（动力机械及工程专业论文）基于优化离散傅立叶方法悬臂梁边界诊断的研究.pdf

江 苏大学硕士学位论文 摘要 在工程领域内，当结构损伤最初出现时，由于其微小的改变而不易被发现， 但是随着时间的增加，损伤逐渐扩大，当发现时往往已经造成重大事故的发生。 如果能在损伤出现的初期阶段就能够及时诊断出，从而消除隐患，这已成为损伤 识别领域的一个重要研究方向。本文正是为解决此问题而做一些有益的探讨。 当前，基于信号处理技术的损伤诊断方法的研究已越来越得到重视，在这种 方法中，对信号准确地分析处理是诊断成功的关键所在。在众多的信号分析处理 方法中，基于离散傅立叶变换( d 兀1 的经典信号处理方法发挥了重要的作用。然而， 由于d f t 存在误差，受到频率分辨率的影响，对结构变化而引起频率微小改变的 诊断效果还不够理想。 本文从内积运算诊断相关信号这一角度解释了d f t ，通过分析d f t 误差产生 的原因，介绍了一种新的信号处理方法，称之为优化d f t 方法，并通过计算实例 进行了验证，该方法比d f t 方法有更高的精度。 对于工程中的悬臂梁结构，在进行诊断相关分析时，一般处理方式是将边界 约束简化成固定支撑约束方式。本文为研究其边界约束力的变化对悬臂梁结构的 影响，对边界的约束采用弹性约束的方法，并运用a d a m s 软件建立弹性约束的悬 臂梁仿真模型。通通a d a m s 的理论计算表明，当弹簧预紧力改变时，悬臂梁的固 有频率也随之发生微小的变化。 最后，用本文介绍的优化d f t 方法来诊断实际实验中的悬臂梁边界问题。实验 结果表明，当悬臂梁边界约束力发生改变时，与d f t 方法比较而占，优化d f t 方法 能成功诊断出固有频率发生微小改变后的值。 本文从理论计算和实验研究两个方面分析了悬臂梁边界问题，为今后实际工 程中早期微小故障的预示和诊断提供了新的途径。 关键词：故障诊断，离散傅立叶变换，固有频率，悬臂梁，边界，a d a m s 江 苏大学硕士学位论文 w h e ns t r u c t u r a ld a m a g ee a r l ya p p e a r si nt h ef i e l do fe n g i n e e r i n g ，i ti sn o te a s yt o d i a g n o s eb c c a t l l s ei t s s u b t l ec h a n g e w i t ht h et i m ei n c r e a s i n g ，h o w e v e r , d a m a g e g r a d u a l l ye x p a n d s s oi th a sa l r e a d yl e dt ot h em o m l ：n t o u sa c c i d e n t sw h e n d i s c o v e r e d i ft h ed a m a g e 渤b ed i a g n o s e dt i m e l yi nt h ee a r l ys t a g e s 。a n de l i m i n a t e sp o t e n t i a l d a n g e r i th a sb e c o m ea ni m p o r t a n tb r a n c hi nt h ed a m a g ed i a g n o s i sf i e l d t h ea r t i c l e j u s td i s c u s s e st h e s ep r o b l e m si no r d e rt os o l v et h e m a tp r e s e n t ，d i a g n o s i sm e t h o db a s e do ns i g n a lp r o c e s s i n gt e c h n o l o g yh a sb e e n p a i e d r r l o l e ：a t t e n t i o nt os t u d y h o wt oa n a l y z ea n dt od e a lw i t ht h e s es i g n a l sa r et h ev i t a l f o rt h es u c c e s so fd a m a g ed i a g n o s i s a m o n gt h em u l t i t u d i n o u ss i g n a lp r o c e s s i n g m e t h o d ，c l a s s i c a ls i g n a lp r o c e s s i n gm e t h o db a s e dd i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ( o f t ) p l a y sa ni m p o r t a n tr o l e h o w e v e r t h ed f th a s i o i t o i * sb e c a u s eo ft h ef r e q u e n c y r e s o l u t i o n , i tf a i l st od i a g n o s et i n yf r e q u e n c ys h i f tt h a ts t r u c t u r a ls t r a i nc a u s e s i nt h ep a p e r , f i r s t l y , e x p l a i nd f rf r o mt h ep o j i i to fv i e wd i a g n o s i n gt h ec o r r e l a t e d s i n g a l sb yi n n e r - p r o d u c tc a l c u l a t i o n , a n dt h e ni n t r o d u c ean e wd i a g n o s i n gm e t h o dt h a ti s c a l l e do p t i m i z i n gd f tm e t h o db ya n a l y z i n gt h ee ：i t o r so fd f t c o m p a r e dw i t ht h ed f t m e t h o d , t h en u m e r i c a le x a m p l ei n d i c a t e st h a tc u r r e n tm e t h o d i se f f e c t i v ea n da c c u r a t e a sf o rt h ee n g i n e e r i n gc a n t i l e v e rb e a ms t r u c t u r e ，d u r i n gt h ed i a g n o s i sc o r r e l a t i o n a n a l y s i s , t h eg e n e r a lp r o c e s s i n gw a y sa t t r i b u t et h eb o u n d a r yr e s t r i c t i o na st h es a m p l e f i x e ds u p p o r tm a n n l ；l i nt h ep a p e r , i no r d e rt os t i l d yt h ec h a n g eo fb o u n d a r yr e s t r i c t i o n , t h ee l a s t i cr e s t r a i n tm a n l i e ri sa p p l i e dt ot h ec a n t i l e v e rb e a ms t r u c t u r e ，a n di i , s e $ a d a m s s o f t w a r ee s t a b l i s ht h es i m u l a t i o nm o d e a d a m st h e o r e t i c a lc a l c u l a t i o ni n d i c a t e st h a t n a t u r a lf r e q u e n c yo fc a n t i l e v e rb e a mc a u s e sav e r ys m a l ls h i t tw i t ht h ec h a n g eo ft h es p r i n g p r e l o a d 。 f m a l l y , t h eo p l j m i z a l j o nd f tm e t h o di n t r o d u c e di nt h ep a p e ru 鼢t ot h eb o u n d a r yo f c a n t i l e v e rb e a mi nt h ea c t u a le x p e r i m e n t c 【姗p 锄c dw i t hd l t rm e t h o d s ，衄e x p e r i m e n t a l e x a m p l es h o w st h a tt h eo p t i m i z a t i o nd f t m e t h o ds u c c e e d si nd i a g n o s i n gt h ec h a n g eo ft h e i l a t u r a lf i e ( 1 u e n c yv a l u ew h e nt h ec a n t i l e v e rb e a mb o u n d a r yb i n d i n gf o r c eh a st h ec h a n g e t h ep a p e r sa n a l y z e dt h eu o u n d a r yo fc a n t i l e v e rb e a mf r o mt h e o r e d c a lc a l c u l a t i o n a n dt h ee x p e r i m e n t a ls t u d y , a n dp r o v i d ean o v e ld i r e c t i o nf o rp r o g n o s i sa n dd i a g n o s i so f i n c i p i e n ts m a l lf a u l ti np r a c t i c a le n g i n e e r i n gi nt h ef u t u r e k e y w o r o s ：f a u l t d i a g n o s i s ，d f t , n a t u r a lf r e q u e n c y , c a n t i l e v e rb e a m ，b o u n d a r y , a d a m s 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密i 。 学位论文作者签名：嚆拣? 星、 卅年明。日 指导教师签名：勿赅丹 z 。哆年牛月易日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：袜强 日期：阳7 年午月0 日 江苏大学硕士学位论文 1 1 问题的提出 第一章绪论 梁是工程中应用最为广泛的一种基本构件，在一定条件下，飞机机翼、发动 机叶片、铁道轨道结构中的钢轨均可以简化为梁模型结构来研究【l l 。这些结构长年 在各种载荷的作用下，都会出现疲劳、松动、裂缝等损伤以致危及安全。由于没 有被及时地发现，当这些损伤累积到一定程度时，结构性能会大幅度下降，从而 影响结构的正常使用，甚至可能酿成重大的工程事故，造成巨大的经济损失和人 员伤亡。因此为了保证结构的安全，降低结构因突然失效所引起的经济损失和其 它方面的危害，需要建立探测结构损伤的方法，从而及时准确的判断损伤的出现、 位置以及损伤程度，进而判断结构的现状、使用功能和结构变化的趋势等【2 l 。若存 在在损伤尚未发生扩展的早期阶段能够及时诊断的方法和手段，就可以及早消除 结构损伤带来的隐患，减少因此而造成的重大经济损失。 目前对梁边界约束松动诊断问题的研究工作还不是很多，在实际工程中进行 梁的结构损伤识别时，通常将其边界约束视为理想边界情况来进行处理，即对梁的 边界端简化为固定支撑方式，不考虑梁边界约束力的不同对梁结构动力特性的影 响。采用这种处理方式，能够解决一般工程问题3 卜【扪。然而，为了研究梁边界松 动问题，就不能将边界约束简化为固定支撑，需要一种符合实际的处理方式。 1 2 研究的目的和意义 随着科技的进步，现代工业的发展及未来的人类需求，现代空间结构正在向着 大型化、复杂化方向发展。而这些大型复杂结构如飞机、航天飞机、高层建筑、 离岸结构、新型桥梁、大跨度网架结构等在复杂的服役环境中将受到设计载荷的 作用以及各种突发性外在因素的影响而面l 临结构的损伤积累问题，从而使结构的安 全受到威胁【9 1 。有些结构的重要部件旦发生损伤，它的破坏程度迅速发展，而在未 能及时发现的情况下，这些没有被探测到的结构损伤将改变结构的强度和刚度从而 引发更大的结构损伤积累，这将导致结构的突发性失效，后果不堪设想。损坏引起 整个结构系统破坏的事件很多：1 9 8 8 年4 月2 8 日，美国一家航空公司的一架波音 江苏大学硕士学位论文 7 3 7 客机，在夏威夷( h a w a i i ) 二万四千英尺高空，外壳突然断裂，造成六十九人受伤 和一名乘务员被甩出飞机。事故是由壳体的裂纹引起的，而在事故发生前的六个 月，该航空部门按照有关航空技术文件和波音公司的技术要求还对该机进行了全面 检查和部分维修【1 0 】；1 9 8 5 年我国大同电厂机组联轴器断裂事故、1 9 8 8 年秦岭电厂 机组主轴断裂，造成的经济损失均近亿元，并严重影响华北和西北地区供电；1 9 9 9 年1 月4 日，我国重庆市綦江县彩虹桥发生垮塌，造成4 0 人死亡，1 4 人受伤，直接 经济损失6 3 1 万元。因此，为防止这类事故的发生的一种途径是研究故障诊断( 尤 其是早期的故障诊断) 的理论和技术，实现结构损伤的早期识别，及时采取措施， 防止损伤的扩展，以保证工程结构的安全、可靠运行，这具有重要的理论意义和 巨大的经济效益。 1 3 工程结构常见故障及诊断 工程结构应该有足够的强度，在设计载荷的作用下必须严格保证安全而不产 生破坏；工程结构应该具有一定的刚度，在设计载荷作用下其变形不超过规定的 限值；工程结构应该具有可靠的稳定性，在现场载荷长期作用下不发生突然失稳 事故。从强度、刚度、稳定性和不泄露等要求来看，工程结构常见的故障有h u ： 一结构内部缺陷这类故障在表面上都较难或不能被发现，就要采用一些特 殊的方法使这些缺陷产生表征它们存在和状态的信息，然后根据采集到的信号来 判断这些缺陷的程度、位置和种类。 疲劳和裂纹裂纹的产生和扩展是疲劳破坏的主要形式，在裂纹产生和裂 纹扩展时，在裂纹尖端都必然有声发射现象出现。某些会属材料在开裂时裂纹尖 端还有光和热发生，诊断裂缝和疲劳的方法多数情况下以这些特征为基础的。 松弛和蠕变应力没有显著增大而位移一应变显著增大是松弛和蠕变的 主要特性，因此应变监测或位移监测就成为诊断松弛和蠕变的主要方法。 一失稳结构失稳的原因足构件本身具备失稳的条件( 不稳定平衡) ，或在 结构系统中的某些单元有失稳条件，而这些单元的失稳会造成整个系统的失稳。 因此发现和监测这些失稳源点的变化就是失稳诊断的机理。结构系统是否失稳与 其结构的特性有关，对结构特性中是否含有失稳因素的诊断也是失稳故障诊断和 预防的重要原理之一。 2 江苏大学硕士学位论文 - 腐蚀或磨损结构的腐蚀和磨损表现为表面形状因侵蚀而变化，腐蚀下来 和磨损下来的材料混入或化合入介质中是另一方面的特点，因此可以用对表面形 状的监测或对介质作分析以实现对腐蚀或磨损的诊断。 - 泄漏和渗漏泄漏和渗漏除了具有裂缝或孔洞缺陷的故障特征之外，还有 液体或气体从故障部位泄露或渗透出来的特点，这为泄漏和渗漏的诊断提供了另 一方面的诊断依据，可以在容器外面监测是否有容器中的气体或液体存在来发现 泄漏故障。 1 4 结构损伤识别的现状及发展趋势 结构损伤识别这一概念的提出和发展，首先来自动态结构的故障诊断，即机 械设备的故障诊断，它是2 0 世纪6 0 年代初期，由航天、军工的需要而发展起来， 以后又逐步扩展到其他领域。结构损伤的识别是工程中十分重要的，也是比较棘 手的问题，正确、快速地识别这些损伤，对保证结构地安全运行、预防事故的发 生都有着重要的意义。 结构损伤识别的基本原理是结构模态参数( 固有频率、模态振型等) 是结构 物理特性( 质量，阻尼和刚度) 的函数，因而物理特性的改变会引起系统动力响 应的改变。一般认为工程结构在进行损伤识别前，首先要研究损伤对结构动力特 性的影响，利用结构系统的固有特性参数作为结构损伤的检测指标。通常要用未 损伤结构的振动特性参数作为损伤结构的已知信息，与所检测结构的特性进行比 较，以确定结构是否有损伤存在，进而判别损伤的位置和程度，以及结构当前的 状况、使用功能和结构损伤的变化趋势等。在获得了反映结构损伤的故障特征参 量后，就可以对结构进行损伤识别。 长期以来，人们习惯于用静力的观点考虑结构的性能，用静力实验来考察结 构的承载能力、安全储备和可靠性等。但是，由于静力实验设备笨重、实验时间 长并且影响结构的正常使用，还有可能在实验过程中对结构造成新的损伤【1 2 1 。而 对于外观检查、无破损或微破损检测、现场荷载试验，以及在特殊情况下进行抽 样破坏性试验等传统的损伤检测方法，一般来说难以获得结构的全面信息，尤其 是结构中的隐蔽部位，而且检查结果的准确程度往往依赖于检查者的工程经验和 主观判断，难以对结构的安全储备及退化的途径做出系统的评估。 3 江 苏大学硕 士 学位论 文 随着现代物理学、材料科学、微电子学和计算机科学技术的迅速发展，损伤 识别( 无损识别) 技术也随之迅猛发展起来，所谓的无损识别就是指在不破坏或 损伤原材料和受检对象的前提下，测定和评价物质内部或外表面的物理和力学性 能，并包括各类缺陷和其他技术参数的综合性应用技术【9 】。它主要检测材料和构件 中的宏观缺陷，也就足说无损检测技术所表征的足材料和构件中宏观组织结构的 特点。损伤识别技术分为局部损伤识别技术和全局损伤识别技术。局部损伤诊断 技术主要用于探测结构的局部损伤，该技术包括利用染色渗透、x 射线、y 射线、 光干涉、超声波和电磁学监测等技术对结构的某些局部进行定期检查。染色渗透 技术是对结构的局部表面进行涂层，涂料则渗透到裂缝里，观察表面就可发现表 面的裂纹：x 射线、y 射线探损技术是利用构件的x 射线、y 射线照片进行损伤识别； 超声波技术是向构件发射高频声波并测量折射情况，从而识别出结构的损伤；电 磁学检测技术是利用涡流和磁场的原理进行结构损伤的识别。局部损伤识别技术 能够直接识别损伤的存在及其位置。但对于大型、复杂的结构，这种技术用来检测 结构的每一部分是不可能的。因此，局部损伤识别技术仅用于检测结构的特别部件。 为了解决整个结构特别是大型复杂结构的损伤识别问题，于是出现了许多全局识 别方法。这些方法主要利用损伤发生前后结构动态特定的变换来识别结构早期损 伤。 通常我们所讲的损伤识别技术一般是指全局损伤识别技术，损伤识别技术有 很多种分类方法，可按基于损伤检测所用信息、损伤检测的功能、是否用先验知识、 损伤识别技术的使用范围等等进行分类。由于结构损伤识别技术是- - i q 新兴的多 学科前沿知识交叉的学科，目前正处于蓬勃发展之中，因此，还很难非常确切地、 科学地进行分类，也无法评述哪种分类方法最好。 根据损伤识别所依赖的不同工具全局损伤识别技术大致分为三类：基于动力 学模型的诊断方法、基于信号分析的诊断方法和基于人工智能的诊断方法。 基于动力学模型的诊断方法 基于动力学模型的诊断方法是从损伤结构的模型出发，研究损伤对响应的变 化规律。所用到的参数主要有：固有频率、振型、模念曲率、刚度、柔度、传递 函数、功率谱，能量传递比等，这类方法在上世纪7 0 年代仞就已经开始了研究。 基于信号分析的诊断方法 4 江苏大学硕士学位论文 基于信号分析的损伤诊断方法是直接通过分析结构在动力荷载作用下的响应 来得出结构损伤的信息，不需要知道结构的数学模型。滤波技术、频谱分析技术 是传统的信号处理方法。近几年来出现的数字滤波技术、自适应滤波技术、小波 分析技术等大大丰富了信号处理技术的内容，以频谱分析技术为例，如h t 分析、 短时傅立叶分析等在传统的工程应用中占有非常重要的地位。信号处理中每一种 新技术在诊断中的应用，都是对诊断技术的一次推动。 一基于人工智能的诊断方法 基于人工智能的损伤诊断方法包括基于神经网络的损伤诊断方法、基于专家 系统的损伤诊断方法和基于模糊准则的损伤诊断方法。其中基于专家系统的研究 起步最早，目前在诊断中已有成功的利用。神经网络技术在诊断中的应用起步较 晚，但由于它强大的并行计算能力和自学习功能及联想能力，很适合作故障分类 和识别，因此在结构损伤检测与诊断中很受欢迎。神经网络基于大规模的数值计 算，具有学习能力，但不具备解释能力，专家系统是基于符号的推理系统，它存 在知识获取困难的特点，但具备解释能力，因此神经网络和专家系统可以优势互 补，二者的结合发展必然具有良好的前景。另外遗传算法在诊断中的应用，适合 于诊断中的推理和网络结果优化，具有较强的生命力。 1 5 本课题研究的主要内容 信号分析是损伤诊断技术的核心之一，也是理论研究的热点之一，在众多的 损伤识别技术中，利用振动信号频谱的识别方法足有效的方法之一。其中，信号 处理技术是识别的关键。目前，基于信号处理技术的损伤识别方法的研究己越来 越得到重视【1 3 】【l g l ，在损伤信号的处理分析方面，基于离散傅立叶变换( d f t ) 的 快速傅立叶变换( f f t ) 为核心的经典信号处理分析方法在损伤探测中发挥了较大 的作用。但是，由于傅立叶变换存在比较大的误差，不具备精确诊断信号的能力。 本课题在分析离散傅立叶变换误差的基础上运用一种信号分析方法，称之为 优化的d f t 方法，然后以工程上常用的悬臂梁为研究对象，分另u a a d a m s 仿真计 算和基于优化d f t 的实验研究两个方面对悬臂梁结构的边界问题进行识别分析，主 要内容如下： 1 ) 简要介绍离散傅立叶变换的基本理论和方法；介绍信号分析中常用的内积 5 江 苏大学硕士学位论文 运算r 空间内积的定义，并在此基础上定义规格化的d f t 计算公式，从d f t 内积运算诊断相关( 相似) 信号角度分析d f t 在信号分析时存在误差的根源。 2 ) 介绍一种新的信号分析方法，称之为优化的d 兀方法，并通过两个计算实 例进行验证，并与d f t 的诊断结果进行比较，验证优化的d f t 方法在信号诊断中的 准确性和有效性。 3 ) 分析工程上常用的结构梁一悬臂梁的振动微分方程，在对悬臂梁边界约 束的处理一般是将其简化成固定支撑。本文为了研究梁边界松动问题，采用一种 较为合理的处理方法，运用a d a m s 软件建立仿真模型，通过理论计算来检验悬臂 梁边界约束力不同时其固有频率的变化。 4 ) 将优化的d f t 方法用于实际工程中悬臂梁边界松动的诊断，通过施加在固 支梁端的约束力的不同，测得其响应信号，分别用d f t 和优化d f l 方法进行处理分 析。 6 江苏 大 学硕士学位论文 2 1 概述 第二章优化离散傅立叶变换 在现代工程中，透彻了解物理现象是第一要义。研究这些物理现象最常用的 方法是先假定一个数学模型，该模型的特性必须通过对系统进行测量而定。我们 研究的系统大多是动态系统，它们的动态特性不是直接确定的，而常常是根据系 统对给定输入( 激励) 的响应观测估计出来的。随着数字处理器及数据采集系统 的出现，信号处理技术得到了广泛的应用。信号处理的目的是从信号中提取尽可 能的有价值信息，然后在几个不同的域来研究信号。由于测量得到的信号是时域 函数，为研究它们的频率成分，在频域中考察它们会更容易些【1 9 1 。而通过信号的 傅立叶变换，可以实现信号的频谱分析，掌握信号频域特征，达到提取信号中有 用信息的目的。 1 8 2 2 年，法国数学家傅立叶( j e a n - b a p t i s t ef o u r i e r ) 发表了题为热的解析理 论( t h e a n a l y t i c t h e o r y o f h e a l ) 的论文。在该论文中，他首次提出了以知为周 期的周期函数可展开成无限多个正、余弦函数的和c 2 0 l 。在以后的工作中，傅立叶 将傅立叶级数以知为周期的周期函数推广到任意周期的周期函数，又从周期函数 推广到非周期函数，并提出了傅立叶积分，傅立叶变换和傅立叶积分的提出奠定 了傅立叶变换的基础。 傅立叶变换的发现为科学工作者和工程师们提供了分析波形或信号的强有力 数学工具。物理学家j a m e sc l a r km a x w e l l 称赞f o u r i e r 变换是一首伟大的数学史诗 【2 1 1 。目前傅立叶变换已经形成了一个变换家族 2 0 1 1 2 2 1 ，常见的有连续傅立叶级数变 换( f s ) 、连续傅立叶变换( f t ) 、离散时间傅立叶级数变换( d f s ) 、离散时问傅 立叶变换( d 1 下t ) 和离散傅立叶变换( d f t ) 。对于大多数信号来说，运用上述变 换都需要进行繁琐的数值计算，从而限制了它们在实际中的应用。随着计算机技 术h 新月异的发展，计算机的运算速度越来越快，这种状况才发生了改变。现在 傅立叶变换技术已经成为解决各种测试问题中的一种常用工具，这些问题包括1 2 3 】： 定量分析放大器失真，测量a d 变换器的信噪比，定性分析和比较滤波器，分析 天线辐射方向图等。 7 江 苏大学硕 士 学位论丈 在傅立叶变换家族中，离散傅立叶变换( d f t ) 常被人们所应用，由于它在时 域和频域都是离散的并且为有限项，这使得离散傅立叶变换更易于通过计算机计 算实现，目前它广泛应用于机械工程，通讯工程，电子技术，医学、地质勘探信 号处理、分析化学等诸多领域进行信号分析。 但是，d f t 存在比较大的误差【2 2 1 卅1 2 ，对d f f 误差诊断的研究一直没有间 断剀【3 1 1 ，从目前来看许多研讨d y r 误差的文献，主要是从函数截断以及截断函 数和被分析函数卷积关系的角度去研究的1 2 7 1 3 2 1 1 3 3 1 。本章从内积运算解相关、诊断 相似信号角度出发研究d f t 的误差根源【3 4 1 。 2 2 离散傅立叶变换( d f t ) 的理论 谱分析。由于e x p ( j 吾础 相对于h 和t 都是以j v 为周期的，所以只要保证譬l ) 雾二娑蚓佃协，k 吉脚( ，等呔) 一“ 婺三辑 k = o 1 ，n l 1 1 = o ，1 ，n - 1 ( 2 - 2 ) 式中n ) ，x ) 分别足砸t ) 和文凹。) 的一个周期，此处把和骗都归一化为1 。 8 江苏大学硕士学位论文 2 3 离散傅立叶诊断的误差分析 2 3 1r 空间内积运算的定义 一个信号( 如声音信号) 可以看作是一个函数工( f ) ，它表示了f 时刻信号的密度， 这里的f 在区间a t b 变化，表示信号的持续时间。下面给出一个更严格的定义 f ( 【4 ，6 1 ) 空间的定义3 5 1 。 对于口t s 6 ，空间l 2 ( 【口，6 】) 表示所有平方可积函数组成的空间，即： 以k 如： ，【咖】一c ；】j i 扩函 。 ( 2 3 ) l aj 为了弄清2 内积的背景，我们把【m b 】离散化，假设口= o , b = 1 ，是一个足够 大的正整数。 令0 = j n ，1 sj n o 若f 是连续的，那么f 在区间【t ，t j + 1 ) 的值可由f ( t j ) 近似。因此f 可由下面的矢量来近似： ，= o ( t 1 ) ，( f ：) ，( “) ) r ” 由图2 - 1 中可以看出，随着n 的变大，近似，的程度也越来越好。 图2 - 1 连续函数由其离散化形式来近似 f i g 2 1c o n t i n u o u sf u n e l i o na p p r o x i m a t e db yi t sd i s c r e t ef o r m 假如，和g 是两个工2 【o 羽中的信号，那么它们分别被离散化为，和g 。， ( ，g ) 的一个可能定义是随着的增加，t h o r “上的，和g ”的普通内积： 一 ( ，g n ) 。= ，( t j ) g ( f ，与f ( j n ) g ( j n ) ( 2 - 4 ) 一i，= j 该方法的不足之处是，随着变大，上式右边的和显然增大。更好的办法是 9 江 苏大学硕士学位论文 求兵半均值，即： 专( ，g ，) 。= 莹。f ( j n ) 丁丽专 ( 2 - 5 ) 因为 和g 。随着n 增大分别趋近于，和g ，那么( ，g ) 。的一个合理定义 是，随着n 0 0 ，取该平均内积的极限。 上式可写成： 专( ，g 。) = 耄，( 丽，这里& = 1 ( 2 - 6 ) 上式右边的和是一个在区间【0 , 1 】的分划【0 , t i ，t ：，t 。= 1 】下，对 f 厂( t ) 一g ( t ) d t r i e m a n n 和的近似。该近似随着的增大而变的越来越好，所以 有理由定义工2 【o 棚上的内积为( ，g ) = j ，( t ) 一g ( t ) d t 。由此给出下面定义的基础。 假如，( t ) 和g ( o 是l 2 ( a ，6 】) 中的函数，则r ( 【口，6 】) 上l 2 的内积定义为： = j ( t ) g ( t ) d t ( 2 - 7 ) 在许多场合，由于进行处理前信号已经离散化了，下面定义描述2 的一个离 散形式。 1 2 空间是由x ( i ) = ( ，h ，而，一) ，且卜。i o o 构成。则在该空间的内积 定义为： i 毛页 这罩x ( i ) = ( ，x _ i ，x o ，而，) ，y ( i ) = ( ，y - i , y o ，y l ，) 2 3 2d f t 内积运算诊断相关( 相似) 信号存在的问题 ( 2 8 ) 内积运算是一种诊断相关( 相似) 信号的运算2 2 1 ，本文采用规格化的内积， 定义函数内积和向量内积： - 百1 刍n - i 置e 一，争 ( 2 - 1 1 ) 逆变换( i d f t ) 公式是： 4 j，竺 五= x 弦百“( 2 - 1 2 ) ( 2 9 ) 式是频率归一化的d f t 形式，下面取直观的表示形式，不失一般性，假设 存在一物理信号： 工p ) = 喜a c o s ( q t + 识) = 萎( 争“雄训+ 鲁e - j ( 掣) ( 2 一3 ) 其中a l 和纪是信号的幅值和相位， 够是角频率， m 是有限正整数。 对砸) 进行采样，采样频率是正( 根据香农定理，l 大于2 m a x ( f 1 ) ) ，采样 点数是n ，采样的时间长度( 采样周期) 是r ，采样的时间间隔是出。存在关系 式n = t a t 和正a t = l ，将其代入公式( 2 - 1 1 ) 进行变换得。 石 ) ：j _ 乙n - i 缸fe - j 2 * 等“ ( 2 1 4 ) 其中( a t i ) 表示时间历程， 以= ( 七丘n ) 是基向量的频率。 经过变换后，公式( 2 - 1 4 ) 的物理意义更明显。d f f 将采样频率等问隔地划分n 份，构成标准正交基底 嵋= ，w 。，n - i j 其中基向量 帆： p 止警，p 止警2 ，叫业警( 帅“) ( 2 _ 1 5 ) 1 1 江苏大学硕士学位论文 d f t 的买质是用这些基向量和被分析信号做内积运算，诊断被分析信号中与基向 量相似的信息。 d f t 的基( 正交基) 有一个良好的性质，就是正交性，各基向量之间的内积 为零，保证了各基向量之间没有干扰。但当被分析信号f ) 中存在正五时，误 差就要发生。 假设基函数的频率值是万，考察用基函数一“做内积运算诊断某一单频信号， 设有任意正的角频率值鸭西r ( o ，叫，假设单频率信号 而o ) = 爿c 。s 吐+ 谚= i a 口j ( 耐+ 一+ 要p 一( 甜+ 计( 2 - 1 6 ) 做内积运算 引砌椭e 似批手i 竽知刊+ 等一) t ) 出 ( m ) 考虑巧缈 0 ，当r 斗+ 时，上式的后一项积分趋于零。积分上式的莳一项得： 引功= ；r j 7 a e 7 9 址等p 吣a t = 等竺( o 。- a ) i r o ：生生( 墅呈塑二! 坚二塑丛竺二塑三二些1 2 【一万) n ：笙s i n ( ( c o - w ) t 2 ) 一) ，2 7 ( 2 - 1 8 ) 2 ( m w ) t 2 从上式可以看出只有当日= 彩时，有x ( 回= a e ”2 ，准确地识别出原信号 x t ( f ) ，其它情况下都会有误差。 幅值误差用其相对值表示： ea=幽=isin(aj-not22)a2w ) tf ( 2 1 9 ) i 一2f 一 相位误差为： 址 石- ：高w ) t 臂2 害s 。i 警n 引w ) t 2 p 2 ) 0 0 c i 石+ ( m 一，当c “缈一 ：羔( 争，( 吖+ n ) + 令e 叫妒n ) ， 其中的各频率之闻的差值( 哆一，) 是固定的。由公式( 2 - 1 9 ) 可知角频率为q 的信号对0 3 ，信号造成的旁瓣误差的幅值是： 1 4 江苏 大 学 硕士学位论文 阱鲁鬻 ( 2 - 2 1 ) 从上式可以清楚地看出，旁瓣误差除了与a 有关外，还与值( 畔一，) t 2 有关， 如果q 和，之间的差值本身就比较大，旁瓣误差本身也就不大。如果( q 一街，) 比较小，增加r ，数值( c a , 一，) t 2 增大，可以使旁瓣误差减小，理论上说t 足 够大时，旁瓣误差可以被消减到非常低的水平。 对于泄露误差来说如果( m 一珂) 值一定，随着? 的增大，误差也变得越严重， 公式( 2 - 1 8 ) 清楚地表明了这一点；但是t 越大，如果采样频率不变，则随着的 增大，d f t 基向量的数目增加，频率间隔缩小，会造成被分析信号频率向新的基 向量频率靠近，这同样会造成泄漏误差的产生1 3 4 1 。 2 4 优化离散傅立叶变换的方法 2 4 1 优化d f t 方法的实现 由前面的分析可知，用内积运算诊断相似信号的关键是基函数( 向量) 的角 频率巧要尽可能地接近被诊断函数( 向量) 的角频率，一旦发生频率偏移，误 差是不可避免的，并且由公式( 2 - 1 8 ) 可以知道这一误差并不是一个小量。d f t 的策略是等频率间隔地选取基向量，基向量是定的，让被分析信号去适应选定 的基。显然这种做法不可能使信号工( f ) 中全部所个q 都刚好分别与m 个矾准确一 一对应，即使出现小部分准确对应也是非常偶然的。本文采用基向量不固定，根 据被分析信号的情况来选取的策略。选取的条件和办法如下： 对于单频信号由公式( 2 - 1 8 ) 可知，当优化获得最大值阻( 万) l = m a x j x l 时，此 时有口= 。 对于含有m 个频率成分的信号m ) ，假设各频率成分之间成立弱相关条件： 垆铬i acos等(,o箫渊cos(t+cj)1 q 鹭删像2 2 ， 1 ，= 二_ 一 ，在此区f h j 开始采用比较粗的角频率间 隔a 甜进行内积运算：x ) = ，判断幅最大值m a 】【阻( t ) l ，求取对应 的魄，约束搜索频率范围到( 魄一a ( o ，吨+ a c o ) ，减少频率问隔a ( o 再次进行 最大值搜索，重复这一过程，直到频率间隔小到满意值为止。获得幅值最大时对 应的x ( c o k ) = a e 旭和魄。 第二步由逆变换公式( 2 1 2 ) 和d f t 的共轭对称特性由原信号中提取频 率q 对应的信号，获得拟合残余信号而= 一2 a , c o s ( c o k i a t + 纯) 。 第三步计算拟合残余信号向量和拟合残余信号向量的相对值e = 0 f ) k 叫i ，判断e 是否小于s ，是一设定的小的量值，它表征分析希望到达的 精度，占越小，分析的精度就越高。如果e 小于占则分析结束，否则重复上述步骤 审0 止e 小于s 。 第二步也是本方法的另一个关键，其作用一是避免把旁瓣误判为信号：二是 减少幅值较大信号项对幅值较少项的干扰，提高幅值较小信号的识别精度。 2 4 2 优化d f t 方法计算实例 2 4 2 1 考查优化d f t 方法对信号诊断的准确性和有效性 随机选取一组幅值、频率和相位，构成一个仿真信号如下： x q ) = 1 0 0 c o s ( 2 ，_ r 9 1 2 3 t + 1 6 2 ，r 1 8 0 ) + 2 9 c o s ( 2 ，r 4 6 4 t 一8 0 ，r 1 8 0 ) + 4 9 c o s ( 2 z r 4 9 0 1 t + 1 2 0 ；, t 1 8 0 ) + 2 0 c o s ( 2 i r x l 4 5 9 3 4 t ) ( 2 - 2 3 ) + 8 0 c o s ( 2 ，r 1 8 9 4 5 8 t + 6 5 ，r 1 8 0 ) + 5 c o s ( 2 ，r 2 6 5 9 t 、 用1 0 0 0 h z 的频率进行采样，设定口= 2 ，分别用n = 1 0 0 0 和n = 4 0 0 0 个点的数 据长度进行运算，并与4 0 0 0 点的d f t 的结果进行比较，分析结果见下表2 - 1 所示。 江苏大学硕士学位论文 表2 一l 计算结果( 取幅值最大的前1 0 项，由大到小排列) 优化d f t 分析结优化d f t 分折结d f t 分析结果 序号理论值 果( n = 1 0 0 0 )果0 = 4 0 0 0 ) = 4 0 0 0 ) 幅值 l o o1 0 i - 0 1 6 81 0 0 0 8 7 67 6 3 3 3 0 l 频率( h z ) 9 1 2 39 1 3 59 1 2 41 8 9 5 0 0 0 相位( 度) 1 6 21 5 9 9 1 4 81 6 1 _ 3 0 9 43 4 7 9 9 7 幅值 8 07 9 9 3 9 97 9 9 9 8 2 6 4 3 2 5 9 2 频率( h z )1 8 9 4 5 81 8 9 4 5 91 8 9 4 5 8 9 相位( 度) 6 56 4 7 8 2 66 5 0 3 0 11 0 9 6 9 1 6 幅值 4 95 】2 0 1 44 9 1 2 5 86 2 9 8 7 4 3 频率( h z ) 4 9 o l4 8 9 9 14 9 0 19 2 5 相位( 度) 1 2 01 2 6 3 0 2 31 2 0 9 9 3 57 0 8 1 3 5 幅值 2 92 8 5 1 1 l2 8 9 6 6 4 4 9 2 7 5 6 4 频率( h z )4 6 4 4 6 3 9 94 6 4 0 0 04 9 相位( 度)- 8 07 9 3 9 5 97 9 9 5 5 81 2 7 9 9 7 7 幅值 2 02 0 0 0 1 92 0 0 0 5 52 1 8 7 0 3 5 频率( h z ) 1 4 5 9 3 41 4 5 9 3 41 4 5 9 3 44 6 5 0 0 0 相位( 度) 0_ 0 0 6 6 4- o 0 0 7 2，1 5 3 2 8 7 9 幅值 55 0 0 7 6 5 0 0 0 5 2 1 4 4 6 2 6 频率( h z )2 6 5 92 6 5 92