（应用数学专业论文）摩擦市场下基于可能性理论的投资组合模型研究.pdf

中文摘要 上世纪五十年代，m a r k o w i t z 提出了投资组合选择理论，这一理论首次将数 理工具引入到金融问题中。经过几十年的研究，基于随机不确定性对投资组合 选择问题的理论研究已经得到了较好的发展，但对于基于模糊不确定性的投资 组合选择问题的理论研究却比较少。 本文将模糊决策理论与可能性理论进行结合，在摩擦市场下，建立了四种 基于可能性理论的投资组合模型，并且分别给出了几种可以满足投资者不同要 求的求解方法。本文的模型对于金融市场中的摩擦因素考虑税收、红利和与交 易数量成正比的交易费用。假设证券的收益率服从指数型可能性分布，用收益 差值来度量风险。考虑投资者对投资收益、投资风险和流动性这三个因素的满 意程度，分别用半梯形分布函数和s 型分布函数作为隶属函数来刻画满意度。 由此建立了半梯形满意程度模型、非线性满意程度模型和两种考虑流动性满意 程度的模型。 由本文的模型得到的投资组合更符合实际情况。首先，本文的模型是建立 在可能性理论基础上的，而不是建立在概率论的基础上，更好的体现了投资决 策中的模糊性。其次，模型较好的利用了专家的知识和经验，并且体现了投资 者的主观意愿。投资者可以依据自己的喜好来确定参数值，得到自己满意的投资 组合，这样得到的投资组合具有更好的适应性。 关键词：模糊决策，可能性理论，满意度，投资组合 a b s t r a c t i nt h ef i f t i e so fl a s tc e n t u r y ，m a r k o w i t zf o u n dp o r t f o l i os e l e c t i o nt h e o r y t h i s t h e o r ya p p l i e dm a t h e m a t i c a lt o o l st o f i n a n c ep r o b l e m sf i r s t l y i nt h ep a s td e c a d e s ， i n v e s t m e n tp o r t f o l i op r o b l e m sb a s e do nr a n d o m n e s su n c e r t a i n t yh a db ew e l l d e v e l o p e d ，b u tr e s e a r c ho ni n v e s t m e n tp o r t f o l i op r o b l e m sb a s e do nf u z z yu n c e r t a i n t y w a sl e s s n i sp a p e rc o m b i n e sf u z z yd e c i s i o nt h e o r yw i t hp o s s i b i l i t yt h e o r yt ob u i l du p f o u rn e wp o r t f o l i om o d e l sb a s e d0 1 1p o s s i b i l i t yt h e o r y ，c o n d i t i o n e do nf r i c t i o nm a r k e t a n dt h e ni tg i v e ss e v e r a lt y p e so fs o l v i n gm e t h o d st om e e tt h ed e m a n do fi n v e s t o r s t i l i sp a p e r sm o d e l su s et a x e s ，b o n u s e sa n dt r a n s a c t i o nc o s t w h i c hi si n d i r e c t p r o p o r t i o nt ot r a d es i z ea sf r i c t i o nf a c t o ri nf i n a n c i a lm a r k e t w ea s s u m et h er a t eo f r e t u r no fs e c u r i t i e st o o b e ye x p o n e n tp o s s i b i l i s t i e d i s t r i b u t i o n ，a n d u s er e t u m d i f f e r e n c ev a l u et om e t r i ct h e r i s ko fp o r t f o l i o t h e nw ec o n s i d e ri n v e s t o r s s a t i s f a c t i o nt or e t u r no ni n v e s t m e n t ，r i s ki ni n v e s t m e n ta n dl i q u i d i t y , a n du s eh a l f - t r a p e z o i dd i s t r i b u t i o n f u n c t i o na n ds - t y p ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o na sm e m b e r s h i p f u n c t i o nt od e p i c td e g r e eo fs a t i s f a c t i o n a c c o r d i n gt ot h e s e ，t h i sp a p e rb u i l d su ph a l f - t r a p e z o i ds a t i s f a c t i o np o r t f o l i om o d e l ，n o n l i n e a rs a t i s f a c t i o np o r t f o l i om o d e la n d t w o s a t i s f a c f i o np o r t f o l i om o d e l sc o n s i d e r i n gl i q u i d i t y t h ep o r t f o l i oi n v e s t m e n t sd e r i v e df r o mt h i sp a p e r sm o d e l sc o n f o r i l lt or e a l i t y b e t t e r o no n eh a n d ，t h em o d e l sa r eb a s e do np o s s i b i l i t yt h e o r y , n o to np r o b a b i l i t y t h e o r y , s ot h e ye m b o d yf u z z i n e s s o fi n v e s t m e n td e c i s i o nb e t t e r o nt h eo t h e r h a n d ，t h i sp a p e r sm o d e l sh a v ec o n s i d e r e de x p e r tk n o w l e d g ea n de x p e r ta d v i c e ，a n d e m b o d yi n v e s t o r s s u b j e c t i v ew i l l s t h ei n v e s t o r s c a l lf i xp a r a m e t e rv a l u e sa c c o r d i - n gt ot h e i rw i l l ，s ot h e yc o u l dh a v eg r a t i f y i n gp o r t f o l i oi n v e s t m e n t s t h ep o r t f o l i o i n v e s t m e n t sh a v eb e t t e rf l e x i b i l i t y k e yw o r d s ：f u z z yd e c i s i o n ，p o s s i b i l i t yt h e o r y , s a t i s f y i n gd e g r e e ，p o r t f o l i o i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 武汉理工大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意。 签名：堕亘望日期：幽：f 羔：垒 学位论文使用授权书 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权武汉理工大学可以将本学位论文的 全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存或汇编本学位论文。同时授权经武汉理工大学认可的国家有 关机构或论文数据库使用或收录本学位论文，并向社会公众提供信息 服务。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 虢引鹤面亏翩隰刮心扫姗砷，m 武汉理工大学硕士学位论文 第一章引言弟一早jli 1 1 投资组合选择的研究现状 纵观金融学的发展历史，到目前为止，金融学的发展共经历了定性描述阶 段、定量分析阶段和工程化阶段这三个阶段。二十世纪五十年代初m a r k o w i t z n 】 提出了投资组合选择理论，一般认为投资组合选择理论是现代金融理论的起源， m a r k o w i t z 奠定了现代金融学的基础。投资组合选择理论使得金融学不再仅仅是 单纯的依赖只具有描述性的定性研究，并且也不再是仅凭经验来进行操作，它 在对金融问题的研究中首次引入了数理工具。这一理论具有里程碑的意义，它 使得金融学的研究跃上了一个新的台阶，有了非常重大的进步和发展。 怎样才能达到投资收益与投资风险之间的平衡是投资者所关心的核心内 容。投资者在进行投资活动时，最关心的就是怎样才能确定投资风险的大小， 怎样可以使得投资风险最小，以及怎样才能使得投资收益最大。如果两个投资 决策具有相同的投资风险，但是会得到不同的预期收益，投资者就应该选择预 期收益大的那个决策。如果两个投资决策所得到的预期收益相同，但是具有不 同的投资风险，投资者就应该选择投资风险小的那个决策。一般来说，低风险 和高收益并不能同时满足，有时高风险会带来高收益，而低风险则会带来低收 益，此时投资者就需要根据自己的意愿进行判断和决策。投资组合选择问题主 要就是研究如何合理的分配各种有价证券的头寸，从而使投资决策能够最好的 满足投资者对投资风险和投资收益的要求。由于证券的收益和风险都具有不确 定性，所以投资者所做出的投资决策是在不确定的环境下进行的。换句话说， 投资组合选择问题就是投资者在不确定的环境下所做出的投资决策的问题。 不确定性包括随机性和模糊性这两种表现形式。随机性是一个事件发生与 否的不确定性，而模糊性则是事件本身状态的不确定性乜羽。在现实生活中，不 仅只存在着随机不确定性，还存在着大量的模糊不确定性，并且模糊性的存在 比随机性更加广泛，而且与随机性相比，模糊性更为深刻。在体现和描述人们 的主观感受和认识的时候，模糊性的作用显得尤为重要。由于模糊性有着如此 重要的作用，因此在研究投资组合选择问题的时候不能忽视模糊性的存在和影 武汉理工大学硕+ 学位论文 响。 在过去的几十年中，对于证券市场的不确定性的研究绝大多数是基于随机 不确定性的，并且不确定性与风险之间的区分并不明确，不确定性经常与风险 相混淆。s h a r p e 心3 就认为不确定性表示无法根据确定性进行预测，并且将不确 定性作为风险的同义词来使用。但是我们知道，不确定性并不等同于风险，它 包含风险，但又不仅仅只含有风险，还包含其他许许多多的方面。到目前为止， 在大部分的投资组合选择模型中都是假定投资者进行投资活动时所遇到的不确 定性是随机不确定性，而概率论则是处理这种随机不确定性问题的理论基础。 五十多年来，对于基于随机不确定性环境下的投资组合选择问题的研究已经发 展的比较完善了，但是对于投资决策中基于模糊不确定性问题的研究却比较少。 然而我们知道在现实世界中，大多数不确定性表现为模糊不确定性，因此，对 于基于模糊不确定性环境下的投资组合选择问题的研究是十分有必要和有意义 的，这个研究方向具有很大的发展前景和空间，并且有着重要的研究意义和实 践意义。 下面就依照投资组合选择模型发展的时间顺序，简单的介绍一下几个基于 随机不确定性的投资组合选择模型。我们可以发现，投资组合选择模型的发展 与投资风险度量方式的发展是密切相关的，投资风险度量方式的改进总是会促 进投资组合选择模型的改进和发展。 ( 1 ) 均值一方差模型 m a r k o w i t z n 3 印于1 9 5 2 年提出了均值一方差方法，他假定证券收益是一个 随机变量，并用证券收益的方差来度量投资风险。均值方差方法奠定了现代 金融学的基础，具有非常重要的意义。但是均值一方差模型也存在许多缺点， 它的条件比较苛刻，在实际的应用当中往往难以满足，并且有些时候它的计算 也很复杂。 ( 2 ) 单指数模型 在求解m a r k o w i t z 均值一方差模型时计算比较复杂，对于计算机的要求很 高。鉴于此，1 9 6 3 年，s h a r p e 乜一3 提出了单指数模型，他利用对角线模式来简 化方差一协方差矩阵中的非对角线元素。在该模型中，s h a r p e 假设各个证券是 独立的，还假设证券的收益率只与市场因素有关而与其它因素都没有关系。这 样就在很大程度上简化了均值一方差模型的分析量以及计算量。由于单指数模 2 武汉理工人学硕士学位论文 型的这些优点，使得单指数模型在实际中应用的比较广泛。 ( 3 ) 均值一半方差模型乜阳 在投资活动中投资者往往只关心未来收益比期望收益低的那一部分风险， 因此，基于这种情况，m a o 1 和s w a l m 1 就考虑利用半方差来度量投资风险，从 而建立了均值一半方差投资组合选择模型。 ( 4 ) 均值一绝对偏差模型 k o n n o n0 1 1 1 用绝对偏差来度量风险，从而提出了均值一绝对偏差投资组合选 择模型。通过证明可以发现，均值一绝对偏差模型不但使得均值一方差模型中 的好的性质得以保留，而且还避免了在求解均值一方差模型中出现的一些复杂 的计算问题。在此基础上，s p e r a n z a n 2 1 3 3 又进一步用投资组合未来收益低于期 望收益的绝对偏差来度量投资风险，由此建立了均值一半绝对偏差投资组合选 择模型。 ( 5 ) 均值一方差一偏度模型乜刚 除了收益方差之外，投资者还需要考虑另一个重要的指标，即收益分布的 偏度。在二十世纪五十年代，s a m u e l s o n n 钔首先提出了投资组合选择的高阶矩问 题。但是因为当证券的数量比较大时计算是非常复杂的，所以这个问题并没有 得到重视。不过随着计算机技术日新月异的不断向前发展，一些计算的问题也 随之得到了较好的解决，因此人们也开始慢慢的将偏度纳入到投资组合选择模 型的考虑范围之中了。 ( 6 ) 安全一首要模型阻町 1 9 5 2 年，r o y n 钉也提出了一种投资组合的标准，并且由此提出了投资组合 选择的安全一首要模型。安全一首要模型是将投资组合的收益小于给定的“灾 险水平 这一事件的概率进行极小化，这一思想与均值一方差模型有所不同。 根据这一思想，k a t a o k a 与t e l s e r 也先后提出了几种不同形式的安全一首要模 型。安全一首要模型不是用方差来度量投资风险，而是利用另一种思路来描述 投资风险，这是区别于均值一方差模型的一个重要的特点。 3 武汉理工大学硕士学位论文 ( 7 ) 多阶段投资组合选择模型 在实际的投资活动中，投资者往往会根据实际情况不断的改变自己的投资 策略，以弥补上一个决策的不足，更好的进行投资活动。因此，对单阶段的投 资组合选择问题的研究将不能很好满足投资者的需要，需要建立多阶段甚至动 态的投资组合选择问题。最早将m a r k o w i t z 的单阶段模型推广到多阶段模型的 学者是m o s s i n n 引，他利用动态规划的方法来进行多阶段的模型研究。后来，又 有很多学者陆续对多阶段的投资组合选择问题进行了研究，在这些研究中，学 者们还提出了研究多阶段投资组合选择问题的另一种思路，即在模型研究时采 用序贯决策的方法。 1 2 选题的研究意义 由前面的介绍我们了解到，在投资活动中投资者所面临的不确定性可以分为 随机不确定性和模糊不确定性。随机不确定性环境下的投资组合选择问题的研 究已经发展的相当完善了，但是模糊不确定性环境下的投资组合选择问题的研 究却比较少，然而现实生活中的不确定性主要是模糊性。由于投资活动需要考 虑的因素涉及到很多方面，所以导致了投资活动所面临的不确定性也相应的包 含了许多方面，而非仅仅只包含投资风险。比如：投资者对投资收益、投资风 险和流动性等指标的目标水平的满意程度并不是保持不变的。由于在证券市场 中充斥着大量的模糊现象，所以正确的认识并且正确的描述证券市场中存在的 各种各样的不确定性是非常有必要的，这样可以使投资者做出更好的投资决策， 从而减少投资的损失。这是非常具有经济意义和现实意义的。 1 9 6 5 年，z a d e h u 首次提出了模糊集合的概念，并且创建了模糊集合论，提 供了定量描述模糊现象并对模糊现象进行分析运算的方法。在此基础上，z a d e h n 町 又于1 9 7 8 年提出了可能性理论，这一理论主要用以说明随机性和模糊性的本质 区别，具有重要的理论意义。1 9 7 8 年h s i l m o n 又提出用满意原则来代替优化 原则，他从管理科学的角度对决策理论和方法提出了类似于模糊化的要求，从 而解决了在实践中难以满足决策理论的假定的问题，具有较好的现实意义。 b e l l m a n 和z a d e h n 8 1 则是建立了模糊决策的基本模型，这一模型是建立在多目 标决策基础上的，模型将决策者在投资活动中所不能确切表示和度量的各种参 4 武汉理t 大学硕士学位论文 数、概念和事件都处理成了模糊集合，这样使得模型更加符合现实，更加具有 灵活性和适应性。 我们可以看出，不同的投资者对于投资收益、投资风险和流动性的目标水平 往往有着不同的要求，具有很大的主观性，并且专家的知识和经验对投资者进 行投资决策有着很重要的参考价值。在证券市场中经常会碰到这样的情况，由 于证券市场的不完善以及其它许多原因，导致投资者的投资行为往往并无规律 性可言，这时单纯的使用定量分析的方法就不是很合适了，得到的结果会与实 际结果有很大的偏差。此时投资者需要综合运用定性分析的方法和定量分析的 方法，将已知的证券交易的数据和专家的知识、经验相结合来进行分析判断和 投资决策，这样得到的投资策略才会更符合现实情况。模糊决策理论和可能性 理论这两种理论可以很好的将投资者的主观感受、态度和意愿还有专家的知识、 经验进行数量化，并加入到投资组合选择模型中去。因此，我们说模糊决策理 论和可能性理论是研究投资组合选择模型问题的两个很好的理论工具。 近年来，对于模糊不确定性环境下的投资组合选择模型的研究逐渐为人们 所重视，对这一问题的研究也在不断发展，虽然还不是很成熟，但是我们可以 看到现在不断的涌现出许多新的思路和新的方法。随着人们对模糊不确定性认 识的不断加深，对这一问题的研究也开始逐渐成为一个非常具有前景的全新的 研究方向。将模糊数学理论和最优化的原理进行结合，来研究投资组合选择问 题，无论在理论上，还是在实践中都具有非常重要而深远的意义。 1 3 本文的主要内容 本文将模糊决策思想与可能性理论进行结合，建立了四种摩擦市场下基于 可能性理论的投资组合模型，并给出了不同的求解方法。在模型中，假设证券 的收益率服从指数型可能性分布，用收益差值来度量风险，用隶属度来刻画投 资者对投资收益、投资风险和流动性的满意程度。由本文的模型得到的投资策 略可以较好的符合实际情况。 本文各章的内容如下： 第一章概述投资组合选择的研究现状，本文的选题研究意义以及本文的主 要内容； 5 武汉理工人学硕士学位论文 第二章介绍模糊投资组合优化的理论基础及模型，分别介绍了带模糊流动 性约束的投资组合选择、基于模糊决策的投资组合选择和基于可能性理论的投 资组合选择等； 第三章详细介绍了本论文所做的主要工作，即摩擦市场下的四种基于可能 性理论的投资组合模型的构造以及模型的求解，其中包括摩擦市场中带模糊流 动性约束的半梯形满意程度模型、摩擦市场中带模糊流动性约束的非线性满意 程度模型、摩擦市场中考虑流动性满意程度的半梯形满意程度模型和摩擦市场 中考虑流动性满意程度的非线性满意程度模型； 第四章总结与展望。 6 武汉理t 大学硕士学位论文 第二章模糊投资组合优化的理论基础与模型 2 1 带模糊流动性约束的投资组合选择 在对投资组合理论的研究中，研究者一般认为投资者最重视的是投资收益和 投资风险这两个指标。但是在实际的投资活动中，证券的流动性同样是一个不 能忽视的非常重要的因素。流动性可以看作是在价值没有大的损失的情况下证 券投资转换成现金的一种能力。由于证券市场是不断发展变化的，流通性较差 的证券会使交易不能及时进行，从而错过了最好时机，这样就会使投资者错失 一个较好的获利的机会，甚至会带来不必要的损失。因此在投资活动中投资者 对其是否能够及时的通过证券交易获得自己所期望的投资收益来进行考虑是十 分必要的。 2 1 1 证券的模糊流动性 一般认为投资者最重视的是投资收益和投资风险这两个指标。投资者希望 能使投资风险达到最小，并且还希望使投资收益能够达到最大。投资者对各种 有价证券的头寸进行合理分配，使投资收益和投资风险的水平满足自己对投资 活动的要求，从而较好的进行投资决策。但是除了这两个指标外，在实际的投 资活动中，证券的流动性也是非常重要的。一个投资者想要进行一项成功的投 资活动，对流动性、安全性、盈利性这三个方面进行分析是必不可少的。 证券的流动性是指证券的变现能力。那么何谓变现能力? 具体来说就是指 在以下两种情况下：即在价位波动较小的情况下或在现在的价格保持不变的情 况下，投资者所能买入的证券金额或者证券数量。如果能够买入的证券金额或 证券数量比较大，那么就说明这个证券的流动性较好。还可以将流动性看作在 上述两种情况下，投资者所能卖出的证券金额或者证券数量。同样的，如果能 够卖出的证券金额或证券数量比较小，那么就认为这个证券的流动性较差。在 证券市场中，如果要评价一个证券是否是一个好的证券，流动性是一个非常有 用的指标，投资者可以根据流动性来选择是否对证券进行投资，以及对哪些证 7 武汉理工大学硕士学位论文 券进行投资。 度量证券流动性的方法比较多，在这些方法中，换手率、流通速度、交易 笔数、交易股数以及交易金额是使用的比较普遍的方法。在流通市值比较相近 的时候，可以使用成交金额。而在流通股数比较相近的时候，则应该使用成交 笔数和成交股数，这样是比较有效的方法。流通速度是交易金额的发展和延伸， 而换手率则是交易股数的发展和延伸。流通速度和换手率在流通市值不相近或 者流通股数不相近的时候也能进行比较，它们比成交金额和成交笔数使用范围 更广，因此在投资活动中的实际应用更广。 换手率是股票成交量( 或成交额) 与流通盘( 或流通市值) 的比值，因此股票 的流动性好坏可以用换手率来表示。在一般情况下，换手率越高，股票的交易 次数越多，资金可以更容易的进出市场，变现的能力就比较好，也就是说股票 的流动性比较好。反之，换手率越低，则说明股票交易次数越少，资金进出市 场就比较困难，那么变现的能力就会比较差，也即股票的流动性比较差。除此 之外，一支股票若被投资者长期看好，那么投资者就会长期持有该股票，而不 会卖掉它，因此，在这种情况下，也可能会造成股票的换手率较低。 投资者的主观态度往往会对证券流动性的大小产生一定的影响。由于带有 主观性，因此证券的流动性是不确定的。在证券市场中，投资者的主观判断会 影响证券的交易量，这是我们比较容易理解的。举个例子来说：股民在得到利 好消息时就会更倾向于进行股票交易，反之则不太愿意进行股票交易。除此之 外，投资者对证券变现这一事件本身状态的不确定性也是比较重视的。因此我 们可以将证券的流动性看作是一个模糊现象来进行处理，由此我们可以将度量 证券流动性的换手率看作一个模糊数。 对于确定一个模糊集的隶属函数来说，就目前来看还没有一个很好的方法。 在此，我们就假设证券的换手率模糊分布函数是一个梯形分布函数。我们可以 得到梯形模糊数的定义： 定义2 1 1 一个模糊数a 被称为梯形模糊数，如果它的隶属函数具有如下 形式： 8 武汉理工大学硕士学位论文 a ( t ) = l 一型，如果口一口f 口， l ，如果口6 ，( 2 - 1 ) l 一了t - b ，如果口f 6 + ， 0 ，否则， 记为a = ( 口，b ，1 2 ，) ，其中口为左宽度，为右宽度，i 口，6 l 为容许区间。 给出了梯形模糊数的定义以后，我们就来考虑如何估计其中的参数 a ，b ，口，矽。有两种方法可以估计参数：第一种方法是主观专家知识判断法。主观 专家知识判断法是以专家的知识、经验为基础，专家在长期的实践中总结经验 方法，从而对于参数进行估计，所以虽然主观专家知识判断法是一种主观的判 断方法，但它仍然是以客观事实作为基础，与没有事实依据的凭空猜想是有很 大区别的。第二种方法是客观模糊频数统计法。客观模糊频数统计法是通过统 计换手率的历史数据来构造频数统计图，从而依据图表来近似估计模糊数。 主观专家知识判断法的具体步骤表述如下： 1 选择专家：这是非常重要的一个步骤，专家选择的好坏与否将会对判断 结果的准确性产生直接的影响。一般可以选择证券公司的研究人员、操盘手或 者从事证券市场研究的科研人员，人数大约在1 0 - 3 0 人左右： 2 发放数据资料：将证券上市公司的资料、证券换手率的历史情况还有统 一确定换手率的规则发放给每一位专家，请每一位专家都进行判断，然后给出 一个参数值； 3 回收结果并进行计算：将每位专家的判断结果都进行回收，然后根据这 些结果来计算梯形模糊分布的各个参数的均值和标准差； 4 反馈：将由步骤3 得到的结果和一些补充资料返还给每一位专家，并请每 位专家都在此结果上对参数进行重新调整； 5 得到最终结果：重复步骤3 和步骤4 ，直到各个参数与其均值的离差不超 过预先给定的标准为止，最后将得到的均值作为我们需要的参数值。 2 1 2 模型的建立与求解 假设投资者在1 3 个风险资产和1 个无风险资产之间分配其财富。其中，n 个 9 武汉理工人学硕士学位论文 风险资产的收益率是随机的，无风险资产的收益率为常数。对于证券市场中的 摩擦因素，我们考虑与交易数量成正比的交易费用。假设我们拥有n 个风险资 产的t 期历史收益率。我们用五来表示将投资在风险资产i ( i = l ，2 ，n ) 或无 风险资产( i = n + 1 ) 上的投资比例，鼍。则表示已经投资在风险资产i ( i = l ，2 ，n ) 或无风险资产( i = n + 1 ) 上的投资比例。用表示风险资产i 的期望收益率，“ 则表示无风险资产的收益率。证券市场中资产i ( i = l ，2 ，n + 1 ) 的交易费比率 用岛来表示。风险资产i ( i = l ，2 ，n ) 在第t 期的历史收益率用表示。u ，表 示将投资在风险资产i ( i = l ，2 ，0 00 ，n ) 或无风险资产( i = n + 1 ) 上的投资比例的 上界。 假定投资策略是自融资的，即投资组合调整的过程中没有注入新的资金。 对于交易费函数，我们采用常用的v 型交易费函数的交易费可以表示为 g ( 工f ) = k , i x , 一t ”i ( 2 2 ) 于是投资组合x = ( x ix ：，x n + 。) 的总交易费用为 c ( 加鬈沪纠x i - - x i o l 3 ) c ( 工) = q ( t ) = 七一 i ( 2 一) 投资组合的期望收益率可以表示为 ，( x ) = - 毛 ( 2 4 ) 我们可以用风险资产历史收益率的算术平均值作为其期望收益率，即 _ = 专吃，( i = l ，2 ，2 ，n ) ( 2 5 ) 扣除交易费用后，投资组合的净收益可以表示为： 似) = 莩( 能吐卜钟 ( 2 - 6 ) 风险资产j 的模糊换手率为 c = ( f 口，b j ，口，f l j l j = 1 2 一，刀 ( 2 7 ) 其中k ，哆j 为容许区间，吩为左宽度，岛为右宽度。利用模糊集的运算原则， 我们可以得到证券投资组合x ：( x 。，工：，吒+ 。) 的模糊换手率为艺_ ，由前面 l o 武汉理工大学硕士学位论文 的介绍我们知道，它可以反映出投资组合流动性的大小。 按照可能性均值的定义，资产j ( j = l ，2 ，n + 1 ) 的模糊换手率的可能性 均值可以表示为 e ( 协上y k ，一0 7 p ，+ 哆+ 0 7 城b = 华+ 华( 2 - 8 ) 它表示资产的换手率大概可能达到的值。 按照扩展原则，投资组合x = ( x 1x ：，x 川) 的模糊换手率的可能性均值表示 为 哦炉确，= 芸c 华+ 华坞浯9 ， 用极大极小半绝对偏差风险函数度量风险，则可得到另一个双目标规划i ；- i 题如下： m a x f ( 加兰g 铲如一# 1 ) ( b p 2 - 1 ) 哑n 峄州。，喜h 二，0 0 x f “f ，i = 1 , 2 ，以+ 1 ， 芸c 华+ 华耻砜k ， z x l = = 1 其中f 4 t o ) 代表投资者对投资组合模糊换手率可能性均值的要求水平。 2 2 基于模糊决策的投资组合选择 决策是人们为了实现一定的目标，运用科学的理论和方法，根据充分的信 息条件，提出可行方案并选出最优方案的过程。由于决策过程包括人类的认识 和活动，所以带有一定的主观性，这就使得决策具有了模糊性的特征。除此之 外，对决策过程有影响的其他因素也大多具有模糊性。因此，决策问题中的不 确定性不止是随机性，还包含有模糊性，并且模糊性往往存在的更为广泛。 武汉理工大学硕士学位论文 2 2 1 模糊决策理论和极大化决策原则 首先我们对模糊决策做出定义： 定义2 2 1设0 和e 是策略空间x 中的模糊目标与模糊约束，则模糊决策 西也是x 中的一个模糊集合，它被定义为0 和e 的交集：6 = 6 n d ，具有隶属函 数： 西( x ) = m i n , u 6 ( x ) ，亡( 工) ) ，v x x ( 2 1 0 ) 还可以把这个定义推广到一般的情况： 假设有刀个模糊目标和m 个模糊约束，令0 ，表示第，个目标( = l ，2 ，刀) ，t 表示第i 个约束( f = l ，2 ，m ) ，如果所有的目标和约束都定义在策略空间x 中，并 且目标和决策具有同等重要性，那么模糊决策6 由全部目标和约束的交集构成， 记为 西= ( en 包n nq ) n ( 4 nto n t ) ， ( 2 一1 1 ) 具有隶属函数 ( x ) = m i n ，骢。饱( x ) ，观心( x ) j ，v x x ( 2 一1 2 ) 下面再给出极大化决策的概念： 定义2 2 4 如果决策者需要一个明确的决策建议，比较适合于他的建议似 乎是模糊决策中使隶属函数, u b ( x ) 取最大值的那些策略，记作 m = x 1x x ，心( _ ) 心( x ) ) ， ( 2 1 3 ) 称为最大决策集合。如果, u b ( x 。) 在x 中有唯一最大值，则z x , l - 应的策略是唯一 分明的决策建议，称为极大化决策，具有隶属度 , u b ( x ) = m 。a x - 血 心( x ) ，心( 工) ，托( 石) ，心( x ) ，心( x ) ，心( x ) ) ( 2 1 4 ) 也常通过用乘积表示交，用代数表示并的方式来定义隶属函数。 2 2 2 基于模糊决策的均值半绝对偏差模型 在2 1 节中，介绍了摩擦市场中带模糊流动性约束的投资组合选择模型。 虽然模型考虑到了模糊流动性，但是并没有加入专家的知识和经验，也没有表 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 现出投资者对投资收益、投资风险和流动性的目标水平的满意程度。而这些因 素在实际的投资活动中，往往是非常重要的。一个基于满意度的投资策略往往 会被更多的投资者所认同。 2 2 2 1 半梯形满意程度模型 我们将投资者对投资收益、投资风险和流动性的目标水平看做半梯形模糊 数。用，g ) 表示投资组合x = ( x 1 ，z ：，+ 。) 扣除交易费后的期望净收益，以) 表 示投资组合x ：g ，工：，x 州) 的投资风险， e f ? g ) 1 表示投资组合 x = b 。x ：，工州) 模糊换手率的可能性均值，则代表各种指标满意程度的隶属函 数可以表示如下： ( 1 ) 投资收益目标水平的隶属函数 x ，( x ) = 0 ，如果厂( x ) 1 ， 其中，o 和的值由投资者依据专家的知识或者过去的经验给定，表示投资者对 投资收益的必要满意水平，表示投资者对投资收益的充分满意水平。 ( 2 ) 投资风险目标水平的隶属函数 。( x ) = 如果“x ) w l ， 其中w o 和的数值由投资者依据专家的知识或者过去的经验给定，w o 表示投资 者对投资风险的充分满意水平，w 1 表示投资者对投资风险的必要满意水平。 ( 3 ) 投资组合流动性目标水平的隶属函数 1 3 等l 叠 武汉理工大学硕十学位论文 z ( x ) = i 。， 如果文；g ) ) ， 其中j l d 和，的数值由投资者依据专家的知识或者过去的经验给定，l 表示投资者 对投资组合流动性的必要满意水平，厶表示投资者对投资组合流动性的充分满意 水平。 按照b e l l m a n 和z a d e h 的极大化原则，我们可以定义 a = m i i l 讧，g l 。g ) 心g ) j ( 2 1 8 ) 于是，基于模糊决策的投资组合选择问题可以表示成以下问题： m a x 允 ( f p 2 1 ) ，g ) 名， ，g ) 五， ：g ) 名， = 1 ， 1 = 1 0 t “i ，i = 1 , 2 ，拧+ 1 2 2 2 2 非线性满意程度模型 在2 2 2 1 节中，投资收益、投资风险和流动性的目标水平的隶属函数都 被假设为线性函数，也就是说投资者对投资收益、投资风险和流动性的满意程 度的变化率被看作是一个常数。但是在实际的投资活动中，由于投资者的心态 不同，这种变化率并不一定保持不变，也就是说并不是一个常数。 1 9 8 1 年，l e b e r l i n g 在模糊规划的极大一极小模式中引入了双曲线隶属函数 ，定义为 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 “：三 z2 z 一+ z + z v 广t z g ) 一半 f e x p 一 【 f + e x p 一 【 荆一半h z 阱半h + 一1 ，( 2 - 1 9 ) + j ， 其中口0 ，z 代表将被最大化的目标函数。 w a t a d a 引入了一种s 型非线性隶属函数如下： 厂g ) 2 百调1 ( 2 - 2 0 ) s 型函数与双曲型隶属函数具有相似的形状，但是它的结构比双曲型隶属函 数简单，并且比双曲隶属函数容易处理。实际上，可以发现半梯形隶属函数是 这个非线性隶属函数的近似。在实践中，这个非线性隶属函数更适合于描述投 资者对投资收益、投资风险和流动性三个因素的满意程度。 ( 1 ) 投资收益目标水平的隶属函数 以b ) 2 百面瓦而1 翮，( 2 - 2 1 ) 其中嘞是中点，它的隶属函数值是0 5 ，它代表投资收益的中等满意水平，其 数值可以根据和1 近似得到，u p = 鱼# ；g t r 是投资者给定的一个参数， 它可以反映出投资者对投资收益满意程度的心理状态。 ( 2 ) 投资风险目标水平的隶属函数 w g ) 2 百两瓦丽1 翮，( 2 - 2 2 ) 其中h 是中点，它的隶属函数值是0 5 ，它代表投资风险的中等满意水平，其 数值可以根据w o 和w l 近似得到，即= 半；口。是投资者给定的一个参数， 它可以反映出投资者对投资风险满意程度的心理状态。 ( 3 ) 投资收组合流动性目标水平的隶属函数 1 5 、l，j一、，j 口 一 口 1j一1j 仃刊um刊u p p 甑 一 懿 武汉理工大学硕士学位论文 吵) 2 可一l ， ( 2 - 2 3 ) 其中i m 是中点，它的隶属函数值是0 5 ，它代表投资组合流动性的中等满意水 平，其数值可以根据乇和i i 近似得到，即0= l o2 + 1 1 ；口，是投资者给定的一个参 数，它可以反映出投资者对流动性满意程度的心理状态。 同样，按照b e l l m a n 和z a d e h 的极大化原则，我们可以定义 r = m i n 讧，b ) ，g ) ，? g ) j ( 2 2 4 ) 模糊投资组合选择问题可以表示为以下数学形式： m a x 刁 ( f p 2 2 ) s 。t 以g ) r l ， ，g ) r l ， g ) r l ， t = l ， f = l 0 ”i ，i = 1 , 2 ，n + 1 0 r 1 2 3 基于可能性理论的投资组合选择 传统的投资组合选择模型都是基于随机不确定性的，并且以概率论为理论 基础。但是，在证券市场中模糊不确定性的作用也是不可忽视的。在实际的投 资活动中，有时由于各种客观因素的影响，使得投资者很难准确的进行统计推 断和决策，在这种情况下，投资者经过分析得到的投资策略的误差将会很大， 因而是无效的。针对这个问题，一个非常好的解决方法是使用可能性理论作为 理论工具。鉴于此，t a n a k a 和g u o ，i n u i g u c h i 和r a m i k 等一些学者就基于可能 性理论对投资组合的选择问题进行了研究。在这些学者建立的模型中，都是假 设证券的收益率服从一个可能性分布，这区别于以往的对收益率服从概率分布 的假设。特别的，t a n a k a 和g u o 假设证券收益率服从一个指数可能性分布，并 据此提出了中心差值模型。这个模型是与以概率论为基础的均值一方差模型相 1 6 武汉理t 大学硕士学位论文 对应的，并且是具有开创性的。t a n a k a 和g u o 还指出，可以用正交化方法和主 成分分析这两种方法，将非线性优化问题转化为线性规划问题来求解证券收益 率的指数可能性分布。然而，这两种方法都是比较复杂的方法。这是中心差值 模型的一个不足。对于这个缺点，我们可以进行改进，可以使用半正定规划理 论对非线性问题进行处理。 2 3 1t a n a k a - g u o 中a l , 、- 差值模型 t a n a k a 和g u o 将证券收益的不确定现象视为模糊现象，假设证券的收益率 服从指数可能性分布，而非服从概率分布，从而提出了基于可能性理论的中心 差值模型。 2 3 1 1 证券收益的可能性分布 假定投资者在n 个风险资产之间分配其财富，n 个资产的不确定收益变量r 是一个模糊变量a 。给定数据g ，h ，= 1 , 2 ，朋) ，其中= g ，吃f 一，) r 表示n 个资产在第i 期的历史收益向量，五；是可能性等级，它反映了证券市场第i 个 历史状态与未来状态的相似程度。这些相似程度的信息假定蕴含在以下模糊变 量a 的可能性分布中。 假设a 服从一个指数型可能性分布如下： 万( 尺) = e x p - ( r - a ) 7 d - , 1 ( 尺一口) = ( 口，d ) 。 ( 2 2 5 ) 其中口是中心值向量，并且d 。是对称正定矩阵。 应该怎样确定分布函数中的参数口和d _ 呢? 按照两种不同的观点，可以得到上指数分布和下指数分布这两种不同的指 数可能性分布，将它们分别记为刀。和乃，并且对于n 个资产的不确定收益变量 r 有死g ) 乃g ) 。 口可以近似的被估计为口= ，其中表示可能性等级j l 厂= m a x 捌2 ，肼h i 的 向量。 将，：的可能性等级修正为l ，并且考虑进行变换y = ，一口，那么可以获得具 有零中心值向量的可能性分布： 1 7 武汉理工大学硕士学位论文 1 a ) = e x p - y r 嘎1 y ( 2 2 6 ) 则上指数分布矩阵d 。可以通过求解以下优化问题得到： maxzt,d：1yd j u i 一1 j 。u s 。j y ；三：1 y ，一知o ，l f ：l ，2 ，m ， 【见 - o 相似地，可以求得下指数分布矩阵d i ： n 黔。l tj，fdfly，=1 砒丁y 巩锄吣= 1 ，2 ，m 【q - 0 ， 其中d ， - o 表示d ，是正定矩阵。 若将( d u ) 与( d 1 ) 相结合求解d u 和d t ，优化问题可以表述如下： 乩m ，i q n 善y r d i l y ，一善y f 所1 j ， ( 砒i y y f f 巩d i l y , 猢 - 0 ， 【d ， - 0 这样就确保了万。) 万，( y ) 成立。( d u l ) 可以用主成分分析法( p c a 法) 求 解。 2 3 1 2 模型的建立 投资