大物习题答案1.doc

习 题 一11 一质点在平面xOy内运动，运动方程为x=2t， (SI)。(1)求质点的运动轨道；(2)求t=1s和t=2s时刻质点的位置矢量；(3)求t=1s和t=2s时刻质点的瞬时速度和瞬时加速度；(4)在什么时刻，质点的位置矢量和速度矢量垂直?这时x、y分量各为多少?(5)在什么时刻，质点离原点最近?最近距离为多大?解 质点的运动方程:，(1)消去参数t，得轨道方程为: (2)把t=1s代入运动方程，得 把t=2s代入运动方程，可得 (3)由速度、加速度定义式，有 所以，t时刻质点的速度和加速度为 所以，t=1s时， t=2s时，(4)当质点的位置矢量和速度矢量垂直时，有 即 整理，得 解得 (舍去) (5)任一时刻t质点离原点的距离 令dr/dt=0 可得 t=3 所以，t=3s时，质点离原点最近 r(3)=6.08m12 一粒子按规律沿x轴运动，试分别求出该粒子沿x轴正向运动；沿x轴负向运动；加速运动，减速运动的时间间隔。 解 由运动方程可得质点的速度 (1)粒子的加速度 (2)由式(1)可看出 当t3s 时，v0，粒子沿x轴正向运动； 当t3s 时，v1s 时，a0，粒子的加速度沿x轴正方向； 当t1s 时，a3s或0t1s间隔内粒子加速运动，在1st1因此船的速率u大于收绳速率v。(2) 将(1)式两边对t求导，并考虑到v是常量 所以 即 18 质点沿x轴运动，已知，当s时，质点在原点左边52m处(向右为x轴正向)。试求：(1)质点的加速度和运动学方程；(2)初速度和初位置；(3)分析质点的运动性质。解 (1) 质点的加速度 a=dv/dt=4t又 v=dx/dt 所以 dx=vdt对上式两边积分，得由题知 (m)所以 c= - 457.3m因而质点的运动方程为： (2) (3) 质点沿X轴作变加速直线运动，初速度为8m/s，初位置为-457.3m.19 一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a=2+6x。物体在x=0处的速度为，求物体的速度与位置的关系。解 对上式两边积分得 化简得 由题意知 故物体的速度与位置的关系为 110 一质点在平面内运动，其加速度，且，为常量。(1)求和的表达式；(2)证明质点的轨迹为一抛物线t=0时，。解 由 得 两边积分得 因，为常量，所以a是常矢量，上式变为 即由 得 两边积分，并考虑到和a是常矢量， 即 (2) 为了证明过程简单起见，按下列方式选取坐标系，使一个坐标轴(如x轴)与a平行，并使质点在t=0时刻位于坐标原点。这样 (1) (2)由前面推导过程知 (3)联立 (1)(3)式，消去参数t得此即为轨道方程，它为一条抛物线。111 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为，g为重力加速度，B为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。设t=0时物体的初速度为零。(1)试求物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大?解 (1) 由得 两边积分，得即 由t=0时v=0 得 c=g所以，物体的速率随时间变化的关系为: (2) 当a=0时 有 a=g-Bv=0由此得收尾速率 v=g/B112 一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a，此后随t均匀增加，经时间后，加速度变为2a，经后，加速度变为3a，。求经时间后，该质点的加速度和所走过的距离。解 由题意可设质点的加速度与时间t的关系为 (k为常数)又 得 所以故当时，质点的加速度 由得 对上式两边积分得 所以 又 对上式两边积分 经过时间后，质点所走过的距离113 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速a=-ky，k为常数，y是离开平衡位置的坐标值。设处物体的速度为，试求速度v与y的函数关系。解 由 对上式两边积分即 故速度v与y的函数关系为114 一艘正以速率匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶。其加速度的大小与速度的平方成正比，即， k为正常数。试求舰艇在关闭发动机后行驶了x距离时速度的大小。解 对上式两边积分 化简得 所以 l15 一粒子沿抛物线轨道运动，且知。试求粒子在m处的速度和加速度。解 由粒子的轨道方程 对时间t求导数 (1)再对时间t求导数并考虑到是恒量 (2) 把m代入式(1)得 所以，粒子在m处的速度为与x轴正方向之间的夹角 由式(2)得粒子在m处的加速度为方向沿y轴的正方向。116 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置。(1)在t=2s时，它的法向加速度和切向加速度各是多少?(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，值为多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?解 质点的角速度 质点的线速度 质点的法向加速度，切向加速度为 (1) (2)(1)把t=2s代入(1)式和(2)式，得此时 (2)质点的总加速度 由 得 解得 t=0.66s 所以 (3) 当即 时有 t=0.55(s)117 火车在曲率半径R400m的圆弧轨道上行驶。已知火车的切向加速度，求火车的瞬时速率为时的法向加速度和加速度。解 火车的法向加速度 方向指向曲率中心 火车的总加速度 设加速度a与速度v之间的夹角为，则118 为了转播电视而发射的地球同步卫星在赤道上空的圆轨道上运动，周期等于地球的自转周期T=24h。求卫星离开地面的高度和卫星的速率(距地球中心r处的重力加速度，是地球的半径。)解 设同步卫星距地球的中心为r，引导速率为v，则 (1) (2)解式(1)、(2)组成的方程组得所以，卫星距地面的高度119 若登月舱在登上月球之前绕月球以半径 (为地球半径)作圆周运动，并且已知这时月球对登月舱的引力加速度。试计算登月舱的速率和飞行一周所需要的时间。解 设登月舱的速率为v，周期为T，则 即 (1) 即 (2)解式(1)(2)组成的方程组得 120 如图所示，一卷机扬自静止开始作匀加速运动，绞索上一点起初在A处经3s到达鼓轮的B处，然后作圆周运动。已知AB=0.45m，鼓轮半径R=0.5m，求该点经过点C时，其速度和加速度的大小和方向。解 设指点的切向加速度为，经过B点时的速率为，法向加速度为，由题意知 (1) (2) (3) (4)联立以上四式，得 121 在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其路程随时间的变化规律为，其中和b都是正常量。求t时刻齿尖P的速度及加速度的大小。解 (1)设时刻t齿尖P的速率为v， 切向加速度，法向加速度，则 所以，t时刻齿尖P的加速度为(2)当时，有 解得 122 一物体作斜抛运动，抛射角为，初速度为，轨迹为一抛物线(如图所示)。试分别求抛物线顶点A及下落点B处的曲率半径。解 物体在A点的速度设为，法向加速度为，曲率半径为，由题图显然有 (1) =g (2) (3)联立上述三式得 物体在B点的速度设为，法向加速度为，曲率半径为，由题图显然有 (4) (5) (6)联立上述三式得 123 一物体作如图所示的抛体运动，测得轨道的点A处，速度的大小为v，其方向与水平线的夹角为，求点A的切向加速度和该处的曲率半径。解 设A点处物体的切向加速度为，法向加速度为，曲率半径为r，则由图知 又 所以 1-24 一火炮在原点处以仰角、初速发射一枚炮弹。另有一门位于m处的火炮同时以初速发射另一枚炮弹，其仰角为何值时，可望能与第一枚炮弹在空中相碰?相碰时间和位置如何(忽略空气阻力的影响)?解 设经过时间t后，炮弹1、炮弹2的坐标分别为、，则对炮弹1 对炮弹2 当炮弹1、炮弹2相碰时 即 (1) (2)解式(1)、(2)组成的方程组得 (3) 所以 相遇时的坐标设为(x，y)，则125 河宽为d，靠河岸处水流速度变为零，从岸边到中流，河水的流速与离开岸的距离成正比地增大，到中流处为。某人以相对水流不变的速率v垂直水流方向驶船渡河，求船在达到中流之前的轨迹方程。解 设重物下落的加速度为，t时刻飞轮的角速度和角加速度为和，则因为飞轮与绳子之间无相对滑动，所以故 由题意知，t=0时刻飞轮的角速度所以 126 如