（应用数学专业论文）hilbert空间中线性算子的伪逆算子及应用.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 伪逆算子的概念是f r e 旧h o l m 在1 9 0 2 年提出来的，伪逆算子是在算子理论中经 常用到的概念，并且有一些实际的具体应用，参看文献【8 】，【9 】。伪逆算子的一个重 要应用是在框架中的应用。在本文中，我们主要研究线性算子的伪逆算子及其性质、 应用。 第一章，我们对涉及本文研究领域的有关伪逆算子的各种研究现状作了简 单的阐述并叙述了本文的主要结果。 第二章，介绍了本文研究所需的预备知识。 第三章，推导了值域是闭的线性有界算子的伪逆算子的若干性质，最后 举例说明了其在框架理论中的重要应用。 第四章，推导了值域不是闭的线性有界算子的伪逆算子的定义。 第五章，推导了值域是闭的时线性无界闭算子的伪逆算子的定义，并给出 了其在框架理论中的应用。 关键词：有界算子；无界闭算子；框架；框架算子；伪逆算子 a b s t r a c t p s e u d o i n v e r s eo p e r a t o rw a sf i r s ti n t r o d u c e db yf r e d h o l mi n19 0 2 ，t h en o t i o no ft h e p s e u d o i n v e r s ei sac o n c e p tf r e q u e n t l yu s e di no p e r a t o rt h e o r yw h i c hh a ss o m ep r a c t i c a l c o n c r e t ea p p l i c a t i o n s ，s e e 8 ，【9 】a ni m p o r t a n ta p p l i c a t i o no fp s e u d o i n v e r s eo p e r a t o r sa r e i nt h ef r a m et h e o r y i nt h i sp a p e r , w em a i n l ys t u d yt h ep s e u d o i n v e r s eo fl i n e a ro p e r a t o r s a n di t sp r o p e r t i e s ，a p p l i c a t i o n s i nc h a p t e rl , w ew i l lm a k eag e n e r a ld e s c r i p t i o no nt h er e s e a r c h e si no u rf i e l da n d s h o wt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h ep r e l i m i n a r i e sf o rt h ep a p e r i nc h a p t e r3 , w ee s t a b l i s ht h ep s e u d o i n v e r s eo fl i n e a rb o u n d e do p e r a t o rw i t hc l o s e d r a n g e ，a n dp r o v ei t sp r o p e r t i e s ，a tl a s t ，w ew i l lg i v ea ne x a m p l ef r o mw h i c hw e c a ns e et h e u s eo fp s e u d o i n v e r s ei nf r a m et h e o r y i nc h a p t e r4 ，w ee s t a b l i s ht h ep s e u d o i n v e r s eo fl i n e a rb o u n d e do p e r a t o r , t h er a n g eo f w h i c hi sn o tc l o s e d i nc h a p t e r5 , w ed i s c u s st h ep s e u d o - i n v e r s eo fl i n e a ru n b o u n d e dc l o s e do p e r a t o r ，t h e r a n g eo fw h i c hi sc l o s e d ，a n dg i v et h eu s eo fi t k e yw o r d s ：b o u n d e do p e r a t o r ；u n b o u n d e d d o s e do p e r a t o r ；f r a m e ；f r a m e o p e r a t o r ； p s e u d o i n v e r s e 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：、中嘶午 日期：文。( i 年孓月2 6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 导师签名：修盖乞叭 日期：勺。o 咿岁月诈日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的规 定享受相关权益。回童途塞握交厦进卮；旦坐生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：申干昂午 日期：加叩年孓1 月蝎日 导师签名：戈7 垓乞吼 日期：2 白焉年厂月砰日 日爷2 砩朋 虫i 午 ：o l 料 小者期 作日 硕士学位论文 m _ a s t e r st h e s i $ 第一章引言 广义逆矩阵是对逆矩阵的推广，当矩阵不可逆时，可用其广义逆矩阵解决 一些代数问题。m o o r e p e n r o s e 广义逆矩阵的唯一性决定了可用它求方程的某种 最优近似解或最优解，在一定程度上起到了逆矩阵的作用。 在无限维空间中也有类似于m o o r e p e n r o s e 广义逆矩阵的一类对象，这正是 线性算子的伪逆算子。伪逆算子的概念是f r e d h o l m 在1 9 0 2 年提出来的，他给出 了积分算子的广义逆，并称之为“伪逆”。伪逆算子在一定程度上起到了逆算子的 作用，即使算子不可逆，它也存在唯一的伪逆算子。有些不存在逆算子的算子， 我们可用其伪逆算子解决一些问题。 伪逆算子的一个重要应用是在框架中的应用。1 9 5 2 年，d u f f i nrj 和 s c h a e f f e rac 在研究非调和f o u r i e r 级数时引入了h i l b e r t 空间上的框架的概念 【6 】。但在当时乃至以后相当长的一段时间内，人们并没有对它给以足够的重视。 自从小波分析诞生以来，尤其自上世纪8 0 年代d a u b e c h i e si 等发现使用框架可 将l 2 ( r ) 中函数展开成类似于标准正交基展开的级数后【7 】，许多专业人员才开始 研究框架及其应用。目前，框架是应用广泛、生气勃勃的一个数学研究方向， 也是图像处理、数字通信等信息学科的重要工具之一。算子成为研究框架理论 的重要工具，虽然框架算子是可逆的，但准框架算子不一定可逆，这就决定了 伪逆算子在研究小波与框架理论中将扮演很重要的角色。 通过学习李登封和薛明志合编的( b a n a e h 空间上的基和框架，使我对框架 有了系统的认识。为了给出框架的另一个特征刻画，引入了值域是闭的线性有 界算子的伪逆的定义： 定理a 【1 1 假设k ，日是h i l b e r t 空间，t ：k 专日为线性有界算予且r ( 丁) 为 闭的，那么存在线性有界算子t + ：h 专k ，使得 v f 犬( r ) ，t t + f = f 。 ( 1 1 ) 定义l 定理彳中构造的丁+ 称为算子r 的伪逆。 本文的第三章将对值域是闭的线性有界算子的伪逆的性质及应用进行研究， 使得我们对此类算子的伪逆有更加深入的了解。 1 9 7 5 年，e j b e u t l e r 对线性有界算子的伪逆算子的乘积进行深入的研究，得 到如下结果： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l $ 定理b 【2 】设矿是从h 到日的线性有界算子，u 也是从日到日的线性有界算子， 并且它们的值域r ( n 和j 5 c ) 都是闭的，则： ( w ) + = v + u + 当且仅当 ( 1 ) e ( u v ) 是闭的； ( 2 ) r ( u + ) 在w 。下不变： ( 3 ) g ( u ) n k e r ( v ) 在f l u 下不变。 c h r i s t e n s e n 在文献【3 】中主要讲述了h i l b e r t 空间中值域是闭的的线性有界算子 的伪逆算子与框架算子的逆算子之问关系： 设h 是无限维可分的h i l b e r t 空间，y 是日的闭子空间， ) ：。为v 的框架，相 应的框架算子s 可以被看作是从v 到y 算子，s - 1 与r + 有以下的关系，这里 t ：1 2 ( d - 9 h ，丁 q = q z 。 i = l 定理c 3 】 ? + 厂= ：i ，v f h 。 对值域是闭的线性有界算子的伪逆的研究已经很多，但对值域不是闭的线性有 界算子的研究却极少。本文将在第四章主要介绍值域非闭的线性有界算子的伪逆算 子，主要结论如下： 定理1 假设k ，日是h i l b e r t 空间，t ：k - - - hh 为线性有界算子，r ( 丁) 不是日的 闭子空间，那么存在稠定的线性无界闭算子r + ，使得 刀+ f = 厂，v f r 口) 。 在第五章，本文将对稠定的线性无界算子的伪逆进行阐述，得到如下结果： 定理2 假设k ，日是h i l b e r t 空间，t ：k 专h 为稠定的线性无界闭算子，且 足( d 为闭的。那么存在唯一的线性算子t + ：日jk ，满足以下条件： ( i ) k e r ( t + ) = r ( r ) 上； ( i i ) r ( t + ) = ( k e r t ) 上； ( i i i ) 7 + f = f ，v f r ( 丁) 。 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章预备知识 本文中的h i l b e r t 空间指无限维可分的h i l b e r t 空间。所有的算子都是线性的。 定义1 假设 ) 乙为h i l b e r t 空间日的点列。如果存在常数b 0 ，使得 2 v h ， i 函为h i l b e r t 空间h 的点列，如果存在常数a ，b 0 ，使得 2 v f h ， a l i 厂1 1 2 e l 晶为恰当框架。 定义3 假设 以) 乏。是日的框架。定义算子 丁：，2 ( ) 专h ，r ( 吼) 函) = q 以 k * i 则丁是有界的。z 称为准框架算子。它的对偶算子丁为 t 。：hj 1 2 ( ) ，t = 乙 丁称为分析算子。因为 以 ：为b e s s e l 点列，所以级数 五无条件收敛。 k - - i 定义4 舅t t ：s = 7 。：日专h ，s f = 以称为框架 以) 乙的框架算子。 七暑l s 为线性有界正定算予且可逆。 定义5 假设k ，日是h i l b e r t 空间，t ：kjh ，如果算子丁的定义域d ( 丁) 在k 中稠密，即万丽= k ，则称丁在k 上是稠密定义的，简称稠定。 定义6 假设e ，e 都是赋范线性空间，r 是由e 的子空间d 到巨中的线性算子， e o 巨中形如o ，t x ) ， d ) 的元素的全体 ( x ，t x ) ix d ) 称为r 的图像，记为 g ( 丁) 。如果g 仃) 是e o 置的闭子空间，则称丁是闭算子。 定义7 如果 口。 ：。，俄 = ，2 ( 忉，则 口一以) ：。i i ( 柳且 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( k 以1 ) 2 ( k i ) 2 ( i b i ) 2 ( 2 2 ) n = ln r in = l 式( 2 2 ) 通常称为c a u c h y s c h w a r z 不等式。 定理8 1 5 】假设k ，日是h i l b e r t 空间，t ：k - 4h 为线性有界算子。那么 ( 1 ) k e r ( t ) = r ( t 。) j - k e r ( t ) = r ( 丁) 上， r ( t ) = k e r ( t ) - i - 9 e ( r ) = k e r ( r ) 上； ( 2 ) l l 玎恻lr1 1 2 ； ( 3 ) r ( j r t ) 在中闭当且仅当r ( t ) 在k 中闭。 定理9 4 】假设e ，巨都是赋范线性空间，丁是由e 的子空间d 到五中的线性算 子，则丁为闭算子的充要条件是：对任意的 以) ：，cd ( n = 1 , 2 ，3 ，) ，若 以) 晶， 孜。 ：i 在e ，巨中分别收敛于x ，y ，则x d j l t x = y 。 定理1 0 1 2 】设y 是从日到h 的线性有界算子，u 也是从何到h 的线性有界子， 并且它们的值域尺( y ) 和r ( u ) 都是闭的，则： ( w ) + = v + u + 当且仅当 ( 1 ) e ( u d 是闭的； ( 2 ) e ( u ) 在w 下不变； ( 3 ) r ( u ) n k e r ( v ) 在u u + 下不变。 定理1 1 1 4 】( 共鸣定理) 假设x 为b a n a c h 空间，】，为赋范线性空间。如果 瓦 。卧 为从x 到】，一族线性有界算子，a 为可数指标集，那么若v x x ， s u p l l t 。( x ) i i 佃，贝, js u p l l r 。0 - ， 因为 m y 2 r ( r ) ck 。功匕= m y 2 ，则有f ( m j ，2 ) = 0 ，从而y i 一儿k e r ( t ) = r ( 乃上， 所以咒- y 2 尺( 丁) n 尺( 丁) 上，y l - y 2 = 0 ，y l = y 2 ；故刀。：r ( r ) 一尺( 聊为一一映射。 类似的可以证明r t ：k 呱丁) 上专k e r ( r ) 上为一一映射。 性质( 4 ) 的证明： 7 证明：由第二章的定理( 8 ) 知刀是从日到日的线性有界算子，再由引理3 3 知r i f t ) = 尺叮) ， 故玎的值域是h 的闭集，由引理3 1 知： 刀何j + 切_ 刀刀夕+ k 何j = 厨i 删j = i di r ：o ，t t 刀。j + b - = 0 ， y 因为t t + i r ( t ) = d1 月( r ) ，t t + r ( r p = 0 且r + 唯一，因此r + = z ( 刀。) + ； 另一方面，易证明t ( t r ) + t + l r ( r ) = i dl r ( r ) ，t ( t r ) + t 。i r ( r ) - = 0 ， 因此t + = ( t r ) + t = t ( t r + ) + 。 当丁是满射时，r ( t ) = h ，由伪逆的构造知( 刀) + = ( t t ) 一。 ( 5 ) ( t t ) + 是自共轭的，即( ( 刀。) + ) = ( t r + ) + 。 证明：觇，y k = 尺( 丁) r ( 丁) 上，x = x i + x 2 ，j ，= y 1 + j ，2 ， 其中黾，y i 尺( d ；工2 ，y ：r ( 丁) ，由引理3 3 知刀限制在r ( r ) 上可逆，为书写简便 起见，仍记为( 刀) ，则 - = _ = = = ，故( ( 刀) + ) = ( t t ) + 。 ( 6 ) ( t + ) = ( r ) + 。 证明：由性质( 4 ) 、( 5 ) 得 ( 丁+ ) 。= 盯( t t ) + ) 。= ( ( 刀) + ) 。t = ( t t ) + r ，( r ) + = ( t t ) + 丁， 故( r + ) + = 仃。) + 。 ( 7 ) 口+ ) + = r 。 证明：f + ) + ：kjh ，根据伪逆的定义， r ( ( r + ) + ) = k e r ( t + ) 上= j i c ( 丁) ，k e r ( ( t + ) + ) = a ( t + ) 上= k e r ( t ) 。 v x k ，x = 毛+ x 2 ，其中x l k e r l ( 丁) 上，屯k e r ( t ) ， ( r + ) + x = ( r + ) + x l = ( ( r + ) l r ( r ) ) 一1 _ = ( 口勺_ 1 ) - 1 五= 藏l = t x 。 因此仃+ ) + = r 。 ( 8 ) 仃n + = t + ( 丁+ ) + 。 证明：由第二章定理8 知r ( t + ) 是闭的，从而r ( t 。r ) 是闭的，这是因为 r ( 丁) 上= ( z 阿) 上= k e r ( t ) ，r ( t t ) = t r ( 日) = t ( z h + ( z 印上) = t h ； 又由引理3 3 知：乃”：尺( z ) - - 9 , r ( t ) 为一一映射，所以t t 似( 丁) ) = e ( t ) ，即r ( t ) 在刀下不变； 8 且r ( t ) n k e r ( t ) = r ( d n r ( d 上= o ， t t c r ( t ) nk e r ( t ) ) = t r 0 ) = 0 = r ( u ) f l 尺( u ) 上， 这说明r ( t ) nk e r ( t + ) 在刀下不变； 由第二章定理1 0 知性质( 8 ) 结论成立。 伪逆的应用： 下面给出值域是闭的线性有界算子的伪逆算子在框架理论中的一个重要应用： 定理3 4 五) 乏l 为h i l b e r t 空间日的框架当且仅当线性算子 t ：，2 ( 柳专日，丁( q ) ：。) = c 。 k = l 是从，2 ( n ) 至i j h 上有定义。 为证明定理，首先给出下面两个引理： 引理3 5 假设 五，函为h i l b e r t 空问h 的点? u r v c 七 ：l ，2 ( ) ，级数气五收 敛，那么算子 t ：，2 ( ) jh ，丁( 慨) 是。) = c 。五 k = l 有定义且线性有界。更多地，丁的共轭算子r 为 t ：hj 1 2 ( 忉，? + f = ) 晶， 并且 ( 3 2 ) ( 3 3 ) v fe h ，l 1 2 - ：。l | ， 所以有界。注意到v c 。 z 2 ( 聊，级数c 七 收敛，所以 c t ：，是收敛点 列，从而为有界点列。这表明v q 是，2 ( z o ， 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s s u 帆奴) 划= s u 喉c 。以卜。 因此由共鸣定理知，s u p l l 瓦l i c o 这样，由 瓦( c i ) ：) 斗丁( c t ，晶) ，刀- - - o f ) 知，t 有界。 下面证明式( 3 3 ) 。v f h ，v c t 函1 2 ( ) 有 - _ 一c k 。( 3 5 ) 已证t 有界，所以t ：h 专z 2 ( ) 有界。设仃。门。表示r 厂的第七个分量，其中 f e l l 。注意到l ( 丁力。i - 1 1 r d - - 和式( 3 5 ) 知， v c t 函1 2 ( m 和v f h ，有 一 i = 一c k 。 ( 3 6 ) 式( 3 5 ) 表明几= ，因而丁f = ) 乏l ，即式( 3 3 ) 成立。 由忙d - l l r 1 | l l x i l 和式( 3 3 ) 知， v ，艺l 1 2 盯+ 1 1 2 i i 卅1 2 = 例| 2 l l 卅1 2 ， 所以，式( 3 4 ) 成立。证毕。 引理3 6 假设 以) ：。为h i l b e r t 空间h 的点列，那么 ) ：i 是界为b 的b e s s e l 点列当且仅当 t ：，2 ( 忉jh ，r ( h 乙) = 龟以 定义的算子丁有意义，线性有界且0tl i i v ，有 k - i 9言靠一羔c。以9=9塞气以0=s。yu圳pl | i l t = 1i8 j ，一l t = i ( 蚶) 2s u p ( 艺f 1 2 ) i k f f i m + ll y l 。1k - m + l b j l ( 蚶) i 1 。 所以 c 。 ) ：是c a u c h y 列，从而q 以收敛。这样，由引理3 5 知，式( 3 2 ) 定义的r 有意义且线性。y 、v c ) ：l 1 2 ( ) ，由c a u e h y - s c h w a r z 不等式和式( 3 7 ) 知， l i t ( c t l ) | = i s 小- p 。l t ( q l - 圳y l i = s u p l 芝矧c , | b j i i c , ) 圳 所以0 t | l 函为b e s s e l 点列，于是 只需证明式( 2 1 ) 中左不等式成立即可。因为r ( z ) = h ，所以丁的伪逆z + 是从 砸0 i 2 ( 加的线性有界算子。由引理3 5 知，v f h ，刀+ f = f ，从而 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s f = t t + = ( 丁+ 力量五， ( 3 8 ) 其中( r + 门七为丁+ f ，2 ( ) 的第k 个分量。由( 3 8 ) 式知 这表明 f i 4 = 厂，厂) 2 爿 t 2 l ( 丁+ 力七1 2 l 1 2 爿lr + f1 1 2 l 1 2 马it + 2 0f l 2 i 厂，五) 2 。 i 丁+ i l - 2 0fi 2 i f ， ) 1 2 。证毕。 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第四章值域不是闭的线性有界算子的伪逆 线性有界算子值域不一定都为闭的。 例：设 e 。 ：。为h i l b e r t 空间h 的规范正交基，定义线性算子 t e n = e n + e n + l , v n l 于是 v c 。) ：。，2 ( 聊，丁( c 。) = c 。( + p 州) = c 。白+ ( c 一_ + 巳弘。， n = ln = ln = 2 则r 为线性有界算子，但r ( r ) 不是闭集。 证明：先证明丁是线性有界算子： 显然r 是线性的，下面证明t 是有界的，v x h ，j c 。) ：。使锨= c 。p 。则 9t x l l 2 刊jr ( c 。) 1 1 2 爿c 。1 2 + i 厶一，一岛1 2 马q1 2 士2 ( j 一。1 2 + l c o1 2 ) n = ln = 2n = 2 cd ( t + ) = r 仃) o r ( t ) 上，如果 斗x ，z + 矗一y 那么石d ( t + ) ，y = t + x 。不妨设 x 。 cr ( t ) ，则只需证 x r ( 丁) ，y = t + x 。因为 x n ) cr ( t ) ，所以存在 儿 c k e r ( r ) 上使得 x n = 移。= r y 。由于矗专x ，t 是线性有界可逆算子，由t + 的定义知 y 。= r + x njy ，又由于r 丁) 上是闭的，所以y ( k e r t ) 上，且移。哼移，即x n - t y 。 又专x 故x = 移灭( 而= r ( 丁) ，又由t + 的定义知y = 丁+ x 。由引理4 1 知丁+ 是无 界的。 r + 的构造图解如下： 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 而( k e r t 。) 上而。k e 上r t ：= 日k ，零( k 芸e r t n ) 于叫。姗上厂：矗夕蠢等， r ( 丁) 0 尺( 丁) = 日 r ( 丁) v 【o ，一，即) 于是d ( t + ) = 尺( 刃or ( 丁) 上，且d ( 丁+ ) = r ( t ) or ( 丁) 上 r + 是稠定的。 = r ( t i o 丽上= h ，故 定义4 3 上面定理中构造的丁+ 即为值域非闭的线性有界算子的伪逆。 1 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第五章稠定的线性无界闭算子的伪逆 在第四章中，我们讨论了值域非闭的线性有界算子的伪逆是稠定的线性无界 闭算子，下面我们讨论在h i l b e r t 空间日上稠定的线性无界闭算子的伪逆。 定理5 1 假设k ，日是h i l b e r t 空间，t ：k 一日为稠定的线性无界闭算子，且 尺( n 为闭的。那么存在唯一的线性算子t + ：h - - 9k ，满足以下条件： ( i ) k e r ( t + ) = r ( 丁) 上； ( i i ) r ( t + ) = ( k e r t ) 上； ( i i i ) t t + f = f ，v f 尺( d 。 证明：因为t ：k 专h 为稠定的线性无界闭算子，所以d ( 丁) = k 。考虑 f ：( k e r t ) 上n d ( t ) 专尺仃) ，显然于是单射且r ( f ) = r ( 丁) 。因此f 是 ( k e rt ) 上n d ( t ) 到r ( t ) 的线性可逆算子且f _ 1 ：r ( t ) j ( k e rt ) 上nd ( t ) 。定义 r 厂2 衙鬈麟徘叭谳脯足 下面证明( i i ) 成立： 由上面的构造知r ( t + ) = ( k e r t ) 上n d ( d 。一方面 丽历= 面i 万彳洒丽c ( k e r t ) 上1 7 d ( t ) ：( k e r t ) 上f in ：( k e r t ) 上；另一方面 v ( k e r t ) 上k ，因为西两= k ，所以j 厶) ：d ( r ) 使得无专f ，押- - - ) 0 0 ； x i 酗( k e r t ) 上是闭的，所以存在子列 厶) 函 e r r ) 上使得 厶jf ，k 专，于是 厶 ：l ( k e r t ) 上nd ( t ) r 厶专f ，k 专，故 f ( k e r d 上nd 仃) = r ( r + ) ，因此( k e r d 上r ( t + ) 。 综_ lr ( t + ) = ( k e r d 上，( i i ) 成立。 r + 的构造图解如下： ( k e r r ) 上o k e r t ：k ( k e r t ) 上nd ( t ) ，矛于。， f = 丁l 阳r ) n d ( n ， r ( 丁) o r ( d 上= h r ( 丁) 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 丁+ 7 r ： r l f ，f e r ( p 。 【o , f r ( d 上 定义5 2 上面定理中构造的r + 即为值域为闭的的线性无界闭算子的伪逆。 下面给出此类算子的伪逆的一个应用： 。 设 以 函为h 中的点列，定义算子t ：d ( t ) 璺2 ( 忉专h 如下 丁h 函= 吼 ，d ( 丁) = c 。 函1 2 ( ) l q 以收敛) 易验证，由所有有限点列组成的集合在，2 ( ) 中稠密且包含在d ( t ) 中，因此r 是稠定的，且丁可能是无界的。 定理5 3 假设上面定义的丁是闭算子且是满射，则 ( i ) 存在日中的b e s s e l 点列 g 。 ：。使得厂= ，v h 又r + f = 1 2 ：羔旷厂) 。h 2 w 从而 1 7 硕士学位论文 l a s t e r st h e s i s 因此 1 1 ：1 1 4 = l 1 2 = i ( 丁+ j r ) 七 ，叫 i 1 2 i k = li 壹i ( 丁+ 门。f 2 妻l 1 2 p + | | 2 l i 州2 k = lk = l 击2 川r “ 结论( i i ) l 1 2 ，可h 。 k = l 得证。证毕。 1 8 k - l 爿2 五 ， 。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】李登封，薛明志，b a n a c h 空间上的基和框架【碉北京：科学出版社2 0 0 7 2 r b o u l d i n ，n l ep s e u d o i n v e r s eo fap r o d u c t j ，s i a mj a p p l m a t h 2 4 ( 19 7 3 ) 4 8 9 - 4 9 5 【3 0 c h r i s t e n s e n , f r a m ea n dp s e u d o i n v e r s e s j ，m a t ha n a la p p l ， 1 9 5 , 4 0 1 4 1 4 ( 1 9 9 5 ) 【4 】王声望，郑维行，实变函数与泛函分析第二册【m 】北京：高等教育出版社2 0 0 5 【5 w b u d i n ，f u n c t i o n a la n a l y s i s m ，m c g r a w - h i l l , n e wy o r k , 19 7 3 【6 r j d u f f i n , a c s c h a c f f e r , ac l a s so f n o n h a r m o n i cf o u r i e rs e r i e s j ， t r a n s a m e r m a t h s o c ，7 2 ( 1 9 5 2 ) 3 3 1 - 3 3 6 【7 d a u b e c h i e si , g r o s s m a na n da m e y e ry , p a i n l e s sn o n o r t h o g o n a le x p a n s i o n 【j 】，j m a t h p h y , 2 7 ( 1 9 8 6 ) 1 2 7 1 1 2 8 3 【8 t n e g r e v i l l e ，t h ep s e u d o i n v e r s eo far e c t a n g u l a ro r s i n g u l a rm a t r i x a n di t s a p p l i c a t i o nt ot h es o l u t i o no fs y s t e m so fl i n e a re q u a