（应用数学专业论文）微分不等式在若干非线性边值问题中的应用.pdf

内容提要 本文运用微分不等式的技巧( 或称为上下解方法) ，一定条件下证明几类非线性边值 问题( 不带小参数) 解的存在性( 部分内容证到唯一性) ，同时运用上面部分存在性( 或唯 一性) 结果处理数学物理中广泛出现带小参数的几类奇摄动边值问题，得到奇摄动边值 问题解的存在性以及解的渐近估计其内容安排如下； 第一部分，给出上、下解的概念及其“n a g u m o 条件”，同时给出两个二阶微分不等 式的基本结果( 引用文献【1 】 2 】 1 2 ”，该基本结果第二节会用到。同时也为下面内容的自 然推广作铺垫 第二部分，利用边界层函数法，构造两类带有高阶转向点的二阶非线性二次奇摄动 边值问题的高阶渐近解( 二次奇摄动边值问题的提法来自f a h o w e s 专著【1 2 ，同时运 用第一部分中引理1 4 和引理1 5 ，得到了摄动同题解的存在性及渐近解关于精确解的误 差估计 第三部分，首先给出三阶非线性微分方程r o b i n 边值问题解的存在唯一性，接着运 用上述存在唯一性结果处理带有转向点的三阶非线性r o b i n 边值问题，得到其解的存 在唯一性以及解的渐近估计 第四部分。利用上、下解的方法，在一定条件下得到一类三阶非线性微分方程的非 线性三点边值问题解的存在性，作为推论，讨论了一类带周期边界条件的边值问题的解 的存在性 ， 第五部分，利用上、下解的方法，一定条件下得到一类二阶非线性微分方程组的三 点边值问题解的存在性，同时将其结果作用于四阶微分方程的三点边值问题，推广了前 人的一些结果作为该结果的应用，考察了一类四阶半线性奇摄动三点边值问题，得到 其解的存在性及其解的渐近估计 关键词：非线性微分方程；非线性边值问题；微分不等式；s c h a u d e r 不动点定理； 转向点；奇摄动；上下解方法；解的存在唯一性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，e x i s t e n c e ( o ru n i q u e n e s s ) r e s u l t so f s o m ec l a s s e so f b v p ( w i t h o u t s m a l lp a r a m e t r e ) w e r ea c h i e v e dv i at h em e t h o do fu p p e ra n d1 0 w e rs o l u t i o n f i r s t l y ，f u r t h e r m o r e ，w ea p p l ys o m eo ft h ee x i s t e n c er e s u l t s ( o ru n i q u n e s s ) t o s i n g l a rp e r t u r b e db v pw h i c hc o n t a i ns i n a l lp a r a m e t r e ，t h e s ek i n d so fb v p a r r i s i n gf r e q u e n t l yi nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s b yt h i sw a y ，e x i s t e n c eo f s o l u t i o nf o rs i n g l a rp e r t u r b e db v pc a nb eg a i n e d a n dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r o fs o l u t i o na se - - + 0c a nb es t u d i e dm i d i t i o n l y t h i bp a p e ri sa r r a u g e df o t t o w i a g i ns e c t i o n1 ，t h ec o n c e p to fl o w e rs o l u t i o n 、u p p e rs o l u t i o na n dn a g u m o c o n d i t i o nw e r es h o w e d ，a n ds o m ep r i n c i a lt h e o r e m s ( l e m m a1 4 ，1 5 ) o f s e c o n d - o r d e rd i i r e r e n t i a li n e q u a l i t yw e r ei n t r o d u c t e d t h i sc o n c e p ta n dl e m m a sc i t e f r o m ( f 1 1 f 2 1 f 1 2 1 1 ，t h el e m m a sw i l lb eu t i l i z e di nt h es e c t i o n2 i ns e c t i o n2 ，w ec o n s t r u c tt h eh i g h e r - o r d e ra s y m p t o t i cs o l u t i o no ft w o k i n d so fn o n l i n e a rq u a d r a t i cs i n g u l a rp e r t u r b e db v pb yt h em e t h o do fb o u n d a r yl a y e rf u n c t i o n ，t h e ne x i s t e n c eo fs o l u t i o no fn o n l i n e a rq u a d r a t i cs i n g l a r p e r t u r b e db v pa n dt h ee s t i m a t eo fa s y m p t o t i cs o l u t i o na b o u te x a c ts o l u t i o n w e r ea c h i e v e dd i r e c t l yv i at h ea p p l i c a t i o no fl e m m a1 5w h i c hw a ss h o w e di n s e c t i o n1 i ns e c t i o n3 ，f i r s t l y ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o no ft h i r do r d e r n o n l i n e a rr o b i nb v pw a ss h o w e d ，t h e ne x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n o ft h i r do r d e rn o n l i n e a rr o b i nb v pw i t hat u r n i n gp o i n tw a sa c h i e v e dv i at h e a p p l i c a t i o no ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u n e s sr e s u l t sm e n t i o n e da b o v e i ns e c t i o n4 ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o no f ac l a s so fn o n l i n e a rt h r e e p o i n tb v p f o rn o n l i n e a rt h i r d o r d e rd i 舵r e n t i a le q u a t i o nw a sg i v e n t h ea n a l y s i sw a sb a s e d o nt h em e t h o do f u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n a sac o r o l l a r y , e x i s t e n c eo f s o l u t i o n o fac l a s so ft h i r d o r d e rb v pw i t hp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o nw a sg a i n e d i ns e c t i o n5 ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o no fac l a s so fn o n l i n e a rf i e c o n d - o r d e r d i f i e r e n t i a ls y s t e m sf o rt h r e e p o i n tb v pw a sg i v e n t h ea n a l y s i sw a sb a s e do i l t h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n a sac o r o l l a r y e x i s t e n c eo fs o l u t i o n o fac l a s so ft h r e e p o i n tb v pf o rf o r t h o r d e rd i f i e r e n t i a le q u a t i o nw a ss h o w ；a s a na p p l i c a t i o n ，c o n s i d e r e dat y p eo ff o r t h o r d e rs e m i l i n e a rs i n g u l a rp e r t u r b e d t h r e ep o i n tb v p k e yw o r d s ：n o n l i n e a rd i f i e r e n t i a ie q u a t i o n ；n o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u e p r o b e l m ；d i f i e r e n t i a li n e q u a l i t y ；s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ；m e t h o do f u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n ；t u r n i n gp o i n t ；s i n g u l a rp e r t u r b a t i o n ；e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n 套士- 日u置 从实际问题中归纳总结出来的微分方程定解问题往往比较复杂，一般地不能直接用 初等方法得到其解析解于是，人们经常采用各种近似方法或数值方法，期望得到问题 的近似解或数值解，从而达到对问题的定性或定量分析奇摄动方法就是一种行之有效 的近似方法，其优点在于能够对问题的解作出定性乃至近似定量的分析，这是数值解一 般没有办法达到的因此，自1 9 世纪p o i n c e r e 在 中提 出“摄动法”以来得到很快发展，形成了多种的经典摄动方法，如l p 法，边界层函数 法，多重尺度法等，并在天体力学，流体力学，量子力学，非线性振动等学科得到了广泛 的应用1 1 3 1 然而，由于很多摄动方法多为物理学家、天体学家所提出，他们从实验科 学的角度出发，认为只要所构造的近似解与实验或经验相符合即可，没有考虑太关注这 些方法数学基础( 如定解问题锵的存在性唯一性等) 然而，对于一个微分方程定解问题 ( 本文都考虑边值问题) ，首先必须保证在一定条件下其解的存在性( 或唯一) ，然后才来构 造其近似解，以达对问题定性以及近似定量的分析，本文首先利用微分不等式的技巧。 在一定条件下得到了边值问题解的存在性结果，接下来利用奇摄动方法( 主要用边界层 函数法) ，构造其近似解，接着运用理论上得到的边值问题的存在唯一性结果处理在数学 物理中广泛出现的带小参数奇摄动边值问题。得到奇摄动边值问题解的存在性以及解的 渐近估计 微分不等式( 上、下解方法) 的提出，为证明非线性微分方程边值问题解的存在性 及解的估计提供了一种简便的方法 1 9 3 7 年，n a g u m o 在文f 1 1 中提出了n a g u m o 条件，莫定了微分不等式的理论基础 l k j a c k s o n 2 发展了这个理论，系统了总结 t - - 阶微分不等式的结果之后，f a h o w e s 1 2 】对n a g u m o j a c k s o n 的结果进行 简化，即放宽了【l l 、【2 1 中对上、下解光滑度的要求，允许上、下解具备有限个角点， 只需上下解在角点处满足一定的大小关系。基本形成了二阶微分不等式的理论体系之 后，人们在经典n a g u m o 条件的框架下( 保证解族的紧性) ，利用微分不等式的方法将 常微分方程边值问题解的存在性或唯一性讨论到三阶、高阶微分方程以及微分系统的各 类边值问题( 见 3 儿4 】【5 】【6 儿7 】【8 】【2 4 】等) 现在微分不等式理论( 上、下解的方法) ，与打 靶法、拓扑度理论等一起，已经成为处理微分方程边值问题解的存在性及其解的估计的 几种常用重要方法之一( 见专著 9 】) 本文3 1 、 4 、5 就是利用该法得到几类边 值问题解的存在性 利用微分不等式的技巧来处理奇摄动边值问题。这始于n i b r i s t ”j ，之后f i a h o w e s 等做了大量的工作，f a h o w e s 在他的博士论文中详细讨论了二阶( 半线性、 拟线性、非线性) 微分方程的边值问题( 主要是d i r i c h l e t ，r o b i n ) 的各种奇异摄动现 象，并以文 1 1 】发表，系统总结了二阶奇摄动( d i r i c h l e t ，r o b i n ) 边值问题解的存在性 及解的各种不同渐近行为，不久后完成专著 1 2 ，该专著被译成俄文，我国林宗池教授 将其翻译成中文这提供了一种研究奇摄动b v p 的一种思路此后，运用微分不等式 得到的一些微分方程边值同题的解存在唯一性结果，往往被用于处理在数学物理中广泛 出现的带小参数各类奇摄动边值问题，得到其解的存在性及解的渐近估计( 此时视小参 数e 为一个小的定常数，上、下解一般的以退化解为基础，利用边界层校正法或多重尺 度法实现其构造) 第一节，给出了以后经常用到的上、下解及其“n a g u m o ”条件的概念，并给出两 个经典二阶微分不等式的结果 第二节。考虑奇摄动中奇性问题一一转向点问题转向点的概念来源于量子力学 【1 4 ，在流体力学 1 5 ，光的传播( 光在不同媒质中传播) 1 1 6 】，化学反应理论( 某时刻添 加催化剂) 的物理化学学科中具有广泛的应用背景由于其重要的应用背景。物理学家很 早就开始对其进行研究【1 6 】，并形成系统的方法如w k b 法 1 3 1 数学上，很多学者利 用边界层的观点，对其渐近解进行构造，考察其解的渐近性态( 见【1 7 1 8 1 9 3 2 3 3 等) 本节考虑两类带有高阶转向点的二次奇摄动边值问题，利用边界层函数法，构造其 高阶渐近解，得到解的存在性及解的渐近估计 第三节，考虑带转向点的三阶非线性微分方程的r o b i n 边值问题，得到其解的 存在唯一性及解的渐近估计对于带有转向点边值问题的讨论，大多集中于二阶情形 ( 【1 8 】【1 9 】【2 0 】【3 2 3 3 ) ，高阶考虑的不多( 2 2 ) ，本节考虑带转向点的三阶非线性微分 方程的r o b i n 边值问题得到其解的存在唯一性及解的渐近估计 第四节，利用上、下解的方法，证明了一类三阶非线性微分方程的非线性三点边 值问题解的存在性对于三阶微分方程的各类边值问题解的存在性，已有许多结果( 见 2 3 _ 27 】) ，既有两点边值问题( 2 3 2 5 】 2 7 】) ，又有三点边值问题( 2 4 2 6 1 ) ，既有线性 2 边值问题( 2 3 - + 2 5 ) ，又有非线性边值问题( 2 6 - - 2 7 ) 但是这些边值问题，其边界定 解条件都只与一定点( 边界点或内点) 有关，这不能体现在力学中大量出现的周期型边值 问题，为了将三阶微分方程的边值问题的存在性结果讨论到更广泛情形，本文利用上下 解的方法。证明了一类三阶非线性微分方程的非线性三点边值问题解的存在性 第五节。考虑二阶微分方程组的三点边值问题对于二阶或二阶以上微分方程的两 点或三点边值问题。已经有许多的结果，这可见前面若干文献但是利用微分不等式的 技巧，讨论微分系统三点边值问题，结果不多本文考虑二阶微分系统的三点边值问题， 得到其解的存在性，作为推论，得到一类四阶微分方程三点边值问题解的存在性，推广 了文 2 9 】的结果并将其结果应用于一类半线性奇摄动三点边值问题。得到解的存在性 及解的渐近估计 3 1几个概念及基本引理 本节以二阶微分方程的d i r i c h l e t 边值问题为例。给出几个基本概念及其预备定理 考虑边值问题： x ”= f ( t ，。，z ，) ( 1 ) x ( a ) = c ，x ( b ) = d ( 2 ) 定义1 1 ：称函数口( t ) 为方程( 1 ) 在 a , b 的下解，如果“( t ) c 2a ，6 】，同时 满足： a ( t ) ”f ( t ，a 0 ) ，q 7 ( t ) ) ，t a ，6 】 ( 3 ) 定义1 2 ：称函数卢( t ) 为方程( 1 ) 在【a , b 】的上解，如果3 ( t ) c 2 【，6 】，同时 满足： 卢( t ) ”sf ( t ，卢( t ) ，卢( t ) ) ，t b ，6 】 ( 4 ) 注1 ： 从表达式( 3 ) 、( 4 ) 中可以看出，从介于上、下解中寻找得解x ( t ) 满足 z ”= ，( t ，z ，一) ，这其中有介值定理的“影子”，从中可以看出微分不等式的一点思想来 源 定义1 3 ：称方程( 1 ) 的右端f ( t ，x ，一) 在【a i b 上关于函数o ( t ) ，p ( t ) 满足 “n a g u m o ”条件若当( t ，立，一) a ，b 】陋( t ) ，卢( t ) 】r ，有函数h ( s ) g ( 【o ，o o 】，r + ) ，使得l ，( t ，茁，茁) 1sh ( i 口。j ) ，同时 厂斋 娜m a x 秽卢( ) 一t f m 叫i n m a x m i n 邮) 六雨 娜，q2 ) 一哦q q ) 这里a ( 6 一a ) = m a x i o ( o ) 一p ( b ) i ，j o ( 6 ) 一卢( o ) ) 注2 ： n a g u m o 条件的满足，保证了微分方程边值问题的解族的紧性 引理1 4 ( j a c k s o n 【2 , t h m 7 3 1 ) 如果f ( t ，茁，z 7 ) 连续，存在满足( 3 ) ( 4 ) 的上下 解，同时关于a ( t ) ，z ( t ) 满足n a g u m o 条件，则当o ( n ) cs 卢( 口) ；( 6 ) d 卢( 6 ) 时，边值问题( 1 ) ( 2 ) 有解x ( t ) c 2 【口，6 1 且满足估计a ( t ) x ( t ) p ( t ) 4 引理1 4 可以被推广为 引理1 5 ( f a h o w e s 【1 2 ，t h i n 2 2 ) 若函数f ( y ，。，z ) 在【a ，b 】r 2 上连 续，且满足增长估计： f ( t ，。，一) = o ( i x m 当一- 9 。，同时存在分段c 2 的连续 函数o ( t ) 及卢( t ) ，即对于区间【a ，b 的有限分划a = t o t l - t i l o ， 0 为正的小参数 1 相关假设 h i ：f ( x ，e ) 和9 ( x ，e ) 在【_ a ，b 】xf 0 ，s o 】( o 是某小正数) 上，a ( ) 和b ( e ) 在 o ，o 】上j ) 、r + 2 次连续可微这里的n 是高阶渐近解的阶数因而有： f ( x ，) = 0 ) 一十d ( e + 1 ) ， g ( x ，) = 吼 ) 一+ o 陋。+ 1 ) ， 6 a 0 ) ：na i 一+ o ( j + q ，b ( 5 ) ：n 鼠一+ o ( e + - ) i = 0i = 0 这里胁) = 掣k “t = 幽i ! d e ，函数如) 及常数b i 类似 z = o 作为问题的转向点，假设： h 2 y ( o 一= 掣= = 错= 0 驴o ( m 3 ) ，0 ，e ) 0 ( 茁【一o ，0 ) u ( o ，6 】x 【0 ，g o 】) 作为问题解的正则部分的存在性( 包括相应退化解的存在性) ，我们假设方程( 2 1 ) 满足( 一a ，g ) = a ( e ) 的外部解至少在一o 卫0 存在；方程( 2 1 ) 满足y ( b ，) = 口( ) 的外部解至少在0 z b 存在；明确地说： h 3 ：方程组： 黜黼t 2x。；耐x；说tixt 2 7 t 豸稿竺截) ( i - 1 2 州3 ) ( 2 。) 12 ，0 ( 口) 可。；( 。) + 卯( 。) 可：( z ) = 。巩( 茁) ( = 1 ，) 7 存在满足条件挑( 一a ) = a ；的解玩0 ) c + 2 卜a ，o ，又存在满足条件y i ( b ) = b i 的解玩( z ) 口n + 2 【o ，翻这里玩( z ) 有如下表达式 皿( z ) = 一让。( 茁) 一 ( x 。t x 。i - j - k ( z ) k = l j = o 一9 * ( $ ) 9 m ( z ) 一如( z ) v i ( z ) 虹女( 茁) 在甄0 ) 中，若出现负下标的函数，则令其为0 明显地，这里凰) 是逐次可知函 数，即方程( 2 3 ) 右端非齐次项h ( z ) 只与珈( 茁) ，口1 ( ) ，y i l ( 茁) 有关 h 4 ：设在【一n ，6 】x 0 ，d ：0 j 上g ( x ，e ) m 0 2 近似解的构造 设想边值同题( 2 1 ) ( 2 。2 ) 具有如下的形式的高阶渐近解t 这里7 - = 著为伸展变量 7 。- ai 0 ，是正的小参数研究这样一类问题，经典n a g u m o 条件下应用微分不 等式的理论，把转向点问题的讨论推广到更一般的微分方程奇摄动边值问题 本文从边界层的角度出发，在一定条件下，利用“连接匹配”的手段，构造问题的 一致有效高阶渐近解，然后利用微分不等式的技巧引理1 5 ，获得问题解的存在性以 1 及摄动解关于精确解的误差估计特别地，若f ( t ，y ，s ) = f ( t ，) ，g ( t ，e ) = g ( t ，) 则为2 i 的情形 为了得到相关结果，对问题作出如下的假设， 日1 ：f ( t ，g ，) 和9 ( t ，可，) 在【一o ，6 1 r 【0 ，e d ( o 是某小正数) 上，a ( ) 和b ( ) 在【0 ，o 上分别是n + 2 次的连续可微这里的n 是高阶渐近解的阶数 不失一般性，可假设z = 0 作为问题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 的高阶转向点，即 凰：对于蜘龇f ( o m 扣驾泸- 一鬻芦扎掣， 0 ( 竹z 3 ) ，f ( t ，可，s ) 0 ( t 【一o ，0 ) u ( o ，b 】r 0 ，s o 】) 对于这类问题( 奇异摄动中的奇性问题) ，一般地，需对问题解的正则部分的存在性 ( 包括相应退化解的存在性) 作出假设( 见【1 8 】 1 9 2 0 儿3 2 m 3 3 ) ，具体地说， 风：递推方程： 鼢2 f ( t 燃v o ( t ) 躐y o 友豁蚴蹁兰禳i ：1 23 以l ， ，o ) ( t ) 以( t ) 十p ( t ) 纨( t ) = 弧( t ) ( = ，) 恤”j 存在满足条件玑( 一a ) = a 的解乳0 ) e + 2 一a ，o l ，又存在满足条件玑( 6 ) = b k 的解玩( 。) e + 2 i o ，b 】这里a k = 幽k ! d e ，b 七与a 女类似都为常数在( 2 1 5 ) 中，p ( t ) = 鳐( t ) 矗( t ，v o ( t ) ，0 ) + 岛( t ，v o ( t ) ，o ) ，按照递推的观点p ( t ) ，q k ( t ) 视为已 知吼( t ) 有如下表达式： 吼( t ) = 碟一2 ( t ) 一，( t ，v o ( o ，o ) e ：( t ) 玑一l ( t ) k - 1k - i 一e 彰( t ) 以一l j ( t ) 【丘( t ，v o ( t ) ，o ) 玑( t ) + 只( ) 】一g 女( t ) ， t = lj = o 在上式中，只( ) 由v o ( t ) ，鲈1 ( t ) ，玑一l ( t ) 确定，g k ( t ) 与只( t ) 类似，出现负下 标的项视为0 记 则根据日2 知 ( 2 1 6 ) i 2 碟一f ( t ，y n ，e ) 器一g ( t ，s ) i = o ( e + 1 ) ， ( 2 1 7 ) = 脚 = 0 = y k“三，一 脚 | l “r 一y 对f 有同样的结论 h 4 ：对任意的y r ，有珊( t ，y ，o ) 1 e 0 4 1 2 o , l 为正的常数 1 高阶近似解的构造 一般来说，递推方程( 2 1 5 ) 满足y k ( - a ) = a k 的解吼( t ) 与满足y k ( b ) = b k 的解玩( t ) 在转向点位置t = 0 处不相等( 除非某些特殊的情形 2 0 1 ) ，即在转向点位置 产生迁移层在实际问题中，如化学反应，这体现化学反应状态的转移，在某时刻，由一 反应状态突变迅速迁移至另一反应状态因此，可以设想边值问题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 具有如 下的形式的高阶渐近解； 玢c 叩，= 畿落) + 激怒昌j 莲蓬手n c 。m ， 这里7 - = 为伸展变量，y 与y n 如( 2 1 6 ) ，u n + 1 ( t ，) = “l ( 7 ) 一，i ，+ l ( 7 _ ，s ) = 一 + l + 1 i = 0 啦( r ) e 矾0 ) ，虱0 ) 0 = 0 ，1 ，n ) 为风确定得到的外部解，蛳( r ) 和 仇( r ) ，i = 0 ，1 ，一，为内部层函数( 在反应中，这可用于描述连接两种稳定反应状态 的突变过程) ，将在下述递推的方程及定解条件确定 将形式解】，( t ，s ) 代入方程( 2 1 3 ) 得： 当一o z 曼0 时， e 2 f 备+ 瞄= ，( t ，p + ，e ) ( 驴，+ ) 2 + g ( ，驴+ 巩，e ) + o 扛。+ 1 ) 根据( 1 6 ) 知t 嘴= 坤，_ + ，) ( 瓦+ ) 2 + m f + 妇，e ) 一【，( t ，f ，) f ；+ 9 ( t ，i _ ， ) l + o ( 5 + 1 ) 将y _ 和l k 的形式表达式以及t = 盯代入上式，并对其右端在s = 0 作多元t a y l o r 展开同时注意到t = 0 是问题的高阶转向点( 日2 ) ，因此有t 让：( 7 _ ) = 9 ( o ，仇+ u o ( t ) ，0 ) 一g ( o ，m ，o ) ，i = 0 ； ( 2 1 9 ) u ? ( 下) = 9 ( o ，m + 钍o ( 丁) ，o ) ( 丁) + g i ( r ) ，1 i m 一1 ；( 2 2 0 ) “? ( 7 ) = g ( o ，m + u o ( t ) ，o ) 钍 ( 7 - ) + g 。( _ r ) ，m i n ；( 2 2 1 ) 这里m = 可o ( o ) 为常数 这里国一) = g i ( t ，钍o ，u l ，- 一，u l 一1 ) i = 0 ，1 ，m 一1 是由t ，u o ，u l ，u t 一1 按照某种确定的规则组成的非线性泛函，按照递推的观点视为方程( 2 2 0 ) 已知的非齐次 右端具体来说，g i ( r ) 的表达式可以划分为三部分( 分别用三个大括号表示) ： 1 g i ( r ) = 者协( 丁) 蹦o ，m + 咖( ，- ) ，0 ) 一g y ( o ，m ，o ) 】 + 1 如1 ( r ) + u 1 盯) ，p 2 ( r ) + u 2 ( t ) 一，p i i ( t ) + 让一1 ( _ r ) 】 一亓1 b 1 ( r ) ，p l ( 7 - ) ，a - 1 p ) ) + 2 ( r ，t 扣1 ，l 1 ) 一一2 ( 7 - i ，r 扛1 ，7 _ ，1 ) ) o = 0 ，l ，j ，m 1 这里鼽( 丁) 表示关于t 的i 次多项式，如p l ( r ) = y o ( o ) 丁+ 可1 ( o ) ，p 2 ( t ) = 吼( o ) 7 _ 2 - i - 2 可1 ( o ) r 十玩t o ) 1 ( ) 表示关于p l ( 丁) 十“1 ( r ) ，p 2 ( r ) + 札2 ( r ) ，p i l ( 下) + u i 一1 ( 下) 的多项式，其系数为丁5 吼m ( o ，y d 0 ) + u o ( 下) ，o ) ，0 8 j ，f ，其中蜘斛2 蔷弓毒 1 ( ) 的结构与h i ( ) 相同。为关于p 1 ( 下) ，p 2 ( 下) ，鼽一l ( 丁) 的多项式，其系数 为t a g 删( o ，- 0 ( o ) ，o ) ，0 8 ，f i ，其中g s k l 意义同上 n 2 ( ) 表示关于 7 - ，7 _ 卜1 ，t ，1 的多项式、系数为r 。9 。, t o ，- o ( 0 ) + u o ( f ) ，o ) ，其中g 。= 罴；i ：暑， 2 ( ) 的结构与2 ( ) 类似，只是将系数改为g s f ( o ，0 ( o ) ，o ) 根据岛( r ) 的表达式 的结构在第一与第三个中括号直接运用中值定理；在第二个中括号中，将1 1 1 ( 1 展开 后部分项分别与1 1 1 ( ) 运用中值定理，其余项保持不变，则g ( 7 - ) 的表达式各项都呈 现p ( r ) k 汀) ( 或p p ) k 钍；( 7 - ) ) 的结构，j = 0 ，1 ，- ，i 一1 ，0 p i 一1 这 里p ( r ) 表示关于7 的多项式。表示某一有界量( 由日2 中g 关于t ，y ，s 的光滑性 保证，只需p ) 有界) ；“j 一) 是系列方程t 2 3 ) 1 2 4 ) 的懈函数，同时g i ( r ) 为这些 项的和因此，只要( r ) ，0 = 0 ，1 ，i 一1 ) 都呈现指数型衰减，则g 一) 同样保 持指数型衰减( 以g 1 一) ，g 2 ( r ) 为例说明) 例如， g i ( t ) = p l ( r ) 吼( o ，玩( o ) + u o ，0 ) 鲫( o ，孔( o ) ，o ) + 【丁毋( o ，m + t t 0 ，0 ) + 乳( o ，m + u o ，o ) 】一【r g t ( o ，m ，0 ) + 肌( o ，m ，o ) 】) g 2 ( 下) = p 2 ( 下) 【9 口，m + u o ，o ) 一9 ，( o ，m ，o ) 1 5 + 刍 。( o ，m + 钍。，o ) ( p - ( 丁) + “t ( 下) ) 2 + 2 r 目印( o ，m + 。，o ) ，( 丁) + u ，( 丁) ) + 2 9 目( o ，m + u 0 ，o ) 1 ( 7 - ) + t l p ) ) 】 一【吼。( o ，m ，o ) p 2 ( r ) + g t 口( 0 ，m ，o ) p l ( r ) + 2 9 日( 0 ，m ，o ) p l ( 7 - ) ) + 西1 h 。( o ，m + 伽，o ) r 2 + 2 9 u ( 0 ，m + u 。，o ) r + 乳。( o ，m + 铷，o ) 】 一f g t 2 ( o ，m ，o ) 7 _ 2 + 2 9 t ；( 0 ，仇，o ) 丁+ 吼。( o ，m ，o ) ) 从g l ( 7 _ ) ，g 2 ( r ) 的表达式容易看出具有上述g i ( 7 _ ) 性质 同样地，g l ( 丁) = g ( 丁，u o ，札1 ，札i 一1 ，乱3 ，- - ，t 上：一m + 1 ) ，i = f t t ，m + l ，