（应用数学专业论文）整自仿tile的边界维数.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文首先介绍了一个能够解决自仿映射各方向压缩不一致的工具伪范数， 给出了它的若干性质用伪范数代替欧氏范数，给出了伪h a u s d o r f f 维数及伪盒维 数的定义随后介绍了自仿t i l e 及其特殊情形自相似t i i e 的定义利用伪范数这个 工具给出了整自仿t i l e 边界h a u s d o r f r 维数的一个估计，且在彳的特征值模全相等 的情况下，得到了整自仿t i l e 边界h a u s d o r f r 维数的准确值最后作为应用给出了两 个例子，第一个是自相似情形，第二个为a 的最大最小特征值模相等的情形 关键词：伪范数；自仿t i l e ；h a u s d o r f r 维数：关联矩阵 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t w 色行r s tg i v eat o o l ， p s e u d o - n o n n ， w h i c hc a na b s o r bt h en o n u n i f o n nc o n t r a c t i l i t y o f 彳一1 ji nd i 仃e r e n td i r c c t i o n s ，a n ds o m ep r o p e n i e so fi t w ed e f l n et h eh a u s d o r f r d i m e n s i o na n db o xd i m e n s i o nb yt h ep s e u d o n o n ni n s t e a do fe u c l i d e a nn o m ，a n dt h e n 、ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fs e l f - a m n et i l e 锄ds e l f - s i m i l a rt i l e b yu s i n gm et o o lw e a t t a i na ne s t i m a t eo ft h eh a u s d o r f rd i m e n s i o no ft h eb o u n d a 眄o fai n t e g r a ls e l f - a m n e t i l e ，a n di ft h em a x i m u ma n dm i n i m u mm o d u l io ft h ee i g e n v a l u e so f 彳a r ee q u a l ，w eg e t t h ee x a c th a u s d o r f r d i m e n s i o no ft h eb o u n d a wo ft h ei n t e g r a ls e l f - a 币n et i l e f i n a l l y ， w es h o wt w oe x a m p l e s ，o n ei ss e l f s i m i l a rt i i e ，a n dt h eo t h e ri sat i l ew h o s ee x p a n d e n t m a t r i x 彳h a st w oe i g e n v a l u e sw i t he q u a lm o d u l i k e y w o r d s ：p s e u d o n o n n ；s e l f 二a f f i n et i l e ；h a u s d o r f rd i m e n s i o n ；c o n t a c tm a t r i x 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 上 作者签名：彳毒杰 日期：死僻月印日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：启岔磕， 日期：7 砌年j 月加日 导师签名： 氕 f k 日期：少昭年广月列日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回塞途塞握銮后进卮；旦圭生；旦兰生i 旦三生筮查! 作者签名：名孝刍 日期：伽g 年_ i 7 月仞日 导师签名： ， y0 乏h 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 第一节引言 对t i l e 及t i l i n g 的研究由来已久，可以追溯到c a u c h y 时代，他指出如果在一个 整数的基数表示中可以引进负数的话，那么我们就没有必要记住超过5 5 的乘法表 了【2 8 】近年来人们对t i l e 及t i l i n g 的研究发展出现了多样化，包括在基数展开 1 0 ， 1 l ，1 7 ，2 0 方面的研究，还包括对支撑在t i l e 上的多维小波基的构造 5 ，2 l 一2 4 及马 尔科夫分划的构造 1 2 ，2 5 的研究当然有更多的人是对尺d 中t i l e 本身感兴趣 6 ， 1 3 一1 6 ，1 8 ，1 9 ，2 6 ，2 7 而对自仿t i l e 的边界维数的计算则是对t i l e 本身直接研究的一 个热门课题 在 2 】中e d g a r 曾提出过l 6 v yd r a g o n ( 自相似集) 边界的h a u s d o r f r 维数是多少 的问题，并进一步提出了自相似t i l e 边界的h a u s d o r 雠数是多少的问题，随后k e e s l i n g 和d u v a l l 计算出了l 6 v yd r a g o n 边界的维数【3 】在【6 】中l a g a r i a s 和w a n g 对自仿t i l e 的结 构进行了研究，在【9 】中k c e s l i n g 给出了尺d 中任何自相似t i l e 的边界维数都小于d ，且 可以任意接近d 在 8 】中s t r i c h a 陀和w a n g 对自仿t i l e 的边界进行了分析，并求出 了自相似t i l e 边界的h a u s d o m 维数，在 4 】中d u v a l l ，k e e s l i n g 和n c e 以【5 】，【7 】为基 础，给出了计算自相似t i l e 边界维数的另一种方法，即尺“中自相似数字t i l e 的边界 h a u s d o r 雠数为 d i m 片( a 丁) ：譬， m c 其中1 c 为压缩因子，a 为关联矩阵的最大特征值但对一般自仿边界维数的计算就 出现了困难，原因在于在自仿t i l e 的构造过程中出现的彳- 1 使得被压缩集合在各个 方向上的压缩出现了不一致性而在【l 】中h e 和l a u 通过构造与彳有关的伪范数吸 收了这种不一致性 本文利用伪范数，将d u v a l l 等计算自相似t i l e 边界维数的方法推广到了整自仿 t i l e 的情形，得到了如下主要定理 定理1 1 设丁= r o ，功为一整自仿t i l e ，且id e t 彳| _ g ，d 互z d 为模a 的完全剩 余系，且群d 刊d e t 彳i ，c 为关联矩阵，其最大特征值为兄，则有 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a i m 抑耻筘 本文的主要安排如下： 第二节介绍迭代函数系统，我们所说的t i l e 是通过迭代函数系统得到的 第三节介绍了伪范数的定义，并用伪范数取代欧氏范数，得到了伪距离，伪 h a u s d o r f r 维数，伪盒维数等一系列概念这是我们求边界维数的关键工具 第四节，介绍自仿t i l e 的一系列定义，给出了本文主要定理的证明，同时也给 出了求解自仿t i l e 边界维数的具体方法 最后，作为应用，给出了两个自仿t i l e 的例子，并且求出了它们的边界维数 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二节预备知识 迭代函数系统 迭代函数系统简记为i f s ( i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ) ，是分形理论的一个重要内 容，其理论与方法是分形自然景物模拟及分形图像压缩的理论基础有关他的论述 是由j e h u t c h i n s o n 在【2 9 】中给出的，建立了i f s 的一般理论基础，至今已有十分 丰富的内容特别是m f b a m s l e y 等人的工作，使得他成为绘制分形集的方便有 效的方法，并将之应用到图像的压缩与处理方面，取得了巨大成功下面介绍他的 一些基本概念 定义2 1 ( i f s ) 设( r ”，p ) 为刀维欧氏空间，如果对任意f l ，2 ，) ， z ：r ”一尺”是压缩映射，即对任意x ，y r ”，存在( 0 ，1 ) ，使得 p ( 万( 功，zc 力) ，p ( x ，y ) ， 则称压缩映射族 ：) 墨。为( r ”，p ) 上的一个迭代函数系统 足 定理2 2 【2 9 1 对于给定的迭代函数系统 z ) 墨。，总存在唯一非空紧集kcr ”，满 ， k = u ，( k ) ， i = l 称k 为关于迭代函数系统 ，) 墨。的不变集或吸引子通常情形下k 或者k 的边界是 分形集 如果映射，对任意x ，y 尺”，满足p ( 厂( x ) ，厂( y ) ) = 即( x ，力，其中，( 0 ，1 ) ， 则称厂为压缩比为，的相似压缩映射相似压缩映射族之下的不变集称为自相似集 例如由相似压缩迭代函数系统 z = z ，厶= 三o + 2 ) ) 生成的不变集c 就是通 常意义下的三分c a n t o r 集它是一个自相似集 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 第三节伪范数及其性质 本节引入伪范数的定义，并介绍其性质，然后定义伪距离、伪h a u s d o r f r 度量， 伪h a u s d o r f r 维数和伪盒维数等限于篇幅，我们将省略其证明，读者可参看文 1 记m d ( r ) 为d j 矩阵全体组成的集合，彳鸠俾) 为扩张矩阵( 即其所有特征 值的模均大于1 ) ，且l d e t 么l = g 尺取定彳之后，我们可以定义一个与彳有关的 伪范数：设o o ； j e y ( i v ) 存在 o ，使对任意的x ，j ，r d ，有 以x + y ) s m a x w ( x ) ，以j ，) ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 记v ( x ，y ) = w 0 一y ) 为x ，y 在w 意义下的距离，称之为伪距离 记风( x ，) = j ，：w ( x y ) ，) 为伪范数意义下中心在x ，半径为，的球，称之为 w - 球令击a 所。e = s u p 似x 一力：x ，j ，e ) 下面我们用以x ) 取代欧氏范数定义伪h a u s d o m 维数及伪盒维数 对ec 尺d ，定义 日品( e ) = i n ( 饿蜊。e ) 4 ：e u e ，砒肌。e 万) ， 则日0 ( e ) 随着万趋于。而增大，记 彰( e ) 2 烛日品( e ) ， 则日：为一测度，称之为关于w 的口一h a u s d o m 测度，并称 d i m ：；e = i n f 口：彤( e ) = o ) = s u p 口：田( e ) = ) 为e 关于w 的h a u s d o r f f 维数( 伪h a u s d o r f r 维数) 设e 为尺d 的有界子集，若对每个f ，诫册。( ) = ，且ec ，乱，则称 u ) 脚 为一个e 的关于w 的，- 覆盖记y ( e ) 为覆盖e 的伪半径为，的球的最少个数， 我们可以定义e 上关于w 的上、下盒维数如下： 而舭；掣p 导r u 一， 血扭- ；哮f 鼍笋 ，ul n ， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 如果上面两式值相等，则称它们的共同值 d i m ：e = 面磊；e = 尘堡：e 为e 关于w 的盒维数( 伪盒维数) 引理3 2 谢鸩( 尺) 为扩张矩阵，l d e t 彳l = g r ，则对任意的e 尺d ，有 是a i m 揶击m 胚是二e 其中九。，k 分别为a 的所有特征值的最大、最小模，d i m e 为e 在通常意义下 的h a u s d o r f r 维数 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第四节整自仿t i l e 的边界维数 给定迭代函数系统 z ) 墨。，其中每个z 为尺d 中的压缩映射设日为尺d 中的非 空紧子集组成的集族，在其上引入h a u s d o r f r 度量p ，则h 成为b a n a c h 空间定义 | f ：日一日，f ( x ) = u z ( x ) 这样f 就为日到日上的压缩映射由压缩映射原理，f 有唯一的不动点，即吸引子 r ，它满足 r 丁= u ，( r ) ， 扭l r = l i m f ”( 瓦) 月 其中，”为f 的玎次迭代，极限为在h a u s d o r 啵量p 下取得，瓦为r d 的任意的非空 紧子集钔 设i f s z ( x ) = 彳一1 ( 工+ 谚) 满足 ( i ) 生成的吸引子丁具有非空的内部： ( i i ) 彳为扩张矩阵； ( i i i ) 数字集d = 占l ，占2 ，s ) r j 满足撑d 爿d e t 彳i 为整数 此时，我们称t 为自仿t i l e 这样对每个x r 都具有形式 x = 彳。1 面，面d ，皇l 特别的，若矩阵彳为常数与正交阵的乘积，则称丁为自相似t i l e 7 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 当彳中的元素为整数，d z d 为模彳的完全剩余系时，称r 为整自仿t i l e 以 下的讨论我们将限制在r 为整自仿t i l e 这种情况下文中的瓦，l 均为下式所定义 称 瓦= 卜l 2 ，1 2 r ， c = f ”( 瓦) 我们说一个集合为t i l i n g ，是指： ( i ) 其中的每个元素都是紧的； ( i i ) 所有元素的并为r ”的覆盖； ( i i i ) 任意两个不同元素的内部之交为空集 类似于h a u s d o r f r 度量p ，我们可以定义伪h a u s d o m 度量九，设 乓= x ：以x 一口) 万对某个口e 成立) ， 以( 彳，b ) = i n f 万：彳c 易上旧c 以) 为彳，b 关于w 的h a u s d o r f r 距离( 伪h a u s d o r f r 距离) 引理4 1 设r = 丁( 彳，功为一个整自仿t i l e ，则存在正常数口使得 丸( a 丁，a 瓦) 口g 一d 证明首先证明存在常数口使得d 。( 丁，l ) 卵”坩事实上，由性质3 1 ( i i ) ，有 ，” 巩( r ，瓦) = 以( f ( r ) ，f ( 瓦一，) ) = 丸( u 彳_ 1 ( 丁+ z ) ，u 彳- 1 ( 瓦一。+ z ) ) - if = l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s m a x 九( 彳- 1 ( 丁+ z ) ，爿- 1 ( 瓦一。+ 4 ) ) = m p x g - 1 坩巩( 丁+ 码，乙一- + 碣) ) = g - 1 坩屯( r ，乙一1 ) 取屯( 丁，兀) = 口，则有 以( r ，瓦) 口g 一们 ( 4 1 ) 下证d 。( a r ，a l ) 口g 一咖，首先证明每个x 识到a 丁中某些点的伪距离至多为 口g 一以分三种情况：x 刀，x 诺r ，x 丁o ( 1 ) 若工卯，显然； ( 2 ) 若x 萑r ，则由( 4 1 ) 式，存在一点y 丁使得1 ，( x ，力= 以z y ) 口g 一班， 如果y 订，结论成立，如果y 芒刀，即y 丁。，因以x ) 为c 。函数，且r ：尹7 1 知 巩( x ，w ( x y ) ) n a 丁，从而存在z a 丁使得v 瓴z ) ，( x ，j ，) 口g 一咖； ( 3 ) 若x r o ，考虑下面两个集合： f = p + 丁ip z d f 。= p + 瓦ip z d ) 由 6 中的推论1 1 及定理1 2 知f 为尺d 的t i l i n g ，而乙为t i l i n g 是因为d z j 为模a 的 完全剩余系因为z 识，则存在y + l f 。使得x 劬+ ) ，因x 丁o ，所以 x 仨y + 丁，由( 4 1 ) 式知存在点z y + 丁使得v ，z ) 口g 一”m ，从而存在b 。( x ，w 一z ) ) 内一点甜a 丁使得“a ( y + d ，v ( 甜，z ) 1 ，( x ，z ) a g 一啪同上理由，a 丁上每点到 a 瓦中某点的伪距离至多口g 一们 口 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定义么+ b = 口+ 6 i 口彳，6 b ) ，p 血ix x 记岛为第f 个坐标为l ，其余为 o 的向量，则 q ，乞，) 为尺d 中的规范正交基 引理4 2 令0 = 0 ) u e 1 ，乞，) ，则存在唯一的最小有限集cz d ，使 得o ，d + 彳+ d 这样得到的称为( 彳，d ) - 邻域 证明可由下面的步骤得到，令 1 = ou x z d 恤+ d 穆d 7 d ，y d + o ) 2 = iu x z di 血+ d 7 邓d7 d ，y d + 1 ) l = i - 1u x z di 彳x + d 7 ”d d ，y d + l 1 ) 继续下去，则存在使得心= 坛+ 。= ，令 _ 心= 代+ - 一一00t 即为所求 下证这样的七。存在，即有限第 步得到的记为m 对任意x m ，有 x = 彳_ + 彳阳z 一彳”4 ，后刀，o o j o 一 -o” 事实上，。中的元素显然可以写成上述形式；假设。中的元素也具有上述形 式，由m + 。的定义，若x m + 。，则 x 。或x x z di 彳x + 以= 以+ 少，d 。，以d ，y 乙) ， 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 当x 虬时，由归纳假设条件满足对于后者，有 z = 彳- 1 ( d ：一以+ 少) = 彳。1 以一彳。1 以+ 彳- 1 ( 彳4 厂+ 彳”彰一彳卜”西) = 彳一“1 厂+ 彳”1 d - 彳卜”1 z 7_一 _ j 从而对任意x m ，有 x = 彳t 厂+ 彳卜”彰一彳卜”碣，七” o- i j i 。 取定d ，则x 虬又可以写成以下形式： 由于 x = 彳。厂+ 彳卜”z 一彳卜”珥o_0 一 。 月一l 月一l = 彳。厂+ ( 4 卜”z + 彳一岛) 一( 么卜”碣+ 爿一知) f = oi = h，= o，一月 彳4 尺，r = 【一1 ，l r ， 后面括号中代表的元均属于l 从而有 o l m 互u 彳“r + r r ， 后式为紧致集，故必存在使得岷= 岷+ 。= ，从而为有限集 下证的唯一性 用反证法若存在。，：，。2 满足条件，由最小性知i 。i = l ：1 我们断言 必有d + ln 2 么( 。n 2 ) + d ，若不然，则存在工ln 2 ，d d ，使得x + d 甓 彳( ln 2 ) + d ，从而存在x i l ( in 2 ) ，工2 2 ( ln 2 ) ，及d l ，d 2 d ， 使得x + d = 血l + 西，x + d = 出2 + d 2 ，这就与彳x + d = y 有唯一解( 工，回矛盾从而 d + 。n 2 彳( ln 2 ) + d 成立，但这又与的最小性矛盾 口 下面引入关联矩阵的概念 对每个x ，d d ，勤表示舟x 锄+ d 的唯一解令= ( 彳，功 0 ， 七= l 7 i 表示中元素的个数，定义七后矩阵c ，其元素c 叫由指标x ，j ，确定， c 叫= i d di 礼= 力l ，称矩阵c 为( 彳，d ) 的关联矩阵 引理4 3 设工，y ( 彳，d ) o ) ，则c 三c ”表示了满足条件计x 彳”y + 见的 d 见的个数 证明我们将用归纳法证明当拧= l 时，这正是c 的定义 假设刀一1 时结论是正确的考虑c = c 。c 箩1 ，只需证明( i ) 对满足 ：e d l + x 彳z + d ，以+ z 彳柚j ，+ 见一i 的矾d ，吐见- 1 ，元素d = 彳吐+ 4 见满 足d + x 彳”y + 见；( i i ) 每个满足d + x 彳”y + d 。的d d 。都可写为d = 4 d 2 + d l ， 其中d l d ，满足d l + x 止+ d ，以见一l 满足d 2 + z 彳川+ 见- 1 对于( i ) 有， d l + 彳d 2 + 工= 彳z + d + 4 d 2 = 彳”y + 彳d + d ， 其中d d ， d ”d 因彳d 。+ d 7 e ，从而有d + x = d i + 彳d 2 + x 彳”y + 见 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对于( i i ) ，假设d + 工彳”y + 见，其中d = 彳d 2 + d l ，而d 和吐昧l 均唯 一确定，那么由引理4 2 ，有确定的z 和d d 使得d l + 工= 止+ d ，从而 彳( d 2 + z ) + d 7 = x + d l + 彳d 2 = x + d 彳”y + 见= 彳( 彳”1 y + d 。一i ) + d ， 由代表元的唯一性 d 2 + z 彳”- 1 + d 。一1 定理1 1 的证明对于整自仿t i l e r ，函数迭代系统为 丁= f ( 丁) = u z ( r ) ，z ) = 彳- 1 + 4 ) ，4 d ， 口 从而乙2 u 彳”( 瓦+ 乩+ 彳d - + + 彳”1 d ) 旧d ) ，且丁2 1 骢瓦乙为彳”( 瓦) 的 平移体的不交并，在彳”的作用下就存在一个从中的平移体到见中的点的一一对 应 对于给定的( 彳，d ) 令= ( 么，d ) 0 ) ，规定i mj 代表矩阵m 的所有元素的加 和，则由引理4 3 ，l c ”i 表示了满足d + 工彳”y + 见的( x ，y ，回的个数，其中x ，y ， d q 令b = d 见id + x 彳“y + 见，x ，y ) ，尾= 怫i ，则有 尾i c ”卜七2 尾 ( 4 2 ) 其中七= i i 由第一段叙述，吃也表示了瓦中某些平移体在不致混淆的情况下我 们仍用吃来表示这些平移体的集合 由引理4 2 ，d + 么+ d ，通过数学归纳法可得d 。+ 彳”+ 见，萨1 ， 2 ，因此有见+ s 么”+ d 。令6 = 6 ( 彳，d ) 为原点到( 彳，d ) 中点的最大伪距 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 离取玩中任一平移体，设其中心为，则由上述，到a 乙的某些点的伪距离不超 过6 9 圳j ，取其中一点x ，有，p ，力幻”坩，根据引理4 1 ，x 到a 丁中某些点的伪 距离至多为口g 一们，取其中一点j ，有，( x ，力叼圳d ，从而有v ( r ，力= w ( ，一y ) = w ( ，一x + x 一力m a x w p x ) ，似x y ) ) = m a ) 【 6 9 圳d ，钾圳d ) 同样 有a r 上每点到这样的一个平移体中心的伪距离至多为m a x 6 9 ”m ，凹”埘) 考虑的r d 的t i l i n g 0 = x + 彳”( 瓦) i x 么”( z d ) ) 在上述集合中与原点的伪距离至多为p m 饿 幻圳d ，口g 一以) 的t i l e 的数量由一个和 维数d 有关，而与玎无关的常数办决定令口。为f ，中覆盖a 丁的平移体的最小个数， 由于乙互f ，有尾办口。与口。办尾更进一步，由( 4 2 ) 式及上述，存在正常 数，6 满足 口l c “| 67 l c ” 由于c ”为非负矩阵，我们得到l i m ( i c ”i ) l ，”= 五，即 月 l i m 三l n i c 一| - h l 兄 月_ o ，z 由伪上、下盒维数的定义， 而新= n 翟p 警= n 竺p = n 竺p 等净= 带， ，枷一l n ，月呻一l n 所口。一刀呻一l n 口l n 口 血矽= n 唧f 挈= “凹f = n 凹f 掣= 带， ，斗u i n ， ”_ + 一m m 口” n 一 一i n 口一l n 口一 从而有 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由 1 中的定理5 5 知， d i m 扭= 而新= 血矽= 带， 幽挣= d i m 矽= 筘 口 这样，由定理3 2 ，我们就给出了整自仿t i l e 边界h a u s d o r f r 维数的一个估计且 若九积= k ，则有 m m 一a h ；玑带 1 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第五节两个例子 例l 令彳= ( 1 1 ) 州( 0 ，o ) ，( 1 ，o ) ) 则刑，d ) 为大家所熟知的“脯 d r a g o n ”( 双龙) ，由引理4 2 的算法我们得到 = ( o ，o ) ，( 0 ，1 ) ，( 1 ，0 ) ，( 1 ，一1 ) ，( 0 ，- 1 ) ，( - 1 ，0 ) ，( 一l ，1 ) ) 进一步计算得到 c = 0 0 0 0 lo ol o 0 0 0 0 0 0 o l0 0l 0 2 2 0 lo 0l 0 0 0 o 0 o 0 0 其最大特征值为三+ 三( 2 8 3 厨) 3 + 吉( 2 8 + 3 厕3 ，而且对彳有九“= k = 压， 这样我们就得到了 d i m ：型型坐堑尝堕堂坐塑 1 5 2 3 6 m z 例2 令彳= ( 言三) ，。= ( 。，0 ) ，( 1 ，0 ) ，( 1 ，1 ) ，( 2 ，1 ) ) ，由引理4 2 算法我们得到 其关联矩阵为 = ( 0 ，o ) ，( 1 ，0 ) ，( - 1 ，o ) ，( 0 ，1 ) ，( 0 ，- 1 ) ) r 2 o 0 0 、 ll l0 2 0 ol c = il l0 l2 0l ii l 1 o o 2 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对彳有九默= 九i = 2 ，从而由我们的计算公式得到丁( 彳，d ) 的边界维数为 = 篆乩 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【l 】x i n g g a n gh e ，k a - s i n gl a u ，o nag e n e r a l 娩e dd i m e n s i o no fs e l f - a f e n e 仔a t a l s 【j m a t h n a c h18 1 n o 8 ，1 17 ( 2 0 0 8 ) 【2 】 g e d g a r ，c l a s s i c so nf r a c t a l s m 】a d d i s o n w e s l e y ；19 9 3 3 】p ：d u v a l la n dj k e e s l i n g ，t h eh a u s d o r 伍d i m e n s i o no ft h eb o u n d a 叫o ft h el 6 v y d r a g o n j c o n t e m p m a t h ，2 4 6 ，a m e r m a t l l s 0 c ，p r o v i d e n c e ，i u ，19 9 9 4 】 【5 】 p ：d u v a l i ，j k e e s l i n g ，a v i n c e ，t h eh a u s d o i f rd i m e n s i o no ft h eb o u n d a 叮o fa s e l f - s i m i l a rt i l e j l o n d o nm a t h s o c ( 2 ) 6 1 ( 2 0 0 0 ) ，n o 3 ，7 4 8 7 6 0 k g r 6 c h e n i ga n da h a a s ，s e l f - s i m i l a rl a t t i c et i l i n g s j f o u r i e ra n a l a p p l 1 ( 1 9 9 4 ) ，1 3 l 1 7 0 【6 】j e 衢e yc l a g a r i 嬲，y a n gw a n g ，s e l f - a f f i n et i l e s i nr ” j a d v a n c e si n m a t h e m a t i c s1 2 l ( 1 9 9 6 ) ，2 1 - 4 9 7 】a n c e ，s e l f - r e p l i c a t i n gt i l e sa n dt h e i rb o u n d a 叮 j d i s c r e t ec o m p u t g e o m 2 l ( 1 9 9 9 ) ，n o 3 ，4 6 3 - - 4 7 6 【8 】 r s s t r i c h a n z 锄dy w a n g ，g e o m e t 叮o fs e l f - a 踊n et i l e si 【j i n d i a n au n i v m a t h 4 8 ( 1 9 9 9 ) ，n o 1 ，1 2 3 9 】j k e e s i i n g ，t h eb o u n d a r i e so fs e l f _ s i m i l a rt i l e si n 尺” j 1 0 p o l o g ya n di t s a p p l i c a t i o n s9 4 ( 1 9 9 9 ) ，1 9 5 - 2 0 5 10 】a m o d l y z k o ，n o m - n e g a t i v ed i g i ts e t si np o s i t i o n a ln u m b e rs y s t e m s j p r o c ， l o n d o nm a t h s o c ( 3 ) 3 7 ( 1 9 7 8 ) ，2 1 3 - 2 2 9 【1 1 】a v i n c e ，r e p l i c a t i n gt e s s e l l a t i o n s j s i a mj d i s c r e t em a t h 6 ( 1 9 9 3 ) ，5 0 1 5 2 1 【1 2 】b p r a f r a s t i s ，m a r k o vp a r t i t i o n sf o rh y p e r b o l i ct b r a la u t o m o 叩h i s m s j p h d t h e s i s ，u m i v e r s i 妙o fw a s i n 舒o n ，l9 9 2 13 】b g r u n b a u ma n dgc s h e p a r d ，t i l i n g sa n dp a t t e m s j f r e e m a n ，n e wy o r k ， l9 r 7 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 【1 4 】c b a n d t ，s e i f - s i m i l a rs e t s 5 i n t e g e rm a t r i c e sa n df r a c t a lt i l i n g so f r ” j p r o c a m e r m a t h s o c 1 1 2 ( 1 9 9 1 ) ，5 4 9 - 5 6 2 15 】c b a n d ta n dgg e l b r i c h ，c l a s s i n c a t i o no fs e l f - a f h n et i l i n g s j j l o n d o n ，m a t h s o c 5 0 ( 19 9 4 ) ，5 8 1 5 9 3 16 】c d eb o o ra n dk h o l l i g ，b o xs p l i n et i l i n g s j a m e r m a t h m o n t h l y9 8 ( 1 9 9 1 ) ，7 9 3 - 8 0 2 【l7 】d w m a t u l a ，b a s i cd i g i ts e t sf o r r a d i xr 印r e s e n t a t i o n s 【j j a s s o c c o m p m a c h 4 ( 1 9 8 2 ) 1 1 3 1 1 1 4 3 18 】f m d e l ( i ( i n g ，r e c u r r e n ts e t s j a d v m a t h 4 4 ( 19 8 2 ) ，7 8 - 1 0 4 1 9 】f m d e l ( 1 ( i n g ，r e p l i c a t i n gs u p e r f i g u r e sa n de d d o m o 印h i s m so ff r e eg r o u p s j j c o m b i n t h e o d rs e r a 3 2 ( 19 8 2 ) ，3l5 3 2 0 【2 0 】g i l b e r t ，w i l l i a mj g e o m e 仃yo fr a d i xr e p r e s e n t a t i o n s j t h eg e o m e t r i cv e i n ，p p 1 2 9 一1 3 9 ，s p r i n g e r ，n e w y o r k - b e r l n ，1 9 8 1 【2l 】i d a u b e c h i e sa n dj c l a g a r i 船，t w os c a l ed i f r e r e n c ee q u a t i o n si g l o b a lr e g u i a r i t ) r o f s o l u t i o n s j s i a m ，m a t h ，a j l a l 2 2 ( 1 9 9 1 ) ，1 3 8 8 1 4 1 0 【2 2 k g r o c h e n i g 锄dw m a d y c h ，m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，h a a r b a s e s ，a n ds e l f - s i m i l a r t i l i n g s j i e e et r a n s i n f 0 n i t 3 8 ，n o 2 ，p a r ti i ( 1 9 9 2 ) ，5 5 6 5 6 8 2 3 】r s t