（应用数学专业论文）退化性椭圆型方程的全局紧结果和变号解.pdf

摘要 本文主要讨论下面退化椭圆型方程 f 一出u ( 1 z i - 2 口v u ) = l z i - 劬i u l p 一2 u + ，7 l z i _ d d l u i 口一2 u z q 、让= o z a q ， 其中q 是r ( 3 ) 中的有界光滑区域，o q ，口= 6 o ，p = 鹩，o d o + 1 ， 2 口 d ，d = 丽壬彘丽，7 7 r 我们得到了上述问题的一个全局紧性结果，并 由此得到了上述问题的变号解由于二阶椭圆型算子是退化的，我们碰到了一些新 的困难 关键词：全局紧；变号解；对偶环绕定理；退化 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，w ea r ec o n c e r n e d 丽t ht h ef o l l o 、 r i n gd e g e n e r a t ee l l i p t i cp r o b l e m ：竺：l z l 一2 口v u ) = l z l 一6 p l u l p 一2 让+ 叼i z i d 。i u | 口一2 让 z q z a q ， w h e r ew h e r eqi sab o u n d e dd o m a i ni nr ( 3 ) ，o q ，凸= 6 o ，p = 鹩，口 d o + 1 ，2 g d ，d = 万互兰2 ：丽，叩r w b f i r s tp r o v eag l o b a lc o m p a c t n e s s r e s u l ta n dt h e no b t a i ns i g n - c h a n 百n gs o l u t i o 璐f o rt h ea b o v ep r o b l e m d u et ot h e d e g e n e r a c yo ft h es e c o n do r d e re l l i p t i co p e r a t o r ，s o m en e wp h e n o m e n a 印p e a r k e y 、 厂o r d s ：g l o b a lc o m p a u c t ；s i n 争c h a n 酉n gs o l u t i o i l s ；1 i n k ( d u a l ) t h e o r e m ；d e g e n e r a c y 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t 枷o n 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：赵确抒 日期：谁s 月姆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：赵嘶桥 日期：础年s 月够日 导师签名：彳d 卵z 日期：，绊夕月谚日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回重途塞握銮卮溢卮；旦坐生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：越蜥柞 日期：制年岁月必日 导师签名：易a a 尸乞 日期：秒多年厂月厩 第一节引言 本文我们考虑如f 退化椭圆型i 司题 一出u ( i z i 一勉v u ) = i z i 一6 p l u i p 一2 t 上+ 7 7 i z i d 。l u l 9 2 让 z q ( 1 - 1 ) i 让= oz a q ， 、。 其中q 是r ( 3 ) 中的有界光滑区域，o q ，口= 6 o ，p = 鹩，口d o + 1 ， 2 0 是合适的常数 近年来，许多人都考虑了c a 赶k e u i k o m n i r e n b e r g 不等式在下面参数范围的 情形， o 口 半，。 6 n + 1 这种区域我们把它看作。的“非负区域”的一些问题，如【1 ，3 ，5 ，7 ，8 ，9 ，l o 】“e b 【1 4 】考虑了口= o ，o 6 1 的情形，给出了最佳常数及其达到函数的形式c h o u 和c h u 【9 】考虑口的“非负区域”，也给出了最佳常数以及达到函数的形式 但是，对于q = 6 o 这种情况，c a t r i n a 和王志强 5 】证明了s ( 口，n ) = s ( o ，o ) 在r 上不可达而且由于( 1 1 ) 是退化的，我们的问题变的更为复杂因此，如果 用标准的变分方法( b r e z i s 和n i r e n b e r g 【2 】) 来研究问题( 1 1 ) 在o = 6 o 时非零 解的存在性，我们需要克服更多的困难本文的主要目的是克服这些困难得到问 题( 1 1 ) 的变号解 定义问题( 1 1 ) 所对应的能量泛函是 岛( 让) = 三上- 2 8 l v u l 2 出一三上却m p 如一孑上吲一d d 9 如，u 风( q ) 首先，我们分析晶的( p s ) 序列，并且得到一个全局紧结果为了得到问 题( 1 1 ) 的全局紧性结果，我们首先给出( 1 1 ) 对应的极限问题： 一觇u ( i z | _ 缸v u ) = i z l - 幼l 缸i p 一2 u ，t 正d ：，2 ( r n ) ，( j 宁) 和 一t 正= i t 正l p 一2 u ，u d 1 ，2 ( r ) ， ( f 罗) 2 其中d ：，2 ( r ) 是c 富。( r ) 在模”i | d 敞r ) = ( 丘n 一缸l v 1 2 ) 1 7 2 下的完备化 为了统一记号，我们把极限问题( 矸) 和( 毋) 对应的泛函分别记为： 矸( u ) = 三上n 一勉l v u l 2 d z 一三上一助p 出，让。( r ) 矸( u ) = 丢上i v u l 2 出一三上n i 让i p 如，缸。1 ，2 ( r ) 并且极限问题( 甲) 和( 毋) 的解分别是泛函砰( 让) 和矸( 让) 的临界点 我们的第一个结果是 定理1 1 若o = 6 o ， c 矾( q ) 满足岛( ) c ，蜀( ) 一。 在珩1 ( q ) 中，当m _ o o 时那么 ( i ) 可以分解成 让m = 护+ 壹( 岛) 学一a q ( 噱z ) + 壹( 磷) 学( 砘) 一d 逅( 碥 一碡) ) + ， 其中在d ：，2 ( r ) 中叫。_ o ，是岛( 让) 的临界点后，z n ，对于1 歹尼，当m _ 时，r 毛_ 。， 是( 甲) 的解对于1 歹z ，当仇一时，磷_ o o ，( ) “吗 是( 鼍) 的解 麻) ，【 ( 1 j z ) 是正常数列，点列 z 毛) ( 1 j z ) 在q 中收敛 到磊q 七 z ( 说) 晶( ) _ 岛( u o ) + 砰( q ) + 矸( ( ) - 口吗) 与文【1 5 ，1 7 ，1 8 】中证明的全局紧结果相比，定理1 1 表明( p s ) 序列能够产生两 种爆破现象它们分别是 一2 盯簖u ( k ( z 一) ) 当k i z m i _ o 。 或 一2 七：一8 y ( k 。扛一z 。) ) 当尼h l z m i o ， 其中p “u 是( 毋) 的一个解，y 是( 砰) 的一个解 第一种爆破现象对应于b r e z i s n i r e n b e r g - 类型或者y a m a b e - 类型的问题第二 种爆破现象是由二阶椭圆算子退化性引起的分析中的关键一步是排除中间类型 爆破产生的可能性，即排除形如 盯一。日( k ( z z m ) ) 3 的爆破，这里，k l z 。i _ g ，o c o 。 其次，我们利用定理1 1 得到问题( 1 1 ) 的变号解在【1 1 】中邓引斌，金玲玉和彭 双阶证明了在g 的某些安全范围内问题( 1 1 ) 存在正的极小能量解本文在合适的能 量范围内构造变号( p s ) 序列，从而得到变号解 我们得到的第二个结果如下： 定理1 2 若o = 6 o ，驾譬 g d ，o d n 恭高，则问 题以纠至少存在一对变号解士u 2 ( z ) ，并且满足： ，( i z l 劬i t 上2 i p 2 + 7 7 _ d d i u 2 r 2 ) 也2 u ( 地) = o ， - ，n 其中u ( 扎) 黝口权特征值问题 一击u ( 1 z i 一2 0 v u ) = z ，( 1 z i 一6 p l 让2 i p 一2 + 7 7 i z i d d i t 正2 l 口一2 ) u ，z q ，口= oz a q ， 的第一特征函数 我们的主要思想与文【1 6 】相同，利用环绕( 对偶) 定理得到一个变号( p s ) 序 列，再用定理1 1 构造的紧性结果证明变号( p s ) 序列是列紧的具体思路如 下：如果 ) 是变号( p s ) 。序列满足c 岛( 缸1 ) + 寺s 拿，则 ) 是列紧的，其 中u 1 是1 1 1 中的极小能量解利用对偶定理构造这种变号序列，使其收敛到( 1 1 ) 式 的变号解u 2 虽然s ( o ，口) 在口 0 时不可达，但由于紧性结果与最佳s o b o l e v 常 数9 有关，所以我们选择s 的达到函数作为s ( o ，o ) 的近似达到函数再者由于退化 性，我们不能在退化点零的邻域内对u 1 做先验估计，因此我们不能像文 7 ，1 6 】中直 接证明c b ( u 1 ) + 专s 譬由于极限问题( 譬) 的平移不变性，在引入函数后这 个问题也可以得到解决 本文的结构如下：第一部分是引言，介绍了与本文有关的椭圆型方程研究背景 和本文主要讨论的内容，并叙述了本文的主要结果第二部分给出了全局紧结果的 证明第三部分证明了变号解的存在性 在本文中，记d 1 ，2 ( r ) 为曙( r ) 在内积( 让，u ) = 丘v u v u 下的完备化记 b 任，r ) 为以z 为球心7 为半径的球约定aqb 表示a 嵌入到b ；a _ b 表示a 强收敛到b ；ajb 表示a 弱收敛到b 为了方便起见，我们用相同的c 或g 表示 不同的正常数 4 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r l ：a n o n 第二节全局紧性结果 为了证明定理1 1 ，我们给出以下引理： 引理2 1 嵌入风( q ) ql 口( q ，- d d ) 是紧的 证明：与【3 ，9 】中证明类似，因此省略它 口 引理2 2 设 ) c 玩( q ) ，在见( q ) 中_ 乱，令= t 正。一u ，由b 砌s 一三i e 6 引理知，当m _ o 。时有： ( i ) i z i - 2 。l v 1 2 如= “z l _ 2 0 l v 1 2 如+ z i - 2 叫v u l 2 如+ d ( 1 ) ； j n，n- ，n ( 乱) 上h 嘶l i p 出2 上哳l i p 如+ 上h 嘶p 如+ 。( 1 ) ，q- ，n ，q 引理2 3 设 u m ) c 玩( q ) 是岛在p 处的p s ，序列，即岛( ) _ 尻蜀( ) _ o 于孵1 ( q ) 中，当m _ 时若_ 【) c 风( q ) 是弱收敛而非强收敛于零，则有 ( i ) 存在正常数序列 ) ，使得存在子列 = u 。一r 二r 一。( 7 m z ) + o ( 1 ) ( z q ) 是岛在卢一砰( ) 处的俨s j 序列i 并且在风( q ) 中jo ，是( 甲) 的解 ( 祝) 存在正常数序列 k ) 和 r m ) ，点列 】- cq 满足_ 珈晓，使得存在 子列 ：t = 一盯巧k ( k ( z 一鼽) ) + d ( 1 ) ( z q ) 是岛在p 一露。( p 一。) 处的俨呈) 序列j 当m _ 。时牡k o ，d ( 1 ) 一。于d 三，2 ( r ) 中， p = l i h 。i i ，p 1 是( f 宇) 的解 证明：如果岛( ) _ p 6 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 取子列，选择极小士 o 使得 _ 2 。i v 1 2 = 6 ，b ( o ，去) 定义：等扣( z r m ) ，则厂 一她l v 饥1 2 ：6 ，b ( 0 ，1 ) 我们注意由于( 2 3 ) 和( 2 4 ) ，序列 【) 是有界的记矗m = z r ：z r m q ，很明显讥凰( q 。) cd ： 2 ( r ) ，此外i i i ，z ( r ) = o | | ：( r ) 2 卢 ( 2 6 ) 和 弧归嚣，( 1 丧一n v 甜+ i 毫n 计) ：s u p 厂( 盯2 n i v 1 2 + 盯功l i p ) ( 2 7 ) z s 2 ，b ( 卫，r r m ) = q 。p ) 则有 ，( 1 丧n v 甜+ i 丧一计) 砘( 1 ) 一 我们断言存在r ( o ，s 2 ) 足够小使得 忍。= j k ( 丁) _ + o 。，( m _ + 。) 事实上，若对任意的7 ( 0 ，s 2 ) ，( 7 - ) 尬，有 一功i l p s u p ( 一乩i v 1 2 + 哳i 钿l p ) - ，b ( z ，1 ： 矗) z nj b ( z ，1 r 。) = q 。( 1 ( 7 _ ) ) = 7 ，vz 豆 假设 川一6 p i 钿i p 一吩屯，巧孬 则由( 2 5 ) 知l 巧i 云若对，屹= o ，则有z i - 切l i p o ，又由于昂( ) 一 。于砑1 ( q ) ，则有_ o 于风( q ) 这与假设矛盾，所以存在吻 o 由于d 岛( ) _ o 于砑1 ( q ) 和s ( o ，o ) = s ( o ，o ) = s ，利用标准的集中紧定理( f 1 3 】) 我们得 到吩s 2 因此 s 譬吻 i z r - 6 p l 钿i p + d ( 1 ) r + o ( 1 ) ， 这与假设矛盾，断言成立 由于 下面证明 v 1 2 c ( 2 8 ) i v 1 2 = i v 钿1 2 + i v 1 2 l v 1 2 + 五缸z i _ 2 。i v 1 2 ， - ，n - ，b ( o ，五) ，n 日( o ，五)，b ( o ，五) ，n 我们只需证明 i v 1 2 c 成立 ，b ( o ，云) 若存在子列仍记为 ) ，使得当m 一+ o 。时， 厂 i v 1 2 ： ，_ 8 ( 0 ，a ) 我们假设对任意的c 0 有 因此，存在0 0 使得 z d 厶。，嘲 2 d s c f r + o o 姆r ；厶，黼蛇c 上，五，i z l 一钯i v 磊n 1 2 = z 。r 一2 。一( r z b 。，r ，i- ，b ( o ，五) ，o 、 - ，a b ( o ，r ) 。 2 d s ) d r d ， 这与( 2 5 ) 矛盾，所以( 2 8 ) 得证 由( 2 8 ) 知 ) 在d 1 ，2 ( r ) 中一致有界因此取子列仍记为 磊) ，存在k d 1 ，2 ( r ) ，使得 当m _ + 时一k于d 1 ，2 ( r ) 对任意的妒曰( r ) ，我们有妒卵( 壳。) 若m 充分大 其中 上n l 丧偏卜v 妒一上l 丧n 计妒 = 上。2 a v 钿v 一上哳l | p - 2 锄 = d ( 1 ) l | m | 1 日口( n ) = d ( 1 ) b ：( r ) ， 9 z 。) ) ( 2 9 ) 以疗 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t a = r i o n 下面我们证明这种收敛实际上在硪( r ) 中是强收敛的由( 2 9 ) 我们只需证明 _ 于( r ) 对任意的冗 o ，选择曙( b ( o ，2 r ) ) 使得o 1 ，西= 1 当z b ( o ，r ) 由s ( o ，o ) = s ( o ，o ) = s 和标准的集中紧定理( 【1 3 】) ，我们得到 i 丧+ z m n 咖i pj = p 一场俐p + 吩屯， 丧+ z m j 吨口j v 磊1 2j 盯p 一2 。l v ( 多) j 2 + s 亏加， 其中p = l i m 。+ l z 。i o 若吩 o ，则吩 s 2 所以 s 如丁= 弧1 ) 厶，i 丧+ n v 甜驯一( 蝴) 2 吩线 这是不可能的因此对任意的z b ( o ，r ) ，我们有( z ) ) = o 结果我们得 到_ 于d 麓( r ) 并且 p 一沈l v 1 2 + p 一功l k l p = 丁 ，b ( o ，1 ) 因此0 运用情形( i ) 的结果我们有 ( z ) = 露尹讥( 丧+ ) = ( _ ) 半螺( 瓦+ 害) 定义k = ，= 卺；那么一珈矗，k i i = i z m l - r 。) 有界，k _ ( 当m 一) 记壳。= z r l 乏+ q ) ，= 斧嚅( 彘+ ) 现在我们分两种情况： ( 1 ) 当k d i s t ( ，a q ) c o ) ， ( 2 ) 当k 出s ( ，a q ) 叶o 。时，壳m 一矗= r 1 0 在任何情况下，对于m 充分大和任意的妒c 铲( q 。o ) ，当m 一时，我们有 o = i z l - 2 。v v 一i z l - 功l i p 一2 9 ，n，n l - 知铲v 锄v 妒一 疋i l - 2 口皆v v 妒 ，n 。 | _ 场铲1 l p 。2 站妒+ d ( 1 ) i 功巧i d p i k i p 一2 妒+ d ( 1 ) = 上。p v v 妒一上。p 吲础k 妒+ d ( 1 ) = p “上。0 “v v 妒一p 1 沪1 ) l k l p - 2 k 妒) + 。( 1 ) 一2 其中9 = 盯巧i 口咿( k ( z 一蜘) ) 若而= r 掣，( 2 1 0 ) 表明p 一。d j 2 ( 壳) 是 一让= 矿，t 0 ， z 乏? ；t 正= o ，z a 乏掣 的解因此k 三。是不可能的，第( 2 ) 种情况正确，即p 1 是( 毋) 的解 假定 ( z ) ：( z ) 一曙( k 扛一) ) 妒( k 一) ) 日o ( q ) ， ( 2 1 0 ) 其中k ，妒的定义与( i ) 中相近我们仍然可以得到西。0 ) = 讥 ) 一k + d ( 1 ) 其 中西。 ) = 棵一7 2 r 景扛k + ) 且d ( 1 ) _ o 于d ：，2 ( r ) 由伸缩不变性和引 理2 2 得到( z ) = ( z ) 一础一2 ) 2 臂k ( k 0 一) ) + o ( 1 ) 是岛在一碍( p 一8 ) 处 的( p s ) 序列，且弱收敛于零 引理2 3 得证 口 定理1 1 的证明：由磊( u 。) c ，e ( ) _ o 于珩1 ( q ) ，我们有礼。j 铲于风( q ) ， 且u o 满足( 1 1 ) 并且令= 一让o ，则由引理2 1 和引理2 2 我们得到 ，i z l 功l l p 如= | z i _ 印i i p 出+ _ i z i _ 蛔i 护i p 如+ d ( 1 ) ； ，n，n，q “z 1 缸i v t 正。1 2 如= “z i - 2 。i v 1 2 出+ “z i - 纽i v u o l 2 如+ o ( 1 ) ； | z i - d d i 让。i a 出= | z 严d 旧g 出+ d ( 1 ) 1 1 m 厶厶 因此 易( ) = 日( 护) + 岛( ) + d ( 1 ) ， 嘭( u 。) = e ( u o ) + 蜀( ) + o ( 1 ) ， 蜀( ) = d ( 1 ) 因为 ) 满足引理2 3 的条件，所以有引理2 3 中的情形( i ) 或( i i ) 发生若情 形( i ) 发生时，因为s ( o ，口) = s 不可达所以有砰( ) 1 s 州2 若情形( i i ) 发生 时，则霉一。) 1 s 2 所以对( ) 递归使用引理2 3 ，迭代在有限次后结 束，因此最后的( p s ) 序列是强收敛于零的 1 2 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 第三节变号解的存在性 本节主要是运用文【1 6 】中的主要思想得到问题( 1 1 ) 的变号解 定义“n e h a r i ”流形 尬= u 玩( q ) ；u o 满足( e ( u ) ，u ) = o ) ( 3 1 ) 由c a 赶缸e m - k o h - n 吐e b e r g 不等式和h 6 l d e r 不等式，我们得到 上h 一助p 如c i | 包( n ) ，上- d 。川口出g 忆| j 因此存在常数c 0 使得 ( e ( u ) ，u ) 州l 麓( n ) 一g ( l 麓( q ) + l ( n ) ) = i i u i i 麓( n ) ( 1 一c ( 1 i u i | 瓮) + i l u i | 磊n ) ) ) 上式表明存在常数q o 使得对任意让尬有i l 矾( n ) a 因此m 是闭集 令c 1 = i i l f m l 易( u ) 如文【7 】中那样，我们可以验证在【1 1 】中找到的正解u 1 可以 用c 1 = 晶( u 1 ) 来刻画 定义昂= ( u 凰 ) ：l j 乱l l 玩( n ) = j 9 】和集合d 口= 危：玩( q ) _ 矾( q ) ；危奇同胚映射) ( 3 2 ) 设a c 鼠( q ) 是一个磊一对称( 即u a 兮一u a ) 的有界闭集用表示昂上所 有易一对称有界闭集定义上的k r a s n a s e l s k i 亏格，y ( a ) ，y ( a ) = i n f 【七；存在 ：a 一时 o ) 连续奇映射) 考虑集合 五= ac 鼠( q ) ：a 闭集，易对称满足7 ( ( a ) n 昂) 2 ，v d ) ( 3 3 ) 对任意给定的u 玩( q ) ，u o ，设( ( u ) ，( u ) ) 是加权特征值问题 ：竺：i z i 一2 。v 移) = y ( 1 z i 一功l u | p 一2 + 7 7 l z i - d 。l 让i 口一2 ) u 二茎三， c 3 4 ， 1 3 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r l ：i t 1 0 n 规范化后的第一组特征对，也就是说，对于每一个u 玩( q ) o ) ，u ( u ) 是问 题( 3 4 ) 的唯一正解满足( h 一场l u l p - 2 + 叩- d d 9 - 2 ) u 2 = 1 - ，q 考虑集合 ， 毛= l 矗n 【让月，口( q ) ：( 1 z i 一功l t 正l p 一2 + 叼l z i d d l “l a 一2 ) u 口( 乱) = o ) ( 3 5 ) 定理3 1 若刀 0 ，则 ( i ) 集合与集合五对偶 ( i i ) c 22 腹溜晶( u ) = 1 n f 岛( u ) ：u ) ( 嘲如果 “c + 专萨 则在中b ( u ) 满足( p s ) 。条件 ( 3 6 ) 证明：问题( 3 4 ) 的解的唯一性表明映射让_ u ( 钆) 是从玩( q ) o ) 到风( q ) 的连续 映射我们首先证明舰是五的对偶注意映射u _ 尚定义了一个从尬到岛的同 胚奇映射所以对任意的a 元都有，y ( an 尬) 2 定义映射危：an 尬_ r 为： ( 让) = ( 吲一场i u | p - 2 + 7 7 - d d a _ 2 ) 让u ( u ) ，则 是一个连续的奇映射所以我们 - ，q ，i 有o 危似n 尬) ，即存在让4n 尬满足( 一劬i 让| p _ 2 + 7 7 川- d d i 乱l 。2 ) 让口( 乱) = o ， 所以an 0 由上面证明知c 2 i 蝤岛( u ) ，为证明( i i ) 我们只需证明反向不等式 t 工t 2 设u 肘2 且u ( u ) 满足 ，( i z i - 功l u i p - 2 + 叼- d d i u i 口_ 2 ) 让 ( u ) = o ，n 令 ( 加) = l z l 缸i v 伽1 2 ，伽风( q ) 设叫( u ) 吼( q ) 为下面问题的极小 屹= i i l f 咖( 叫) ；叫日o ( q ) ：( i z r 功l u i p 一2 + ，7 l z | _ d d i u l 9 2 ) u ( u ) 锄= o ， 、 ，n 且细z h u i p _ 2 + 叼盯d 。 一2 ) 伽2 = 1 1 4 因为u m ，我们有 呸万一乩设a = 跚n u ( 让) ，叫( u ) ) 显然a 元并且对任意的a ，硼o ，我们有 l 耽下幽一 ( i z | 蛔l u l p 一2 + 叼i z r d d i 训2 2 ) 硼2 - ，n 取叫o a 满足岛( 撕) = s u p a 岛c 2 ，则有姚o 和撕尬由上面不等式知 ( 一幼l u i p _ 2 + 叼h d d i 缸i 口- 2 ) 嘲z l _ 2 。i v 蜘1 2 ，n ，n 因此得到 吉柚z p - 2 + ，7 盯d d _ 2 ) ( 砩一u 2 ) 毒z p ( 1 v 咖1 2 一i v u | 2 ) 二j n二，q 由于对q 6 e 有 昙( i 。i 。一| 6 l ) 主( 1 。1 2 一1 6 1 2 ) 1 6 j 2 2 ，v t 2 ， 成立因此有 罟zj z i d 。l 伽。1 9 + 三上i z l 一场i 叫。i p 一孑上i z i d 。i 让1 9 一三z i z l 一劬l u i p 去i z | - 勉( i v 0 1 2 一i v u l 2 ) ， 二j n 成立，即 易( 乱) 晶( 蛐) c 2 下证岛在中满足( p - s ) 。对任意c 专s 譬和霹一8 巩) 专s 譬，所以易( 护) o 是如下特征 值问题的解 一以 ( i z l - 沈v 妒) = i z i - 岫i 阢i p 一2 妒 且一切i 阢i p 一2 巩u = o 所以巩变号，且满足砰( 研) 斋s 等这与( 3 6 ) 矛盾 ，r 同样，如果情形( i i ) 发生，我们也得到碍( p 一。巩) 斋s 譬，同样与( 3 6 ) 矛盾 口 1 6 定理1 2 的证明：由【1 2 】中定理3 1 和本文定理3 1 ，为了完成证明我们只需证明紧性 条件( 3 6 ) 因为二阶椭圆算子在q b ( o ，j d ) ( p 充分小) 内是一致椭圆的，由标准的椭 圆型方程的正则性理论我们知道u 1 c 2 ( q b ( o ，j d ) ) nc ( q b ( o ，p ) ) 固定z o a q 选择7 1 o 很小使得ogq ( z o ，7 - 1 ) = z q ：l z 一黝i r 1 ) 取o r r 1 且珈q ( z o ，r 1 ) a q ( z o ，r 1 ) 使得b ( 珈，2 7 ) cq ( z o ，7 1 ) a q ( z o ，r 1 ) 且i 珈一z o i = 4 7 现在我们有让1 c 1 ( 百( 珈，2 r ) ) 且 定义 u l l i p ( b ( 驰，2 ，) ) c ( r ) ， 当7 _ o ，c ( ，) 一o 仇：l 珈i 口u 。= l 珈l 。u 舯咖( z ) = l 珈l de 孚( e 2 + l z 一珈1 2 ) 半 ) ， 其中扛) 管( b ( 珈，2 r ) ) ，例1 ，兰1 在b ( 珈，7 - ) 中，u ，珈如( 1 4 ) 定义 设a 。= s m 礼 让1 ，仇) 显然4 兀，所以c 2 s u p 硼a 。 明c 2 c l + 嘉s 譬，只需证明s u p 硼a 。易( 叫) fo ( 一学。l l n e i ) 口= io ( e 学口) g 岛 g 絮孚 g 等等成立因 此一( 一2 ) g 2 1 ，取7 ，e 充分小，则有 恶马( 硼) 4 成立所 以一( 一2 ) g 2 1 ，先选取合适的e ，再令7 充分小，我们得到 定理1 2 的证明完成 恶岛( 加) c t + 专s 譬 a e v 1 9 参考文献 b a b d e l l a o 血，e c o l o r a d oa n di p e r a l ，聪s t e n c ea dn o n e x i s t e n c er e s m t s f o r ac l a s so fl i n e a ra n ds e m i l i n e a u rp 缸a b o l i ce q u l t i o 璐r e l a t e dt os o m ec 碰e a r e u 0 k o k n i r e n b e r gi n e q u 出i t i e s ，j e u r m a t h s o c ，6 ( 2 0 0 4 ) ，1 1 旷1 4 8 - f 2 1h b r e z i sa j l dl n i r e n b e r g ，p o s i t i v es o l u t i o 璐o fn o n l i n e a re l h p t i ce q u a t i o n s i n v 0 m n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ，c o m m p l l r ea p p l m a t h ，3 6 ( 1 9 8 3 ) ，4 3 7 - 4 7 7 1 3 】t b a r s c h ，s p e n ga n dz z h a n g ，聪s t e n c e 眦dn o ”e ) ( i s t e n c e o fs 0 1 u t i o 璐t o e l l i p t i ce q u a t i o n sr e l a t e dt ot h ec 赶缸e 1 1 i k o h n - n i r e n b e r gi n e q u a l i t i e s ，c 越c v 打p d e ，3 0 ( 2 0 0 7 ) ，1 1 3 一1 3 6 【4 1f c 舡a r e l l i ，r k o h na n dl n i r e n b e r g ，f i r s to r d e ri n t e r p o l a t i o ni n e q u a l i t y 丽t hw e i g h t s ，c o m p o s i t i om a t h ，5 3 ( 1 9 8 4 ) ，2 5 9 2 7 5 【5 】f c a t r i n aa n dz w a n g ，0 nt h ec a 赶a r e l l i k 。b 1 n i r e 。b e r gi n e q u a l i 1 e s ：s h 龇p c o n s t a n t s ，萄s t e n c e ( a j l dn o n e x i s t e n c e ) ，a n ds 班m e t 珂o f 嘣r e m a l 缸曲n s c o m m p u r ea p p l m a t h ，5 4 ( 2 0 0 1 ) ，2 2 9 2 5 8 6 】d c a 0a n ds p e n g ，ag l o b a l lc o m p a c t n e s sr e s m tf o rs i g m a re u i p t i cp r o b l e i n s i n v o m n gc r i t i c a l ls o b o l e v 唧o n e n t ，p r o c a m e r m a t h s o c ，1 3 l ( 2 0 0 3 ) ，1 8 5 7 - 1 8 6 6 【7 】d c a 0a n ds p e n g ，an o t eo nt h es i g n - c h a n 百n g s o l u t i 0 i l st 0e u i p t i cp r o b l e m s 丽t hc r i t i c a ls o b o l e v 唧o n e n ta n dh a r dt e r m s ，j d 豇王e r e n t i a le q u a t i o 璐， 1 9 3 ( 2 0 0 3 ) ，4 2 缸4 3 4 【8 1d c a 0a n dp h a n ，s o l u t i o 璐f o rs e m i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o 璐丽t hc r i t i c a l l 唧o n e n t 8a 飘dh a r d yp o t e n t i a l l ，j d 证e r e n t i a _ le q u a t i o n s2 0 5 ( 2 0 0 4 ) ，5 2 1 5 3 7 | 9 1k c h o ua n dc c h u ，o nt h eb e s tc o n s t 础f o ra w e i g h ts o b o l e v - h a r d yi n e q u 止 i 妣j l o n d o nm a t h s o c ，4 8 ( 1 9 9 3 ) ，1 3 7 - 1 5 1 1 1 0 】a d a n ，a 百i o ，d g i a c h e t t ia n