（应用数学专业论文）障碍期权定价研究.pdf

摘要 障碍期权实际上是一种条件期权，它取决于在期权有效期间障碍是否被碰到，因 而它们也被叫作路径依赖期权。障碍期权的出现是为了满足那些精明的投资者的 需要，因为障碍期权的出现给那些风险管理者们提供了更合算的方法，让他们不 必为他们认为不可能到达的价格支付费用了。本文的目的也就是为了求出这些障 碍期权的价格。 论文的第l 章，简单介绍了金融衍生工具的发展状况，障碍期权以及反射原理 的理论。第2 章，介绍了b l a c k - s c h o l e s 期权定价理论。论文的第3 章，也是本 文的重点，主要讨论三种类型的障碍期权的定价公式。首先我们讨论了障碍作用 于整个期权有效期时的障碍期权的定价公式，然后我们再求障碍在期权有效时间 段终止之前就失效时的障碍期权的定价公式，最后我们讨论了障碍在期权作用一 段时间之后才出现的障碍期权的定价公式。本文是主要采用反射原理来求三类期 权的定价公式的。同时，本文的创新之处是将上式三个障碍期权的定价公式推广 到资产几何平均情况下时的期权定价公式。 本文以向下敲出欧式期权为例，其实在多数情况下，只要知道了到期时标的资产 价格的分布函数，我们都可以给其它类的期权定价，因而，采用同样的办法，我 们也可以为向下敲入欧式期权，向上敲出等欧式期权定价了。 关键词：障碍期权；几何平均资产；反射原理 a b s t r a c t b a r r i e ro p t i o n sa r ea c t u a l l yc o n d i t i o n a lo p t i o n s ，d e p e n d e n to nw h e t h e r s o m eb a r r i e r sa r eb r e a c h e dw i t h i nt h e1 i v e so ft h eo p t i o n s t h e ya r e t h e r e f o r ep a t h d e p e n d e n t b a r r ie ro p tio n sa r eg e a r e dt ot h en e e d so f s o p h i s t i c a t e di n v e s t o r s ， b e c a u s et h e s eo p t i o n sa r ec r e a t e dt op r o v i d e r i s km a n a g e r sw i t hc h e a p e rm e a n st oh e d g et h e i re x p o s u r e sw i t h o u tp a y i n g f o rt h ep r i c er a n g e st h a tt h e yb e li e v eu n li k e l yt oo c c u r t h et e x tt a r g e t i st ol o o kf o rt h ep r i c ef o r m u l a s o ft h eb a r r i e ro p t i o n s t h et h e s i s c h a p t e r1 ，i n t r o d u c e dt h ef i n a n c ed e v e l o p m e n ts i t u a t i o n ，b a r r i e ro p t i o n s a n dr e f l e c t i o np r i n c i p l et h e o r i e s e s t h et h e s i sc h a p t e r2 ，i n t r o d u c e d b l a c k s c h o l e s o p t i o np r i c ef o r m u l a c h a p t e r3 ，t h ee m p h a s i so f t h i s p a p e r ，m a i n l yd i s c u s s e st h ep r i c i n gf o r m u l a so ft h r e ek i n d so fb a r r i e r o p t i o n s f i r s t l yw ed i s c u s st h ep r i c i n gf o r m u l a so ft h eo p t i o n sw i t h b a r r i e r sd u r i n gt h ew h o l ee f f e c t i v ep e r i o do ft h eo p t i o n s t h e nw ed i s c u s s t h ep r i c i n gf o r m u l a so ft h ee a r l y 。e n d i n gb a r r i e ro p t i o n sw i t ht h eb a r r i e r s s t o p p i n gt ob ee f f e c t i v eb e f o r et h ee x p i r a t i o no ft h eo p t i o n s l a s t l yw e d i s c u s st h ep r i c i n gf o r m u l a so ft h eo p t i o n sw h o s eb a r r i e r sa r en o t e f f e c t i v ei m m e d i a t e l yb u ts o m et i m ei nt h ef u t u r ew i t h i nt h e1i f eo ft h e o p t i o n s a n dt h ep r i c i n gf o r m u l a sa r ew o r k e do u tm a i n l yv i at h ea p p r o a c h o ft h er e f l e c t i o np r i n c i p l e a tt h es a m et i m e ，t h ei n n o v a t i o no f t h i sp a p e r i st ow o r ko u tt h et h r e ek i n d so fp r i c i n gf o r m u l a so fb a r r i e ro p t i o n so f t h eg e o m e t r i ca v e r a g ea s s e t s t h i sp a p e rt a k e sd o w n o u tc a l l sf o re x a m p l e ， a si nm o s to t h e rs i t u a t i o n s ，w ec a np r i c ea l lk i n d so fo p t i o n sa sl o n g a sw ek n o wt h ed i s t r i b u t i o no ft h eu n d e r l y i n ga s s e tp r i c ea tm a t u r i t y ， s o ，w ec a np r i c et h ed o w n i nc a l l s ，u p o u tc a l i sa n ds oo nb yt h es a m e m e a n k e yw o r d ：b a r r i e ro p t i o n ；g e o m e t r i ca v e r a g ea s s e t s ；r e f l e c t i o np r i n c i p l e 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明 确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人( 签名) ：袱向文 矽7 年，月憎e t 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其他指定机构送交论文的纸质版和 电子版，有权将学位论文用于非营利目的的少量复制并允许论文进入 学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密 后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) 作者签名： 狄向欠日期：切声s - 月吩日 导晔名：专咭鼋陟日期叩年6 月c 。日 障碍期权定价研究 第一章引言 1 1 金融衍生工具概述 1 1 1 金融衍生工具以及市场 期权是最基本的金融衍生产品之一金融衍生工具又称金融衍生产品，是一 种金融工具，其价格或投资回报最终取决于另一种资产，即所谓的标的资产 ( u n d e r l y i n ga s s e t ) 的价格。这就是说金融衍生产品的价值是由其标的资产价 值衍生( d e r i v e d ) 而得到的。其中，用来作为标的资产的可以是债券、股票、 货币等基础金融工具，也可以是其它实物资产，或者是金融衍生产品本身。 从金融工程学角度看，远期合同、期货合同和期权合同是三种最基本的衍生 产品。市场上还存在的其它衍生产品，如掉期( s w a p s ) 、按揭抵押债券 ( m o r t g a g e - b a c k e ds e c u r i t i e s ) 、结构化债券( s t r u c t u r e ds e c u r i t i e s ) 等都 可以看作上述三种基本衍生工具及债券、股票的基础金融工具不同组合的产物。 金融衍生产品市场是一个非常巨大的市场，这个市场发展极其迅猛，也对全 世界的经济走势产生了极其深远的影响。从原理上来讲，金融衍生产品市场首先 是规避风险的工具，通过交易使得风险从风险厌恶者手中转移到风险喜好者手 中。 金融衍生产品市场非常精妙复杂，充满了不确定性，每天都在发生着惊心动 魄的财富故事，是对人类智力的挑战。 1 1 2 基本的定义 期权( o p t i o n ) ：是一种选择权，持有者有在约定时间以约定价格向期权提 供者购买或售出某种资产的权利，但不负有必须买进或卖出的义务。 多头( 1 0 n gp o s i t i o n ) ：买方。 空头( s h o r tp o s i t i o n ) ：卖方。 标的资产( u n d e r l y i n ga s s e t ) ：期权合同中多头行使权力时买入或卖出的 资产。可供选择的标的资产有股票、债券、货币、利率等金融资产，也可以是黄 金和其他一些商品。 敲定价格( s t r i k ep r i c e ) ：期权合同所规定的标的资产的买入或卖出价格。 敲定价格在签订期权合同时就已经固定，不再随标的资产的市场价格变化而变 化。 障碍期权定价研究 看涨期权( c a l lo p t i o n ) ：是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一 具体的敲定价格买进某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必 须买进的义务。 看跌期权( p u to p t i o n ) ：是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具 体的敲定价格卖出某一特定数量的相关商品期货合约的权利，但不同时负有必须 卖出的义务。 到期日( e x p i r a t i o nd a t e ) ：期权合同所规定的有效期限或合同多头方行使 权力的时间。根据多头在期权有效期内行使权力自由度的不同，期权有可以分为 美式期权( a m e r i c a n - s t y l eo p t i o n ) ，即多头可以在到期日前任何一天行使权力； 欧式期权( e u r o p e a n s t y l eo p t i o n ) ，即多头只能在到期日行使权力，本文中仅 研究欧式期权。 可行市场：研究金融市场有一个基本的假定，就是无套利原则，也称套利原 则，这个原则就是假定正常运行的市场没有套利机会( 套利的粗略含义是，在开 始时无资本，经过资本的市场运作后，变成有非负的( 随机) 资金，而且有正资 金的概率为正) 。因为在出现套利机会时，大量的投机者就会涌向市场进行套利， 于是经过一个相对短的时期的“混乱一后，市场就会重返“正常”，即回复到无 套利状态。在金融衍生证券的定价理论中，并不讨论这段短混乱时期，因此，在 研究中普遍地设置无套利假定，这样的市场也称为可行市场。 套期：粗略地说，以持有某些有价证券组合来抵消某种金融衍生证券所带来 的风险，称为套期，这种套期事实上是完全套期。如果只抵消了部分风险，则称 为部分套期。 1 1 3 期权交易过程 以某种证券为标的资产的欧式看涨期权，是指在t = 0 时甲方( 一般为证券 公司) 与乙方的一个合约，按此合约规定乙方有一个权利，能在时刻r 以价格x ( 敲定价格) 从甲方买进一批这种证券，如果时间丁时的市场价格研低于x ， 乙方可以不买，而只要时间丁时的市场价格岛高于x ，乙方就得利。综合起来， 乙方在时刻丁净得随机收益为g = m a x ( o ，品一柳。因为乙方只能在最终时刻丁 做出选择，所以这种期权是欧式期权。此外，乙方希望母尽量大，以便有更多 2 障碍期权定价研究 的获利。也就是有选择权的乙方盼望股票上涨，这就是看涨期权，或者买权。由 于这个合约能给乙方带来c r = m a x ( o ，s t x ) 的随机收益，就需要乙方在t = 0 时 刻用钱从甲方购买。这个合约在t - - 0 时刻的价格，称为它的贴水或保证金 ( p r e m i u m ) 。问题关键是如何确定这个合约在时刻t t 的价格。这正是本文研究 的问题。 1 2 障碍期权简介 障碍期权在所有的奇异期权( e x o t i co p t i o n ) 中算是最早的，在c h i c a g o b o a r do fo p t i o n se x c h a n g e ( c b o e ) 开始出现的前六年，障碍期权就已经在美国 市场上零星的出售了。s n y d e r ( 1 9 9 6 ) 把“向下敲出期权 ( 障碍期权的一种) 描述为“有限风险的特别的期权”( l i m i t e dr i s ks p e c i a lo p t i o n s ) d o n a l d s o n ， l u f k i n ，j e n r e t t e 就在7 0 年代初就开始使用了“向下敲出期权。h d s o n v 在1 9 9 1 年就讨论了怎样使用障碍期权，尤其是向上敲出的买权和卖权。这些障碍期权的 出现满足了那些精明的投资者，因为障碍期权的价格比普通的期权要便宜的多， 这样那些投资者就不用为那些他们认为资产不可能达到的价格范围付出代价了。 障碍期权实际上是条件期权，它是否起作用决定于资产的价格在期权的有效 期内是否碰到障碍。因此它们也被称为路径依赖期权( p a t h d e p e n d e n t o p t i o n s ) 。从大体上分，它们有两种基本的类型：敲出障碍期权( k n o c k o u t o p t i o n s ) ，敲入障碍期权( k n o c k - i no p t i o n s ) 。敲入障碍期权是指在标的资产 的价格碰到障碍的前提下期权持有者有权获得一个欧式期权，而敲出障碍期权只 有在标的资产价格没有碰到障碍的前提下期权持有者才可以获得欧式期权的，而 如果碰到了，则最多只能获得一定的补偿。而如果再区分标的资产的价格是从上 还是从下碰到障碍，以及是买权还是卖权的话，那障碍期权可以进一步细分为： 向下敲入买权( d o w n i nc a l l s ) ，向上敲入买权( u p - i nc a l l s ) ，向下敲出买权 ( d o w n - o u tc a l l s ) ，向上敲出买权( u p - o u tc a l l s ) ，向下敲入卖权( d o w n - i n p u t s ) ，向上敲入卖权( u p - i np u t s ) ，向下敲出卖权( d o w n o u tp u t s ) ，向上敲 出卖权( u p - o u tp u t s ) ，这些障碍期权的吸引人的地方就在于它们比相应的普通 期权要来的便宜，如果期权失效没有额外的补偿的话，那么向下敲出期权与相对 应的向上敲入期权的价格的和应该等于相应的普通期权的价格。因此对于这些障 碍期权，一个障碍期权的到期收益不仅仅取决于标的资产的到期价格，还取决于 3 障碍期权定价研究 期权有效期内标的资产的价格是否碰到障碍 1 3 几何平均资产的分布 亚式期权是平均期权，其到期收益依赖某个形式的整个有效期内或某一部分 时段内标的资产的平均价格。在交易市场上经常发生的是：交易者有兴趣对某个 时段内的商品的平均价格套期保值，而不是仅考虑该时段终点的价格，平均价格 对涉及不断的交易小额产品的业务特别好用，因为使用这样的金融工具可以避免 接近时段末期时的价格操纵。 大多数的亚式期权是欧式的，因为美式亚式期权会尽可能早地在平均时段的前 一段子区间内执行，从而散失掉平均价值保护的意义 亚式期权从大体上看，可以分为两种：平均资产价期权和平均执行价期权平均 资产价买入期权和平均执行价买入期权的到期收益分别为m a x ( a x ，o ) 和 m a x ( 品一a ，o ) ，其中品是到期标的资产的价格，x 为执行价格，而彳表示某 个形式的标的资产的平均值。 普通的形式有以下两种： 离散算术平均= 寺善& ( 1 3 1 ) 离散的几何平均： 彳= ( 瓯& & & ) - ( 1 3 2 ) 这里最( i = 1 ，2 ，刀) 是指在时刻标的资产的价格，如果取极限以寸， 则离散算术平均就变为连续算术平均，即可表示为：、 肚去弘 m3 3 ， 同样离散几何平均就变为连续的几何平均，表示为： 抽x p 志陋 m3 4 ， 其中 互，互】是取平均的时段区间。 4 障碍期权定价研究 下面我们研究几何平均资产的分布形式： 设在风险中性条件下标的资产的价格服从对数正态的扩散过程： 了d s2 7 出+ 仃记 ( 1 3 5 ) z 为概率空间( q ，( e ) 0 9 玎，p ) 上的标准布朗运动，其中厂，仃分别为标的资产的 期望收益率和波动率，它们都是常数，设当前时刻为t ，【f ，丁】为平均时段区间。 则几何平均资产定义为： 么( 丁) 2 c x p ( 击卜t - ( 1 3 6 ) 由( 1 ： 渊唧n 秘加( ) m3 7 ， 将( 1 3 7 ) 代入到( 1 3 6 ) 可得： 印h h 击卜爿华+ 再o rt 肛舻 进融华= 击( 厂一譬) 掣+ 矗弦桫 期望e ( h 剥印叫旧c r 2j_+、1l 再o t 户( 乙一彬= 卜爿掣 方挑( - n 等) - 南玩，嘛却1 ) _ 南玩，限以1 ) m 寸。 砌，( 了互，) = e ( 了互。) 2 = e ( 了互。了乙如) = t ，- tt ，- t e ( z f 。乙净- 幽：r 了了r - 础t 幽：了i t 斫- 幽+ t ，- tt ，- t 础，如：t ( r - o ，e ( z f 。乙净1 幽= ，f 1 础1 幽= p 1 斫1 幽+ ，础1 如= t 其中t 1 “= m i n ( t i , “1 5 障碍期权定价研究 玩，( h 剥= 南肠厂陋1 ) - 南掣= 扣哆 根据对数正态分布的知识可得彳( r ) 的转移密度函数为： 9 彳( 丁) ，么( ，) 2 了彘 e x p 1 4 反射原理简介 3 2 i l ( 1 3 8 ) j 我们以单指数障碍为例来研究反射原理： 设警2 厂出+ 盯a w ( f ) ，( f ) 为概率空间( q ，( e ) 。g 玎，p ) 上的标准布朗运动，其 中厂是无风险利率，仃为波动率，两者都是常数，t 为当前时刻 并设上障碍大小为：= u e x p ( p t , ) 其中f t 下障碍大小为：厶= 三e x p ( 口) 其中f r ，口，都为常数。l 墨u 并设两忑表示标的资产的价格从墨变化到品的路径。 用o o 表示所有从s 变化到s t 的路径，用吒和勺分别表示标的资产的价格第一 次碰见下障碍与上障碍的时刻。即 气= i n f 川瓯= 上e x p ( 口 ) ，t _ t t z ) 。 勺= i n f & = u e x p ( 厩) ，f 丁) 0 u = 两f s u p 随一i o 0 l - - 两陋 & 一址 毛 丁 o 即分别用o 【，o l 表示那些标的资产的价格碰到上障碍，下障碍的那些路径的 集合。 则由反射原理可得【7 】： 6 障碍期权定价研究 氐( 聪m b 锹割丫 化4 1 ， c 泌m ) 陆厂 m4 2 ， 其中岛( s ，s ) ，f o l ( 品，墨) 分别表示标的资产从s 出发且在期权有效期间 碰到上障碍，下障碍时的密度函数， 鹏剐= 南唧卜 7 2 0 2 ( t - t ) 1 ( 1 4 3 ) j 障碍期权定价研究 第二章 b l a c k - s c h o le s 期权定价理论 2 1b 1 a c k s c h 0 1 e s 模型介绍 价格从来都是市场经济的核心内容，价格是使市场上的交易双方达成交易的 最重要的因素，价格反映了市场上的供求关系。资产定价( a s s e tv a l u a t i o n ) 是现代财务学的一个基本问题。 1 9 7 3 年，芝加哥大学教授b l a c k 和m i t 教授s c h o l e s 在美国“政治经济学 报一( j o u r n a lo fp o l i t i c a le c o n o m y ) 上发表了一篇题为“期权定价和公司负 债 ( t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ) 的论文；同年， 哈佛大学教授m e r t o n 在“贝尔经济管理科学学报”上发表了另一篇论文“期权 的理性定价理论一( t h e o r yo fr a t i o n a lo p t i o np r i c i n g ) ，奠定了期权定价的 理论性基础，为财务金融学开创了一个崭新的领域，也拉开了1 0 0 万亿美元庞大 市场的序幕。s c h o l e s 和m e r t o n 由于在期权定价方面的开拓性贡献，被授予1 9 9 7 年诺贝尔经济学奖( b l a c k 教授1 9 9 5 年逝世未能享此殊誉，但英名也永载史册) 现在，期权理论与应用研究已经成为财务金融学领域最为活跃的分支，本文的研 究就是以著名的b l a c k - s c h o l e s 模型展开的。 2 2 概念与基本假定 b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型将股票期权价格的主要因素分为五个：标的资 产市场价格墨、执行价格x 、无风险利率 标的资产价格波动率仃和距离到期 时间t t 。除此之外，对于股票期权来说，影响其价值的参数还包括股利支付统 b l a c k 和s c h o l e s 在推导b l a c k - s c h o l e s 模型时做了以下7 条基本假设： ( 1 ) 无风险利率，已知，且为常数，不随时间变化； ( 2 ) 有两种长期存在的证券，一种是股票( 标的资产) ，其价格墨的变化为一 几何布朗运动，即 d s , = l m s , d t + o r s a b ( t ) 或者说，s 服从对数正态分布，s = s oe x p ( z - 1 2 盯2 y + o r b ( t ) ) 另一种是无风险证券厶，它的价格过程为配6 t = 忆； ( 3 ) 在衍生证券的有效期内，标的股票没有红利支付： 8 障碍期权定价研究 ( 4 ) 期权为欧式期权； ( 5 ) 对于股票市场、期权市场和资金借贷市场来说，不存在交易费用，且没有 印花税； ( 6 ) 投资者可以自由借入和贷出资金，借入利率和贷出利率相等，均为无风险 利率。而且所有证券都是高度可分的，即投资者可以购买任意数量的标的 股票； ( 7 ) 对卖空没有任何限制( 如不设保证金) ，允许使用全部所得卖空衍生证券。 在上述假设下，记 墨：标的资产( 股票) 的市场价格； 屉买权合同的执行价格； ，按连续复利计算的无风险利率； 盯：标的资产价格波动率； 丁：到期日； t ：当前定价日； t t ：距离到期时间。 2 3b l a c k s c h 0 1 e s 模型 我们按照b l a c k 和s c h o l e s 在1 9 7 3 年那篇奠定诺贝尔经济学奖的经典论文 的思路来推导b l a c k - s c h o l e s 微分方程。 假设是期权( 或者其他衍生证券) 的当前价格，显然，c 一定是标的股票当 前市场价格墨和当前定价日t 的某种函数。 注意到b l a c k - s c h o l e s 模型的基本假设，股票价格墨遵循随机过程： d s , = p s t d t + 巧s t d b t 因此，由伊藤定理，期权价值e 是标的股票价格墨的函数，应有： 犯= ( 等+ 墨嚣+ i i 盯2 s 2 等渺+ 盯s 盖魍 b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型采用的是典型的动态无套利均衡分析的技术。基本 思路是套期保值，即交易者为减少风险而采取的投资组合( p o r t f o l i o ) 的策略。 9 障碍期权定价研究 在上述假设下，采用一种动态交易策略，复制欧式买权到期末的现金流这一复 制技术是在期初f = 0 时购买一个有标的股票和一种无风险证券构成的证券组合， 然后不断地动态调整其头寸使之保持住无套利均衡关系，一直到到期日f = t 这样，现在f = 0 时刻欧式期权的价值就一定等于复制组合在f = 0 时刻的价值。 具体地说，这一动态复制过程就是用期权、标的股票和一种无风险证券来构 筑一个无套利均衡的组合头寸。用a = a f , i a 份标的股票( 股票价格为墨) 的多 头和无风险证券的空头来复制一份期权( 价格为e ) 亦即构造如下的套期组合： 在当前t 时刻，以墨买入标的股票a f , a s , 股，同时以f 卖空l 份期权。无风险 证券的空头价值记为厶。为使复制在全过程中成立，必须始终保证以下系： 移项整理有： e = 署s 一厶 l t = - f + a o f ，t s t 经过一段微小时间函，两边的价值变为： 6 l t = - - 艿f c - a a f s , t 万s t 而伊藤过程刻画了8 s , ，伊藤定理刻画了万e ，于是，将前面的关系带入上式， 即可得到： 犯- ( _ 鲁一虿1 筹嘞所 在上面的表达式右边，随机项妲不再出现。这意味着1 份期权的空头和份 股票的多头能实现风险的完全对冲，而的大小是动态地调整的。所以右边这二 者的组合和与之等价的无风险证券是完全等价的。即两者组合的收益率应当等于 无风险收益率，因此 6 l t l , = r 6 t 即有 6 l t 硒t _ 儿t 1 0 障碍期权定价研究 令研一0 并在上述关系式中展开弛和厶就得到著名的b l a c k s c h o l e s 随机微 分方程： af,+峰嚣+10t2 啦2 祟a s , = 嵋 l as。l z l 对于欧式看涨期权，其边界条件为：当t = t 有 q = m a x ( s r x ，o ) 解上面的偏微分方程可得：在定价日f o b o 则由反射原理( 1 4 2 ) 可知 在期权有效期间至少一次碰见障碍的爵的密度函数为： 椭班巾，盟s , j 、i ，t 盟s , ) 孚 溆2 1 ， 在期权有效期f , - - j 都没有碰见障碍的墨的密度函数为： 厂( 品，s ) 一厶：，( 品，墨) ，其中厂( 品，墨) 为( 1 4 3 ) 式 m c ( s , ，丁一f ) = e x p 一厂( 丁一f ) ，m a x ( s r - x ，o ) 厂( 品，s , ) - f o 工( 品，母) 妈 ( 3 2 2 ) 1 2 障碍期权定价研究 将( 1 4 3 ) ，( 3 2 1 ) 代入( 3 2 2 ) 并计算可得【1 1 】： 吣卜扣墨卜一( 南 以，卜 胁廿巾叫 卜一( 南 吐， 鼽盔= 型。型- r 4 f i - t 型, d 2 = d ，- o r 厉 以= 型i n s + x r一+-i-(t-t)-21n b ( t ) 小咖厉 设平均资产为：心) = 唧( 壶 n 孓们，) = s ，其中嘲r 则由反射原理( 1 4 2 ) 可知 在期权有效期间平均资产的价格至少一次碰见障碍的彳( 丁) 的密度函数为： 纵印m ，：赢酬掣 f i 一3 i e x p 一 【 ( 3 2 4 ) 则在期权有效期间平均资产的价格都没有碰见障碍的彳( 丁) 的密度函数为： 伊( 么( 丁) ，么( f ) ) 一伊( 么( 丁) ，么( f ) ) 其中伊( 么( 丁) ，彳( f ) ) 为( 1 3 8 ) 式 1 3 ( 3 。2 5 ) 塑 一， 障碍期权定价研究 则c ( 么( f ) ，r f ) = e x p 一，( r - o ，m a x ( a ( t ) - x ，o ) 伊( 爿( r ) ，么( f ) ) 一矿( 么( 丁) ，么( f ) ) 拟( r ) ( 3 2 6 ) 将( 1 3 8 ) ，( 3 2 4 ) 代入( 3 2 6 ) 并计算后可得1 1 5 】： c ( 么( f ) ，t - t ) = ，唧争叫卜，一叫一 耐巾叫，m 一鲥1 叫 黼盔：竺纂塑小盔一丁, r v - f z t - t 其中，磊= 二兰上笔型，如= 磊一下 叮0 t t 0 3 丁 万= ，以= 盔一而2 , 5l i l 型8 ( 0 以= 以一而2 , 51 i l 器 3 3 障碍提前结束的期权定价公式 ( 3 2 7 ) 设期权的有效期为【f ，t 】，障碍的作用时间为 t , t 1 ，f l 岛e x p 口( 一f ) ) 缈( & ，s , ) - o当 & 反e x p 口( 一f ) ) ( 3 3 1 ) c，c&，丁一，=叉竺三兰二；：去靼0-2，一 x m x p - r ( t - t i ) n i ( 3 3 2 ) 其中c 7 ( 瓯，丁一) 表示以& 为资产的初始价格( 这里可将& 看成是常数) ， 以丁- t i 为期权有效期的欧式买入普通期权的价格公式，显然( 3 3 2 ) 类似于 ( 2 3 1 ) 式。 则我们所求的期权价格为： c 一( s ，t - t ) = e x p - r ( 一f ) ，c 7 ( & ，r f l 弦( & ，墨) 峨( 3 3 3 ) 劢唧p ( f l f ) 将( 3 3 1 ) ，( 3 3 2 ) 代入( 3 3 3 ) 并经计算可得： 叫驴叫水，料挚m 卜矧一 1 5 障碍期权定价研究 x e x p - r ( t - t ) 以，癌心尸1m 卜癌) 鼽吐=ln s t + r + - - - a ( t l - t ) 毋 以= 喏+ ( ，+ 分叫 ，以= 型鬯t ， o l d s = d l 一仃0 t i t d 6 = d 2 一a q t t d 1 = d 3 一0 0 t l t ， d 8 = 以一盯再 ( 3 3 4 ) 因为上式中有二维的积分计算，所以其中计算过程中利用公式： 弘帅砌肛m _ 赤，志) 糠 弘( 洲肛2 卜寿，志) 组3 5 ， ( 功是标准正态的分布函数，厂( “) 为标准正态的密度函数，2 ( 口，b ，户) 以p 为相关系数的二维正态分布函数例( 3 3 3 ) 展开式中有： 小“叫 睡广1 岛 ，捌高 吖一卜 1 6 障碍期权定价研究 f e x p 一 【 首先令 2 仃2 ( 一f ) 卜 y = l n s t , _ 2 1 n b o _ 一( r o 2 ) 坚简y = 7 坐并化简 仃、一t 计”伽k b o ) 挚s , 唧陪+ f ， 击e x p b h 仃y 肝) ( 3 3 6 ) 1 数掣# 鲨卜 i盯丁一i 。 再令z = j ，一盯- i 并化简，( 3 3 6 ) 可转化为： s f ，旦8 0 、1 j 竽l去唧面唧【一芎j 1 出 1 7 ( 3 3 8 ) 障碍期权定价研究 最晤严1m 卜癌卜3 3 4 ， ( 3 3 3 ) 式的其他展开项同样计算后可得到( 3 3 4 ) 的结果。 平均资产的定义为：彳( f ) = e x 烈7 l p s ( f 1 ) a t l ) 其中f f s r ，则由反射原理 可知在【f ，f l 】都没有碰上障碍的彳( ) 的密度函数为： 9 c 么c ，墨，= 一e x p 一 喙严1 一 f 唧t 一 翔 翔州 一 当 彳( ) 鼠e x p 口( 一f ) ) 缈( 彳( ) ，墨) = o当 彳( ) 鼠e x p 口( 一f ) ) ( 3 3 9 ) 州“h ) = e x p 一睁司( 一) 1 8 障碍期权定价研究 f “曲i h 掣+ r + 鲁卜 )x1 2j 、 卜 jfexp一厂。丁一，l，f三：三一i r0 2 i ， 。3 4 。， l i百j 其中c ( 爿( ) ，t - t 1 ) 涮a ( t , ) ( 同样可看成是常数) 为资产的初始价格， 以丁一为期权有效期的欧式几何平均买入普通期权价格公式阱 c 一( s ，丁一f ) = e x p 卜( 一f ) ，c ( 彳( ) ，丁一f 弦( 彳( ) ，墨) 幽( f 1 ) ( 3 4 1 ) c c 墨，丁一f ，= 墨e x p 一( 三+ 鲁) c 丁一f ， m 卜副韵掣1m 卜矧 x e x p 卜( r f ) 札卜捌2 1 2 1 j _ 1 m 卜矧 1 9 障碍期权定价研究 州= 型量：圭二庄! 小型量鱼型， 仃、 一t c r q t t d 3 = 以= 盔一 ，h 嚣+ r + 鲁卜) ，吐= 型，a 1 一t 压 癣吐一鲁， 蟊= 以一- 盯r , l v r z t - t 3 4 障碍较迟出现的期权定价公式 呜畸雩， 设障碍作用时间段为【，r 】大小为： b ( t 1 ) = 岛e x p 口( f l - - t 1 ) 其中t l - - t 1 丁， 设x 岛e x p 口( 丁一) ，显然& 必须大于鼠那么这个障碍期权的价格才不 为零，因此： c 一( 墨，r f ) = e x p 一，( t , - o f c ( & ，丁一 沙( & ) 强 ( 3 4 1 ) 厂( & ) 表示随机变量& 的密度函数，c ( & ，丁一) 表示以瓯为初始资产价 格，在这里可以看成是常数，以t 一 为期权有效时间，在期权有效时间内都 有障碍的向下敲出期权的价值，其中障碍大小跟上面的一致。 显然可得： 如，= 南唧 一 2 2 ( 一f ) ( 3 4 2 ) 雩 障碍期权定价研究 c，c&，r一，=x竺一 啦严1 卜 xexp一，cr一，一x + 酽1 ( 3 4 3 ) 其中( 3 4 2 ) 可由( 1 4 3 ) 将s r 变为& 得到，( 3 4 3 ) - - 与( 3 2 3 ) 类似，只是初始价 格与期权有效时间段不一样。 将( 3 4 2 ) ，( 3 4 3 ) 代入( 3 4 1 ) 可得： c 一( s ，t - t ) = s t n 2 x e x p 一，( r - t ) n 2 2 1 癌鲨弓而业叭 癌 障碍期权定价研究 一懿( 去) 2 字e x p r 一厂+ 一 c 一f ， d + x ( 丢) 2 了a - 产r ) la叩一，crf，+ 将上式推广到几何平均的期权定价： 平均资产的定义为： 彳( f + ) = e 冲( 去l i l 们 帅打r j 厂一l 叫一tl 砺彳i j ) i l 砺il j c 一( 么( f ) ，丁一f ) = e x p 卜( 一伽i c ( 彳( ) ，r - t , i f l ac t , l l a a ( t , ) ( 3 4 4 ) 曷 厂( 彳( ) ) 表示随机变量彳( ) 的密度函数，c ( 彳( ) ，丁一 ) 表示以彳( ) 为 初始资产价格，在这里可以看成是常数，以r t l 为期权有效时间，在期权有 效时间内都有障碍的向下敲出几何平均期权的价值，其中障碍大小跟上面的一 致。 障碍期权定价研究 小) = 一 詈矿( ) c 讹) 卜f 1 ) = 心) o x p 一睁岳卜 ) 心，( 掣严啪苛训 1 h 掣+ 睁2 1 2 卜小2 h 掣 x ij 、 玩 x e x p - r ( t - t 。) n 卜 刚h ) 掣+ l 将( 3 4 5 ) ，( 3 4 6 ) 代入到( 3 4 4 ) 并计算可得： 卜 ( 3 4 5 ) ( 3 4 6 ) l n 业出+ r6 j ( r t 。) x 24 6 一t t l 障碍期权定价研究 c 一( 彳( f ) ，r f ) = s , e x p 一( 三+ 鲁) ( 丁一f ) 2 lil羔b+睁卜)o 1 2 l2 7 x e x p - ，( 丁一f ) d 玩 小吲+ + x d + 卜吵 卜 c一f，一(主+蔷)c丁一f， 癌 卜 一 黜掣 畸一 癌 摇 摇 障碍期权定价研究 第四章总结 本文首先介绍了b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型。然后在遵循b l a c k - s c h o l e s 模型的假设的前提下，考虑设有障碍时期权的定价公式，本文主要采用了反射原 理来求得标的资产到期时的密度函数，然后将所获得的密度函数代入到 c ( s ，t - t ) = e x p e - ，( 丁一f ) 卜a x ( 品一x ，o 切( 品，s ) 揖 如果研究的是障碍只是在期权有效期间的部分时段起作用的话，那再运用公式 厂( “沙( p + 如) 幽= 鸩( 刁，丽各，妨专) 通过计算就可获得最后的 结果，本文还在上面的基础上，将所求得的定价公式进一步拓展到几何平均资 产的情况。由于我们假设资产是服从对数正态分布的，因而我们的几何平均资 产也同样的服从对数正态分布，只是其漂移率与波动率发生改变，计算方法类 似。 同时本文只是以欧式向下敲出期权为主要的研究对象，根据前面所提的，我 们可以得到相应的欧式向下敲入期权的价格公式，因为它们之和就为相对应的 普通的期权的价格。 比如我们3 2 节相对应的欧式向下敲入期权的价格可以等于( 2 3 1 ) 一( 3 2 3 ) ， 即为： 吣卜沪s ( 扩1 n + 卜譬卜一- n 南 口m j 融廿巾_ ( 南产 i i 仃21 _ ， li 障碍期权定价研究 其中c ( s ，丁一f ) 表示欧式向下敲入期权的价格。 本文所研究的问题还可以进一步继续往前推导，推广到向上敲出，向上敲入的各 种障碍期权，但所研究的方法基本一致，都是利用反射原理求出符合条件的标的 资产的密度函数，进而通过计算求出相应的期权的价格。 障碍期权定价研究 参考文献 1 k e m n aa ，v o r s ta a p r i c i n gm e t h o df o ro p t i o n sb a s e do na v e r a g ea s s e t v a l u e s j j o u r n a lo fb a n k i n ga n df i n a n c e ，1 9 9 0 ，1 4 ( 1 ) ：1 1 3 2 9 2 r o n a l dc h e y n e n h a r r ym k a t ，“p a r t i a lb a r r i e ro p t i o n s ，”j o u r n a lo ff i n a n c i a l e n g i n e e r i n g ，1 9 9 4 3 j o h nh u l l a l a nw h i t e 。“e f f i c i e n tp r o c e d u r e sf o rv a l u i n