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h a m i l t o n j a b i b e l l m a n 方程的区域分解法 摘要 h 锄i l t o n j a c o b i b e l l i i l a n 方程( 以下简称h j b 方程) 广泛应用于工程和经济中， 其理论和数值解深受人们关注，本文主要讨论一类h j b 方程离散问题的数值解中 的区域分解法 我们首先介绍了l i o n s - m e r c i e r 提出的迭代法，在上述迭代算法的基础上将s 皿 提出的两子域区域分解法推广到多子域区域分解法 本文提出了离散h j b 方程的另一种区域分解法我们在程晓良、许援济、孟 炳全提出的迭代法的基础上，将此迭代法与区域分解法相结合，首先将区域分解为 几个子区域，然后在每个子区域上求解离散h j b 方程时用此迭代法求解 本文还提出了离散h j b 方程的第三种区域分解法以周叔子，陈光华提出的 j a c o b i 型迭代法为基础，在求解子问题时用此迭代法，这种迭代法的优点在于在子 区域上求解h j b 方程时，不需求解任何线性方程组和不等式 本文提出了离散h j b 方程的第四种区域分解法它在s u n 提出的求解h j b 方 程的交替方向法的基础上，首先利用区域分解法将h j b 方程的阶数降低，再利用交 替方向法求解子问题 在适当的条件下，我们证明了这些算法的单调收敛性 最后，我们给出了上述几类算法的数值实验结果，结果表明了所给算法的有效 性 关键词：h 锄i l t o n - j a c o b i b e l l m 锄方程；区域分解法；迭代法；交替方向法；单调 收敛性 i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：；弓受限两日期：知豸年s 月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密砂 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 均淑萄 日期：埘年岁月2 日 日期：珈好年 月2 日 h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程的区域分解法 定义1 1 2 【4 1 若 成立，则称a 为严格对角占优矩阵： 若 l 。b i | 0 s s i ，s = 1 ，2 棚 且上式中至少有一个严格不等号成立，则称a 为弱对角占优矩阵 定3 h 若不存在排列矩阵p 使得尸a = 1 纠成立，则称a 是不可约的 定义1 1 4 【4 】 a 舻n 为m 阵，若( 1 ) 口柏 0 ，s = 1 ，2 ，n ( 2 ) 0 l 。o ，l s ，z ，s = 1 ，2 ，n ( 3 ) a _ 1 0 引理1 1 1 【3 】若条件a 或条件b 成立，则= ( n 艺) ，口= 1 ，2 ，口，z ，s = 1 ，2 ，礼为m 阵 定义1 1 5 【6 】若乱研满足 粤哆【u 一广，) o ， 1 口、 7 则称乱为方程( 1 2 ) 的下解，本文用& 表示所有下解组成的集合； 若舻满足 粤呼 u 一厂，) o ， 1 o ，给定移 1 ，2 ，g ) ， 解下列方程组 a 。t o ( z ) = 尸( z ) l 死q t 上o ( z ) = 0 得到u o ( 2 ) 对于七1 ，给定t 七，令 奇k ，= 三 d n锄 = 伽 u 伽 h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程的区域分解法 其中 ( z ) = m l n l ，2 ，g 坩乱m ( z ) 一，u ( z ) 。燧 u ( z ) 一，p ( z ) 】- ， 解下列方程组 口 a ：一1 ( z ) “知( z ) 一，u ( z ) ) = o i 佗q t ，= 1 u 七( z ) ：0饥施 得到矿 ( 3 ) 检查终止条件：若i | 矿一缸扣1 i i s ，停止计算，否则七：= 七+ 1 转第( 2 ) 步 下面以格式2 为基础构造区域分解法 设为内部结点集，分解为m 个子集，= 1u 2u u 为简单计，我 们设当i o ，初始值护，七= o ( 2 ) 找到口1 ，眈，1 口l 口，2 = l ，2 ，唧，使得 其中 解下面的方程组 理葛 4 ：，u 一a ：。u ；一一4 u 袅一片) = a ：，仳：一a ：。谚一一a ；m 磙一片， 擢餐 一a 巍，让：一戤z 乱 x h a m i l t o n j a c o b i b e l l m 姐方程的区域分解法 即 a 矗m 讲一篇a m u ；一篇 a ；1 t 正2 a ：1 乱i ， m 乱? a 麓m u 由上式及铭，p = 1 ，2 ，m 为m 阵，推出啦啦，p = l ，2 。，m 所以仳o 饥1 ， 下证铭1 由算法第( 2 ) 步，存在9 1 ，q 2 ，1 g l 口，f = 1 ，2 ， 使得( 2 2 ) 成立 又因为 其中 聪懈，他i a 纠一一a 让一爿】 a ；。“；一a ；2 乱2 一一a ：m 以一疗 0 ， 盟卜a ：让2 4 拓仳! 一+ a 让基一是) 一a 麓1 u 2 一a 二2 递一+ a 乱袅一筋 = 0 且由嵋2 喀，及镶p 佗) ， 镶= 镶，筇= ( 第) p ，n = 1 ，2 ，m 非负，可得 盟- u 一a 纠一一a “袅一片) 聪隅i a ：递一一a 孙仳一片) ， 盟【一a 巍- 乱i a z u ；一+ 熊m 姑一层) 燃 一锛- 2 一a 勤。札2 一+ 熊仇仳l 一是一 h a m i l t o n j 8 c o b i b e l l m a n 方程的区域分解法 当七_ o 。时，有 所以有 即 命题得证 a ：1 n ：一a ：2 u ；一一a ：m u 象一片= o ， 一a 麓l 弘；一a 2 毡；一+ a 钍麓一篇= o 麟- 乱：一a 鹕一一a 乱毛一片，= o ， 躐 一心，钍；一a 巍。u ；一+ 熊m 乱麓一焉) = o 粤哆 a u + 一厂口) = o 1 0 ，口磊 0 ，取初始值“o 最，七= o ( 2 ) 计算 一= 四呼 a 舻u 七一， ) ， 1 ” o ，取初始值乱o 岛，砬o = u o ，七= o ( 2 ) 求解下面两个子问题 盟懈- 仳p 1 一a 纠一片) = o ； 超笛 一a ；- 钍；+ a ；z 让；+ 1 一尼) = o 迭代法求解( 3 。1 ) 的算法为： ( i )仳p 1 ，o = 磙f _ 1 ，2 ，江o ( i i ) 计算 r = 燃- u 一镌西；一片) = o ， ( i i i ) a 2 1 伽：+ 1 = 一7 ：+ 1 ， ( i v ) 锃p 件1 = 铭p 1 + t ，p ， ( v ) 检查终止条件：若| i “七+ 1 ，件1 一乱七+ 1 ，i i ，则五p 1 = “p 1 ，件1 ，否则i ：= i + 1 转( i i ) 步，对于式( 3 2 ) 可用类似方法求解得到矗1 ，从而得云凫+ 1 ( 3 ) 检查终止条件：若0 雹+ 1 一铲i i e ，停止计算，否则尼：= 七+ 1 转第( 2 ) 步 3 2收敛i 生 定理3 2 1 设条件a 或条件b 成立， 缸知) 由算法3 1 1 产生，则 钍七) 是单调 递增的下解序列，当七一o o 时，此序列收敛于( 1 2 ) 的解 证明当m = o 时，由于乱o ，即铲：= 护，则，；o o 由第( i i i ) 步及印为 m 阵，则可得到甜i ，o o ，所以 设叫 o ，则 又因 r ；j “。 u ；1 乱i ，v 盟 唧，钍；一+ 1 一能避一片) 麟馏- ( “y + 埘抑一镌面2 一片 磷慨u ：”一a ：z 避一片 + 盟隅叫h r h 燧懈h a ：1 伽 a 2 1 叫；”， 燧【创叫i ) a 拟= 一r 托 一1 2 硕士学位论文 所以 从而有 当内迭代结束时有 同理有 所以 所以 即 r y l o ， 加；j + 1 o 豇 钍；o u ：1 让：h 1 = 霞 ， 燧 群磊；一a 渊一爿) o 面! = u j o 仳；，1让扩1 = 面；， 燧 一钙1 包：+ a 捌一片) o 燧，豇i a 溺一片 盟僻，面；一a 绷一片 o ； 燧 一制t 西i + a 溺一劈) 燧卜懿面? + a 溺一层) o 粤哆 豆1 一， ) = 1 o ， 因为 所以 从而 即 蟊1 & 0 r p + 12 盟隅u + 1 一镌一片) 2 盟( u p + 叫，) 一a 碱一片) 磷 卅- u y 一硝z 磁一片) + 盟加p ) = r y + 燧隅叫p ) ， a ：1 伽：+ 1 ，a ：1 彬：+ 1 ”， 盟加) a 2 ， ，= 一r y ， 7 p 1 件1 o ， 叫p 件1 o ， 钆m + 1 斗1乱m + 1 ，r 1 3 一 焉避乒 郴_ 一h衙孔 钟“船 当内迭代结束时有 同理 所以 从而有 面；= u p osu p l冬舻1 件1 = 豇p 1 ， 燧 制- 妒一a 删一片) o 面；= 让o 牡1谚+ 1 件1 = 缸纩1 ， 盟 一码- 面：+ 钙z 妒一劈) o 恶篙 群- 豇i 一躺。鹂一片】_ 鼢t 刽前+ 1 一制2 矗l 一爿) s o ； 燧 一趟1 五：+ a 塾位! 一片) 脱 一钙1 色 + 制2 云1 一层) o 粤孥 矿一厂口) = l 口 。 所以 矿) 为( 1 2 ) 的单调递增的下解序列 现在证明 西南) 有上界：取一个固定的秽，l 口 当条件a 或条件b 成立时，设叫为方程a 口u 一广= 0 的解，因为 而 所以 又因为 矿一厂燧 矿一尸) o ， 小一广= 0 ， a ”豇 ， l u a 、 。 ( 3 ) 计算 七= 一r 七n 1 ， 其中 铆2 燧燃。品，l 可 口l 8 o ，取初始值u o 研，豇o = u o ，七= o ( 2 ) 求解下面两个子问题 燧懈珏 + 1 一群2 缸l 一片) = o ； 熙 一a ；l 乱：+ x h 锄i l t o n j a c o b i b e l i m a n 方程的区域分解法 所以r 件1 o ，有伽 件12o ， 所以 当内迭代结束时有 同理有 所以 所以 即 乱；j 乱i l “ 面2 = 仳i o 让i 1 乱：j + 1 = 祝 ， 盟1 豇i a ；2 面2 一片) o 避= 让；o 让；，1 仳扩1 = 避， 超警 一a ；豇2 + a ；2 面5 一尼) o 恶篙 硝面；一4 ；。呓一片) 怠答 a ；，面 一a ；z 面：一片) o ； 罂蒿 一趟，豇；+ a ；。五；一劈) 恐盛 一觞诸+ 铭面；一劈) o 粤哆 面1 一， ) = 1 钉 o ， 又因 由 p 缸+ 1 ， + 1 l 五1 燧乱，“一钟。豆1 一片) 燧隅( 让抄+ 叫，) 一a 璃一片) 盟y 一4 ；。砖一片) + 盟僻叫y ) r p + 燧 躺- 删) ， 粤哆 群，伽p 1 ) 1 口、 7 一r p + ( - 0 1 叫，) + 船慨加，) + 一，+ 跋艄- 0 1 咖y ) ， 。盟翼瑟n ：。， 根据引理1 1 1 ，删1 一0 1 ，为非正矩阵 从而 滕 ( 硝一。，咖p ) o ， 1 8 一 0 ，取初始值扩岛，俨= 扩，詹= o ( 2 ) 求解下面两个子问题 麟- 扎p 1 一a ；z 避一疗) = o ， 罂笛卜 + 锡学1 一片，= o 以( 5 1 ) 的第一行为例展开 是喾 1 1 1 札 ：1 + + 。才1 u 铲1 + + 皖：1 u 嚣1 + + 器1 翳1 一墨，) 。“+ 一) 。一一。翟。 + ， 一一磕1 1 喃一一n 鲁1 1 钍嚣一矗) = o 下面用交替方向法求解( 5 3 ) ，对于( 5 1 ) 的其余行及( 5 2 ) 类似可得 ( i )t p 1 o = 皑b1 ，2 ，t = 1 ( i i ) 任取j = 靠，解下列方程组求得畦：1 ”，让箍b ，舻 燃 。舻仳扩扣1 + + 。警嘁功+ + n 扩4 + - + 日：挈札镒毋+ + a 乏南“慧1 卜1 一n 翟袅) 。豆毒。+ ，) - 一 一n 墒面嚣一缘) = 0 嬲 产“： l 扣1 + + n 喾乱1 p + + 。字乱譬1 卜1 + + n 乏凳。越蔷伊+ + 字u 笛”一1 一口瑶箍) ，面2 ；f 。+ - ) - 一 一d 嚣跏诣一玩 = 0 嬲纠p 牡。1 + _ + 静缸1 巾“+ + 凸譬。如札一+ + n ：妒札嚣p + + n 0 如笛1 1 。一1 一口盔宰；) 。面+ t ) - 一 一喵如如矗各一月品) = o 如= 1 ，2 ，j 2 3 一 ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) h 8 m 【t o n _ j b i b e l l m a n 方程的区域分解法 任取l 二i 】，解下列方程组求得噶1 p ，啦! ”，笛1 p 膦坩1 “p + + 1 1 u 铲“+ n 跏+ - + n 旨 1 “笛1 + + n 麓牢，) ，q 嚣。+ + 磕 1 札譬1 巾 一唁鞲) 。面+ 1 】。一一。孑1 1 毯一咒) = 0 燃础1 2 血妒+ + 1 2 “护+ t + 啪2 谋1 + _ - + 嗑 2 “1 一+ + o 絮焉) 。“辫昌。+ + 磕 2 畦吉1 1 p n 蔫墨) ，面各。+ 。) ，一一嘴“2 鸥一层。) = 0 思篙 f 1 札譬1 巾+ + 彤1 让铲1 伊+ + n 嚣p 堪1 。+ + a 嚣 略l 。+ + 。翟宰。) ，乜岔篙，+ + o 未 。h 笛1 巾 一。翟磊) 。血2 ：f 。+ - ) - 一一n o h 鹂一最j ) ；0 n = 1 ，2 ，i o ( 5 5 ) ) 检查终止条件：若l | “抖1 h l 一札抖1 ，则矗p 1 = 越+ 1 抖1 ，否则t ：= 舌+ 1 转( i i ) 步，对于式( 5 2 ) 可用类似方法求解得到面i + 1 ，从而得豇1 3 检查终止条件：若| | 铲“一缸南l l e ，停止计算，否则七：= 尼+ 1 转第( 2 ) 步 5 2收敛性 定理5 2 1 设条件a 或条件b 成立， “南) 由算法5 1 1 产生，则扎七 是单调递 增的下解序列，当七_ o o 时，此序列收敛于( 1 2 ) 的解 证明因为札o = 俨s l ， 下证豆1 为( 1 2 ) 的下解， 1 - ) 证明口i 毋埘 设 = 钉，时下列等式成立： 燧( p 乱：f 1 + + n 劈j 黑+ + 等如仳等。1 + + n 搿“ + + n 妒札孑1 一n 矗墨) ，矗墨。+ - 】。一一瞄墒砖一咒。) 2 4 硕：f 二学位论文 = o 矗u 。仳；f 1 + + 0 t 公西乱i 三+ + 。；f _ ；，1 如乱：于一1 + + 。乏妒缸 + + 口乞珈“乏 1 二翁) 。面3 。+ 。) 。一一n 蓦墒面0 一瓜， 令= l ， 由上式及( 5 4 ) 可得： 又因为 j u 。钆i f ) + + n 搿如“；冕+ + n 孑1 如u i ；) + + 磐。乱 + + 谢如札葛一。盘掩) 。豇& 。+ ，) ，一一埘。面3 一壤 = 0 n 备蚴乱2 。+ + n 搿知屹。+ + n 台1 如乱乞+ + 。乏妒u 乏j 。 + + 。乏于如u 歹一n 幺翁) ，五& 。+ 。) 。一一n 蓦1 如豇一片：；0 0 ， 所以 口搿南( 乱：冕一乱2 如) + + o 乏妒( 缸一u 如) o 由( i i ) 的其余方程同样可得到类似不等式 因为a 为m 阵， 所以 u ：p 让2 2 ) 下证 由( i i ) 知道 所以 恩爱 。；p 缸；f + + n 搿“+ + 口扩缸了+ + 皖奢“ + + n 2 妒铭留一n 蠢撬) 。豇器o + ，) 。一一n 3 1 如面易一z ) 0 d ；p 锃：f ) + + g 臻寥锃臻+ + 8 驴乱妒+ + 8 甾牡 + + n 学u 甾一口盔碧) ，面+ ，) 。一一屹堍面易一 o ， n ：f 如让；f + + q 东寥u 按+ + o 孑如 ；罗+ + 警u + + o 乏 如仳警一0 2 嚣) 。面+ 。) 。一一。嚣墒砖一 o ；f 如( “：f 一让；f ) + + o 毛警。( u i f 一i f ) ) + n 积盘。( 仳：f u ； ) ) + + 口乏；如( u 宁一让乏o ) 0 一2 5 一 ( 5 6 ) h 8 m i l t o n j a c o b i b e l l m 方程的区域分解法 由( i i ) 的其余方程同样可得到类似不等式 3 1 证明 “i 护仳：” 由( 5 5 ) ，( 5 6 ) 类似上面的证明可得： 口? 1 1 ( “墨一乱乏：) + + n 爱夕1 歹( 乱乏；一畦：) so 由( i i i ) 其余方程同样可得到类似不等式 所以 u ；，p 缸；，- 4 ) 证明 聪矧1 1 仳i f + + 。学1 1 仳譬+ + 啪1 u 乏：+ + o 嚣 1 u 乏；+ + 。宅 1 缸乏；一。蕊尝) 。豇& 。+ 。) 。一 一喵n 1 唱一只， 0 类似于( 2 ) 的证明可得( 5 7 ) 成立 由( i i i ) 的其余方程同样可得到类似不等式 所以有 珏 心i 0 牡；护“；” 假设t = 如时仍有u 1 ，幻一1 u 1 ，且有 盟矧1 1 缸；p + + n 等1 1 仳：夕“+ n 嚣 1 乱嚣+ + 嵫1 让酱+ + o 翟矗) 。札潦1 ) 1 + + o 嚣1 咄笋 一。鬣蠹) 。面。+ 1 ) 。一一n 舀n 1 面易一瑶。) 0 ， 燧矧1 2 钍：产+ + 嘭1 2 锃：产+ + b 器2 u 嚣+ + o 苗2 畦于+ + 口翟岳) 。乱撬1 ) 1 + + n 省2 乱苕 一口翟曼) 1 面景。+ 1 ) 1 一一略n 2 豇易一龙2 o 燧矧1 u ；f o + + n 留1 乱等。+ + 。皆u 船+ + 瞄 畦笋+ + 礞：籍) ，钍矗：，) 。+ + o 笔缸等 一口扰宰。) ，百& 。+ 。) ，一一0 ：；n 吗一龙j ) 0 ( 5 7 ) h a m i l t o n j a c o b i b e l i m a n 方程的区域分解法 i t 乱1钍2u 3乱4u 5乱6让7 让1 0 0 0 7 40 0 1 1 6 0 0 1 8 60 0 1 8 70 0 1 8 4 0 0 1 5 60 0 0 9 7 缸2 o 0 0 8 6o 0 1 3 40 0 1 9 00 0 2 1 20 0 2 0 60 0 1 7 1 0 0 1 0 4 札2 8 0 0 1 1 30 0 1 7 6 0 0 2 4 7 0 0 2 6 90 0 2 5 40 0 2 0 40 0 1 1 9 仳2 9 0 0 1 1 3 0 0 1 7 70 0 2 4 70 0 2 7 00 0 2 5 50 0 2 0 4 0 0 1 2 0 i t 让8撕让1 0乱1 1乱1 2“1 3乱1 4 乱1 0 0 1 1 60 0 1 9 80 0 2 5 40 0 2 8 20 0 2 7 70 0 2 3 60 0 1 4 9 u 2 0 0 1 4 l0 0 2 3 90 0 3 0 60 0 3 3 6o 0 3 2 60 0 2 7 2o 0 1 6 7 t 正2 8 0 0 2 0 00 ，0 3 4 00 0 4 3 0o 0 4 6 30 0 4 3 60 0 3 5 00 0 2 0 4 札2 9 0 0 2 0 00 0 3 4 00 0 4 3 00 0 4 6 40 0 4 3 70 0 3 5 00 0 2 0 4 i t 乱1 5乱1 6乱1 7乱1 8乱1 9u 2 0缸2 1 _ “1 0 0 1 2 00 0 2 0 00 0 2 5 00 0 2 7 20 0 2 6 60 0 2 2 80 0 1 4 8 乱2 0 0 1 5 90 0 2 6 8o 0 3 3 50 0 3 6 40 0 3 5 20 0 2 9 50 0 1 8 4 珏2 8 0 0 2 5 30 0 4 3 30 0 5 4 20 0 5 8 00 0 5 4 50 0 4 3 70 0 2 5 5 钍2 9 0 0 2 5 40 0 4 3 40 0 5 4 30 0 5 8 10 0 5 4 60 0 4 3 80 0 2 5 6 i t 扎2 22 3 u 2 4 仳2 5乱2 6乱2 7仳2 8 也l 0 0 1 3 80 0 2 2 00 0 2 6 60 0 2 8 20 0 2 7 00 0 2 2 70 0 1 4 3 乱2 0 0 1 7 30 0 2 8 20 0 3 4 30 0 3 6 40 0 3 4 5o 0 2 8 5o 0 1 7 5 t 正2 8 0 0 2 7 l0 0 4 6 50 0 5 8 l0 0 6 2 00 0 5 8 20 0 4 6 60 0 2 7 2 t 1 2 9 0 0 2 7 20 0 4 6 60 0 5 8 20 0 6 2 20 0 5 8 30 0 4 6 7o 0 2 7 3 i t u 2 9u 3 0u 3 l札3 2乱3 3仳3 4乱3 5 一 “1 0 0 1 3 5o 0 2 1 30 0 2 5 20 0 2 6 l0 0 2 4 50 0 2 0 20 0 1 2 5 地 0 0 1 6 70 0 2 7 10 0 3 2 60 0 3 4 00 0 3 1 90 0 2 6 00 。0 1 5 8 “2 8 0 0 2 5 40 0 4 3 7o 0 5 4 60 0 5 8 20 0 5 4 60 0 4 3 70 0 2 5 5 “2 9 0 0 2 5 50 0 4 3 80 0 5 4 70 0 5 8 40 0 5 4 70 0 4 3 80 0 2 5 6 i t t 正3 6乱3 7t l 髓u 3 9u 柏t 正4 1乱4 2 一 让1 0 0 1 1 70 0 1 7 70 0 2 0 30 0 2 0 40 0 1 8 50 0 1 4 60 0 0 8 6 屹 0 0 1 4 40 0 2 2 80 0 2 6 9 0 0 2 7 60 0 2 5 40 0 2 0 20 0 1 1 9 t 正2 8 0 0 2 0 40 0 3 5 00 0 4 3 70 0 4 6 60 0 4 3 70 0 3 5 00 0 2 0 4 乱2 9 0 0 2 0 50 0 3 5 20 0 4 3 80 0 4 6 90 0 4 3 80 0 3 5 l0 0 2 0 5 i t 弘妇乱“t 4 5u 4 6u 4 7钍4 8钍4 9 - 牡1 0 0 0 8 50 0 1 3 l 0 0 1 5 1 0 0 1 5 10 ，0 1 3 60 0 1 0 6 0 0 0 6 2 牡2 0 0 0 9 50 0 1 5 30 0 1 8 10 0 1 8 50 0 1 6 80 0 1 3 30 0 0 7 8 u 2 8 0 0 1 1 90 0 2 0 4o 0 2 5 50 0 2 7 20 0 2 5 50 0 2 0 40 0 1 1 9 让2 9 0 0 1 1 90 0 2 0 50 0 2 5 60 0 2 7 30 0 2 5 60 0 2 0 50 0 1 1 9 3 0 硕士学位论文 由于仳l = z ( 1 一z ) ( 1 一可) ，在q 的中点z = ，可= ；处，u 的精确值为o 0 6 2 5 ，从数 值实验结果来看，当h 分别等于；，；时，比较区域q 中点处的值，可以看出，中点 处的u 值是收敛于精确值的且所得到的下解序列 u 膏) 是单调递增的 算例6 2 我们用基于程一许孟迭代的区域分解算法3 1 1 求解( 6 1 ) 取h 分别等于 ，将区域q 进行剖分，内部节点分为两个区域l ，2 ，设 内部迭代次数分别用i ，j 表示，求解( 1 2 ) 的迭代次数用m 表示，s = 1 0 ，初始值 u o = o ， = ；时，m = 7 迭代结束；九= ；时，m = 1 9 迭代结束 i t u 1u 2讹仳4让5 钍1 0 0 1 5 4 0 0 2 2 4 0 0 1 9 80 0 3 3 60 0 4 3 3 缸2 0 0 2 8 20 0 3 8 1o 0 2 9 50 0 4 0 00 0 5 3 7 o 0 3 0 10 0 4 0 8o 0 3 1 60 0 4 5 60 0 6 2 0 u 7 0 0 3 0 20 0 4 0 8o 0 3 1 60 0 4 5 60 0 6 2 1 i t 乱6t 正7“8 - 札1 0 0 3 7 20 0 3 0 50 0 3 9 60 0 1 1 9 u 2 0 0 4 6 3 0 0 3 2 90 0 4 3 70 0 3 3 7 u 6 0 0 5 3 20 0 3 4 80 0 4 6 80 0 3 6 3 t 正70 0 5 3 3 0 0 3 4 8 0 0 4 6 8 o 0 3 6 2 m 0 1234567 l99887655 j 1 51 41 31 11 1997 i t “1地3 仳4u 5乱6札7 _ u l 0 0 0 8 70 0 1 0 30 0 1 9 40 0 2 0 30 0 1 9 60 0 1 4 70 0 0 9 l 仳2 0 0 1 0 10 0 1 1 20 0 2 0 20 0 2 1 l 0 0 2 0 20 0 1 5 20 0 1 0 1 t l l 8 0 0 1 1 20 0 1 6 6o 0 2 4 80 0 2 6 20 0 2 4 80 0 2 0 00 0 1 1 7 “1 9 0 0 1 1 40 0 1 6 7 0 0 2 4 90 0 2 6 3 0 0 2 5 00 0 2 0 20 0 1 1 9 i t 地咖t 正1 0u 1 1u 1 2“1 3 让1 4 - 札1 0 0 1 4 70 0 1 8 4 0 0 3 2 50 0 3 5 3 0 0 3 0 70 0 3 1 00 0 1 1 0 “2 0 0 1 5 60 0 2 0 90 0 3 5 40 0 3 6 00 0 3 2 2 0 0 3 1 90 0 1 2 l t 正1 8 0 0 1 9 8o 0 3 3 5 0 0 4 3 50 0 4 5 8 0 0 4 3 10 0 3 4 30 0 1 9 8 u 1 9 0 0 2 0 1o 0 3 3 60 0 4 3 70 0 4 5 80 0 4 3 20 0 3 4 50 0 1 9 9 3 1 h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程的区域分锯法 ( 续表) i t 缸1 5珏1 6姓1 7 也1 8锃1 9雀2 0缸2 1 让1 0 0 1 6 90 0 2 3 00 0 1 9 80 0 2 7 10 0 2 7 80 0 2 2 8 0 0 1 6 0 钍2 0 0 2 0 1o 0 2 4 10 0 2 3 4o 0 3 8 7o 0 3 5 9 0 0 3 0 00 0 1 8 8 “1 8 0 0 2 4 60 0 4 2 70 0 5 3 70 0 5 7 10 0 5 4 20 0 4 3 l o 0 2 5 3 u 1 9 0 0 2 5 80 0 4 2 90 0 5 3 8 0 0 5 7 30 0 5 4 30 0 4 3 20 0 2 5 4 i t “2 2 t 正2 3 乱2 4 t 正2 5u 2 6u 2 7u 2 8 _ u l 0 0 1 4 20 0 2 2 70 0 2 8 l0 0 2 8 90 0 2 9 2 0 0 2 2 90 0 1 4 7 u 2 0 0 1 7 8 0 0 2 9 00 0 3 4 50 0 3 6 50 0 3 4 20 0 2 7 90 0 1 6 2 缸1 8 0 0 2 6 50 0 4 6 l0 0 5 7 60 0 6 2 10 0 5 7 80 0 4 6 0 0 0 2 7 0 乱1 9 0 0 2 6 60 0 4 6 2 0 0 5 7 80 0 6 2 20 0 5 8 00 0 4 6 10 0 2 7 1 i t 乱2 9 乱3 0“3 1“3 2u 3 3弘3 4u 3 5 旺1 o 0 1 3 80 0 2 1 20 0 2 5 80 0 2 5 90 0 2 4 9 o 0 2 0 8o 0 1 3 0 u 2 0 0 1 7 30 0 2 3 50 0 3 2 00 0 3 3 80 0 3 1 9o 0 2 5 90 0 1 6 1 t 正1 8 0 0 2 4 6o 0 4 3 lo 0 5 4 5o 0 5 7 80 0 5 4 0 o 0 4 2 80 0 2 5 1 乱1 9 0 0 2 4 70 0 4 3 30 0 5 4 60 0 5 8 00 0 5 4 10 0 4 2 90 0 2 5 2 i t t 正3 6 也3 7珏3 8钍3 9u 4 0u 4 1札4 2 u 1 0 0 1 1 70 0 1 7 90 0 2 0 60 0 2 0 4 0 0 1 6 80 0 1 4 20 0 0 7 8 让2 0 0 1 5 40 0 2 1 5 0 0 2 6 70 0 2 7 90 0 2 2 70 0 1 9 90 0 1 1 3 牡1 8 0 0 1 9 60 0 3 4 20 0 4 3 00 0 4 6 30 0 4 2 90 0 3 4 6 0 0 1 9 8 乱1 9 o 0 1 9 8 0 0 3 4 30 0 4 3 10 0 4 6 40 0 4 3 0o 0 3 4 80 0 1 9 9 i t 乱4 3“4 4t 上4 5缸蝣t 正4 7弛4 8t 正4 9 一 心1 0 0 0 8 30 0 1 2 40 0 1 5 80 0 1 7 40 0 1 2 70 0 1 1 l 0 0 0 7 9 也2 0 。0 1 0 2o 0 1 3 90 0 1 7 90 0 1 9 70 0 1 5 3o 0 1 2 90 0 0 8 5 缸1 8 0 0 1 1 70 0 2 0 00 0 2 5 20 0 2 6 50 0 2 4 60 0 2 0 1 0 0 1 1 5 t 互1 9 o 0 1 1 90 0 2 0 00 0 2 5 3o 0 2 6 60 0 2 4 70 0 2 0 30 0 1 1 6 m 0l23456 ， 789 11 5 1 51 31 31 01 07899 j 2 2 1 81 91 61 61 31 41 01 18 m1 01 1 1 21 3 1 41 5 1 61 71 81 9 l1111l11 111 j 85633111 11 从表6 3 6 6 数值实验结果来看，当h 分别等于 ， 时所得到的下解序列 孔七) 单 调递增收敛于( 6 1 ) 的解 一3 2 硕一 = 学位论文 算例6 3 我们用基于j a c o b i 迭代的区域分解算法4 。1 ，l 求解( 6 1 ) 取h 分别等于 ， ，将区域q 进行剖分，内部节点分为两个区域1 ，2 ，设内 部迭代次数分别用i ，j 表示，求解( 1 2 ) 的迭代次数用磁表示，= 1 0 一，初始值 护= o ， = j 时，m = 6 迭代结束；7 l = 时，m = 2 4 迭代结束 i t u l让2坳u 4u 5 t 正l 0 0 1 5 5 0 0 2 2 60 0 1 9 90 0 3 3 80 0 4 3 3 锄 0 。0 2 8 2o 0 3 8 2o ，0 2 9 7o ，0 4 0 l0 0 5 3 7 u 5 o 0 3 0 20 0 4 1 00 0 3 1 70 0 4 5 7o 0 6 2 0 0 ，0 3 0 2o 0 4 1 0o 0 3 1 7 o 0 4 5 78 0 6 2 1 i t u 6让7u 8咖 t 正l 0 ，0 3 7 4 o 0 3 0 80 0 3 9 80 0 1 1 2 让2 0 0 4 6 8 0 0 3 3 00 0 4 3 80 0 3 3 8 乱5 0 0 5 3 4o 0 3 4 90 0 4