（应用数学专业论文）模糊推理的变权综合算法研究.pdf

摘要 摘要 模糊推理是模糊逻辑研究的主要内容之一，一直受到广泛关注。近年来模糊推理的 研究取得了很大的进展，特别是在工业控制上的成功应用。至今为止，己提出了多种可 在计算机上实现的模糊推理方法。为了使推理的结果更加合理，变权原理和规则的交互 性相继被引入。利用这些知识，可以增强推理的合理性和正确性，更加符合人们的思维 方式。 本文首先通过对规则之间的交互性问题的研究，依据传统的变权与状态变权的公理 化定义，给出了交互性下的变权及状态变权定义，进而提出规则之间含有交互作用的变 权综合推理方法，并说明了该算法在一定条件下是相容的。进一步，针对区间值模糊集 的隶属值范围比较容易确定，其隶属值不仅包含了变量属性的确定信息，还包含了不确 定信息，使得它在对事物属性的描述上提供了更多的选择方式，在处理不确定信息时具 有更强的表现能力等优点。本文在讨论了几种区间值模糊推理模型，建立了新的基于包 含度的区间值模糊集的相似度函数，并将相似度函数引入到区间值模糊推理过程，提出 了基于包含度和相似度的变权综合区间值模糊推理，并辅以实例说明。最后提出了一种 区间值的相似度函数，研究了规则之间含有交互作用的推理方法，建立了处理交互作用 的区间值模糊推理机制。 关键词模糊集模糊测度和模糊积分区间值模糊集变权综合推理算法 a b s t r a c t a b s t r a c t f u z z yr e a s o n i n gh a sa l w a y sb e e nc o n c e r n e db ym a n yp e o p l e ，a sa ni m p o r t a n tp a r to f f u z z yl o g i c p e o p l eh a ds t u d i e df u z z yr e a s o n i n gt h e o r yf o rs e v e r a ly e a r sa n dh a dm a d eg r e a t a c h i e v e m e n t s ，e s p e c i a l l yo ni n d u s t r i a lc o n t r 0 1 m a n ym e t h o d so ff u z z yr e a s o n i n gw h i c hc a n b ei m p l e m e n t e db yc o m p u t e r , h a db e e np u tf o r w a r d t om a k et h er e a s o n i n gr e s u l tm o r e r e a s o n a b l e ，s o m ek n o w l e d g e ，s u c ha s ，t h ep r i n c i p l eo fv a r i a b l ew e i g h t e da n di n t e r a c t i v er u l e s w e r ei n t r o d u c e d u s i n gt h ek n o w l e d g e ，i tc a l lm a k et h er e a s o n i n ga c c o r d 撕t 1 1t h em a n s t h o u g h tb e t t e r , a n di m p r o v et h ea c c u r a c yo fr e a s o n i n g a tf i r s t ，t h i st h e s i si n v e s t i g a t e sap r o b l e mi nf u z z yi n f e r e n c ew h i c hh a n d l e si n t e r a c t i n g r u l e s ，a c c o r d i n gt ot h et r a d i t i o n a lc o n c e p to fv a r i a b l ew e i g h ta n ds t a t ev a r i a b l ew e i g h t ，w e r e d e f i n et h ec o n c e p to fv a r i a b l ew e i g h ta n ds t a t ev a r i a b l ew e i g h t ，p r o p o s e sam e t h o do f v a r i a b l ew e i g h t e ds y n t h e s i si n f e r e n c et oh a n d l ei n t e r a c t i o n ，a n dp r o v e st h a tt h em e t h o di s c o n s i s t e n tu n d e rs o m es p e c i a lc o n d i t i o n s a n dt h e n ，t h em e m b e r s h i po fi n t e r v a l - v a l u e df u z z y s e t sw a se a s i e rt oa s s u r et h a nf u z z ys e t s ，b e c a u s ei t sm e m b e r s h i pf u n c t i o nc o n t a i n e dn o to n l y t h ep o s i t i v ei n f o r m a t i o nb u ta l s ot h en e g a t i v eo fv a r i a b l e ，i tp r o v i d e sm o r ec h o i c e sf o rt h e a t t r i b u t ed e s c r i p t i o no fa no b j e c ta n dh a ss t r o n g e ra b i l i t yt oe x p r e s su n c e r t a i n t yt h a no r d i n a r y f u z z ys e t s s e v e r a lm e t h o d so fi n t e r v a l v a l u e df u z z yr e a s o n i n gh a sb e e nd i s c u s s e di nt h e t h e s i s ，t h en e ws i m i l a r i t ym e a s u r e so fi n t e r v a l - v a l u e df u z z ys e t sa r ed e f i n e db a s e do nt h e i n c l u s i o nd e g r e e ，t h e nam e t h o do fv a r i a b l ew e i g h t e ds y n t h e s i si n f e r e n c eo fi n t e r v a l - v a l u e d f u z z ys e t si sp r o p o s e d t h ep r o c e s so fr e a s o n i n gi si l l u s t r a t e dw i t l la ne x a m p l e f i n a l l y , t h e t h e s i sp r o p o s e san e ws i m i l a r i t ym e a s u r eo fi n t e r v a l v a l u e d ，d i s c u s s e st h ep r o b l e mf o r i n t e r v a l - v a l u e df u z z yi n f e r e n c e 嘶t l li n t e r a c t i n gr u l e s ，a n de s t a b l i s h e st h ei n t e r v a l v a l u e d f u z z yr e a s o n i n gm e t h o dw h i c hh a n d l e si n t e r a c t i n gr u l e s k e y w o r d sf u z z ys e tf u z z ym e a s u r ea n df u z z yi n t e g r a l i n t e r v a l - v a l u ef u z z ys e t v a r i a b l ew e i g h t e ds y n t h e s i si n f e r e n c em e t h o d n 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为畸氨诫斫卵僵娩惑和l 黔鬲晤厕衫 的学位论文，是我个人在导师( 豆酪蹬) 指导并与导师合作下取得的研究成果， 研究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费 资助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定 的各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人：皇遄巨一日期：哗年上月止日 作者签名： 导师签名： 日期：竺乒年上月舡日 噍牛年月止日 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名： 嘿斗年上月止日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密曲。 ( 请在以上相应方格内打“) 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 模糊推理的背景及其研究现状 推理功能是人类智能的主要特征之一，计算智能是实现人工智能的一种重要的新技 术，而其中的模糊推理是模糊专家系统、模糊控制系统的理论基础和核心，是信息科学 中的一个进行模糊信息处理和实现机器智能的重要工具。因而是计算机科学、控制科学 和人文决策科学的重要研究课题。 模糊推理的理论基础是模糊集理论以及在此基础上发展起来的模糊逻辑，是一种利 用模糊性知识进行的不确定性推理。自1 9 6 5 年，美国加利福尼亚大学l a z a d e h 教授 发表了( ( f u z z ys e t s ) ) 【l 】，开创了模糊数学的历史，从此，模糊数学科学逐渐发展起来了。 模糊数学用于控制始于1 9 7 3 年，z a d e h 教授首先将模糊数学的思想和方法应用于模糊推 理，提出了著名的c r i l 2 ( c o m p o s i t i o n a lr u l eo fi n f e r e n c e ) 方法，用于解决f m p 问题和 f m t 问题。不久，这一推理方法被应用于模糊控制技术中，并取得了举世瞩目的成功， 至今为止在工业生产领域使用最为广泛的模糊推理方法仍是z a d e h 的c r i 方法。由于模 糊推理在工业上的广泛应用，它一直是人们研究的热点，目前人们已经对推理进行了比 较多的研究，也由此产生了众多新的模糊推理算法。对于模糊推理算法的研究，一直是 模糊理论界研究的重点。模糊推理算法大致可以分为三类。、合成语言变量( c o m p o s i t e l i n g u i s t i cv a r i a b l e ) ，主要是以z a d e h 于1 9 7 3 年提出的c r i 方法为主线的模糊推理不断 融入各种新的思想和方法，如今成为模糊系统理论中的一个重要的分支。其中最为著名 的是王国俊1 3 4 墩授于1 9 9 9 年提出的模糊推理的全蕴含三i 算法，从根本上修正了z a d e h 的c r i 算法，将模糊推理重新引入到逻辑语义蕴涵的正确轨道。三i 方法的提出为模糊 推理的研究开辟了道路，推动了模糊领域的科学研究及其发展，并且出现了许多研究成 果，比较有影响的有反向三i 算法、反向三i 约束【6 】算法等。此外还有许多学者提出不 同于以上提及的模糊推理方法，例如：带参数的模糊推理合成法则( 简称c r i p ) 【7 】、基 于逼近规则模糊关系矩阵的模糊推理方法1 8 9 】等等；二、相似分析( a n a l o g ya n d s i m i l a r i t y ) ，该方法最早是由i b t u r k s e n 【1 0 】等人于上世纪八十年代末提出的基于相似度 的模糊推理方法，由于其清晰的语义和简单的算法而受到学术界的广泛重视。在文献 1 0 】中，i b t u r k s e n 等人提出了第一个模糊集合相似度的定义及其相应的模糊推理方 1 河北大学理学硕+ 学何论文 法，这种方法不像c r i 方法那样要计算规则前后件的模糊关系矩阵，而是只考虑观测事 实与规则前件命题中的模糊集合的相似程度，从而引出了相似度的概念。运用此相似度 来计算推理结果是相当简便的，它只运用了两个调整函数来改变结果的隶属度值。在算 法中，规则的前件被赋予了一个阈值，只有观测事实与规则前件的相似程度不小于阈值 时规则才被执行，这样就在一定程度上减少了规则被误执行的机会。在此之后，基于相 似度的模糊推理引起了众多学者的注意。s m c h e n 1 1 提出了f t ( f u n c t i o nt ) 方法用于 处理医疗诊断问题，在这个实际问题中，c h e n 注意到规则前件的各个命题对结果的重 要性程度是不同的，所以他给规则中每个前件都赋予了一个权重来表示每个命题对结果 的影响程度。这种规则在许多解决实际问题的模糊专家系统中都存在，如果考虑权重对 结果的影响，会使专家系统的性能得到很大的改善。因此，在模糊推理方法中考虑权重 的影响成为了之后问题研究中必不可少的因素。d s y e u n g 1 1 】等人也提出了多种相似度 和相应的加权模糊推理方法，特别是，他们的某些方法中不仅给规则内前件各命题赋予 权重，而且对于多层推理，给整条规则也赋予权重，称之为整体权，它们可以应用于更 多的领域。其中值得提出的是有北京师范大学提出的真值流推理【l 引，并实现了三级倒立 摆的实验室模型，在国内外引起了强烈轰动。三、插值推理【1 3 ( i n t e r p o l a t i o n ) ，李洪兴指 出模糊控制器本质上是插值器，接着指出六种模糊控制算法近似于插值算法或等效于插 值算法，并认为目前常用的模糊控制算法之间的差异不大，从形式上没有跑出m a m d a n i 算法的圈子。d d u b o i s 和h p r a d e 【1 4 】也研究了插值推理和模糊推理之间的关系。 更进一步来说，由于传统的模糊集在确定隶属函数时没有绝对的把握，或者说该隶 属度含有一定的踌躇性或不确定性，即：出现元素对模糊概念既有隶属情况，又有非隶 属情况，且同时表现出一定的踌躇性( 未知性) ，传统的模糊集理论是无法处理这种踌 躇性的。基于以上情况l a z a d e h 教授于1 9 7 5 年提出了区间值模糊集【2 刀作为传统模糊 概念的拓展，1 9 8 5 年d g s c h w a r z 2 8 】讨论了语言真值的区间表示，1 9 8 6 年l b t u r k s e n 研究了基于范式的区间值模糊集【2 9 】，很好地解决了踌躇性这一问题。区间值模糊集合是 用 0 ，1 之间一个区间表示模糊语言变量隶属值，而不是 0 ，1 】之间一个点。该区间下限表 示支持语言变量所描述现象的程度，上限是从反对证据出发得出的程度，即区间值隶属 值包含确定信息中肯定成分和否定成分，从而还隐含了所描述事件中的不确定信息。因 而，区间值模糊集隶属度相对模糊集隶属度而言较易确定，判断、推理所产生的结果用 区间值模糊集来表示更能反映日常推理的模糊性和不确定性。对于没有明确外延或边界 第1 章绪论 的模糊概念，传统模糊语言难以准确、全面表达，而区间值模糊集合正是处理这类模糊 概念的有力工具，因此，对区间值模糊集的研究与日俱增。文献 3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 3 较为系统 的研究了区间值模糊集的基本理论。 区间值模糊推理是基于区间值模糊集合的模糊推理。i b t u r k s e n 提出了区间值近 似推理的模式，1 9 8 7 年，m b g o r z a l c z a n y 给出区间值模糊推理的一个方法【2 引。1 9 9 4 年我国学者吴望名教授对g o r z a l c z a n y 的工作做出了总结，有提出了两种区间值模糊推 理方法p 4 1 ，并指出区间值模糊推理不是普通模糊推理的推广，2 0 0 0 年王国俊教授提出 三i 方法区间值模糊推理原理【3 5 】，2 0 0 0 年，s 。m c h e n 提出也一种双向近似区间值模糊 推理的方法【3 6 】。2 0 0 7 年，曾文艺、李洪兴等人继续开展关于区间值模糊推理的研究【3 7 1 ， 给出了4 个关于区间值模糊推理的数学模型。 1 2 研究的目的与意义 人类的智能活动有多种思维方式，人工智能作为对人类智能的模拟，相应地也有多 种推理方式，这就使得有关推理及其方法的研究成为人工智能的一个重要课题。在人工 智能的应用领域，知识及信息的不确定性大多是由模糊性引起的，这使得模糊推理作为 不确定性推理的一个分支，引起了学者的广泛研究与关注。自l a z a d e h 提出c r i 2 1 算法的近半个世纪来，模糊逻辑作为模糊推理的基础，已经取得了较大的发展，也由此 产生了许多新的模糊推理算法。对于模糊推理算法的研究，一直是模糊理论界研究的重 点。 本文的研究受李洪兴教授及y e u n g 等人的文章的影响，如：y e u n g 等【1 1 】指出：有相 同结论的规则之间或规则的前件之间存在着交互作用。这使得常用的加权模糊推理模型 并不能很好的处理许多实际问题，因此提出了使用模糊积分来处理交互作用以提高推理 能力；李洪兴指出：常权反应各个基本因素的重要性，当决策变量改变时，常权对于目 标值的组态不能起到良好的制约均衡作用。为了克服常权的缺点，文献 2 2 ，2 3 给出了变 权综合原理，并且把变权综合原理应用到模糊推理得到了模糊推理的变权综合算法。结 合以上两点，如何处理含交互性规则的变权综合推理值得我们研究。 更进一步，由于区间值模糊集合是区别于传统模糊集合的，它用 0 ，1 】之间一个区间 表示模糊语言变量的隶属度，而不是 0 ，1 】之间一个点，因而，区间值模糊集隶属度相对 模糊集隶属度而言交易确定，判断、推理所产生的结果用区间值模糊集来表示更能反应 河北大学理学硕士学位论文 日常推理的模糊性和不确定性。对于没有明确外延或边界的模糊概念，传统模糊语言难 以准确、全面表达，而区间值模糊集合正是处理这类模糊概念的有力工具。因此，由区 间值模糊集来代替传统的模糊集的模糊推理又显的尤为必要。 基于以上考虑，本文研究目的在于：( 1 ) 、研究非独立情形下的变权综合原理，并给 出来处理交互规则的模糊推理的变权综合算法；( 2 ) 、考虑区间值模糊集较传统模糊集所 具有的优势，研究模糊推理的变权综合算法是否能处理区间值模糊集的模糊推理，如果 可行，给出基于区间值模糊集的变权原理并给出相应的推理算法。研究的意义可以总结 为以下方面：首先给出了处理交互性的变权综合原理，最终确定了一种“动态 的模糊 推理算法，其次把变权原理延拓到区间值模糊集，既发展了变权原理所处理的范围，从 而给出了一种处理模糊性更强的推理方法。 1 3 本文的内容安排及主要工作 本文主要介绍模糊推理及区间值模糊推理的原理和方法。此外，由于规则间交互作 用的存在，以及常权对模糊推理结果的影响，将模糊积分以及变权原理引入模糊逻辑的 模糊推理方法，有助于增强推理的有效性和推理结果的合理性。 全文分为四章，各章主要内容为： 第1 章绪论。介绍了模糊推理的背景、发展现状，区间值模糊集理论及区间值模糊 推理的发展现状和本文的内容安排。 第2 章模糊推理。介绍模糊数学及模糊推理的理论。介绍了模糊推理理论的基本概 念、原理及其设计方法，为了是推理结果更加合理，讨论了处理交互性的变权原理，提 出了基于交互规则的变权综合推理方法，并说明该算法在某些情况下是相容的。 第3 章区间值模糊推理。介绍区间值模糊数学及区间值模糊推理理论。介绍了区间 值模糊数学的基本定义、定理以及四种区间值模糊推理的模型，针对对已有的区间值模 糊推理的不足，给出了两种区间值模糊集的相似度，讨论了区间值模糊积分的概念，在 此基础上给出了两种区间值模糊集的变权推理算法。 第4 章结论与展望。 4 第2 章模糊推理 2 1模糊数学基础 2 1 1模糊集合 第2 章模糊推理 一个概念有其内涵与外延，集合可以表现概念，集合的运算和变换可以表现判断与 推理。因此，建立在集合论基础上的现代代数学成为可以描述和表现各门学科的形式的 语言和系统。但是经典集合论要求个对象对于一个集合来说，要么属于、要么不属于， 两者必居其一且仅居其一。但是，一个模糊的概念没有明确的外延，具有“亦此亦彼 的模糊性。因此模糊概念不能用经典集合来刻画，于是便产生了模糊集合论，它是由 l a z a d e h 于1 9 6 5 年创立的，是经典集合论的扩充。 定义l 1 1 给出映射心：彳专【0 ，1 】，zh 心( x ) 我们说心确定一个x 的模糊子集么。 心称为么的隶属函数，心 ) 称为z 对么的隶属度。 当心o ) 的值域是 0 ，1 ) 时，么就是经典子集，心就是它的特征函数，所以经典子集 是特殊的模糊子集。全体彳的模糊子集组成的集合记作f ( x ) ，称为x 的模糊幂集。今 后为了简便记号，可以把彳与其隶属函数。看作是同一的。 直观地看，彳中的模糊集4 是没有明确定义边界的一个分类，在这一类中，元素x 可能有一个介于完全隶属和完全不隶属之间的隶属度。必须指出的是，通过使每个x 与 其在彳中的隶属度相联系，就可以精确定义一个模糊集。 关于论域彳的模糊子集可采用三种表示方法【1 5 】： 1 、序偶表示法( 向量表示法) 。 在模糊集合的定义中，我们用二元组集合来表示模糊集合，称为序偶表示方法或向 量表示方法。 2 、扎德法。 ( 1 ) 符号法：这种表示法适合于论域为有限集合或可列集合时的模糊集合的描述。 设论域为x = 五，吃，靠 ，a 为上的一个模糊集合，则彳可记为： h 4 = 么( 葺) 葺 l = 1 河北大学理学硕士学位论文 注意，和在这里仅仅是一种表示，并不意味着求和与除法运算。 ( 2 ) f 符号法：这种表示法适合于任何种类的论域，特别是无限论域中的模糊集合 的描述。对于任意论域x 中的模糊集合彳可记为： a = la ( x ) x( 2 1 ) j 玉 与符号法相同，这里的f 仅仅是一种表示，并不意味着积分运算。 3 、隶属函数方法。 当论域为实数集合中的某个区间时，有时将模糊集合的隶属函数用解析表达式表示 很方便。把一个具体的元素映射到一个合适的隶属度是由隶属函数来实现的。隶属函数 可以是任何形状的曲线，取什么形状取决于是否使用起来感到简单、有效，唯一的约束 条件是隶属函数的值域为 0 ，1 。 2 1 2 模糊集合的运算 设4 和b 为论域x 的两个模糊集，隶属函数分别为彳( x ) 和b ( x ) ，则模糊集合彳和b 的并集a u b 、交集a n b 和补集么的运算可以通过它们的隶属函数来定义【1 5 1 。 ( 1 ) 并集： ( a u b ) ( x ) = a ( x ) v b ( x )( 2 - 2 ) 其中，“v ”表示二者比较后取大值。 ( 2 ) 交集： ( a n b ) ( x ) = a ( x ) a b )( 2 3 ) 其中，“a 表示二者比较后取大值。 ( 3 ) 补集： 么( x ) = 1 - a ( x )( 2 - 4 ) 2 1 3 模糊关系的合成 模糊关系是指笛卡尔积上的模糊集合，表示多个集合的元素间所具有的某种关系的 程度。模糊关系的合成是指由第一个集合和第二个集合之间的模糊关系及第二个集合和 第三个集合之间的模糊关系得到的第一个集合和第三个集合之间的模糊关系的一种运 算。模糊关系的合成因使用的运算不同而各有定义。然而，最流行的一种是所谓的“取 大一取小”合成，它被定义如下： 6 第2 章模糊推理 定义2 0 5 1 令x ，】，和z 是非空集合，尺是一个从z 到】，的模糊关系，s 是一个从】厂 到z 的模糊关系，“取大一取小合成r 。s 作为下面的从x 到z 的模糊关系给出： ro s ：x z 一 0 ，1 】 ( x ，z ) 卜s u p m i n r ( x ，y ) ，s ( y ，z ) iy y ) ，v ( x ，z ) x xz ( 2 5 ) 连接x 和z 的强度被定义为所有可能连接x 和z 的最强者。 模糊关系合成的基本性质：设r ，s ，丁分别为x y ，y x z ，z x w 中的模糊关系，则有 ( 1 ) 结合律： ( ro s ) o t = r 。( so t )( 2 - 6 ) ( 2 ) 并运算上的分配律： ro ( s u 丁) = ( ro s ) u ( ro t ) ( 2 - 7 ) ( 3 ) 交运算上的弱分配律： r o ( s n t ) g ( ro s ) n ( ro 丁) ( 2 - 8 ) 2 2 模糊测度与模糊积分 2 2 1模糊测度和交互作用 测度是数学中的一个基本概念，经典测度具有可加性，然而，可加性在很多现实情 况下无法得到满足。1 9 7 4 年，日本学者s u g e n o 首次提出用比较弱的单调性代替可加性 的一类集函数，称之为模糊测度。 定义3 【1 印设x 是有限集，f ( x ) 是x 的幂集，为定义在f ( x ) 上的集函数， j u ：f ( x ) 一 0 ，1 】。其中满足以下两个性质： ( 1 ) ( 矽) = 0 ，( z ) = 1 ； ( 2 ) e f ( y ) ，f f ( 彳) ，e c f 则p ( e ) ( f ) 。 则称为定义在f ( x ) 上的模糊测度。 模糊测度是用比较弱的单调性代替可加性的一类集函数，其主要特征就是非可加 性，下面介绍模糊测度的可加性、超可加性和次可加性分别是指： 可加性：v 4 , b e f ( x ) ，a n b = 彩，有u ( au b ) = ( 彳) + ( 召) 成立； 超可加性：弘b 凡幻，4 n b = 彩，有从彳u 功从9 + 从国成立； 次可加性：v a , b s f ( x ) ，么n b = 彩，有以彳u 功- a ) d a ( 2 - 1 1 ) 其中等式右边的积分是l e b e s g u e 积分。 当x 为有限集合( 即x = 而，x 2 ，x n ) 时，函数厂记为厂( t ) = a i ，待1 ，聆，不失 一般性，我们假设o q 吧a n 1 ，则厂关于的c h o q u e t 模糊积分0 ) f 加为： ( c ) ，= 羔( q a i 一，址( 4 ) ( 2 - 1 2 ) 其中4 = x i ，薯+ l ，x n ，a o = o 。 2 3 变权综合原理 常权综合在一定程度上反映了事物关于基本目标的综合优度，其常权基本上反映了 各基本目标在决策中的相对重要程度。因此，在许多场合具有一定的合理性而被广泛应 用。但是，当决策变量改变时，常权对于目标值的组态不能起到良好的制约均衡作用。 此时，变权综合不仅考虑了诸因素的相对重要性，而且考虑了目标关于决策变量的水平 组态，这两方面的作用同时体现在可变的权重之中。 定义6 f 1 刀设x 为状态向量，一组变权是下述m 个映射： w ： o ，1 】”一 0 ，1 】 x = ( 五，靠) h ( 彳) = w f ( 五，) ( 2 - 1 3 ) 满足三条公理： ( 1 ) 归一性：。心( _ ，) = 1 ； ( 2 ) 连续性：w ( 五，) 关于每一个变元连续； ( 3 ) 惩罚性：w ( 五，x r n ) 关于薯单调下降。 称w ( x ) = ( w l ( 彳) ，( x ) ) 为一组惩罚型变权向量；若( 3 ) 替换成( 3 ) 激励性： w ( 五，x m ) 关于薯单调增加，则称w ( x ) = ( 川( x ) ，( x ) ) 为一组激励型变权向量。 定义7 【1 7 1 给定映射聊个映射： s ：【0 ，1 】聊一 o ，1 】 x = ( 五，靠) h s ( 肖) = s ( 五，) ，1 i 聊 ( 2 - 1 4 ) 满足一下公理： ( 1 ) s ( 五，) 对每个变元誓连续： 河北大学理学硕士学位论文 ( 2 ) x j x j s t ( x i ，) 一( 而，) ： ( 3 ) 对任意常权形o = ( 群，c o o ) ，下式 形( x ) 垒掣 ( 2 - 1 5 ) 钟墨( 石) i = 1 w ( x ) 满足公理4 1 ，4 2 ，和4 3 ，其中“。”为h a r d a r m a r d 乘积，则称s = ( s - o 瓯) 为惩 罚型状态变权向量。若( 2 ) 换为( 2 ) 誓x ，s t ( x 1 ，) s ，( ，) ，rw ( x ) 满足公理 4 1 ，4 2 ，和4 3 ，则称s = ( s ，最) 为激励型状态变权向量。 2 4 模糊推理方法及其还原性分析 推理是根据一定的原则，从一个或几个已知命题或判断引申出一个新命题或判断的 思维过程。任何一个推理却包含已知判断、新的判断和一定的推理形式。作为推理的己 知判断叫前提，根据前提推出新的判断叫结论。前提与结论的关系是理由与推断，原因 与结果的关系。模糊推理又称模糊逻辑推理，是指由已知命题( 包括大前提或小前提) 推出新的模糊命题作为结论的过程。 2 4 1模糊推理的还原性 在模糊推理理论中，对于推理算法的优劣，目前尚没有公认的标准。但是，算法具 有还原性是对算法的最基本的要求，这种要求体现了算法的相容性或和谐性，这已成为 诸多专家学者的共识。单一规则仅是多维多条规则的特殊情况，而在一个实用的模糊推 理系统中，往往都是几十条甚至更多规则共同作用进行推理。因此，就很有必要给出模 糊推理算法在多重多维情形下的还原性定义。 定义8 【4 7 】一个模糊推理算法，在有多条规则多个前提推理的情形下，若对于 v j ( 1 j 聊) ，能由么；= - 4 推出b = e ( 1 f ，z ) ，则称该算法具有多重多维情形的f m p 问题还原性。 定义9 f 4 r 一个模糊推理算法，在有多条规则多个前提推理的情形下，若对于 f ( 1 f ，2 ) ，能由b = e ，推出么_ 4 ，( v j ，1 m ) ，则称该算法具有多重多维情形的 f m t 问题还原性。 l o 第2 章模糊推理 2 4 2 c rl 方法 l a z a d e h 在1 9 7 3 年利用模糊关系的合成运算提出了关系合成推理法【2 1 。关系合 成推理法( c o m p o s i t i o nr u l eo f i n f e r e n c e ，c r i ) ，是实际控制中应用较广的一种模糊推理 算法。这种方法的原理表述为：用一个模糊集合表述大前提中全部模糊条件语句前件的 基础变量和后件的基础变量的关系，用一个模糊集合表示小前件，进而用基于模糊关系 的模糊变换运算给出推理结果。 下面是对于f m p 问题的合成推理方法( c p a ) 的简单描述： 规则： i fx i s at h e n y i s b 事实：z i s a 结论：1 ，i s b 其中，x 和y 是事例的名称，么，彳。和召，b 分别是论域x 和】，上的模糊集。其基本思想是： ( 1 ) 利用蕴涵算子r 把已知条件a 一占转化成一个x 】，上的模糊关系r ( x ，y ) ，即 是转化成映射 r ：x x y 一【o ，1 】 r ( x ，y ) = r ( 么( x ) ，b ( y ) )( 2 - 1 6 ) ( 2 ) 把给定的么+ 与第一步中的模糊关系r 作合成即得到输出 b ( 少) = a 。r ( 彳( x ) ，b ( y ) ) ( 2 17 ) 上式给出了c r i 算法的基本模式，在这里，b 叫做f m p 问题相对与算子r 的c r i 解， 或简称为r 型c r i 解。在复合时还可采用更为一般的三角模算子，当r 取不同的蕴涵 算子时，可以得到各种不同的结论，有时候这些结论的差异还是相当大的。z a d e h 最初 建议使用蕴涵算子心，如下： 恐( 口，b ) = av ( 口a b ) ，a ，b 0 ，1 ( 2 - 1 8 ) 目前，在模糊控制中使用最多的是模糊控制的创始人m a m d a n i i l s l 建议的蕴含算子： ( a ，6 ) ；a a b ，a ，b 0 ，l 】( 2 1 9 ) 对于z a d e h 的c r i 方法，通过以上研究和讨论，知道在单一规则推理的情形下， c r i 方法是不具有还原性的。显然，在多重多维的情形下c r i 方法也不具有还原性。 2 4 3 基于相似性度量的推理方法”1 大部分的基于蕴涵关系的推理算法的文献中，所涉及的隶属函数的矩阵运算意义不 河北大学理学硕十学位论文 够清晰，并且推理结果也不够理想，例如，ao ( 彳专b ) b 。因此，i b t u r k s e n 1 0 】首次 提出了一种基于相似性度量的模糊推理方法。 首先给出相似度的公理化定义： 定义1 0 4 2 1 设么，b ，c f ( x ) ，若映射万：f ( x ) xf ( x ) j 【0 ，1 】满足条件： ( 1 ) 万( 么，b ) = 6 ( b ，彳) ； ( 2 ) a ( a ，a ) = 1 ； ( 3 ) 8 ( x ，) = 0 。 则称6 ( 彳，b ) 为区间值模糊集彳在b 之间的相似度，称映射占为f ( x ) _ 2 1 拘k f l p a 度函数。 若万还满足 ( 4 ) 么b c 时，有6 ( c ，a ) m i n 6 ( b ，么) ，8 ( c ，b ) ) 则称8 ( a ，b ) 为区间值模糊集彳在b 之间的强相似度，称映射万为f ( x ) 上的强相似度函 数。 下面介绍基于相似性度量的模糊推理方法的一般步骤： 1 、选择一种相似性度量方法计算给定证据和其相应前件命题的相似度，用 s m , ( f - 1 ，2 ，疗) 表示； 通过对以上相似度函数的定义可以看出，相似度的度量不是唯一的。下面几种常见 的相似度函数： ( 1 ) s m = d m ， 一 d m ( a ，a 。) = i 心( 墨) 一以( 删7 r l 。 yt = l ( 2 ) s m = ( 1 + d m ) 叫 其中d m 是彳和彳的距离。 ( 3 ) 跚( 4 州= 铲 其中m ( 4 ) 表示4 的势，m ( 4 n 4 ) 表示4 n 4 的势。 r a i n ( 1 ，心( 功+ 心( x ) ) ( 4 ) 删4 ，4 ) _ 丝矗r 1 2 第2 章模糊推理 其中，x 是彳或4 的支撑( a 或a 中隶属度大于零的元素构成的集合) ，假设么和么。的 支撑是相等的。 2 、选择一种融合工具厂，例如：平均值、加权平均、中值、取大取小等，计算给 定证据和规则前件的整体相似度蹦= f s m 。，s m ：，s m ) 。 3 、通过使用整体的相似度来计算推理结论。 4 、通过使用规则的置信度c f 和给定证据的置信度c 墨，呸，c f 来计算结论的 置信度c f 。 通过对以上相似度推理的研究，可以看出，相似度的推理方法在单一规则的情形下， 满足还原性的，但是在多重多维的推理情形下，一般不满足还原性的。 2 5 模糊推理的变权综合算法 本节主要讨论实际应用中常见的多重模糊推理情形，一般形式如下： 规则：i fxi s 4t h e nyi s 置 i f 石i s4t h e ny i s 垦 i fxi s4t h e nyi s 吃 事实：xi sa 结论：vi sb 其中，4 ，a ，( x ) ，e ，b v ( r ) o = 1 ，2 ，聊) 。多重模糊推理是通过已知的m 条规 则以及给定的输入模糊集彳，求出结论b 。 首先，回顾下 2 2 ，2 3 对基于m a m d a n i 蕴涵的c r i 算法的推理过程的分析。将第f 条推理关系视为x 到】，的模糊关系足，它由m a m d a n i 蕴涵“a 来确定，即 r ( x ，y ) 全a ( x ) a b , ( y ) 。m 条推理规则之间用“或 来连接，从而形成总的推理关系 r 全v r ，进一步利用模糊关系的合成运算给定输入模糊集a 与r ( x ，y ) 合成得到所求结 论b ，即： 口( 少) = v 彳。( x ) av ( 4 ( x ) 八e ( y ) ) 】= v ( v ( 4 ( x ) 八么( x ) ) ) ae ( 少) ( 2 2 0 ) x e x f = l i = 1j e 分析( 2 2 0 ) 式，我们可以给出给出如下解释：首先v ( 4 ( x ) 么( x ) ) 计算的是模糊集彳与 x “ 1 3 河北大学理学硕士学位论文 4 的贴近度，这个贴近度可以看作该条规则在推理中的权重；进而 ( v ( 4 ( x ) a 。( x ) ) ) e ( y ) 表现为对该条规则后件模糊集赋予权重。最后，利用析取算子 x a _ x 将带有权重的规则后件模糊集进行综合得到输出结果。 其次，再分析以下基于相似度的推理方法。 册 b ( y ) = v ( s ( a ( x ) ，4 ( x ) ) o e ( y ) )( 2 - 2 1 ) 分析( 2 - 2 1 ) 式，可以给出同样的解释：首先s ( a ( x ) ，4 ( x ) 计算的是模糊集4 与4 的 相似程度，这个相似程度同样可看作该条规则在推理中的权重；s ( 么( x ) ，4 ( x ) ) 。量( y ) 表 现为对该条规则后件模糊集赋予权重。最后，利用再利用综合算子将带有权重的规则后 件模糊集综合得到输出结果。 综合以上分析，上面的思路都符合多因素决策中的变权综合思想。事实上，将给定 模糊集与规则前件比较作为每条规则的权重，然后对规则后件加权综合得到所求结论， 这是一个自然的过程，符合人的推理思维。基于该思想，作者在 2 】给出的模糊推理算法 变权综合推理算法，具有普遍的实用性。 但是李洪兴1 2 2 , 2 3 1 给出的变权原理是在决策属性相互独立的情形下给出的，忽略了对 交互变权的讨论，因此，模糊推理的变权综合推理算法在某些实际问题中会出现不合理 现象。 2 5 1 基于模糊测度的变权和状态变权 对于交互规则的综合推理而言，规则重要行的可加性遭到了破坏，原有的变权和状 态变权公理化体系不在适用，则由规则的s h a p l e y ，( 薯) ( t x ) 值取代了规则的权重以 反应规则葺在综合推理中的作用。因此，参考独立情况下的变权和状态变权的公理化定 义，依据s h a p l e y 值定义含交互性的变权和状态变权的公理体系。 定义1 1 设s = ( s l ，s m ) 为状态向量，一组变权是下述m 个映射 ，( 五) ： 0 ，1 ”一 0 ，1 s = ( ，) 卜，( t ) ( s ) = ，( 薯) ( s l ，) ( 2 - 2 2 ) 满足三条公理： ( 1 ) 归一性：。，( 薯) ( 岛，) = 1 ； 1 4 第2 章模糊推理 ( 2 ) 连续性：，( ) ( 岛，) 关于每一个变元连续； ( 3 ) 惩罚性：，( t ) ( _ ，) 关于t 单调下降。 则称( ，( 五) ( 五，) ，( ) ( 5 l ，一，s r n ) ) 构成规则s h a p l e y 值向量，对应的规则和规则集 的模糊测度为一组基于模糊测度的惩罚型变权；若( 3 ) 换为( 3 ) 激励性：，( 一) ( &