（计算数学专业论文）一阶双曲组的时空全间断有限元的收敛性.pdf

一阶双曲组的时空全间断有限元的收敛性 o 1中文摘要 本文通过构造一阶变系数线性双曲组和一阶半线性双曲组的一 种时空全间断有限元，从理论上得到了解向量的丰满阶误差估计， 并从数值上观察到超收敛结果。 对一阶常( 变) 系数线性双曲组，我们考虑了特征方向均为正或 负和特征方向一正一负两种情况。对于特征方向均为正或负的双曲 组，我们逐个单元求解；对于特征方向一正一负的双曲组则应逐层 单元联立求解。采用1 9 8 6 年c j o h n s o n 运用的间断有限元格式( 实际 上为时空全l d g 格式) ，我们用张量积分解得到了误差的丰满阶证 明，但解的正则性也提高一阶。而且，从数值上我们分别在单元右 r a d o u 点与右r a d o u 点的张量积上、右r a d o u 点与左r a d o u 点的张量 积上观察到了超收敛现象。 对于一阶半线性双曲组，我们对半线性项插值系数有限元方法， 得到了和线性问题类似的结论。 关键词：一阶双曲组，间断有限元，超收敛，线性与半线性 ， o 2 a b s t r a c t 1 1 1t h i sp a p e l ，a d i s c ：o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d f o 。f i r s t0 1 。l e l l i n - e a l rh y p e r b o n cs y s t e r n sa ，n ds e m i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s i s ：o n s l d e r e d i l l i c o d t i m a lo r d e rc 。n v e r g e n c eo nr e c t a n g u l a r m e s hi sp r o v e d s u p e r c o n v e r g e l l c e a t7 n + m d e rr a d a up o i n t s i ne 8 ，c he l e m e n ti so b s e r v e di n o u rn u l n e 蚴- l e x p e i i m e n t s t ol i n e a rc o n s t a n 七( v a r i a b l e ) c o e f f i c i e n th y p e r b o l i cs y s t e m s , e q u a 七1 0 n s w h o s e s l o d e so fc h a r a c 七e r i s t i c s 牡eb o t hp o s i t i v eo rn e g a t i v ea n d t h o s ew h o s es l o p e s o f ：h a 瑚t e r i s t i ca r ee i t h e rp o s i t i v eo rn e g a t i v e a r ec o n s i d e r e dr e s p e c t i v e l y 眠 s o l 、，et h ef i r s t 七y p eo fh y p e r b o l i cs y s t e m s i na c e l lb y ( ：e l lp a ，t e l ns a i dt h es e ( ：o n n t y l _ ) ei 帆州) v l o o 叩8 1 愀冰( 、t l l ( ：洲1 c s ( ：h e i n ea sc 川1 1 1 洲州 1 9 8 6 u s i n gt e u s o rp i - o d l i c ta n a l y s i s ，w eo b t a i n t h eo p t i n l a t l0 1 ( 1 e 1 。( ：o l l v e r g e l ( c t h e o r e t i c a l l y t ( ) s i i 叫i n e a rh y p e r b 。l j cs y s t e m ，w eu s ei n t e r p o l a t e dc 。e m e ：i e n tf e m a n d g e ts i m i l a rr e s u l t sa s t h el i n e a ro n e k e vw o r d s ：f i r s to r d e rh y p e r b o l k ：s y s t e m ；d i s c o n t i n u o u s f i n i t ee l e l l l e l l t m e t h o d ：s u p e r c o n v e r g e n c e ；l i n e a ra n ds e m i l i n e a ，r 湖南师范大学硕士学位论文 第一章序言 1 1间断有限元研究状况 物理力学等学科中的许多基本方程都是一阶偏微分方程组，特 别是以一阶对称双曲组的形式出现的，如流体力学的e u l e r 方程组， 电磁场理论的m a x w e l l 方程组等，而二阶双曲方程也可以化为一阶 双曲组，因此，一阶双曲组的研究非常重要。不仅如此，在二阶方 程转化一阶组的同时，通过引入新变量，可以同时求出一阶导数项 的近似解( 对应着物理上的应力或压力) ，这正是物理学家所特别关 注的物理量。 为此，著名数学家f i i e & i c h ( 1 9 5 4 1 9 5 8 ) 首次用能量方法，前后导出 一阶双曲组初边值问题的能量估计，证明了解的唯一性与存在性， 成为此方向的先驱性工作。对一阶双曲组的数值求解方面，也有许 多研究。最早有差分法，许多著名的差分格式被提出来：迎风格式 ，( 舒其望教授的l d g 法中数值通量的选取正是基于迎风的思想) 、 l a x 和f r i e d r i c h s 于1 9 5 4 年提出的l f 格式、l a x 和w e n d r o f f 于1 9 6 0 年提出的l w 格式以及r m b e a m 和r f w a r m i n g 于1 9 7 6 年引入的 b e a 1 2 1 一v l a r m i n g 格式 3 4 等。这些差分格式中，前两个是一阶差分格 式，后两个是二阶差分格式。 在有限元法研究方面也经历了很长时间。p l e s a i n t 2 4 1 于1 9 7 4 年 用经典的r 1 次连续有限元求解单个双曲方程，但解只能得到( ) ( 胪) 的 误差阶。不久，g b a k e l 在1 9 7 5 年提出该用p e t r o v g a l e r k i n 有限元， 取试探和检验函数为不同的空间，但此方法用于全离散时仍不能得 到令人满意的结果。 于是，人们将目光投向间断有限元。间断有限元是一种采用完全 分片间断的试探函数和检验函数来进行时空离散的有限元方法。自 1 9 7 3 年r e e d 和h i l l 2 8 1 首次提出用间断有限元求解中子迁移方程以 来，它被广泛地运用于求解常微分方程 2 1 、抛物方程 1 8 ，1 9 、椭圆 方程 1 以及双曲问题 5 , 6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，2 2 1 。 湖南师范大学硕士学位论文 上世纪末，b c o & b u r n 和c w s h u 结合高阶t v dr ，u g e k u t 方 法和数值通量的思想提出了著名的l d g ( l d c n 2 d i s e 帆抚，n u 。u s g o 研南 方法，求解一阶线性和非线双曲方程组，并给出部分收敛性的证明 【7 一1 2 1 。与此同时，f b a s s i 和s r e b a y 、0 e b a u m a n n 和j t o d e n 分 别提出b r 通量法 2 和b o 通量法 3 ，4 】。 d g 法具有适合求解复杂区域、精度高等特点，被广泛应用到许 多实际领域，比如气象学、天气预报、海洋学、气体动力学、湍流、 石油勘探、流体力学等。1 9 9 9 年，在美国的r h o d ei s l a n d 上召开了世 界第一届d g 法的国际会议。会议论文集 1 1 收集了关于d g 法的综 述和应用的文章，关于d g 法的全面综述，还可以参考 1 2 。 我们以一维问题来分别阐述l d g 法、b r 法和b 一0 法的基本思 想。考虑如下常微分方程： t 。= t ，“( o ) = l ，t 0 ，1 定义网格剖分易= 扎 ，j = 1 ，2 ，和k 次有限元空间： s = u i u r ，v z 乃，j = 1 ，2 ，) 如下定义d g 方法，用任意检验函数v 乘以原方程两端，并在，f 上 分部积分得到： ( u u7 + u v ) d t + u ( x 。) t ，( z j ) 一r “( z 一1 ) u ( z j 一1 ) = 0 ( 1 ) 在上式中，用有限元函数冁代替1 1 ) 、，而d o 法不要求聊。在节点 处连续，故在一个单元上仍有k + 1 个自由度。为此，需要对蚴，( ) 和 ( 一。) 给出更明确的定义。我们定义u 寿( z ) 和u i ( 码) 分别为坳，在 处的左右极限： u 去( z j ) = z 。l i 茁m j + u u h ( z ) ，u i ( z j ) = 。l i 。r a ，一。u a ( z ) 用数值流通量如，j = 峨( 钆毛? - t h + , 歹) 来代替( 1 ) 式边界点的值。于是有 如下形式： 一，| ：，( t u ：, - - u h u h ) d t + t 霸( z j ) i ( z j ) 嘛，( z ，一，) u 声( z j t ) = ( ) 一阶双曲组的时空全间断有限元的收敛性 - l d g 法，考虑迎风机制，取u 五，严u ，； o b _ r ，法，取钆五，j = ( u 屯+ u 乃) ； b - o 法，取钆五，j = ；u 屯一；乱珏 由于一阶曲组对应的双线型的非对称性、较弱的正则性和缺乏 类似椭圆的先验基本估计等使得其数值计算和误差分析遇到了极大 的困难。一阶双曲组的全离散格式，理论上一直未能达到逼近的丰 满阶。c j o h n s o n 曾用多种方法讨论一阶对称组的全离散，他指出， 标准的连续有限元逼近较丰满阶低一阶，他本人着重研究的时空全 间断有限元的收敛性仍然低半阶 2 0 ，2 1 ，2 2 ，他指出在爿r n + - 的光滑性 要求下，阶数尼礼+ m 是最佳阶。a q u a r t e r o n i 和a v a l l i z 的在1 9 9 7 年 出版著作偏微分方程的数值近似法 2 7 中，仍只是综合了这些 结果。舒其望教授指导的博士生徐岩的博士毕业论文( 2 0 0 5 ) 3 2 1 通过 半离散只能从理论上得到得到o ( h 他“2 ) 的收敛性，从计算上观察到 o ( ”“) 的收敛性。陈传淼教授用时空全间断有限元研究了一阶双曲 方程 1 6 ，运用张量积思想 d o u g l o u s d u p o n t w e e l e r 1 7 和他独创的单 元正交修正技术 1 3 1 ，首次得到了一阶双曲方程的丰满阶收敛性和超 收敛性，当然解的正则性要求也提高了。 我们在以下的分析和计算中采用j o h n s o n 在1 9 8 6 年研究过的时 空全离散间断有限元格式，它实际上是一种l d g 方法，但与舒其望 等采用的l d g 不同，我f r x , 1 时空两个方向都采用迎风机制的流通 量，而他们在时间方向用r ，u n g e i ：a i d 。u + b u = f ，( z ，t ) ( 7 带有初边值条件 “( z ，0 ) = 咖( z ) ，i 7 z s 2 ，m u = 0 ，凡7 = a q ( 0 ，t ) 这里m 为，z 佗阶矩阵，m u = 0 表示边界值u 限制在某个低维( n 1 维) 子空间上。 若在曲面k ：矽( tz ) = 0 上，以下特征矩阵正定： 4 = i d t 莎+ fa 。d 。 0 则称此曲面k 是类空的。初值只能规定在类空曲面上。 定理( f r i e d i i c h s ) 上述对称双曲组的解有如下的先验估计： mc ( ) i | ；c ( 7 1 ) ( i l ( o ) i l ；+ i 1 1 2 ( 2 t ) ，0 tst ( 2 1 ) 其中常数c ( t ) 与时间有关 证：用u 日1 ( q ) 右乘方程，在q 上积分，并分部积分得 ，l t ( 、， =qk吣焉+buvdldt+lu v ) d t t 。u ，l v ) k d t 0s 0 ( ， = ( u ) 晤+ ( u ，l + 。) j = j f a 。u v d x + o 。( 灿加上。u 眺 = ( f ，v ) d t 湖南师范大学硕士学位论文 其中，l + u = 一d 。u 一d i ( u ) + b t 是l 的共轭算子，b = a ，“= c o s ? ，, z i 是侧边界k 的外法向的法向余弦。 由于在边界k 上规定了边界条件m u = o ，我们可以规定m 为在侧 边界上使得( 钆，b y ) k = 0 ，从而，上式变为： r f t rr t u v d x + ( 钆，l + v ) d t = u v d x + ( f ，v ) d t jn tj0je bj0 取u = 2 u , ：有 f 。f ( 钆，“) 睹+ 2 “1 3 + u d z d t = 2 ，t f , d x d t jqje 其中设b + = b t 一：j 1 d i a i 0 正定。对右端使用s c h w a r z 不等式和 g - o n w a l l 不等式，直接得到所需的能量估计。 此能量不等式对双曲组有着非常重要的意义，它包含了整个问 题的适定性结论，由它可推得解的唯一性，对数据的连续依赖性和 存在性。但是双曲组本身存在着严重的缺陷，它不象椭圆型和抛物 型方程那样，可用f 的零模估计u 的导数，如椭圆方程的第二基本 估计州i 。s | i 厂1 。从洪家兴院士得知，对一阶双曲组不能用l l 州来 估计| 和fl “z 。但若把= t z 。+ p u z 看作一个变量的情形，则有 。l l ( 刊i 驴1 1 。+ m f ) ，c j o h n s o n 正式利用这种技巧得到了类似椭圆 和抛物方程的估计。 2 2一阶双曲组的变换 考虑如下的方程组 _ o u f + a a 盈u ，：f ，亡 o ，z r 瓦+ 万2 彤 o ，z r 其中u 是向量，a 的所有特征根均为实特征根。设有特征分解： a ：t a t 一1 人= d i a g ( a 1 ，a z ，) 引入如下的特征变量w = t u ，则原方程组化 为对角形 掣十a 掣：t - if 瓦十a 百2 一 一阶双曲组的时空全间断有限元的收敛性 - 7 一般的双曲组均可化为这种对角形，本文以后仅讨论对角形的双曲 组。 2 3插值系数有限元 有限元法在解决半线性方程组时，在n e w t o n 迭代的过程中要 多次对不同的儿计算切矩阵，工作量很大。z l a m a l ( 1 9 s 1 ) 2 6 等在讨 论半线性热传问题时曾提出一种简化的近似方法，这就是插值系数 有限元。本文研究半线性情形运用了这种技术。插值系数有限元法 可简化切矩阵的计算，却保持着最佳阶收敛性和超收敛性。下面用 示例阐述插值系数有限元的思想： 考虑如下二阶半线性椭圆问题： 一a w + f ( 伽) = 9 ( z ) ，乱= 0o n 1 - 它的1 t 1 次有限元解伽h 满足： 。 q ( 钆，u ) = ( d w i , ，d v ) + ( 尸( t ) ，u ) = ( g ，口) ，u s 凡 j 毋 i ，义 n f = c j ( z ) f ( z j ) j = 1 为f 的分片1 ) 2 次插值多项式。现在用插值h f ( 蚴。) 代替j p ( i l l n ) ，得到 新的方程 ( d w , c l ，d v ) + ( 厶f ( 驯 ) ，u ) = ( 夕，v ) 若九，j = 1 ，2 ，是有限元的基，则由 w h = 咖可得 j = l n ： ( d c j ，d i , ) w j + ( 鸡，九) f ( ) ) = ( g ，a ) ，i = 1 ，2 ，- j = l 这里刚度矩阵( d e i ，d e ) j ) 及质量矩阵( 丸咖) 可一次计算完成，而此 非线性方程组的迭代只在与f ( ) 和右端项进行，这就大大简 化了计算。陈传淼教授于近年证明对于拟一致剖分网格，z n 次插值 系数有限元仍有最佳误差阶一咖| l = o ( h m 似) ，而且进一步证明经 典的有限元超收敛结果对插值系数有限元仍然保持【3 1 】。 湖南师范大学硕士学位论文 第三章单元正交展开 单元正交展开为陈传淼教授研究有限元超收敛性的三大基本技 巧之一【1 3 ，1 4 。单元正交展开目前主要有三种展开方式： l 一型展 开、r - 型展开和m 一型展开。本文将用到前两种展开方法。 3 1l 型展开 在标准单元丁= ( 一h ，h ) 上引入线性变换z = s h ，s e = 一l 0 设任意让l 2 可展开为9 h - v 级 数，并定义d - 次部分和为u ，： 似( s ) = 咖( s ) m ( s ) = _ i d 5 “= b j c j ( s ) j = oj = o 其中p 3 是一个从l 2 到r 的投影算子。记g s = ，一p s ，i 为单位算 子，则咒= g 3 讯由c j = l ，- ( s ) 一l j - 1 ( s ) ，u ( s ) 还可写为： 乱( s ) = ( 6 0 b 1 ) l o + ( b l 一6 2 ) f l + 从而a 严b j b j + 1 ，故 b = 十b j + l = 。j + u , j + l + a j + 2 + = ( ) ( ，) 以上定义的基函数称c j ( s ) 为1 1 阶右r a d o u 多项式，其零点称为- ，阶 右r a d 刚，点。类似地，我们也可以定义左r a d o u 多项式，其零点称 为左r a d o u 点： 矽o = 1 ，l = 2 l + 1 0 ，- 咖= l j ( s ) + l j - 1 ( s ) 上弓一2 ( s ) 不论右r , a d o u 多项式还是左r a d o u 多项式，n 次部分和的余项都有 如下的性质： 0 0 r = g 5 t i = 幻咖( s ) 上只。一- j = t z + 1 i ir 恬，c h 忆+ 卜( 1 2 1 p ) l iu + 1 1 2 ， 右r , a d o u 多项式冗( 1 ) = 0 ，咒( 一1 ) = 2 ( 一1 ) ”+ 1 ( b 札+ r b n + 2 + ) = ( ) ( ，+ i ) 左r a d o u 多项式凡( 一1 ) = 0 ，咒( 1 ) = 2 ( b ，j 十】+ 6 ，州+ ) = o ( h ”十1 ) 在1 1 阶r a d o u 点马上，l r ( ) | 0 绘出的) 有7 一= 7 l + 铂；若p 0 若p 0 ，在图1 中有7 + = 7 3 + i f 2 ； 若p 0 时，流入边界7 一= 7 1 + 饥，流出边界7 + 一 7 2 + 7 3 在单元流出边界7 + 上定义内积和范数： 1 + = 。j + u u 卢n d i ，l “1 1 + = 、乏_ 瓦_ 西_ 三了了 设在单元k 的边界e 上，外法向为1 1 方程特征方向为，记函数在 l 上的左右极限值为 , z l - t - ( 2 ) = l i r au ( 2 s 吨) ，、7 s _ + 0 、 其跃度为 u 】- 扎+ 一i , 一在单元k 的流出边界7 + 上可定义跃度积分 ，y + = l + m u + p n d l ( 2 ) 湖南师范大学硕士学位论文 定义双 1 次有限元集合 s = 0 ，初边值给定在左下边界上，我们可以从左下至右上逐个 单元求解 注意到原连续问题的解，“满足b n ( 饥，u ) = ( ，u ) ，且跃度= 0 因 此误差p ：u c ，满足正交关系 b k ( e ，u ) = 0 ，u s h ( 4 ) 为了研究有限元的误差估计，设u ，s 是“的某种逼近或插 值，记r ：u 一f ，曰：u u j ，误差e = 钆一己厂= r 一秒，由( 4 ) 有等式 b k ( 目，u ) = b k ( r ，u ) ， u s h ( 5 ) 实践表明，如何构造这种逼近u ，是有限元研究中的一种重要艺术， 它对误差估计的好坏有着决定性的影响以往的研究都取为的 l _ l _ 掣龇邺插值，没有得到最佳阶估计，本文采用陈传淼教授提出的 r ，a d a ，k l 型展开，得到了最佳阶误差估计 d o u g l a s _ d u p o n t w h e e l e r 1 7 1 在研究椭圆方程矩形元时提出张量积 思想，陈传淼教授吸收这种思想来研究双曲方程。其基本思想描述如 下：在矩形单元上可构造双，n 次( 右) r s 。d a u 型正交投影嘶= p 。q p 。t t 作为研究中的比较函数，其总误差有以下分解： r = u u = ( ，一p o 尸z ) “= g 。u + g 。u g 。o g 。u 其中 一阶双曲组的时空全间断有限元的收敛性1 3 g 2 钆= ( ，一j d 。) u 上只n 一1 ( t ) ，g z t t = ( ，一p z ) uj - 只n 一1 ( z ) g 。g z 钆= g og z u 上f 知一1 ( t ) o ，) m 一1 ( z ) 它们分别有最佳阶误差估计 g 。u li k c k m + l | i d p + 1 u i | k ， i c z u li k c h m + li d 7 十1 u il k 和高阶误差估计 g g z t 川冬c h , 舻ij d 抖 j ， o 冬i 十js2 + 2 因此全误差r 的主部是两个单变量误差g z 与g t t 。之和特别地有 u u ，l | c ( k m + 1 l i d ；n + 1 u + ”2 + 1 f i d + 1 “l f 凡) 现在研究单元积分 b k ( r ，u ) = ( r t + p 尼+ q r ，u ) k + l 一 r u + p 7 z d l 这里卢= ( 1 ，p ) 用分部积分得 b k ( r ，u ) = 冗( 一仇一p 口z p z u + q v ) d x d t + z ? - i - ( 鼽，n d l - l 吼+ p ”m 注意到正交性质g “上仇，g 。t z 上，取k 中的任何点韧= ( z 。；t o ) 上的 z ) o = p ( z o ) ，有p p o = o ( ) ，并且在z = z j l 上g 。： t t = 0 , o 。，“关于 续，于是上式简化为 b ( r ，u ) = f k ( 一g z 扎仇一p ( c u + g z 钆一g z g 。u ) v z + ( q p z ) ) t t v ) d z d t + 厶g z u u d x 十l 。p o 。 u , 7 3 一d t 一厶，g 。u u + d x f 7 , p c 7 2 , 7 ) + d t 再次分部积分右边前两项 止( g 茁“仇+ p g 。u u 。) d x d t = 厶( ( g 。u ) t + ( p g 。u ) 。) v d x d t 一厶。g z u u 一 一厶2p g 钆u d t + 厶。g z u u 十d x + 厶p g 。u + d t 连 厂兰： 湖南师范大学硕士学位论文 将上式代入( 9 ) 式，得到一个简洁的表示式 b k ( r ，u ) = ( g z u t + p g 钆z ) u k ( g z “一g z g 钆) ( p z 可一( p p o ) v ) + p r v d x d t 注意，这里虽含有导数，但p p o = o ( 允) ，由逆估计 f i ( ? ) p o ) ，u z 【f c h l l 口i f ks ( ? f i f | ， 于是有最佳阶估计( 但正则性要求高了一阶) l b k ( r ，u ) i c ( f l v 2 ，u t l l + i i g 。u z f | + l i g z u l l ) l i , u sc ( h m + 1 + 尼m + 1 ) i m i ，件2 ，k l i u i l k 其次在b k ( 9 ，u ) 中取钞= 臼有： b k ( 口，口) = 二去 一，2 d z + z 。呈v - , 2 d t + ( g 一譬) 口2 d z d t + z ，( 去时”一时丐+ 三丐一丢哼二) 出 + 。( 豆p t ，产一。，产t ，_ + 互1t ，_ 一一笔u _ ：2 ) c f 。： = 去 l l u l l ；+ + l i u 1 1 ；一一i l u l | ；一) + ( ( g j ) 。2 ) u ，u ) 凡 对所有单元求和，线积分相互抵消，初值臼孑= 0 ，故 b q ( u ，u ) = 互1 ( 1 l u l i ；+ + k p 】；一) + ( ( q p z 2 ) u ，u ) n ( 1 2 ) 这里台锄豁珂斑玉：hz 最辱庙嘲嗡却( = 现用y o u n g 不等式得到 最佳除懈早兀承捌，缄积分旦巯7 爵v 枥翟爵：0 ，敢 引 ；+ - t - i t e l l ；一+ 2 1 1 0 1 1 邑c ( h 2 m + 2 + 1 t 2 m + 2 ) i l u i i 戋+ 。，n ( 1 3 ) 注意对展开余项冗已有经典的误差估计：因此得到有限元误差e = “一u 的最佳阶估计 ，“u f i ；+ + l u u 川；一十i i 似一u 1 1 邑sc ( h 2 m + 2 十i ! ：2 m + 2 ) “l 巴+ 孙z i ( 一阶双曲组的时空全间断有限元的收敛性 特别地有 札一u i i f + + i f u 一矿l l q c ( h m + 1 + k m + 1 ) f l “7 n + 2 , f l 注若零次项为非线性函数f ( u ) ，称为半线性方程，此项的有限 元误差发f ( u ) 一f ( u ) 与u - u 同阶，因此，上述结论对半线性情形仍然有 效。 湖南师范大学硕士学位论文 第五章方程组情形的收敛性证明 记向量函数u = ( 钆1 ，u 。) 丁，i 厂= ( ， ) t ，夕= ( g ，夕z ) 丁在区域q = 0szsx ，0 tst 上考虑对角线性双曲组的初边值问题 l u = ，让+ a u z + 尸u = l 厂，u i r 一= g ，( 5 1 ) 这里，是2 2 单位方阵， a = ia l 三) ，p = ( p p 2 1 1 1 三笺) 两个方程的特征方向为屈= ( 1 ，。i ) ，i = 1 ，2 记边界r 上的外法线向 为。t ：( n 川1 ：) ，这里乘积芦。m 的符号在决定边界值的给定有重要作 用。 类似地单个方程情形，在边界r + 上定义范数、及跃度积分： r + = u v 3 n d l ， u l r + = 、：三_ 瓦j i 两 r + = m u n d l ( 5 2 ) 先考虑口， 0 ，0 2 0 的同号情形，其推导与一个方程的情形几乎 一样对札= ( 仳。) t 的两个分量都作出上述双几次右r a d a u 逼近， 对其余项冗= u u ，= ( r 。，r 。) t 也可得到简洁的双线性型表示 房f 、( r ，u ) = ( ( g 。t 上t + a c 。u z + ( g 。，u g z g u ) ( a z u 一( 4 一a o ) z k ) + l - r v d x d l , ， 人 因此有 l t b k ( 兄，口) i c h 7 r t + 1 l i 乱 i 讯+ 2 ，k l l 口l l k 舅马辩瞬挎鞲蹴笋舔一e 麓芸箍骥= 墨渊l y 薹? 兰x b k ( u ，u ) = ( 仇十a v 。+ 尸u ，t j ) k 十 7 一 = 去( l i - ie ；+ + l p 】 ；一一f f u l i ；一) + ( ( p a 。2 ) u ， ) k 一阶双曲组的时空全间断有限元的收敛性 1 7 对所有单兀火7 求和，并注意在r 一上的初边值u 一= 0 一= 0 ，我们有 b q ( 灿) = 枷u 咻+ 咻+ ( ( 尸一4 z 2 ) 叩) q ， 一 k 记c 0 = m a , x q ( i p l 2 ，f p 2 1 i ) 注意因为总可设p 1 1 ，p 2 2 c 1 ，这里c 1 1 + c o 是适当大正数于是 b q ( vu ) 划训怖+ 1 1 1 4 1 1 ；一+ 2 c l l u 喝一2 c 0 1 1 , ，i i q i i u 。 一 k 而l ：q 喝综合以上两式即得 钳哺+ 峰+ 2 为c ( + 1 + ? 1 ) 1 1 4 1 峨q 。 i ( 用y o u n g 不等式，右边最后一项隅+ c h , 2 m + 2 陵心q 消去上式 右边的l 得到以下估计 臼i l ；+ + ei i e l l 一十i i 臼l l 毛sc h , 2 m + 2 i l u i 毛十。，q ( 5 3 ) k 最后回到u u = ( i t u ，) 一( u m ) = r 一目，由于r 有基本误差 估计( ) ，我们得到本文基本结果 定理设i t 是初边值问题( 1 ) 的真解，u 是时空间断双，。次有 限元的解，则有如下丰满阶误差估计： f m 一f f r 一十f i l l , 一f f q + ： 一u l l l , 2 , - 1 2 c 允m + 1 ( i i 9 l l 。件- ，r 一+ f 圳+ 2 ，q ) 1 ( 5 4 ) 其中常数c 与时间有关 最后我们还应补充讨论。 0 ，。： 0 ，a 2 0 同号的情形，双，己1 次间断有限 元解巩，巩都在每个单元k 的佗+ 1 阶右r a d a u 点( 张量积) 上有超 收敛( 若对边界条件也采用相应的右r a d a u 插值) ；若a 。 0 ，9 2 0 ， 则巩仍在单元右r a d a u 点的张量积上有超收敛，而巩在左r a d a u 点( x ) 与右r a d a u 点( t ) 的张量积上有超收敛本文的数例证实了这 些结论，对于单个方程情形，陈传淼教授用单元正交修正技术研究 了1 1 = 1 ，2 次元的超收敛性，见他在第一届中德计算数学会议上的报 告【1 6 。但对方程组情形，尚未很好研究。 注2 上述超收敛结论对半线性情形仍然有效。 注3 上述间断有限元法也应用于拟线性双曲方程间断解的模 拟，是国际上一个具有挑战性的问题，但它已远超出本硕士论文的 研究范围。 湖南师范大学硕士学位论文 第六章数值例子 将正方形区域q = 0 ，1 0 ，1 均匀剖分为n n 个小单元在计 算中，取在每个单元k 中相对位置相同的点z ，并定义离散的f z ( z ) 范数如下： l l e lz z = 去) | 2 ) 1 7 2 其中，。为每层单元中所取的点数( 佗= n 或一1 ) 。以下各例的计算 区域均为 0 ，1 0 ，1 ，如无特别声明，算例的计算均采用二次间断 元，以下备图中术表示的是单元上的r a d o u 点： 例1 两个特征方向同正负时的常系数线性情形 2 u t + u z + 3 u = f l ，u ( z ，o ) = o ，u ( o ，) = o ， ( 6 1 ) 【巩+ 2 u z + t = 。尼，u ( z ：0 ) = 0 ，v ( o ，t ) = 0 、 取精确解u ( z ，t ) = s j n ( z ) ( e 一1 ) ，u ( z ，) = s i ，z ( t ) ( e z 1 ) 两个特征方向为 正，边值都给在左边界和下边界上，每层单元计算可从左至右逐个 单元完成所有单元右上角点或左下角点的的均方根误差列于表1 可知，“， 在左下角点( 即流入点) 误差比值为8 左右，即有最佳收敛 阶( ) ( 3 ) ，而在右上角至少有超收敛阶o ( 允4 ) 误差比有波动，是因为 双曲组的强制性比较弱引起的。 剖分 u ( 右上角)v ( 右上角) u ( 左下角)v ( 左下角) 4 42 1 9 0 4 e 一6 i 3 7 6 4 e ，61 5 5 0 8 e 一41 5 2 8 8 e 一4 8 8 6 9 2 6 1 e 一8 ( 3 1 6 14 4 6 3 9 e s ( 3 0 8 1i 9 9 4 4 e 一5 ( 7 8 )1 9 7 6 5 ( 、一5 ( 7 8 ) 1 6 1 6 2 3 3 4 4 e 一9 ( 2 9 7 )1 5 7 6 1 e 一9 ( 2 8 3 )2 5 0 4 6 e 一6 ( 7 9 6 12 4 9 1 6 e 一6 ( 7 9 3 ) 3 2 3 2 8 3 6 2 1 e 一1 1 ( 2 7 9 )5 9 6 9 0 e 一1 1 ( 2 6 4 1 3 1 2 9 9 e 一7 ( 8 0 0 )3 1 2 1 1 e 一7 ( 7 9 8 ) 6 4 6 4 3 1 8 4 1 e - 1 2 ( 2 6 3 )2 3 6 6 1 e 一1 2 ( 2 5 2 13 9 0 9 2 e 一8 ( 8 0 0 )3 9 0 3 4 e 一8 ( 8 0 0 1 4 4 剖分时u 和v 的一个单元的误差图如图6 1 及其在z = 0 平面 上的等高线如图6 2 ，误差图中面向读者的角点均是单元右上角点。 2 0 湖南师范大学硕士学位论文 图6 1 ：u 的误差图( 例1 ) ，v 的误差图( 例1 ) 图6 2 ：u 的误差的等高线图( 例1 ) ，v 的误差的等高线图( 例1 ) 一阶双曲组的时空全间断有限元的收敛性 2 1 例2 两个特征方向同正负时的变系数线性情形 ju t + ( 1 + z + 2 t ) u z + u = f l ， “( z ，0 ) = 0 ，u ( o ，t ) = 0 ， 似n 、 【仇+ ( 1 + 2 x + 3 t ) v z 十2 u = ，u ( z ，0 ) = 0 ，u ( o ，t ) = 0 、 取精确解u ( z ，t ) = s j 7 t ( z ) ( e 。一1 ) ，v ( x ，t ) = ( e 。一1 ) ( c d s ( ) 一1 ) 两个特征 方向为正，边值都给在左边界和下边界上，每层单元计算可从左至 右逐个单元完成所有单元右上角点或左下角点的的均方根误差列 于表2 可知钆， 在左下角点( 即流入点) 误差比值为8 左右，即有最 佳收敛阶o ( h 3 ) ，而在右上角至少有超收敛阶o ( h 4 ) 。 表2 特征方向同正负时的变系数方程的误差和误差阶 剖分u ( 右上角) v ( 右上角)u ( 左下角) v ( 左下角) 4 4 2 9 3 8 7 e 一67 8 1 8 8 e 61 4 5 8 0 e 43 7 3 7 1 ( ! 一5 8 8 1 0 5 1 7 e 一7 ( 2 7 9 4 ) 2 3 1 0 4 e 一7 f3 3 8 4 1 1 9 4 4 8 e 一5 ( 7 4 9 7 ) 5 3 7 6 7 e 一6 ( 6 9 5 0 ) 1 6x1 6 4 1 5 5 0 e 一9 ( 2 5 3 1 1 7 1 8 5 6 e 一9 ( 3 2 1 5 ) 2 4 7 5 7 e 一6 ( 7 8 5 6 17 1 8 1 8 e 一7 ( 7 4 8 6 ) 3 2 3 2 1 7 3 9 4 e 一1 0 ( 2 3 8 9 ) 2 3 7 3 9 e 一1 0 ( 3 0 2 7 ) 3 11 2 4 e 一7 ( 7 9 5 4 1 9 3 2 0 7 e 一8 ( 7 7 0 5 1 6 4 6 4 7 4 9 4 3 e 一1 2 ( 2 3 2 1 )8 3 8 9 5 e 一1 2 ( 2 8 3 0 )3 8 9 8 4 e 一8 ( 7 9 8 41 1 1 8 8 一8 ( 7 8 3 9 ) 4 4 剖分时u 和v 的一个单元的误差图如图6 3 及其在z = o 平面 上的等高线如图6 4 ，误差图中面向读者的角点均是单元右上角点。 例3 两特征方向一正一负时的常系数线性情形 u t + u z +