（应用数学专业论文）几类差分方程正解存在性研究.pdf

摘要 近年来，随着差分方程在自动控制、经济系统、动力系统、生态系统等多方面的应 用，特别是计算机技术的蓬勃发展，使得差分方程的应用涉及到了非常广泛的领域，同 时也提出了许多差分方程边值问题的理论模型。因此，利用泛函方法研究差分方程边值 问题正解存在性得到了众多学者的关注。对于差分方程边值问题的研究，无论是理论上 还是实际中，都有非常重要的意义。 本文主要研究几类差分方程边值问题多个正解的存在性。全文共分四章，主要内容 如下： 第一章介绍差分方程边值问题的发展概况，并概述了本文的主要工作； 第二章利用l e g g e t t - w i l l i a m s 定理的一个推广对一类带p - l a p l a c i a n 算子的二阶差 分方程边值问题进行了讨论，给出了边值问题正解存在的充分条件； 第三章利用l e g g e t t w i l l i a m s 定理的另外推广得到了一类带p - l a p l a c i a n 算子的二 阶d i r i c h l e t 边值问题正解的存在性； 第四章利用锥上的不动点定理，给出了一类三阶差分方程至少两个正解的存在性条 件。 关键词：差分方程，边值问题，正解，锥，不动点定理 t h es t u d yo fe x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r s e v e r a lc l a s s e so f d i f f e r e n c ee q u a t i o n s s h iy a n p i n g ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f f e ix i a n g l i a b s t r a c t d u et ot h ew i d ea p p l i c a t i o ni nm a n yf i e l d ss u c ha sc y b e r n e t i c s ，e c o n o m i c s ，d y n a m i c s y s t e m ，e c o l o g y , e t c ，e s p e c i a l l y t h er a p i dd e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g y , t h e a p p l i c a t i o no fd i f f e r e n c ee q u a t i o n si n v o l v i n gi nv e r yw i d e nf i e l d s ，a n dl o t so fm o d e l sa b o u t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r eb r o u g h tf o r w a r d t h e r e f o r e ，b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n sh a v er e c e i v e dm u c ha t t t e n t i o nf r o mm a n ye x p e r t sa n d s c h o l a r s i ti s m e a n i n g f u lw o r ke i t h e ri nt h e o r yr e s e a r c h e so ri na p p l i c a t i o n st os t u d y b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l yd i s c u s s e st h ee x i s t e n c e so fs e v e r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r d i f f e r e n c ee q u a t i o n s t h ep a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p e r s ，m a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c eas u r v e yt ot h ed e v e l o p m e n to fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，a n ds u m m a r i z et h em a i nr e s u l t si nt h ed i s s e r t a t i o n i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n sf o ra 姑n do f p l a p l a c i a n d i f f e r e n c ee q u a t i o nb yu s i n ga na p p l i c a t i o no faf i x e dp o i n tt h e o r e md u et oa v e r ya n d h e n d e r s o na n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa l eg i v e n i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yad i f f e r e n tk i n do f p - l a p l a c i a nd i f f e r e n c ee q u a t i o nw i t ht h e d i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n sa n dt h e no b t a i nt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n sb y u s i n ga n o t h e r a p p l i c a t i o no faf i x e dp o i n tt h e o r e md u et oa v e r ya n dh e n d e r s o n i nc h a p t e rf o uw ei n v e s t i g a t et h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rat h i r d - o r d e rn o n l i n e a r d i f f e r e n c ee q u a t i o n s o m ev e r i f i a b l ec r i t e r i af o rt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt w o p o s i t i v es o l u t i o n s a r eo b t a i n e db yu s i n gt h eg r e e nf u n c t i o n sa n df i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s k e y w o r d s ：d i f f e r e n c ee q u a t i o n ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，p o s i t i v es o l u t i o n ，c o n e s ， f i x e dp o i n tt h e o r e m n 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名： 韭塞至 日期：年月e 1 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印刷版 和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、借阅和 复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、缩印或其他 复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签 指导教师签名： 日期： 日期： 年 年 月 月 日 日 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 关于常微分方程边值问题的研究理论可以追溯到牛顿和莱布尼茨建立微积分学的 最初阶段。2 0 世纪以来，泛函分析逐渐成为研究常微分方程边值问题的重要理论工具。 在泛函分析理论以及实际问题的推动下，常微分方程边值问题的研究发展迅速。除了传 统的二阶常微分方程两点边值问题以外，许多学者也对高阶微分方程的边值问题、奇异 边值问题、无穷区间上的边值问题、带p l a p l a c e 算子的边值问题、脉冲边值问题、时 滞边值问题进行了比较充分的研究工作。 差分方程作为微分方程的离散化，有着许多与微分方程类似的性质，因此，差分方 程的一些结论，完全可以由微分方程的平移得到。但是，作为一个单独的数学分支，差 分方程已经呈现出越来越多的独立性。例如，一个一阶常微分方程的离散化形式的差分 方程可以产生混沌，但对微分方程而言，只有高阶方程才有这种可能。另外，对于一阶 微分方程x ( f ) + p ( ，) x ( ，) = 0 ，其解为x ( f ) = x ( t o ) e x p ( 一fp ( s ) d s ) 是非振动的；但其离散方 _ 0 n - i 程x ( + 1 ) = ( 1 一p ( 疗) ) x ( 刀) 的解x ( 刀) = x ( ) f i ( 1 一p ( 歹) ) ，当1 一p ( ，) 0 时，其解振动。事实 j = 嘞 上，由于差分方程与微分方程作用的拓扑空间不同，离散变量求无穷和往往比连续变量 求积分更为困难，因此差分方程往往需要比微分方程更严格的限制条件才能得到类似的 结果。从方法上来说，由于与微分方程的共通性，研究差分方程可以借鉴微分方程的已 有方法。 另一方面，我们知道，许多差分方程直接来源于医学、生物数学、统计学以及矩阵 计算等实际问题中；近年来，随着计算机科技的蓬勃发展，差分方程理论也已广泛应用 于计算机信息控制、工程控制、神经网络科学和社会经济活动中。这吸引了大量的数学 工作者对其进行了各方面的深入研究，这些研究涵盖了差分方程的各个方面，比如解的 存在性、唯一性、稳定性、吸引性等等。正如世界著名的动力系统专家l a s a l l e 在其专 著动力系统的稳定性中所说：今天愈来愈有必要系统的研究差分方程。他们都拥有 本身就很重要的数学模型从而，差分方程的研究为微分方程、微分一差分方程和泛 函微分方程的稳定性提供了一个很好的入门途径。 非线性泛函分析是现代数学的一个重要分支，它的丰富理论和先进方法为解决当今 1 第一章绪论 科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具，在研究实际问题所对应 的多种非线性积分方程、微分方程和偏微分方程的性质中发挥着不可替代的作用。f 1 2 0 世纪以来，泛函分析逐渐成为研究常微分方程边值问题的重要理论基础。事实上，常微 分运算和积分运算的共同特征是，它们作用到一个函数后都得到一个新的函数，可以将 这些运算统一抽象为算子。泛函分析正是在算子概念的基础上发展起来的。上世纪3 0 年 代中期法国数学家j l e r a y 和j s c h a u d e r 建立t l e r a y s c h a u d e r 度理论，他们的方法用于研 究线性微分、积分、泛函方程时取得了巨大的成功。尤其是这种理论对常微分方程边值 问题的应用，形成了常微分方程拓扑方法或泛函方法，其核心是各类不动点定理的建立 和应用。由于边值问题正解的存在性在理论上和应用上的重要性，在常微分方程、差分 方程及偏微分方程领域边值问题正解的存在性引起了国内外许多数学工作者的广泛关 注。差分方程作为其中的一部分，如何利用拓扑度理论、不动点理论及半序方法等非线 性分析中的先进的分析工具，来研究相应的边值问题，近年来引起了国际上许多数学工 作者的浓厚兴趣。 1 2 边值问题正解的发展概况 常微分方程的产生已经有三百多年的历史，远在1 7 、1 8 世纪，在力学、天文、物理 和技术科学中，就借助于微分方程，取得了巨大的成就。在微分方程的定解问题中，除 初值问题外，还有一类同数学物理问题密切相关的所谓边值问题和特征值问题。这一问 题的研究，从1 9 世纪3 0 年代由s t u r m 和l i o u v i l l e 讨论二阶线性方程边值问题 s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题起，到2 0 世纪由h i l l b e r t 等人奠定了常微分方程边值问题的理 论基础，不论在问题的深度和广度方面还是在研究方法上都有了很大的发展。 一般而言，边值问题的解不一定存在，如果存在，也不一定唯一。因此，研究边值 问题解的存在性和解的个数是一个很重要的课题。到目前为止，借鉴微分方程的研究方 法，差分方程的边值问题也已经有许多学者应用多种不同的方法和技巧进行过深入细致 的研究，如临界点理论、不动点理论以及拓扑度理论已经被广泛地应用于研究各类差分 方程不同边值问题的存在性。目前，对一元未知函数边值问题的研究，覆盖了常微分方 程、差分方程、泛函微分方程、脉冲微分方程和带l a p l a c e 算子的微分方程。尽管人们对 边值问题的研究取得了一系列的成果，但有许多问题的理论研究尚不完善，对于这些问 题的进一步研究，无论在理论上还是在实际应用中都有很重要的意义。 由于现实世界的许多问题中，只有正解问题才有实际的物理、经济学意义，因此， 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 实际生活中往往需要求解边值问题模型的正解，正解问题的研究是人们持续关注的对 象，并对其进行了广泛的研究而且取得了丰富的成果。e r b e 和w a n 1 1 首先利用 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理【2 】研究了方程甜”( f ) + 口( ，) 厂 ) = 0 正解的存在性，其中口( f ) 在 o ，1 】上连续，f ( u ) 在【o ，佃) 上连续。此后，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理被广泛的应用到边 值问题正解存在性的讨论中。 a v e r y 3 1 等人利用孪生不动点定理得到了右焦点边值问题 y 。+ ( y ) = 0 0 f 1 y ( o ) = y ( 1 ) = 0 至少存在两个正解，其中f ：r 一 o ，佃) 是连续的。 经典的二阶常微分方程边值问题，无论是周期边界条件还是s t u r m l i o u v i l l e 边界条 件，定解条件都是在给定区间的两端加以限制。鉴于边界条件的离散化，从2 0 世纪8 0 年代中期开始研究二阶常微分方程的多点边值问题。最早的研究始于1 1 ，i n 和m o i s e e v 4 对线性二阶常微分方程多点边值问题的研究；受u i nv a 【4 】的启发，g u p t a 5 1 研究了一类 非线性常微分方程边值问题。从此以后，很多学者研究了更一般的非线性多点边值问题 “i 0 1 。m ar 【1 1 1 研究了如下的聆阶m 点边值问题 i ”o o ) + 厂( f ，“) = o ，f ( o ，1 ) 1 甜( o ) ：o ，甜，( o ) ：“( n - 2 ) i 毛甜( 毒) 1 1 l 甜( o ) = o ，甜( o ) = = ，”( 1 ) = 毛甜( 毒) 、11 ， 在给定格林函数的前提下，利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理给出了如下的结论： 定理1 - 1 设存在非负数口，6 ，c j t o 口 b o ( i = l ，2 ，m 一2 )，0 = 磊 螽 磊 彘一2 厶一i = 1 且 o ：2 毛劈一1 1 ； ( h 2 ) f ：【o ，1 x o ，0 0 ) _ 【0 ，o o ) 连续； ( h 3 ) 巾，“) 云，( ，甜) o ，l 】m 】； ( h 4 ) 巾，甜) 口， ，骢l 】“2 ( ) 1 ) 称为p - l a p l a c e 算子。智利数学家较早地研究了此类边值问题， 并很快引起了数学界的重视，取得了一系列的研究成果【1 4 , 1 5 】，成为了一个经久不衰的研 究课题。j id e h o n g 1 q 研究了边值问题 f ( 砟( 甜) ) + g ( f ) 厂( ，甜) = o ，( o ，1 ) 疗 n 2 善州鼽“1 ) 2 善刷毒) 在非线性项f ( t ，甜) 变号的情况下，利用锥上的不动点定理，得到了上述边值问题多个正 解的存在性。其中当( o ，1 ) 且o 磊 岛 磊 1 ；，层e o ，o o ) 且o ，属 1 到目前为止，带p l a p l a c e 算子的各种边值问题，比如多点边值问题、周期边值问题、 奇异边值问题以及高阶方程的边值问题都有学者对其进行了研究；但至今尚无讨论时滞 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 影响的工作，这是以后的一个研究重点。 1 9 2 7 年托马斯和费米为确定原子中的电动势独立导出t - - 阶常微分方程的奇性边 值问题 卜乞；：。 【x ( o ) = 1 ，x ( 6 ) = 0 这是对奇异边值问题的首次研究。对这类问题的研究一开始主要着重于奇异两点边值问 题，随着讨论的深入，又有学者将注意力转移到了奇异多点边值问题的讨论【1 7 - 2 2 1 。l i u z e q i n g t 2 3 1 讨论了如下的奇异两点边值问题 矿o ) 一a ( t ) f ( t ，x ( f ) ) = 0 ，a 歹， 0 ，f g ( t ) t t ( t ) d t 佃； ，w ( h 2 ) f ： a ，6 】( 0 ，佃) 专【o ，佃) 连续，且对任意的c ，d ( 0 c d ) 均有 l i ms u p ig ( t ) a ( t ) f ( t ，x ( t ) ) d t = 0 ； ”一。x e 气d ： ( h 3 ) f ( t ，s ) 所，o ，j ) 【p ，q x 2 j m j n h ( p ) ， ( g ) ，歹】； ( h 4 ) f ( t ，s ) 坶，( ，j ) 【口，6 】 ，f 】 其中江m a ) 【 五面，警) ，则边值问题( 1 - 2 ) ( 1 3 ) 在锥p 上至少存在一个解。 5 第一章绪论 葛渭高【2 4 j 和他的团队关于非线性常微分方程两点边值问题和近几年来引起广泛关 注的多点边值问题的研究成果进行了比较全面的总结。r a v i a g a r w a l 2 5 】等对微分方程、 差分方程及积分方程的半正、半无限区间、奇异、( n ，p ) 、共轭等类型的两点边值问题进 行了部分研究成果的总结。 自从德国学者s t e f a nh i l g e r l 2 6 】于1 9 8 8 年在其博士论文中，旨在统一连续分析和离散 分析理论而引人了一种新的分析理论，即测度链上的分析学以来，测度链( 主要是时标 链t i m es c a l e ) 上动力系统的边值问题也受到了比较广泛的关注【2 7 。3 0 1 。 1 3 本文的主要工作 受到前人工作的启发，本文主要研究了两类带p l a p l a c i a n 算子的二阶差分方程边 值问题的多解性及一类三阶差分方程至少两个正解的存在性，所涉及到的工具主要有： l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理的两个推广以及锥拉伸与锥压缩不动点定理，详细的内容可 参考第二章至第四章，所得的结果推广了前人的工作。 第二章，我们主要讨论差分方程 a ( p c a u ( t 1 ) ) ) + a ( t ) f ( t ，甜( ，) ) = 0 ，f n 1 ，丁+ l 】 在边界条件 a u ( 0 ) = 0 ，u ( t + 2 ) = 0 或者 “( 0 ) = 0 ，a u ( t + 1 ) = 0 下正解的存在性。 在这章中，我们主要利用了l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理的一个推广证明了上面问 题至少三个正解的存在性，这种方法利用递推求得了边值问题的等价形式，从而将对 g r e e n 函数的复杂求导转化为对比较简单的递推公式的推导。这对差分方程的研究有一 定的意义，而且也是一种新的研究差分方程的方法。我们通过对非线性项施加一定的 条件，讨论了三个正解的存在。具体内容可见第二章。 第三章中，我们主要考虑如下差分方程 a c c p ( a u ( t 一1 ) ) ) + q ( t ) f ( t ，甜o ) ) = 0 ，n 1 ，t 】 满足边值条件 6 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 z f ( 0 ) = u ( v + 1 ) = 0 时至少三个正解的存在性。 在这章中，受到前一章内容的启发，我们利用l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理的另外 一个推广，在非线性项厂满足一定条件下，得到了上述边值问题至少三个正解的存在。 该方法推广了其他文献【3 l 3 2 1 中对带p l a p l a c i a n 算子的二阶d i r i c h l e t 边值问题正解的讨 论。 第四章主要考虑下列三阶差分方程 a 3 x ( ) = f ( t ，x ( f + 1 ) ) ，f l ，则 n 1 ，t + i 】= 1 ，2 ，t + i ) a 为向前差分算子，定义为a u ( t ) = u ( t + 1 ) 一u ( t ) ， 2 ”( f ) = ( 掰) ) 力( s ) 爿s r 2 咯( p 1 ) 是一个p l a p l a c i 趾算子，筇1 = 噍( 吉+ 吉= 1 ) 在本章中，我们总假定下面两个条件成立： ( p 1 ) 厂是n 1 ，t + 1 x 0 ，o o ) 上的非负连续函数。 ( p 2 ) a 是n 1 ，t + i 】上的非负连续函数。 近年来，随着差分方程在自动控制、生物科学、计算机理论中日渐重要的应用，有 关差分方程方面的理论研究成果越来越多。这些理论方法大多延续了研究微分方程问题 时的手段与技巧，其中最常见的是利用g r e e n 函数结合各种不动点定理来研究。考虑到 求方程的g r e e n 函数是一项非常繁琐的工作，有学者针对不同类型的边值问题，提出了 一些不同的研究方法 3 3 - 3 6 1 ，这些方法避免了求g r e e n 函数的问题。针对二阶p l a p l a c i a n 边值问题的特点，有人利用递推的方法求得了方程正解的等价形式。l iy o n g k u n t 3 7 1 首次 在未求出g r e e n 函数的前提下，利用l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理的一个推广，求得了 方程 ( 砟( a u ( t 一1 ) ) ) + 口o ) 厂( 甜( f ) ) = o ，n 1 ，t + i 】 ( 2 4 ) 在边界条件 a u ( o ) = 0 ，u ( t + 2 ) = 0( 2 5 ) 8 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 下，至少三个正解存在的充分性条件，这丰富了h ez m 4 8 1 对该边值问题的研究。w a n g d a - b i n 【3 9 1 考虑到l iy o n g k u n 给出的条件的不严密性，作者进一步研究了方程( 2 - 4 ) 在边界 条件( 2 - 5 ) 或 甜( 0 ) = 0 ，a u ( t + i ) = 0 下，当f ( u ) 满足一定条件时，边值问题至少三个正解的存在性。本章主要是受到上面文 章的启发，进一步研究了边值问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 以及( 2 1 ) ( 2 - 3 ) 至少三个正解的存在性，给 出了正解存在的充分性条件，本章的结果是对w a n gd a - b i n 结论的进一步改进与推广。 2 1 预备知识和引理 定义2 1 【4 0 】设e 是一个b a n a c h 空间，尸是e 的非空凸闭集，若满足： ( i ) 对任意的“，1 ，p ，口，0 ，有口”+ p v p ； ( i i ) 若u r 。- - z l p ，则u = 0 则称p 是昱中的一个锥。 设p 是e 中的一个锥，对e 中的部分元素x ，y 引入序关系：x y 当且仅当y - x p 定义2 2 【3 9 】设p 是b a n a c h 空间e 中的一个锥，口：p 专【o ，o 。) 是一个非负连续泛函。 如果对任意的x ，y p ，f 【o ，1 】，均有 a ( t x + ( 1 - t ) y ) t o t ( x ) + ( 1 - o c t ( y ) 则称口是锥p 上的一个凹泛函。 类似的，称是锥p 上的一个凸泛函，如果对任意的x ，y p ， 0 ，1 】均有 罗( 秘+ ( 1 - t ) y ) f 罗( x ) + ( 1 一f ) 声( y ) 为了本章中主要结论的证明，接下来，我们给出有关的定义，以及l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理的推广。 定义2 3 设e = ( e ，i ) 是一个b a n a c h 空间，尸是e 中的一个锥，7 ，0 是p 上的 非负连续凸泛函，口，y 是尸上的非负连续凹泛函，并且存在常数h ，a ，b ，d ，c 0 定义凸集： p ( r ，c ) = x p ：7 ( x ) ； q ( 厂，d ，c ) = x p ：( x ) d ，7 ( x ) c ) ； q ( r ，h ，d ，c ) = x p ：h 少( x ) ，( x ) d ，厂( x ) c 定理2 1 4 1 1 ( l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理) 设尸是b a n a c h 空间e 中的一个锥，口，y 是p 上的非负连续凹泛函，7 ，0 是p 上的非负连续凸泛函。若存在非负常数c ，m ，使得 当x 丽时，有口( x ) 卢( x ) ，l ixl l - m r ( x ) 另t ：丽一丽是一个全连续算子， 且存在非负常数办，口，b ，k ，0 b ； ( i i ) x q ( r ，y ，h ，a ，c ) ：p ( x ) b ； ( i v ) 当x q ( r ，a ，c ) ，y ( a ) h 时，有p ( t x ) a 则算子丁在p ( r ，c ) 上至少存在三个不动点x l ，吃，x 3 ，满足( 而) 口，b a ( 屯) ，a ( 而) ， a ( x 3 ) r ，配备范数怕l i = 俐m 【o ，a m x1l “( f ) l ，则( 丘i ) 构成一个b a n a c h 空间。 2 2 主要结果 2 2 1 第一边值问题的证明 定义 p = 扣e ；u 题r o ，丁+ 2 】上的非负凹函数，a u ( o ) = “( 丁+ 2 ) = o ) 易证p 是e 上的一个锥。 引理2 1 t 3 9 】若“p ，则有： ( 1 ) 砸) 等怕l f ，f n 0 n 2 】； ( 2 ) 函数7 墨兰，f n ( o ，r + 2 ) 是一个增函数。 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 给定常数，r z ，0 ， 哆 t + 2 分别定义p 上的非负连续凹泛函口，缈，非负连续凸 泛函厂，0 如下： ，( ”) = p ( “) = t e | v m 【j 7 a ，r x + 2 】材( f ) = 甜( 7 7 ) ； f l ( 引= 删m a n x ：j u ( t ) = 娴； 口( ”) = ，。m j i 【。n ，】材( f ) = “( ，) ； l f ，( 圳= ，e 1 0 r a i n 。们材9 ) = u ( r i ) 显然，对任意的u p ，有口( “) = f l ( u ) 故 另外，由引理2 1 知 m 却( 啦等恤 怕临篙砌枷p 为方便记，在本节中，我们令 t + ijlt + l， = 名( 口( f ) ) ，允= ( 丁+ 2 一，) 噍( 口( f ) ) ，万= 唬( 订( f ) ) s = t l i = 1，= ls f f i li f f i l 易知，若“o ) 是边值问题( 2 1 ) ( 2 - 2 ) 的解，当且仅当 t + l5 “( f ) = 力( a ( i ) f ( i ，“( f ) ) ) ，f n o ，r + 2 】 ， 这里规定，当f s 时z a i = o f = j 下面给出本节的主要结论。 定理2 2 设0 口 等6 等刚6 砟( 扣【叫】【6 ，高吼 第二章二阶p - l a p l a e i a n 问题三个正解的存在性 ( h 3 ) 厂( ，甜) 力( 詈) ，o ，“) n 0 ，丁+ 2 1 【o ，i ；= 老与口】 n 边n l u - j n ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) 至少存在三个正解坼，“2 ，u 3 ，使得( m ) 口，b a ( u 2 ) ，a 6 o 令u p 0 ，0 ，口，b ，k ，c ) ，有 由( h 2 ) 得到 故 胁尚【0 ，妇 巾“嘞 砟( 鲁n 0 卅 a ( o u ) = ( “) ( ，) r + lj = 噍( a ( i ) f ( i ，材( f ) ) ) s = lf = l ( 丁+ 2 一，) 唬( a ( i ) f ( i ，“( 劝) 妄( 力( 喜删 = b 故定理2 1 中的条件( i ) 成立。 下证条件( i i ) 成立。 令 啷)=等，两(t+2丽)(t+1)-t(t-1)a,tn【0,t+2】； 办：( t + 2 - i ) ( t + i - r i ) 口 ( 丁+ 2 ) ( 丁+ 1 ) 易证 吃q ( r ，h ，a ，c ) 且 第二章二阶p - l a p l a c i a n 问题三个正解的存在性 ( v 2 ) = 屹( ，) = 酉t + 2 - i 口 口 故 “q ( r ，杪，h ，a ，c ) o ( “) b 最后，若u q ( r ，a ，c ) 且少( “) = ( o u ) ( v ) h ，则由引理2 1 知 p ( o u ) = ( “) ( ，) 三兰( t + 2 - i ) ( t + i - r 1 ) a 丁+ 2 一r ( 丁+ 2 ) ( 丁+ 1 ) 口 1 4 ”o 口 ，黼 办 n 耐 口一万 口 = ，l 顶 晶尚 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 从而定理2 1 的条件( i v ) 成立。 综上由定理2 1 得到，算子在丽上至少存在三个正解，材：，u 3 ，使得( ) 口， b a ( u 2 ) ，a l l ( u 3 ) ，o ! ( u 3 ) 6 2 2 2 第二边值问题的证明 定义 p = u e ；u p 副v o ，丁+ 2 】上的非负凹函数，u ( o ) = a u ( t + 1 ) = 0 ) 易证p 是e 上的一个锥。 引理2 2 若u p ，则有： “( ，) 雨t ，f n 0 ，r + 2 】 已知常数，7 7 z ，0 ， ，7 丁+ 2 分别定义p 上的非负连续凹泛函口，少，非负连续凸 泛函厂，o3 u 下： 7 ( ) = p ( ”) = t e m n 瑟0 】甜( f ) = 甜( ，7 ) ； 1 刀l f l ( 圳= m a x ，】u ( 7 ) = “( ，) ； 口( 圳= r a i n + ：j u ( t ) = ； y ( 圳= ，m 岍i n2 】甜( ，) = “( 刁) 显然，对任意的甜p ，有a ( u ) = ( 甜) 故 另外，由引理2 2 知 m 一( 啦南似 丝7 ( 材) ，“p r 为方便记，在本节中，我们令 口t+i r + l， 7 + l = 唬( 口( f ) ) ，a = 能( 口( f ) ) ，万= 噍( 口( m 易知，若“( ，) 是边值问题( 2 - 1 ) ( 2 3 ) 的解，当且仅当 1 5 第二章二阶p - l a p l a c i a n 问题三个正解的存在性 ，7 + l “( f ) = 唬( a ( i ) f ( i ，“( 功) ，ten 0 ，丁+ 2 】 卜向给出本节的主要结论。 定理2 3 设o 口 亍笔6 ，6 c , t 6 力( 知n 1 , t + 2 】【以等小 ( h 6 ) ( r ，甜) 砟( 詈) ，( f ，材) n 0 ，丁+ 2 】【o ，t t + 2 口】 则边值问题( 2 - 1 ) ( 2 - 3 ) 至少存在三个i f _ 解”l ，u 2 ，u 3 ，使得( “1 ) 口，b 口( “2 ) ， a 6 故 甜p ( r ，0 ，口，b ，k ，c ) ：a ( u ) b ) g 令u p ( r ，0 ，口，b ，k ，c ) ，有 由( h 2 ) 得到 故 6 “( f ) 丝c ，n t ，r + 2 】 7 7 巾，) ) 砟( 争，f n 1 ，丁+ 2 】 口( 甜) = ( ) ( z ) ，r + l = 力( a ( i ) f ( i ，“( f ) ) ) s = l，鲁j 7 + l 能( a ( i ) f ( i ，“( f ) ” 故定理2 1 中的条件( i ) 成立。 下证条件( i i ) 成立。 令 知和， = b 1 7 ”o 口 m 泌 力 兰商 c 一 c 一 = 第二章二阶p - l a p l a c i a n 问题三个正解的存在性 易证 咄) = 等而( t + 2 丽) ( t + 丽1 ) - t ( 而t - 1 ) 叫n 0 , t + 2 m = 2、7 歹+ 2 ( 丁+ 2 ) ( z + 1 ) 一，( ，一1 ) 。 v 2 q ( r ，y ，h ，a ，c ) 且 ( 屹) = 屹( ，) = 酉t + 2 - 1 口 生6 r lr lr l 最后，若u q ( r ，口，c ) nl i u ( o u ) = ( o u ) ( v ) h ，则由引理2 1 知 1 8 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 ( 甜) = ( “) ( ，) ( “) ( 7 7 ) h a 从而定理2 1 的条件( i v ) 成立。 综_ l = f h 定理2 1 得到，算子在p ( r ，c ) 上至少存在三个正解，u 2 ，u 3 ，使得p ( u 1 ) 口， b a ( u 2 ) ，a ； p ( r ，a ，d ) = x p ：a 缈( x ) ，y ( x ) d 定理3 1 t 4 5 】设尸是b a n a c h 空间e 中的一个锥，y ，秒是尸上的非负连续凸泛函，口 是尸上的非负连续凹泛函，y 是尸上的非负连续泛函满足沙( 名x ) 兄沙( x ) ，0 五1 ，另存 在非负常数m ，d ，使得a ( x ) y ( x ) ，i ix 临m r ( x ) ，x p ( r ，d ) 设算子t ：p ( r ，d ) 一p ( r ，d ) 是一个全连续算子，且存在正数a ，b ，c ，0 b ； ( i i ) 当x p ( r ，口，b ，d ) ，o ( t x ) c 时，有a ( t x ) b ； ( i i i ) o 萑p ( r ，a ，矗) 且当x ep ( r ，y ，a ，矗) ，y ( x ) = a 时，有y ( 致) a 则算子丁在瓦万孬上至少存在三个不动点而，x 2 ，x 3 ，满足7 ( 而) d ，i = 1 ，2 ，3 ，b 口( 五) ， a 沙( 恐) ，口( 而) 6 ，9 ( x 3 ) a 令e = 枷：n o ，丁+ 1 】_ r ) ，配备范数忪i = 剧m 【。a n x l 】i 甜( ，) i ，则( e ，i i - 1 1 ) 构成一个b a l l a c h 空间。定义 p = 缸e ；u 慰v o ，丁+ l 】上的非负凹函数，u ( o ) = u ( t + 1 ) = o ) 易证p 是e 上的一个锥。 可以验证，求边值问题( 3 1 ) 的正解等价于求下列算子的不动点： 其中，气是方程 t$ ( “) ( ，) = 力( 气+ q ( r ) f ( r ，材( ，) ) ) 2 1 第三章二阶d i r i c h l e t 边值问题多重正解的存在性 tj z ( f ) - 噍o ) + 力p + q ( r ) f ( r ，“( ，) ) ) = o s = l r = l ( 3 - 3 ) 的解。由唬是r 上的单增连续函数且伤( r ) = r 知，对任意的甜p ，方程( 3 - 3 ) 有唯一解气， 故算子是