时侯，期权回报的实际分布会更接近正态分布的假定，因 此，在较短的持有期下得到的计算结果会更加合理。 头寸调整 在实际交易中，投资经理人会根据市场状况不断调整其头寸或组合。如果 一种头寸不断发生损失，则投资经理入会把这种头寸变为其它的头寸，持有期 越长，投资经理人改变组合中头寸的可能性就越大，而在c v a r 的计算中，往 往假定在持有期下组合的头寸是相等的，因此，持有期越短就越容易满足组合 保持不变的假定。 数据约束 c v a r 的计算往往需要大规模的历史样本数据，持有期越长，所需要的历 史时间跨度越长。例如，假定计算c v a r 所需数据为5 0 0 个观测值，如果选择 持有期为一天，则需要至少2 年的样本数据( 每年2 5 0 个交易日) ：而如果选择 持有期为一周( 或一个月) ，则历史需要1 0 年( 或4 0 年) 的数据才能满足基本 要求。这样长时间的数据不仅在实际中无法得到，而且时间过早的数据也没有 多大意义，金融市场的不断、大幅变化，十几年前的市场与现在的市场相比截 1 6 武汉理工大学硕士学位论文 然不同了。因此，c v a r 计算的数据样本量要求表明：持有期越短，得到大量 样本数据的可能性就越大 3 1 】。 综上所述，上述四个因素中，后三个因素都建议采用较短的持有期。在实 际应用中，当回报服从正态分布时，由于波动性与时间范围的平方根同比例增 加，因此，不同持有期下的c v a r 可以通过平方根转换，例如，银行在把1 天 的持有期变为1 0 天的持有期时，通常乘以l o 的平方根3 1 6 即可。 2 7c v a r 的计算及其性质分析 由定义可知，c v a r 是指损失超过v a r 的条件均值，这其中必然涉及到期 望的问题，而在期望中又必然会涉及到离散和连续这两个问题，因此c v a r 的 计算在此可以分为两类：一是连续型c v a r 的计算，二是离散型c v a r 的计算。 ( 1 ) c v a r 计算 1 ) 连续型c v a r 的计算 在计算之前先定义以下一些参数变量： r = ( 置，恐，r ) 7 表示投资组合的回报率向量； 局= 研】，示第i 种资产的预期回报率： x = “，x 2 ，矗) 7 ，表示胛种资产的投资权重向量； y = ( m ，咒，儿) 7 ，表示引起组合价值发生损失的市场因子，例如可以理解 为价格： 厂o ，力为投资组合的预期损失函数，f ( x , y ) = 一x 7 r ； p ( y ) 表示向量】，的密度函数： = ( 气) 。表示 种资产间的协方差矩阵； r ，= e ( 0 ) 表示投资组合的期望回报率； t y ：表示期望回报率的方差： 口表示置信水平。 对于任意的口r ，预期损失的分布函数可以表达为： 缈 ，口) = j p o ) 砂显然，缈( x ，d ) 是关于a 的非增、右连续函数。令( 功 ，( j ，) s 4 和九( x ) 分别表示玩c v a r 口则可得到下面的公式，即 v a r ，= 九( x ) = e f ( x ，y ) lf ( x ，y ) 口口( 功】 1 7 武汉理工大学硕士学位论文 = ( 1 一) 。1 l f ( x ，y ) p ( y ) d y ，( j ；) s 口 对于连续型的c v a r 计算，若已知p ( y ) 和f ( x ，y ) ，就能求出c v a r 的确切 表达式。 2 ) 离散型c v a r 的计算 现假设共有j 种情景，每种情景出现的概率就应该是 了。由c v a r 的定 义式及条件概率的定义可推导出以下的公式，即 c v a r ，= 阮r ，+ e f ( x ，y ) 一v a r ，f f ( x ，y ) v a r 口】 = 啪，+ m a x 炉啪1 顽 = 愀，+ 了万叫m 川一懈一】 3 ) 一般情况下c v a r 的计算 由c v a r 的定义，很难直接计算出c v a r 。因为不管是离散型的c v a r ，还 是连续型的c v a r ，都要涉及到v a r 这个参数，而这个参数又是内生的，所以 这个计算带来了很大的困难。但在这里可以通过一个巧妙的方法来解决这个问 题，那就是通过构造一个辅助函数来解决c v a r 的计算。 构造辅助函数 v p ( x , a ) = a + o - 南p ) ，步 ) - 卅+ p ( y ) d y 可以证明乃( x ，口) 关于x 和口的凸函数，且是连续可微的，它作为优化目标 可以得到局部最优解，得到的这个局部最优解就是全局最优解。可以得到以下 公式，即c 瑚，2 ( 力= m 。i n 。易( x ，口) 7 1 若令以( x ) = a r gm i n 易 ，口) ，则如( 工) 是一个非空、闭的有界集，它的下 界就是置信水平为的v a r 值( 砷，特别地，以下的情况总是成立。 ( x ) a r gm i n 乃( 工，( x ) ) a e r 8 办( x ) = 易( x ，c t ，( x ) ) 1 8 武汉理工大学硕士学位论文 上述结论具有很好的理论价值，因为当，为连续型随机变量时，兄( x ，口) 是 关于x ，口的凸的连续可微函数，九( x ) 就可以很简单通过求解易( 五口) 关于口的 一阶导数获得，这样在计算c v a r 的过程中就不必先求解v a r 了，而且在求解 c v a r 的同时顺便得到p a r 值了，此时如( x ) 仅含一个点，该点就是p a r 值。 关于求解c v a r 的方法，可以借助计算机来完成，因为显然这是一个线性 规划的问题，国外研究者在实证分析时大多采用c p l e x 软件来完成，国内到 目前为止，c p l e x 软件还未得到广泛的应用，但可以通过m a t l a b 软件来完成。 ( 2 ) c v a r 的性质分析 c v a r 的性质是针对一致性风险度量来分析的，主要是验证一下c v a r 是否 具备一致性风险度量的标准。 正齐性：由c v a r 定义式可知，c v a r ( 五x ) = a c v a r ( x ) ，即c v a r 满足正齐 性。 平移不变性：同样由c v a r 的定义式可知，c v a r ( x + c ) = c v a r ( x ) + c ，即 c v a r 满足平移不变性。 单调性：由c v a r 定义式可知c v a r 满足单调性。 次可加性或凸性： 由离散型c 啪计算可知，c 愀，2 跆如+ 页丽m a x f ( x , 力一阮，o 】， 为表述清晰，将p a r 换作口，f ( x ，y ) 换作】，则这个式予又可表述为下式： c v a e p ( r , ) = 口，+ 了石圭历i e m 脒 y 一口一，o 】) 又因为m a x f ( x ，y ) 一v a r a ，o 】是关于( x ，y ) 的凸函数，因此， c v a r 口( 兄e + ( 1 一五) e ) 五口+ ( 1 - 2 ) 口+ 丁与日m a x 峭+ ( 1 - - 1 ) y 2 一五口l 一( 1 - 2 ) 瑾2 ，o 】 鲥甜( 1 _ 咖+ 南跏a x r , 叫| ，o 】 + 舄跏峭- a 2 , o 蔓2 c v a r 口( x ) + ( 1 一旯) c v a r p ( e ) 武汉理工大学硕士学位论文 可见，c 玩尼满足次可加性的标准。 综上对c v a r 的性质分析，c v a r 满足了一致性风险度量的标准，所以c v a r 是一个一致性风险度量 1 5 j 。 2 8c v a r 的应用 c v a r 的含义是指损失超过v a r 的条件均值，反映潜在损失的平均水平， c v a r 更能体现潜在风险，而且在计算上比v a g 的计算更简便，因此其应用的 前途与空间应该比v a r 更大、更广阔。但是，到目前为止，由于风险测量的系 统仍然是以v a r 为基准的。但是v a r 的内在缺陷性将会使其应用逐渐萎缩，同 时c v a r 在理论与实证研究方面都取得较大的成功，所以有理由相信在不久的 将来，c v a r 将会代替v a r 来测量金融风险。学者们利用c v a r 通过实证研究进 行了多方面的应用研究，从应用的主体来看，主要适用投资公司、经纪公司、 对冲基金、金融监管部门及其它任何需要测量市场风险的企业。从应用的范围 来看，归纳起来，有以下几类： ( 1 ) 投资组合的优化。投资者从事证券投资的实质就是要在承受特定风险 的条件下实现预期收益的最大化，或者是在一定收益的前提下使风险最小化， 这也是经典投资组合模型的核心思想所在。经典投资组合模型是以最小方差为 基准目标的，以此构成了马柯威茨的有效边界，在这条有效边界与投资者效用 函数或投资者的无差异曲线的相切点上建立起来的投资组合是最佳的，此点的 风险是用组合收益的标准差表示的，但标准差并不能告诉投资者投资组合的潜 在损失到底是多大。因此，在此加入c v a r 对投资组合进行约束，即在传统的 均值一方差模型的约束条件中，再加入一个c v a r 约束，c v a r 约束在均值一方 差空间上表现为一条与马柯威茨边界相交的斜线，通过头寸的调整来预先限定 组合的潜在风险，这样就通过对组合的优化起到规避风险的作用。 ( 2 ) 确定内部风险资本需求和设定风险限额。利用c v a r 可以确定金融机 构在整体上为抵御市场风险所需求的内部风险资本，并为交易员或业务部门设 置风险限额，以防止过度投机行为。金融机构为防止某一交易员或业务部门的 风险过度承担，通常对交易进行限制。一种方法是通过头寸限额来实现，如规 定某从事美元债券交易的交易员不能持有超过1 0 0 万美元的国库券；另一种方 法是风险限定，如到期日或久期限定，如限定交易员持有2 年期内1 0 0 万美元， 2 0 武汉理工大学硕士学位论文 他就不能投资3 年期的1 0 0 万美元债券。利用c v a r 设置头寸限额具有许多优 点，如基于c v a r 的头寸限额可以对不同交易、不同业务进行比较，操作简单， 含义明确：c v a r 限额考虑了组合的风险分散的效果，并且有助于设置层次性 限额结构。 ( 3 ) 资本配置。在