（概率论与数理统计专业论文）跳扩散模型下券商集合理财产品定价.pdf

j1 j1 jj11一 吣y帆11m7315 1 1 苏州大学学位论文使用授权声明 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属 在年一月解密后适用本规定。 非涉密论文口 论文作者签名：杏小龙 导师签名：左立蚕： e t 跳扩散模型下券商集合理财产品定价中文摘要 中文摘要 我国的理财产品市场近几年发展迅速。目前市场上的理财产品主要有三大 类：基金、银行理财产品和券商推出的集合理财产品。 券商集合理财产品也称为集合资产管理计划，它是由证券公司发行的，集合 客户的资产，由专业的投资者( 券商) 进行管理的一种理财产品。它是证券公司 针对高端客户开发的理财创新产品。通俗地讲是券商接受投资者的委托，将资金 投资于股票、债券等金融产品的一种理财服务。 本文以东方红3 号产品为研究对象建立数学模型，用跳扩散过程刻画股票价 格运动，把集合理财产品募集的资金以固定常数口与1 一口的比例分别投入零息票 债券和股票两部分，在随机利率情形下给出了权益定价公式的一般形式；在跳尺 度分布分别为对数正态分布和双指数分布情形下对定价进一步研究，得到了相应 权益定价公式的明确表达式。 关键词：券商集合理财产品：跳扩散模型；随机利率：对数正态分布；双指数分 布；鞅方法 作者：李小龙 指导老师：王过京 a b s t r a c t t h ep r i c i n go f b r o c k e rc o l l e c t i o np r o d u c tu n d e rj u m pd i f f u s i o nm o d e l t h e p r i c i n go fb r o c k e r a g e c o l l e c t i o np r o d u c tu n d e rj u m p d i f f u s i o nm o d e l a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，f i n a n c i a lp r o d u c tm a r k e ta r eg r o w i n gv e r yr a p i d l y c u r r e n t l y ， t h e r ea r cm a i n l yf u n d s ，b a n kf i n a n c i a lp r o d u c t sa n db r o c k e rc o l l e c t i o np r o d u c ti nt h e d o m e s t i cm a r k e t b r o c k e rc o l l e c t i o np r o d u c ti sa l s ok n o w na sc o l l e c t i o na s s e tm a n a g e m e n tp l a n i t i si s s u e db ys e c u r i t i e sc o m p a n i e s ，ak i n do ff i n a n c i a lp r o d u c tw h i c hi sac o l l e c t i o no f c l i e n t sa s s e ta n dm a n a g e db yp r o f e s s i o n a li n v e s t o r s ( b r o c k e r s ) i ti sf i n a n c i a li n n o v a t i o n p r o d u c td e v e l o p e db ys e c u r i t i e sc o m p a n i e sf o rh i g h - l e v e lc l i e n t s g e n e r a l l ys p e a k i n g ， b r o c k e rc o l l e c t i o np r o d u c tr e f e r st ot h a tt h eb r o c k e r si n v e s tt h em o n e yw h i c hi s e n t r u s t e db yt h ei n v e s t o r si n t os t o c k s ，b o n d sa n do t h e rf i n a n c i a lp r o d u c t s o nt h ea n a l y s i so ft h e3 r d d o n g f a n g h o n gp r o d u c t ，t h i st h e s i s s e t s u p a m a t h e m a t i c a lm o d e lf o ri t ，w h e r es t o c kp r i c ed y n a m i c si sc h a r a c t e r i z e db yj u m p - d i f f u s i o np r o c e s s ，a n dt h ef u n di si n v e s t e di n t oz e r o c o u p o nb o n d s a n ds t o c k s ， s e p a r a t e l y ，b yc o n s t a n tr a t i o s 口a n dl - 口w eg e tt h eg e n e r a lp r i c i n gf o r m u l af o rt h e p r o d u c tb ym a r t i n g a l em e t h o d i ns t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e f r a m e w o r k e x p l i c i t e x p r e s s i n o n sf o rt h ep r i c i n gf o r m u l aa r ed e r i v e dw h e nt h ej u m ps i z e sa r el o g - n o r m a l d i s t r i b u t i o no rd o u b l ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n k e y w o r d s ：b r o c k e rc o l l e c t i o np r o d u c t ；j u m pd i f f u s i o nm o d e l ；s t o c h a s t i ci n t e r e s t r a t e ；l o g n o r m a ld i s t r i b u t i o n ；d o u b l ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ； m a r t i n g a l em e t h o d w r i t t e nb yl ix i a o l o n g s u p e r v i s e db yp r o f w a n gg u o j i n g 目录 第一章绪论1 1 1 我国理财产品概述1 1 2 券商集合理财产品1 1 3 研究历史、现状及本文工作、创新点与文章结构2 1 3 1 研究历史、现状2 1 3 2 本文工作、创新点与文章结构4 第二章预备知识5 2 1 适应过程和鞅5 2 2 布朗运动与( 齐次) 泊松过程5 2 3 复合泊松过程6 2 4 跳扩散过程7 2 5 测度变换、gir s a n o v 定理和风险中性测度、t 一远期测度8 第三章模型建立与权益定价1o 3 1 模型基本假设10 3 2 投资者的到期权益10 3 3 跳扩散与随机利率模型下权益定价11 3 4 跳尺度服从对数正态分布时权益定价17 3 5 跳尺度服从双指数分布时权益定价2 2 第四章总结3 0 参考文献3 1 致谢3 3 跳扩散模型下券商集合理财产品定价第一章 1 1 我国理财产品概述 第一章绪论 随着我国加入w t o 后，金融市场全面对外开放日期的到来，国内的金融服务 机构日益面i 临与国外同行的激烈竞争。在这种形势下，各类金融机构为了生存与 发展，几乎都将金融创新作为保持竞争力的手段之一。为了占领市场，各金融机 构都在努力开发更多的能够满足不同类型投资者需求的金融产品。 同时，随着我国人民生活水平的大幅度提升，居民对投资理财的需求与日俱 增，传统的储蓄理财服务已经远远不能满足居民对投资回报的期望。但是普通投 资者由于缺乏对证券金融知识的深刻了解，使得他们在直接的金融投资中面临很 大的风险。因此，市场对专业投资理财机构提供服务的需求越来越大。不同的投 资者对投资回报有不同的期望，而且风险偏好也不相同，因而客观上也要求专业 金融机构能够推出不同种类的独具特色的理财产品以满足投资者的需求。 我国的理财产品市场起步较晚，但是近几年发展迅速。目前国内市场上的投 资产品主要有三大类：基金、银行理财产品和券商推出的集合理财产品。 基金理财产品是基金公司发行的理财产品。封闭式投资基金周期长但收益稳 定；开放性投资基金收益较高而且流动性好。封闭式基金和开放式基金是基金的 两种基本运作方式。基金产品按投资对象可分为：债券型基金、股票型基金、货 币型基金、混合型基金等。 银行理财产品包括固定收益类产品、挂钩类产品、信托类产品等。固定收益 类产品风险较低，而收益高于存款，因而适合那些风险承受能力低的投资者；挂 钩类产品是银行理财产品中风险最高的产品，因而其投资收益也是银行理财产品 中最高的；信托类产品的收益与风险介于以上两种产品之间。 券商集合理财产品也称为集合资产管理计划，它是由证券公司发行的，集合 客户的资产，由专业的投资者( 券商) 进行管理的一种理财产品。它是证券公司 针对高端客户开发的理财创新产品。通俗地讲是券商接受投资者的委托，将资金 投资于股票、债券等金融产品的一种理财服务。由于该理财产品是私募性质的， 故在设计上有很大的自由，能够按照投资者的需求设计出不同特色的产品。 1 2 券商集合理财产品 集合理财产品又称为集合资产管理计划，是发行产品的证券公司接受投资者 委托，集合客户的资金并进行管理，到期与投资者分享收益的资产管理业务。 证券公司推出的集合理财产品是在金融改革中出现的新型投资理财工具之 一。自2 0 0 5 年2 月，光大证券的阳光集合资产管理计划获得中国证监会批准成 第一章 跳扩散模型下券商集合理财产品定价 立，成为第一个发行的集合理财产品以来，该产品呈现密集发行的态势，产品层 出不穷。截至2 0 1 0 年1 月3 1 日，券商集合理财产品的规模已经达到9 7 8 9 0 亿 元。 券商集合理财产品分为限定性和非限定性两类。 1 限定性集合资产管理计划 限定性产品对投资对象的比例限制较多，计划资产主要用于投资国债、债券 型股票投资基金、国家重点建设债券、在证券交易所上市的企业债券、其它信用 度高且流动性强的固定收益类金融产品，其投资于权益类证券和股票的比例一般 不超过2 0 9 6 ，收益能力不是很高，但风险相对较低，比较适合于追求稳定收益的 投资者。 2 非限定性集合资产管理计划 非限定性产品的投资方向不固定，投资范围受集合资产管理合同约定，但是 不受限定性集合资产管理计划的相关规定限制，可以投资于风险性较高的市场， 如投资于股票、e t f 、可转债和封闭式基金等资产，其可以根据相关投资品种的 走势灵活运作，尽可能追求最大化收益，但相对来说风险也较高，因此适合追求 高投资回报，高风险的投资者。 券商集合理财产品的优点： 1 专业的投资队伍，丰富的管理经验 券商集合理财计划是集中投资者的资金进行专业理财，投资者需设立专门帐 户便于资产管理者管理，由独立的托管银行或第三方进行全程托管。 2 投资范围广，配置灵活 集合理财产品不仅可以投资于现金、国债、企业债券等固定收益类资产，也 可以投资于股票、可转债封闭式基金和e t f 等资产，还可以参与新股申购。 3 透明度高，资金安全有保障 集合理财的条款有法律作用，且透明度高，一般规定每三个月公开批露一次 信息，而实际上大多数是在成立三个月后的每一个工作日公布前一工作日集合计 划单位资产净值。大多数集合理财产品还具有“隐性保本一与“收益补偿”机 制，使得投资者的资金更加安全，此两种条款主要表现在以下两个方面：一是券 商自有资金的参与并承担部分损失。目前市场上的券商理财产品有将近7 0 9 6 有券 商自有资金的参与，且在多只产品中，券商自有资金用于优先补偿投资者的本金 损失。二是管理费率的创新。目前很多集合理财产品的管理费用都与业绩挂钩。 如招商证券的基金宝二期，规定当在计划期间折算的年化收益率超过4 时才能提 取业绩报酬。 1 3 研究历史、现状及本文工作、创新点与文章结构 1 3 1 研究历史、现状 2 跳扩散模型下券商集合理财产品定价第一章 未定权益定价问题是金融数学研究的核心问题之一，而券商理财产品的定价 本质上是未定权益的定价问题。对未定权益的研究起始于标的资产为股票的期权 的研究。1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 发表了关于期权定价的经典论文“t h e p r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ”( 期权与公司债务定价) ，得 到了具有划时代意义的b - s 模型，该模型假定股价服从几何布朗运动并无红利支 付；瞬时期望收益率和波动率，无风险利率都是常数，市场无套利等。 1 9 7 6 年，j o h nc c o x 和s t e p h e na r o s s 提出了风险中性定价理论。受到这 一思想的影响，1 9 7 9 年m i c h a e lh a r r i s o n 和d a v i dm k r e p s 提出了用鞅方法来 刻画无套利市场和完全市场，并用等价鞅测度对期权进行定价对冲和套期保值。 他们首先证明了市场无套利等价于存在一个风险中性测度，使得市场中任何财富 的贴现价格过程在风险中性测度下都是鞅，而且当市场完备时，此种测度是唯一 的。这时，期权定价问题就转化为求到期收益的贴现在风险中性测度下的期望。 随后，j a m s h i d i a n ( 1 9 8 9 ) 和g e m a n ，e ik a r o n i 和r o c h e r ( 1 9 9 5 ) 中的工作 表明通过选取一些其它的不同于无风险银行帐户的资产作为计价单位，同样可以 得到与风险中性测度性质相似的概率测度。 然而b _ s 模型假定股价服从几何布朗运动，这就意味着股票价格是时间t 的 连续函数，认为股价会围绕期望收益在某一合理范围内连续变化。但是很多的金 融实践表明：标的资产价格会因经济生活中一些不寻常的事件( 如干旱、饥荒， 战争、人为投机等) 而发生间断的、不频繁的跳跃。为了更好的刻画标的资产的 实际运动情况，m e r t o n 于1 9 7 6 年引入了跳扩散过程，在几何布朗运动的基础上 加上正态跳跃，建立了正态跳扩散模型，关于正态跳扩散模型的进一步了解可参 见m e r t o n ( 1 9 9 0 ) 和d u f f i e ( 1 9 9 5 ) 。 后来，k o u ( 2 0 0 0 ，2 0 0 2 ) 讨论了另一类跳扩散模型即双指数跳扩散模型，该模 型在路径依赖型期权的定价方面易于处理，定价结果与实际更为贴近，最为重要 的是能够给出解析解；此后k o u 和w a n g ( 2 0 0 3 ，2 0 0 4 ) 进一步研究了跳尺度服从双 指数分布时首中时分布和障碍期权，回望期权和永久美式期权的定价。s e p p ( 2 0 0 4 ) 又在双指数跳扩散模型下利用l a p l a c e 变换讨论了双障碍期权的定价。 孔亮亮( 2 0 0 8 ) 以东方红一号和光大阳光集合资产管理计划作为研究对象， 将集合理财产品近似得看做几何布朗运动，用偏微分方程理论与方法给出了定价 公式；杨云( 2 0 0 9 ) 以东方红三号产品为研究对象，将理财产品募集的资金分别 投入股票和债券，形成自融资组合，在利率为常数和随机利率情况下，把股票价 格近似看成几何布朗运动，运用鞅方法分别给出了投资比率固定和投资比率是时 间的确定性函数假设下的定价公式。他们的研究都是基于风险资产服从几何布朗 运动假设。 3 第一章 跳扩散模型下券商集合理财产品定价 1 3 2 本文工作、创新点与文章结构 本文仍以东方红3 号产品为研究对象建立数学模型，把集合理财产品募集的 资金以常数口和l 一口的固定比例分别投入零息票债券和股票两部分，在跳扩散模 型下，用鞅方法给出了该集合理财产品的权益定价公式。 本文的创新点： 1 已有的对券商集合理财产品定价的研究都是基于资产价格服从几何布朗 运动的假设，本文将这一假设推广为用跳扩散过程刻画股票价格运动。 2 在随机利率情形下给出了该集合理财产品权益定价公式的一般形式。 3 在跳尺度分布分别为对数正态分布和双指数分布情形下对定价进一步研 究，得到了相应权益定价公式的明确表达式。 本文的结构安排如下：第一章绪论部分介绍论文背景知识；第二章为预备知 识，介绍了论文需要的相关概念和结论；第三章为模型建立与权益定价，是本文 的主体部分，给出了跳扩散模型随机利率情形下权益定价公式的一般形式，在跳 尺度分布为对数正态分布和双指数分布的情形下对定价进一步研究，得到了相应 权益定价公式的明确表达式；第四章为结论，概述了本文的结果，阐述了本文的 现实意义。 4 跳扩散模型下券商集合理财产品定价 第二章 第二章预备知识 本章介绍本文需要用到的基本概念与基本结论，这些概念结论可参见 s h r e v e 著，陈启宏等译( 2 0 0 8 ) ，钱敏平和龚光鲁( 1 9 9 7 ) ，d u f f i e ( 1 9 9 5 ) ，r o s s 著，何声武等译( 1 9 9 7 ) 和钱晓松( 2 0 0 4 ) 。 2 1 适应过程和鞅 定义2 1 1 ( 过滤) 设( q ，兀p ) 是概率空间，月挣子一矿代数族 厂( f ) ，卸) 称为一个过滤，如果对 协r 满足y ( s ) s 户0 ) 。 厂o ) 表示在时刻f 已经累积的信息。概率空间( q ，兀p ) 与 厂( f ) ，卸) 一起称为 带过滤的概率空间，记作( q ，一，( f ) ，卸，p ) ，如无特别声明，下述概念结论均 基于( q 兀y q ) ，卸，p ) 。 定义2 1 2 ( 适应过程) 称定义在( q ，兀p ) 上的随机过程彳= ( x ( f ) ，卸) 是关于过滤 歹( f ) ，卸) 适应的， 如果对于所有的f 0 ，x q ) 芦o ) ( 意即彳( f ) 对厂o ) 可测) 。 定义2 1 3 ( 鞅，上鞅，下鞅) 设丁是固定的正数，考虑一个芦( f ) 适应的随机过程肘( f ) ，o 0 ) 的( 齐次) 泊松过程，若满 ( 1 ) ( 0 ) = 0 ； ( 2 ) n ( t ) 具有独立增量； ( 3 ) 对任意0 s f ，( f ) 一( s ) 服从参数为a ( t - s ) 的泊松分布，即： 尸 ( f ) 一( s ) ：七) ： 2 k _ ( t _ - s 一) k e - z ( t - s ) , k ：0 ，1 ，2 ， 七! 定理2 2 4 设( f ) 是强度为肭( 齐次) 泊松过程，其补偿过程为： m ( f ) = o ) 一办 则m ( t ) 是鞅。 2 3 复合泊松过程 定义2 3 1 ( 复合泊松过程) 设( f ) 是强度为椭泊松过程，k ，k ，e 是- y u 独立同分布随机变量，并且 独立于泊松过程n ( t ) 。定义： n ( i q ( ，) = r 则称 q o ) ，t 0 ) 为复合泊松过程。 6 跳扩散模型下券商集合理财产品定价第二章 定理2 3 2 设 q ( f ) ，f o ) 为复合泊松过程，则其补偿过程： q ( f ) 一h a t 是一个鞅，其中h = 研z 】，= 1 ，2 ，。 2 4 跳扩散过程 设x ( t ) = x ( o ) + ，o ) + r ( f ) + ，o ) ( 2 4 1 ) 在( 2 4 1 ) 式中，x ( o ) 是非随机的初始条件。过程 i ( t ) = 【r ( s ) d w ( s ) ( 2 4 2 ) 是某个适应过程r ( s ) 关于标准布朗运动缈的伊藤积分。，( f ) 称为x 的伊藤积分部 分。( 2 4 1 ) 式中的过程r ( t ) 是适应过程o ( j ) 的黎曼积分，即： 尺( ，) = 。( 2 4 e ( s ) d s 4 3 ) 尺( ，) = ( 2 3 ) 称r o ) 为x ( ，) 的黎曼积分部分。 最后，在( 2 4 1 ) 式中，( ，) 是一个适应的右连续纯跳过程( 在相邻两次跳 之间取常数值) ，满足，( 0 ) = o ，称j ( t ) 为x ( t ) 的纯跳部分。 定义2 4 1 ( 跳扩散过程) 具有伊藤积分部分，( f ) 黎曼积分部分r ( t ) 与纯跳部分j ( t ) 的形如( 2 4 1 ) 的 过程x ( f ) 称为跳扩散过程。 x ( t ) 的连续部分为： x 。o ) = y ( 0 ) + ，( f ) + r ( ，) = x ( o ) + f r ( s ) d ( j ) + r o ) a s 定义2 4 2 ( 跳扩散过程的随机积分) 设x ( t ) 是如上定义的跳扩散过程，( s ) 是适应过程。关于x 的随机积分 定义为： f ( | s ) 拟( s ) = ( s ) r o ) d 形o ) + ( s ) o o ) 凼+ o ) ( s ) ( 2 4 4 ) 其中：( j ) = ，( s ) - a ( s - ) 。 定理2 4 3 设式( 2 4 1 ) 一( 2 4 3 ) 中的跳扩散过程x ( s ) 是鞅，西( s ) 是 左连续适应过程，并且满足： e 【上r 2 ( s ) 2 0 ) d s o ， 7 第二章跳扩散模型下券商集合理财产品定价 则f ( s ) 研( s ) 是鞅。 定理2 4 4 ( - - 维跳过程的i t o 公式) 。设五( f ) 和置( f ) 是跳扩散过程，函数( f ，五，屯) 对于出现在以下公式中的一阶 和二阶偏导数存在且连续，则有： f ( t ，五( f ) ，置( f ) ) = ( o ，五( o ) ，五( o ) ) + f z ( s ，五( s ) ，置( s ) ) + r z ( j ，五( s ) ，五( j ) ) 研( s ) + f 厶( s ，五( s ) ，t ( s ) ) 蟛( s ) + j ：厶屯( s ，五( s ) ，五( s ) ) d 砰( s ) d 霹( s ) + 寺f ，1 ( j ，五( s ) ，五( s ) ) 埘o ) d x f ( j ) + 吉f 厶，屯( s ，五( j ) ，五( s ) ) 正k ( s ) 蠼( s ) + 【厂( s ，五( s ) ，g ( s ) ) - f ( s ，五( s - ) ，五( s 一) ) 】 推论2 4 5 ( d o l e a n s d a d e 指数公式) 设x ( t ) 是跳扩散过程。定义x 的d o l e a n s - d a d e 指数为如下过程 z j ( f ) = e x p x 。( f ) 一去心，x 。】( f ) ) 兀( 1 + 从( s ) ) o ，立 这一过程是是随机微分方程： d z x ( f ) = z j ( f 一) d x ( t ) 的满足初始条件z j ( o ) = 1 的解。 2 5 测度变换、g ir s a n o v 定理和风险中性测度、t - 远期测度 定理2 5 1 ( g i r s a n o v 定理) 设形( f ) ( 0 f t ) 是( q ，z 厂( f ) 脚，尸) 上的标准布朗运动，秒( f ) 是关于厂( ，) 的适应过程，定义： w ( t ) = 【o ( u ) d u + 形o ) z ( t ) = e x p 一口( ”) d 矽( 材) 一毒f 口2 ( “) 咖) 尸似) = iz ( t ) d p ，w 厂 8 跳扩散模型下券商集合理财产品定价第二童 则p 是一个新的概率测度，且在尸下，形( f ) ( 0 f t ) 为标准布朗运动。 定义2 5 2 ( 风险中性测度) 在给定的市场及带过滤的概率空间( q ，兀厂( f ) 脚，p ) 中，q 是与p 等价 的概率测度。 b ( t ) = e x p r ( s ) 出) ，其中短期利率，| ( ，) 严格正且关于厂( f ) 可测， 0 若对市场中任意的资产价格过程( f ) ，贴现过程( f ) b ( f ) 均为q 一鞅，则q 称为 风险中性测度。 定义2 5 3 ( 零息票债券) 零息票债券定义为一张可以保证持有人在到期时刻获得1 元的合约。记其在 t ( t z ) 时的价格为p ( t ，t ) ，失f l p ( t ，z ) - l 。 定义2 5 4 ( t - 远期测度) t - 远期测度定义为：v t e o ，t 】，在，( ，) 上有： d q t l ：! ! ! ：三2 蛔l f f ，) 尸( o ，t ) b q ) 定理2 5 5 设( f ) 是一个随机过程，满足h ( t ) b ( t ) 是q 一鞅，则过程 i i ( t ) p ( t ，r )q r _ 鞅。 推论2 5 6设x 是市场中的一个丁时刻到期的未定权益，则其价格过程 i i ( t ，x ) = p ( t ，t ) e r i xi ，( r ) 】 其中e 1 i 芦( f ) 】表示对应于q7 的条件期望。 9 广 第三章跳扩散模型下券商集合理财产品定价 第三章模型建立与权益定价 本章是本文的主体部分。3 1 和3 2 节介绍后续模型建立所需要的基本假 设，并推导出了东方红3 号理财产品到期收益的一般数学表达式；在3 3 节中， 我们将集合理财产品募集的资金投入零息票债券和股票，并用跳扩散过程刻画股 票价格运动，在随机利率情形下给出了该理财产品权益定价公式的一般形式； 3 4 和3 5 节在跳尺度分布为对数正态分布和双指数分布情形下对定价进一步研 究，得到了相应权益定价公式的明确表达式。 3 1 模型基本假设 本文假设： 一市场是有效的( 价格完全反映了所有可获得的信息) ，无摩擦的，不 存在套利机会。 二 计划产品类型：封闭性非限定性集合理财产品，封闭期为【o ，刃。 三 投资者按照份额参与理财计划，份额按照其净值发行，发行净值为1 。 四在整个封闭期内，募集的全部资金只投入债券和和股票，投资与债券的 比率为口( 固定常数) 。 五管理人以自有资金参与理财计划，参与比例为伯付率，0 水1 ) ，并且 在计划成立时承诺一个收益水平k ( 收益率) ：在丁时刻，若净值k ，则管 理人按超出的部分收取一定比例的管理费，记比例为；若净值 k ，则管理 人将拿出自有资金部分补偿投资者，使得投资者的收益尽量接近七，直到管理 人的自有资金补偿完毕。 上述假设是券商集合理财产品定价研究中通常采用的假设，参见杨云 ( 2 0 0 9 ) 。 3 2 投资者的到期权益 初始时刻：募集总资金为y ( 0 ) ，其中管理人投入资金为( 0 ) ，投资者投入资 金为( 1 一c o ) v ( o ) 。 到期时刻：当实际收益率不小于承诺收益即等七时，投资者的权益 v ( t ) 为承诺收益加上超出部分扣除管理费后的余额： v ( t ) = ( 1 一国) ( 1 + k ) v ( o ) + ( 1 一国) ( 1 一历【矿( 丁) 一( 1 + 七) 矿( o ) 】 1 0 跳扩散模型下券商集合理财产品定价 第三章 当实际收益率小于承诺收益即等 k 时，投资者的权益为自己投 入的资金加上管理人的补偿： v ( t ) = ( 1 - c o ) v ( t ) + m i n ( 1 + 七) ( 1 一纠矿( 0 ) 一( 1 - o ) v ( t ) ，国矿( 丁) = ( 1 - o ) v ( r ) 一m a x ( 1 一翻i ) y ( r ) 一( 1 + 七) ( 1 一国) 矿( 0 ) ，- o r ( t ) = ( 1 - o ) v ( t ) - m a x ( 1 一c o ) 矿( r ) 一( 1 + k ) o 一国) y ( 0 ) + c o y ( t ) ，0 ) + o v ( r ) = 矿( 丁) 一( y ( r ) 一( 1 + 七) ( 1 一翻1 ) 矿( 0 ) ) + 综合可得在集合理财产品的到期时刻，投资者到期权益的数学表达式为： 矿( 丁) = ( 1 + j i ) ( 1 一仞 y ( 0 ) + ( 1 一c a ) ( 1 一芦) 矿( r ) 】l 矿( 7 ) 硝l + j ) y ( o ) ， + 【矿( 乃一( y ( r ) 一( 1 + 七) ( 1 一c 口) y ( 0 ) ) + 】l y ( 丁) 1 ( 否则会出现负价格) ，乃= e ( u ) 。并且( ( ( f ) 脚) ，( ( ( f ) ) 御， ( ( f ) ) 御，( u ) 淄相互独立。 删：咐) = 怒p ( o + 半哪坝d 、7 ，丁)& 、7、7 定理3 3 1 在上述模型下，由( 3 2 1 ) 式定义的集合理财产品中，投资者 在初始时刻的权益为： y ( o ) = 【尸( o ，t ) f l ( 1 + k ) ( 1 一功y ( o ) + ( 1 一国) ( 1 一历口y ( o ) 】万( 行域 ( 钟) 】 + ( 1 一彩) ( 1 一历( 1 一口) y ( o ) 万( 刀域一肭7 n ( 1 + u ) ( 露) 】 + 口y ( o ) 万( 珂) 钳( 一吖) 】+ ( 1 一口) y ( o ) 万( 咒k 【p 一舶7 兀( 1 + u ) ( 一心) 】 一( 1 - 口) y ( o ) 刀( 胛h 【p 一舳7 兀( 1 + ) ( ( 薯) 一( 蠼) ) 】 + ( 尸( o ，丁) ( 1 + 七) ( 1 一功y ( o ) 一口矿( o ) ) 万( 以) 乞【( 吖) 一( 钟) 】 ( 3 3 1 ) 其中万( 胛) = e - 丁a t ( a t ) ，毛为关于随机变量彝( 1 + u ) 的期望算子， d 卜 昏即瓜而； 吖= c n 2 ：文￥弋而( t ) d t 1 ”= 卵+ 上2 ； 1 2 跳扩散模型下券商集合理财产品定价 第三章 ( y ) = 去e p - ，f d x ，( 少) 为标准正态累积分布函数。 证明：由风险中性定价原理： 矿( o ) ：e q b 一1 ( r ) 矿( 丁) 】 = e 口 b - 1 ( r ) 【( 1 + 七) ( 1 一c o ) v ( o ) + ( 1 一) ( 1 一励矿( 丁) 】1 y ( r 涮1 + i ) y ( o ) ) ) + e g 丑- 1 ( 乃【矿( 丁) 一( 矿( r ) 一( 1 + 七) ( 1 一国) y ( 0 ) ) + 】1 l ，( 7 ) ( 1 + t ( o ) ) ) - = i l + 1 2 ( 3 3 2 ) 下面分别计算i 。和i ： i l = e q b - 1 ( r ) 【了o + k ) o 一缈) 矿( o ) + ( 1 一) ( 1 一f 1 ) v ( t ) 】1 y ( 7 _ 磁l + ( o ) j ) = 俨 b - 1 仃) 【f l o + k ) ( 1 一动矿( 。) + ( 1 一功( 1 一励丽a v ( o ) + 旦 矿( 。) s ( z ) ) 】 1 y ( 7 ) 爿1 + i ) 矿( o ) ) = 【3 ( i + k ) ( 1 一功矿( o ) + ( 1 一曲( 1 一励簧器】俨 b _ ( r ) 1 嗍。朋0 ) ) + ( 1 一) ( 1 一历( 1 一口) y ( o ) e q b 一( r ) 鱼譬21 y ( r 随。“) p ( o ) ) ) ( 3 3 3 ) 记( 3 3 3 ) 式右端的第一个数学期望为a 。则由推论2 5 6 知： a = e 9 b 一1 ( 乃1 矿( 7 趟l + i ) y ( o ) ) = 尸( 0 ，t ) q r t 4 t p o + k ) 确o ) - p ( 叮明丽a v ( o ) + 訾m 撇啦( 1 州哪) ) o ( 3 3 4 ) 令z ( f ) = 器，由定理2 4 4 ，在风险中性测度q 下有： 器= 沌踟叫玎) d w l ( t ) 州伽( f ) + u d n ( 沪名励。 引进测度变换： 筹l = 篇t ) b ( t p - 三2 研妒胁肌踟) ) ， 蛔kp ( o ， ) 一七一7七一” 在q r 下，或( f ) = 暇( f ) 一f 艿( s ，r ) 凼为标准布朗运动。再令( f ) = 0 西i 万i 尹丽 和痧( f ) = f 望旦型堑芸高掣，由定理2 2 2 易知痧( f ) 仍为矿下标准布 朗运动，则在q r 下，有： 价 跳扩散模型下券商集合理财产品定竺一! ! 兰兰 _ - 一一。 舯纠e r a ( t ) d w ( t ) ( 1 州”堋) - 怒 zs = c ：， 其中，z 。n ( 0 ，1 ) 。因为0 国 吖。 于是，在兀( 1 + u ) 已知的条件下： 即矿 ( 导哪坝哪州”删，一怒，) + 】1 哪m 坝呦帅= 七 c 一口，y c 。，e 7 e ，叩( 一五办r 一三r 2 0 ，衍一厩) 毛j c + u ，。卵蛇鲥，i c 丁，= 刀) 娟卟州”堋) 一怒m 租甜帅= 司 = ( 1 - 口) y ( o ) 毛一肿兀( 1 + ) ( ( ) 一( 霹) ) 】 - ( p ( o ，丁) ( 1 + 七) ( 1 一c o ) v ( o ) 一口y ( o ) ) 乞【( 彳) 一( 吖) 】， 其中= 彳+ f a 2 ( t ) d t 。 所以：i ：= 口y ( o ) 万( 胛) “( 一吖) 】+ ( 1 一口) y ( o ) 万( ，? h p 一舳7 n ( 1 + q ) 1 6 跳扩散模型下券商集合理财产品定价第三章 ( 一鳄) 】一( 1 一口) 矿( o ) 万( ，7 ) 毛【p 。舳7 n ( 1 + u ) ( ( 露) 一( 霹) ) 】 h = 0i f f i l + ( 尸( o ，丁) ( 1 + | i ) ( 1 一功矿( o ) 一口矿( o ) ) 万( 靠) 毛【( c ：，) 一( 群) 】。 n = 0 ( 3 3 1 0 ) 将( 3 3 8 ) 和( 3 3 1 0 ) 代入( 3 3 2 ) 即得( 3 3 1 ) 。 # 定理3 3 1 所得结果较为一般，而当r ( t ) = ，( 正常数) ，8 ( t ，乃= 0 和 盯( ，) = 盯( 正常数) 并且给出跳尺度的具体分布时，我们有时可以通过直接计算 得到更明确的权益定价公式。下面两节具体讨论当跳尺度分布分别服从对数正态 分布或双指数分布时权益的定价。为了简单起见，我们将用尸( f ) 代替p ( t ，丁) 。 3 4 跳尺度服从对数正态分布时权益定价 设在风险中性测厦qf ，股票价格和债券价格的动态演化过程为： j 器卸圳挑一川釉 似4 1 ) l s ( o ) = s o l a l p ( t ) ：r d t 尸【f ) ( 3 4 2 ) 【尸( r ) = 1 其中，仃为正常数，( 形( f ) ，卸) 是q 下的标准布朗运动。l + u 服从对数正态分 布，即d g ( 1 + u ) 一( 口，口2 ) 。又因为e ( 1 + u ) ：9 4 ，故口：三d g ( 1 + 厅) 一i 0 2 ，所 以，l o g o + u ) n ( l d g ( 1 + 乃) 一0 _ 2 ，口2 ) 。 则： 由d o l e a n s d a d e 指数公式得到： s o ) = s ( 0 ) e x p ( ，一a h l ，o 2 ) f + 盯形( f ) ) 兀n ( o ( 1 + u ) 。 易知此时：y ( r ) = 口矿( 。) p 疗+ 壑二! 羹芋堕s 。 为求得权益定价公式，需要以下引理： 引理3 4 1 若c z 功一c 肛，其中：= z ，= - p c x o rp g x o r r ( r ； ， 1 7 第三章 跳扩散模型下券商集合理财产品定价 e l e x 1 r b 咖仁 e l e x , l r 勘 弘 其中( 力2 去e p 了出。 1， n ( b - p r - e o v ( x , y ) ) q n c b + 6 , + c o v ( x , y ) ) 听 ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) 证明2 j 1 ) 与王警东，杜雪樵( 2 0 0 9 ) 中的证明类似可得： e r 以j = 肛矿南卅高c 警一 一2 p ( x - l j x ) ( y - 1 毛, ) + 掣 ) 撇 o x o yo ； 扩书亡南叫一而1c 竿一警 秒一所_ c o v ( x ，1 0 ) + 业丝掣! 堕堕】) 触， 令甜= 一兰兰生五，：一y - 所- e o v ( x , y ) ，则上式 = e # x2 1 x 亡臣产可1 了e x p ( _ 高却2 ) ) 批 扩申峰击p 陋南p 舞十 ：x 如n ( b - j r - c o v ( x , y ) ) o a r ( 2 ) 同理可证( 3 4 4 ) 式成立。 定理3 4 2 在上述模型下，由( 3 2 1 ) 式定义的集合理财产品中，投资 在初始时刻的权益为： y ( o ) = 【( 1 + 硼一c o ) f r 矿( o ) e - r + ( 1 一妫( 1 一历口y ( o ) 】等一盯n ( - c j ) + ( 1 - e o ) ( 1 一f 1 ) ( 1 训m ) 艺巡掣e - , l ( h + 1 ) t ( 厮_ ) + ( 1 叫噻哗掣e - a ( h + ) r n ( d j 一历万) + 。百2 j t j p 一 ，鲁oj ；面，： 1 8 卜：， 一 一 一2一2 + + 跳扩散模型下券商集合理财产品定价 第三章 口y ( o ) ( 嘭) + ( 1 + 尼) ( 1 一国) y ( o ) p 1 丁芝互孚p 一五，【( 勺) 一( t ) 】 ( 3 4 5 ) 其中： c o - l o g o + 乃) 7 + 去户2 。 扣2 t + j 0 2 2 昭 翌二尘 ；学 一。一砌一三盯2 ，丁； 蟊- l o g o + 办) 7