（光学专业论文）光折变非线性表面波的激发及稳定性研究.pdf

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i n d u c e ds u r f a c en o n l i n e a ro p t i c a l t e c h n i q u e ，e g ，t h eg e n e r a t i o na n de n h a n c e m e n to fh a r m o n i cw a v e s ，s u r f a c ed e t e c t i o n ， i n t e g r a t e do p t i c sa n dt h ed e s i g ns u r f a c ep h o t o n i c sd e v i c e ，e t c s i n c e19 9 5 ，gsg a r c i aq u i r i n oe ta 1 h a v ep u tf o r w a r da n dp r e d i c t e dt h ee x i s t e n c e o ft h ep rs w s i nt h en e x tf e wy e a r s ，m a n yr e s e a r c h e r si nt h ew o r l dt a k em o r e i n t e r e s ti nt h ep rs w s ，a n dc a r r yo nl o t so fr e s e a r c h e so np rs w s b u tn o b o d yh a v e m a d eac o m p l e t ec o n c l u s i o nf o rt h ep rs w s s t a b i l i t ya n de x c i t e dc o n d i t i o n t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l ym a k e sas t u d yo ft h em o d e s ，s t a b i l i t ya n de x c i t e d c o n d i t i o n so fp rs w sw i t ht h ed i f f u s i o no rt h ed i f f u s i o na n dd r i f tp h o t o r e f r a c t i v e n o n l i n e a r i t i e s a n dt h ei n n o v a t i v ep o i n t si nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , as p a t i a l - p a r t i t i o nf a s t - f o u r i e r - t r a n s f o r m a t i o nb e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ( s pf f t - b p m ) i sp r e s e n t e df o rt h ef i r s tt i m e ，w h i c hc a na c c u r a t e l ys i m u l a t et h e p r o p a g a t i o no fl i g h ti nt h ea r e ab e t w e e n t h em e d i u m sw i t hl a r g ei n d e xv a r i a t i o n s e c o n d l y , w ea n a l y z et h es t a b i l i t yo fp rs w su n d e rd i f f u s i o nm e c h a n i s mw i t ht h e l i n e a rs t a b i l i t ya n a l y s i st h e o r y ，a n dg e tt ot h ec o n c l u s i o n + t h a tt h ep rs w su n d e r d i f f u s i o nm e c h a n i s mc a nb es t a b i l i t y t h e nw es t i m u l a t et h a tt h em o d e so ft h ep r s w sw i mp e r t u r b a t i o np r o p a g a t ei nt h e p h o t o r e f r a c t i v ec r y s t a lu s i n g t h es p f f t - b p mm e t h o d ，a n dc a np r o p a g a t es t e a d i l y , s ot e s t i n gt h ea b o v ec o n c l u s i o n f i n a l l y , w eh a v es y s t e m a t i c a l l yr e s e a r c h e dt h ee x c i t e dc o n d i t i o n so ft h ep rs w s w i t ht h ed i f f u s i o no rd i f f u s i o na n dd r i f tn o n l i n e a r i t i e s w eh a v es i m u l a t e dt h a tt h e g u s s sb e a m sp r o p a g a t ei nt h ep h o t o r e f r a c t i v ec r y s t a l s ( e g s r 0 6 b a 0 4 n b 2 0 3a n d s r 0 7 5 b a o 2 5 n b 2 0 3 ) u s i n gt h es pf f t - b p mm e t h o d ，a n da c h i e v et h es t a t i o n a r ya n d i i i i i 第二章光折变表面波理论模型及数值计算方法7 第一节非线性波方程7 第二节带输运模型及空间电荷场一8 第三节光折变表面波模式的数值解法1 0 第四节光折变表面波稳定性分析方法_ 。1 1 第五节分区快速傅里叶变换光束传播方法1 4 第三章光折变表面波模式及其稳定性分析1 8 第一节引言18 第二节扩散机制下的光折变表面波模式理论1 8 第三节扩散机制下的光折变表面波稳定性分析2 2 第四节光折变表面波模式稳定传播2 4 i v 目录 第四章光折变表面波的激发理论2 6 第一节引言2 6 第二节扩散机制下的光折变表面波的激发理论2 7 4 2 1 理论模型2 7 4 2 2 高斯光束沿表面垂直入射2 7 4 2 3 高斯光束从光折变晶体内斜入射3 5 第三节扩散和漂移机制下的光折变表面波的激发理论3 9 4 3 1 理论模型3 9 4 3 2 扩散和漂移机制下的光折变表面波激发3 9 第五章总结和展望4 2 第一节论文总结4 2 第二节工作展望4 3 参考文献4 4 致谢4 8 个人简历在学期间发表的学术论文及研究成果4 9 v 第一章绪论 第一章绪论 第一节光折变表面波研究背景及其意义 表面电磁波( s u r f a c ee l e c t r o m a g n e t i cw a v e s ，s e w s ，简称表面波) 是指沿 两个介质的分界面传播的电磁波，并且在偏离分界面时，其振幅呈指数地衰减【l j 。 早在1 9 0 9 年，s o m m e r f e l d 就预言了表面电磁波的存在1 2 j 。但是人们对表面波早 期的研究工作，是一种特殊的表面波，即线性表面波，是由不同界面的介电常 数不同而导致的，且形成表面电磁波的两个介质之一必须有负的介电常数1 2 j 。后 来人们发现在非线性介质表面也可以激发出表面波【3 矧。近年来一种新型的非线 性表面波光折变表面波( p h o t o r e f r a c t i v es u r f a c ew a v e s ，p rs w s ) 逐渐引起 人们的兴趣。光折变表面波是一种可沿光折变晶体表面狭层空间传播的光波， 光场从表面到体内逐渐衰减，能量被约束在晶体表面狭层空间。这种新型的表 面波与以前人们研究的表面波不同，它是由于光折变扩散非线性引起的，并且 光场是从光折变晶体表面向其体内衰减的表面波。因此，能量被聚集在晶体表 面狭层空间，具有很高的功率密度，因而各种界面的非线性效应得以增强和利 用。 但是，光折变表面波及其在非线性光学效应方面的应用研究工作较少。对 于光折变表面光波的研究，国际上已有少数学者进行此方面的研究工作，但也 只是刚刚起步。而国内对此方面的研究也主要在我们课题组开展。由于光折变 表面波及相关的表面非线性光学效应具有的独特性质，以及铁电晶体在非线性 光学技术中的重要应用。预计未来几年随着表面探测技术及非线性光学技术的 发展，对于铁电晶体表面非线性光学效应和相关应用技术的研究将日益受到国 内外专家学者的普遍关注。但是，在此课题上存在的主要问题就是光折变表面 波的激发条件苛刻，目前实验上激发效率低，所以，对于光折变表面波激发机 制的深入研究，形成完善的理论体系，就显得尤为重要。 本论文的研究的主要内容是光折变表面波的激发，对光折变表面波的激发 及效率的提高有重要的意义，研究结果将在表面非线性光学技术、表面探测、 集成光学方面产生一定影响，并将能够用于谐波发生和增强、表面波导等表面 光子器件的开发，另外在物理的、化学的表面探测及集成光学器件设计中也会 第一章绪论 发挥重要作用。 第二节光折变效应简介 光折变效应( p h o t o r e f r a c i v ee f f e c t ) 是光致折射率改变( 1 i g h ti n d u c e dr e f r a c t i v e i n d e xc h a n g ee f f e c t ) 的简称，它是电光材料在光辐照下由光强的空间分布引起材 料的折射率相应变化的一种非线性光学现象【7 j 。 光折变效应是发生在电光材料中的一种电光现象。光折变过程及物理机制 可以简单概括为： 电光晶体中的杂质、空位和缺陷充当电荷的施主或受主。在不均匀光辐照 下，施主杂质被电离产生光激发载流子。光激发载流子在导带中或因浓度梯度 扩散，或在电场作用下漂移，或因光生伏打而运动。迁移的电荷可以被受主重 新俘获，经过再激发，再迁移，再俘获，直到到达暗区被深能级的受主俘获， 形成了与光强空间分布相对应的空间电荷分布，建立了相应的空间电荷场。空 间电荷场又通过电光效应在晶体内形成了与光强的空间分布相对应的折射率变 化。 在光折变效应中，自由载流子的迁移机制共有三种，即由于载流子浓度梯 度导致的扩散机制、外加电场引起的漂移机制和光生伏打效应。在常见的光折 变材料中，载流子的扩散是普遍存在的迁移机制，但是不同的光折变材料，不 同的迁移机制占主导地位。比如，类4 m m 点群的光折变材料：钛酸钡( b a t i 0 3 ) 、 铌酸锶钡( s b n ，s r x b a l _ x n b 2 0 3 ) 和钾钠铌酸锶钡( k n s b n ) 等，扩散和漂移机 制占主导地位；类3 m 点群的光折变材料：铌酸锂( l i n b 0 3 ) 和钛酸锂( l i t a 0 3 ) 等，光伏效应和扩散机制占主导口1 。 光折变效应属于弱光非线性效应，与强光非线性相比，有许多显著的特点， 在这里不多赘述，详见参考文献 7 。光折变效应是光电材料的一种普遍性质， 已被广泛应用于光学的许多领域，用光折变材料已成功制作了多种用途的非线 性器件，例如：三维光折变体全息存储器、自泵浦相位共轭器、在光通信的波 分复用技术中使用的窄带滤波器和定向耦合器，光像放大器和振荡器，由光折 变孤子写入并存储波导，空间光调制器以及在光学信息处理、光计算及神经网 络技术方面的各种实用器件。 目前为止，利用光折变材料的光折变非线性来激发光折变表面波的研究， 第章绪论 国外只有少数学者进行过此方面的研究，国内对此方面的研究也只有本课题组 在进行。但是，对于光折变表面波及其引起的各种非线性光学效应的研究，正 如上节所言，有着广阔的前景和深远的意义。 第三节光折变表面波的进展 对于光折变表面波的研究，早在1 9 9 4 年，r o nd a i s y 和b a r u c hf i s c h e r 从理 论上首次研究了光折变晶体界面光波的性质【引，但是，光波是从线性介质传播到 光折变晶体界面的，不是本论文研究的光折变表面波，本文研究的光折变表面 波是从光折变晶体体内入射，由于光折变非线性作用在晶体界面激发出光折变 表面波。根据光折变非线性效应形成的机制，p rs w s 可分为三种基本的类型， 即：扩散机制下的p rs w s 扩散和漂移机制下的p rs w s ，扩散和光伏机制下的 p rs w s 。 1 3 1 基于扩散机制的光折变表面波 1 9 9 5 年，c t s g a r c i aq u i r i n o 等人首次提出了光折变表面波的概念，并从理 论上得到了扩散机制下的光折变表面波的解析解和各种可能的光折变表面波类 型，同时给出了三种典型介质界面：光折变晶体一理想金属界面、光折变晶体 一线性电介质界面、光折变晶体一光折变晶体界面处的光折变表面波的形态， 并计算了p rs w s 在介质中的贯穿深度 9 1 。 1 9 9 5 年，c r o n i n - g o l o m b 在4 5 。切割的b a t i 0 3 晶体与空气界面实验观测并验 证了光折变表面波的存在，并测量了表面波的贯穿深度约为6 岬【l 。 1 9 9 6 年，g s g a r c i aq u i r i n o 等人考虑了暗电导和附加的非相干辐照，具体 分析了光折变晶体与电介质的界面处表面波的性质，指出暗电导和附加的非相 干辐照不会影响p rs w s 的光场分布的形式，只会使光场从表面到体内的衰减变 得缓慢【1 1 j 。 1 9 9 9 年，s m o l y a n i n o v 等人用近场光学显微镜观测到b a t i 0 3 晶体与空气界 面处振荡型的光折变表面、波1 1 2 j 。 2 0 0 1 年，r a f a e lt o r r e s c o r d o b a 等人从理论上研究了表面波的形状和稳定性 与入射光束的形状关系，当用方波入射到两种不同的光折变晶体的界面时会形 第一章绪论 成稳态的反对称的表面波，当用高斯光束入射到两种不同的光折变晶体的界面 时会形成准稳态的对称的表面波【1 3 。 2 0 0 5 年，我们课题组实现了对光折变晶体s r o 6 8 a o 4 n b 2 0 3 与空气界面的光折 变表面波的实验观裂1 4 j 。 2 0 0 6 年，我们课题组通过光折变效应的带输运模型和非线性波方程首次研 究了扩散机制下光折变表面波的模式问题，得出了入射角度与表面波的模式间 的关系【1 5 j 。 2 0 0 6 年，我们课题组基于扩散机制光折变表面波在s r o 6 b a o 4 n b 2 0 3 晶体与空 气界面实现了表面二次谐波的增强l l 6 。 2 0 0 7 年，我们课题组首次考察了光折变表面波的t e 模和t m 模式的传播行 为以及它们之间的耦合问题l l7 1 。 1 3 2 基于扩散和漂移机制的光折变表面波 1 9 9 6 年，k h o m e n k o ，g a r c i a w e i d n e r 和k a m s h i l i n 在b i l 2 s i 0 2 0 晶体表面实 现了扩散漂移机制下信号光与光折变表面波的耦合引起的光放大【l 引。 1 9 9 7 年，b e l y i 和k h i l o 对扩散和漂移机制下的光折变表面电磁波的性质和 形态进行了最初的理论研究。他们的基本思路是：直接利用以前所得到的扩散 和漂移非线性机制下在无边界的光折变晶体中推导出来的空间孤子解的形式， 并根据表面波的特征，对表面处折射率参量修正为n 。得到了表面孤子的解i l 圳。 1 9 9 8 年，a l e s h k e v i c h ，v y s l o u k h 和e g o r o v 用数值模拟的方法直接求解非线 性薛定谔方程，对光折变晶体与线性电介质、光折变晶体与金属界面处的光折 变表面波进行了分析，发现零阶孤子的波形由于扩散非线性的作用基本对称， 而n 阶孤子波形的峰值向体内逐渐递减【2 u j 。 1 9 9 9 年，s m o l y a n i n o v 等人在b a t i 0 3 晶体中在扩散机制下通过激发光折变 表面波诱导实现了表面二次谐波的增强2 。 2 0 0 1 年，z i m i n 和p e t r o v 基于体孤子理论方法讨论了光折变晶体和透明的 各向同性介质界面处反射时的双稳态现象。他们考虑光波由透明的各向同性介 质入射到扩散和漂移机制的光折变晶体界面发生全反射的情况得到了光折变表 面电磁波解。 2 0 0 1 年，a l s h k e v i c h ，k a r t a s h o v 和v y s l o u k h a n d 等人基于非线性薛定谔方程 4 第一章绪论 利用有效粒子法研究了扩散和漂移机制下p rs w s 的特征与稳定性问题 2 2 2 3 1 。 2 0 0 2 年，a l v a r a d o - m e n d e z ，o j e d a - a g u i r r e 和s a n t o s a g u i l a r 等人在光折变晶 体体内孤子自弯曲的基础上，用数值模拟的方法直接求解非线性薛定谔方程得 出了表面处孤子【2 4 j 。 2 0 0 3 年，p e t r o v 从理论上具体分析了扩散和漂移机制的光折变晶体 s r o 6 b a o 4 n b 2 0 3 与各向同性的透明介质界面的边界值问题。指出在各种类型的表 面波中，只有孤子类型的表面波可以存在于扩散漂移机制下的各向同性的电介 质与光折变晶体的界面处【2 引。 2 0 0 4 年，a l v a r a d o m e n d e z 和a n d r a d e l u c i o 等人研究了在一维界面扩散和 漂移机制下形成的p rs w s 的行为【2 6 】。 2 0 0 5 年，我们课题组在研究扩散机制下光折变表面波的基础上，考虑外加 电场以及背景光对扩散机制光折变表面波的模式的影响【27 1 。 2 0 0 5 年，我们课题组在实验上观测了扩散和漂移机制下s r o 6 b a o 4 n b 2 0 3 晶体 与空气界面处激发的光折变表面波，并得到了形成光折变表面波的条件及表面 波的特性1 2 8 1 。 2 0 1 0 年，我们课题组基于扩散漂移机制光折变表面波在s r o 6 b a o 4 n b 2 0 3 体 与空气界面实现了表面二次谐波的巨增强【2 9 1 。 1 3 3 基于扩散和光伏机制的光折变表面波 到目前为止，对于扩散和光伏机制下的光折变表面波的研究还较少，主要 是因为人们一般认为典型的光伏晶体( 如l i n b 0 3 ) 是自散焦介质，即a n 0 ，不 利于光能量的有效汇聚，在体内只能形成灰孤子或者暗孤子，不能形成亮孤子。 但是有人发现利用外加背景光可以实现光伏非线性从白散焦到自聚焦的转变。 2 0 0 5 年，我们课题组张天浩和杨大鹏等人利用这一效应，采用背景辐照对扩散 和光伏机制下l i n b 0 3 和空气界面处的光折变表面波存在的可能性和形态进行了 理论研究，得到了扩散和光伏机制下非线性薛定谔方程的数值解及信号光的稳 态解，给出了信号光与背景光的偏振方向及强度比例对自散焦到自聚焦转变及 光折变表面波形成的影响1 3 训。 第四节本论文主要研究内容 第一章绪论 我们知道，基于扩散机制的光折变表面波的理论已相当完善，并在b a n 0 3 晶体界面观察到了光折变表面波。但是，以前的理论研究仅局限在对光折变表 面波模式的分析，稳定性分析至今没有提出，光折变表面波激发和传输的条件 一直也没有研究清楚，所以至今理论上没有激发出可以稳定传输的光折变表面 波。实验方面，文献【1 2 】提到的激发效率也非常低，更没有研究清楚可以激发光 折变表面波的实验条件；基于扩散和漂移机制的光折变表面波的理论报道虽然 不少，但至今还没有形成统一的体系，特别是，实验上还没有人进行过报道。 鉴于上面提到的研究背景，本文主要研究的内容包括： ( 1 ) 基于扩散机制的光折变表面波的稳定性分析。 ( 2 ) 基于扩散机制的光折变表面波激发。 ( 3 ) 基于扩散和漂移机制的光折变表面波激发理论研究。 本论文首次对基于扩散机制的光折变表面波稳定性进行了分析，实现了扩 散机制、扩散和漂移这两种机制下光折变表面波的激发，与我们课题组在实验 上激发的两种机制下的光折变表面波，得到了很好的吻合。 6 一一一 第二章光折变表面波理论模型及数值计算方法 第二章光折变表面波理论模型及数值计算方法 第一节非线性波方程 在m a x w e l l 方程中，假设p = 0 ，m = 0 ，盯= 0 ，则： v 一一百0 1 1 锄警 v 日：望：堕型 a t 魂 v d = 0 v b = 0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 这里e 是电场矢量，日是磁场矢量，b 是磁感应矢量，d 是电位移矢量，p 是电 荷密度，肼是磁化强度，盯是介质的电导率，8 是介质的介电常数，, u o 是真空中 的磁导率。 假定介质是均匀和各向同性的，有v e = 0 ，由( 2 1 ) 和( 2 2 ) 给出： v 2 e 确鲁 ( 2 1 ) 其中v 2 是l a p l a c i a n 算符， v 2 = 再0 2 + 为+ 瓦0 2 考虑e 为时谐电场，即e ( ，) = r e 陋( ，) e x p ( f w f ) ， 把雷( ，) 写成e ( ，) 。这时，波方程( 2 5 ) 式化为： v 2 e = 一矿p o 晓 ( 2 2 ) 为了书写方便，下面仍 ( 2 3 ) 因为聆= 氏y 2 ，= 如风) l 胆，p 0 6 0 = 1 c 2 ，得到矢量h e l m h o l t z 方程： v 2 e + k ；n 2 e = o ( 2 8 ) 其中肠为真空波数，力为介质折射率。本文考虑一束e 偏振的光波沿z 方向传播， 并在x 方向有一定的能量分布( 光束的横向范围在j ，方向远远大于x 方向) ，这 时，复振幅光场e ( x ，z ) 满足标量波动方程： 第二章光折变表面波理论模型及数值计算方法 睁瓣蝴2 脚 泣9 ， 对于非线性介质，有 忍2 = ( ，+ 门) 2 2 + 2 n t l , a n ( 2 4 ) 其中h i m 为非线性介质的线性折射率，a n 为因介质非线性引起的折射率变化量。 所以这时的非线性波动方程可以化为 睁瓣+ 瑶坛+ 2 n t m a n ) e = 。 亿5 ， 其中a n ( x ) = 叫0 ，剐2 ，其中，是电光张量，e 。为空间电荷场【刀。在特定坐标 系下，各向异性介质的折射率变化量可写为 血g ) = 一3 瓦g ) 2 ( 2 6 ) 其中，r e f f 是有效电光系数，最。( 功被诱发的空间电荷场，由带输运模型给出具体 表达式。 第二节带输运模型及空间电荷场 1 9 7 9 年，k u k h t a r t v 等人【3 1 ，3 2 1 在对光折变光生载流子迁移机制研究的基础上， 提出了带输运模型( b a n dt r a n s p o r tm o d e l ) 。由于带输运模型同时考虑了光激发 载流子在晶体内迁移的三种可能过程，比较全面地分析了光折变效应的微观过 程，所以目前已被广泛接受。描述光折变过程的基本动力学方程组： 被电离的施主数密度：的速率方程： 譬：( 以+ ) ( d 一) 一峭 ( 2 7 ) 自由电子连续性方程： 望：一v ，( 2 8 ) a t 电流方程： j = e m e + 胚8 t v n + j 肋 ( 2 9 ) 电荷密度方程： 8 第二章光折变表面波理论模型及数值计算方法 p = p ( 吾一a 一刀) ( 2 1 0 ) 泊松方程： v ( 占e ) = g ( 一m - n ) ( 2 1 1 ) 式中以为导带中的电子数密度，d 为施主数密度，孵为被电离的施主数密度， n a 为受主数密度，j 为电流密度，p 为电荷密度，为电子迁移率，e 为总的 电场强度，砌为光伏电流密度，k 8 为玻尔兹曼常数，r 为绝对温度，s 为光激 发截面，t 。是入射光强，为热激发速率，为光电子与陷阱的复合常数，e 为基元电荷电量，占为介电张量。 在一维稳态情况下 a n - d ：o ，( 跗+ f 1 ) ( n d 一孵) ：刀 o t 尝= o 肌丢( g 旭+ 即丢刀+ ) = 。，其中厶= 椒，= x s ( n o 一孵) ， _ d e + ( g 占) ( 刀+ - 一吾) ：o a x ( 2 1 2 ) 通过解以上方程组就可以得到单光束辐照时一维稳态情况下的空间电荷场分 布。设外加电场e o 沿x 方向。入射光沿z 方向传播，边界条件为： e ( x - - o o ，z ) = 毛，o 专o d ，z ) = 乞，刀o 0 0 ，z ) = ( 2 1 3 ) a 西n d = 0 条件下( 2 1 8 ) 式给出： 刀：s ( i + i d ) ( n i , - n 去) y r n 盖 其中厶= s ，n 0 = 盟裟掣 由( 2 1 8 ) 给出g 刀( e + k b t _ d n + q nd x q p n 9 ( 2 1 4 ) = g ( 扇+ 耳彘) 第- 二章光折变表面波理论模型及数值计算方法 其中簧产，一型q 产l d ，石编， 口“珂j i 十j 八v n 一，) j = 丛q , u 志= 志i + l dl + i d 其中e 。：业，为光生伏打场，这里用了孵m 近似。这样： q l a e = 鲁反+ 鲁& 彘一等安一b 击 = 等c 岛+ 乓击，一等南罢一t 南 e s c 砜昔 td 1 n ( i + i d ) q d x ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 一e p i ，+ i 。 ( 2 1 7 ) 公式( 2 2 3 ) 第一项表示在外加电场作用下漂移机制对空间电荷场的贡献； 第二项为扩散机制的贡献；第三项为光生伏打效应的贡献。 第三节光折变表面波模式的数值解法 为了研究光折变表面波的模式，通过求解本章第一节的方程( 2 1 1 ) 式的稳 态解。即方程( 2 1 1 ) 中波场沿z 方向传播的稳态解可以取为：地力= a ( x ) e x p ( i f l z ) ， 其中彳o ) 为光场复振幅，在x 一士o 。，彳o ) _ 0 ；伊k o n l m s i n o ，是光波沿z 方向的 传播常数，代入方程( 2 1 1 ) ，得到稳态波方程： 百0 2 a ( x ) + k 坛+ 2 如) 一2 1 4 g ) = o ( 2 1 8 ) 把方程( 2 1 2 ) 和( 2 2 3 ) 代入稳态波方程( 2 2 4 ) ，其中厶= 陋 一士) 1 2 = 0 ， 得到： 垡+ ，上堕一口；l 么+ 6 二么+ 叫：o ( 2 1 9 ) 可+ 77 百i 卅7 百以7 百以+ 翻刈 u 。 其中) , = 2 k 0 2 n l m 4 r 冰b t e ，萨好n , 4 r e t o ，萨碚0 r 簿e p ，c = 碌孑毋，a = 圳对挖， 为归一化光场振幅。 稳态波方程( 2 2 5 ) 为一个二阶非线性常微分方程，无法求出解析解，但是 1 0 称，改进的欧拉法) 、预测修正法( p r e d i c t o r - c o r r e c t o r ) 、松弛法( r e l a x t i o n ) 及龙格库塔法( r t m g e k u t t a ) 等等。其中龙格库塔法【3 3 】精度高，而且可以采取 措施对误差进行抑制，虽然其实现原理较复杂，但是目前该算法已经有现成的 程序段( 例如，m a t l a b 求解器s o l v e r ) ，可以直接使用、简便有效。本文求解方 程( 2 2 5 ) 用到了m a t l a b 求解器s o l v e r 中的o d e 4 5 ( 4 ，5 阶龙格库塔法) ，它 的显著特点是，可以求解非线性常微分方程，求解过程采用自适应变步长，计 算精度和效率高。对于o d e 4 5 原理详见文献 3 2 1 介绍。 对于稳态波方程( 2 2 5 ) ，为一个二阶常微分方程，先将其变换为一阶常微 分方程组，在利用上面介绍的龙格库塔法o d e 4 5 函数求解。该微分方程变为下面 的方程组： 堕：么 誊：二( 南卜口( 南卜( 篇卜叫 ( 2 2 0 ) 譬叫( 南卜口( 南卜( 篇卜叫 忆。列 写成矩阵形式为： 警= 北 - 忐一凳一熹卜 亿2 ， 方程变为上述( 2 2 7 ) 形式，其求解过程与一阶微分方程相同，给出自变量x 的范围，选好自变量步长h 以及函数y 在自变量初值处x o 的初值y o ，利用m a t l a b 里的o d e 4 5 函数就可以求出非线性微分方程的数值解y 和y 。注意的是，这里y 的初值输入应为向量的形式，即灭确加) 和y 加) 。 第四节光折变表面波稳定性分析方法 利用本章第三节提到的数值方法龙格库塔法，我们可以从数值上计算 出光折变表面波的稳态解，但并不能保证光折变表面波是动态稳定的，即能够 保证在传播的过程中能量和形状没有明显的变化，因此我们必须要对光折变表 面波的稳定性进行研究，从理论上证明光折变表面波的稳定性。常见的稳定性 分析方法主要有：v a k h i t o v k o l o k o l o v 判据【3 4 3 5 1 和线性稳定性分析。但是 第二章光折变表面波理论模型及数值计算方法 v a k h i t o v k o l o k o l o v 判据仅适用于无节点的孤子，而我们本文考察的是光折变非 线性的扩散机制下的光折变表面波模式的稳定性，这种表面波是一种除了零阶 模外，其他模式都是有节点的，所以v k 判据在此不适用。而线性稳定性分析 方法是一种普遍使用的方法1 2 3 1 ，可以对这种表面波进行了稳定性分析，所以下 面仅介绍线性稳定性分析方法。 为了验证线性稳定性分析方法对光折变表面波的分析结果，后面我们用本 章第五节节提出的分区快速傅里叶变换光束传播方法( b e a mp r o p a g a t i o n m e t h o d ，b p m ) ，对光折变表面波稳态数值解加入一个随机噪声作为初始光场， 进行了传播测试，进步验证了对线性稳定性分析方法的分析结果。而对于在 扩散和漂移两种机制共同作用下的光折变表面波的模式和稳定性分析，在国际 上已经有不少人进行了分析和报道，而我们课题组以前也提出了一种新方法， 采用弹簧振子模型分析光折变表面波的稳定性【3 刚，在此不多赘述。 线性稳定性分析的基本思想是：给要分析的表面波解加上一个微扰，构成 微扰解，然后代入描述光束传播的方程( 2 11 ) 式，分离微扰解的实部和虚部，构 成一个本征矩阵，求解其本征值实部和虚部。若本征值实部是非零的数( 即本 征值是复数) ，则表面波是不稳定的；本征值实部等于零( 即本征值是纯虚数) ， 则表面波是稳定的。下面给出具体的分析过程。 把( 2 1 2 ) 和( 2 2 3 ) 式子代入方程( 2 11 ) ，只考虑光折变扩散非线性，非线性波 动方程变化为： ( 萨9 2 + 导卜砖( 碗+ 7 高等户= 。 c 2 2 2 ， 其中尸2 2 门加t ，枷t e ，e k 耿仂坦为归一化的光波场。 选取的微扰解为：e 魄力= m + “ ，z ) + i v ( x ，z ) e x p ( i f l z ) ，其中，u 和v 是微 扰解的实部与虚部，u ( x ，力= r e u ( x ，力唧】，地，力= r e v ( x ，z ) e x p ( 2 z ) ，且u ， 1 l ， 一7 彳暑 上面推导过程忽略掉哆乞z 项。 其中，方程( 2 2 5 ) 式可以进一步写成： y 兰旦彳： y 孑石瓦肚一目+ 隰 帮1 4 j 并考虑到，“譬和v 罢可以忽略，式子( 2 3 1 ) 可以得到一组方程： 出优 o v o z + 俯磕一2 ) + 7 彳2 旦+ 2 彳 盘 彳2 + 1 争专融嘛拍2 ) 一a 2 + l - 期y 令上式( 2 3 3 ) 0 0 算( f f 0 = 万，写成矩阵形式： 叱 1 3 “ ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 甜瓦 生掰 。l 上印 第二章光折变表面波理论模型及数值计算方法 朴旺 其中，矩阵l 里的元素三l 和l 2 为： 珊 卜芝l 肛 a 2 f + 噼碗卅+ 厂南剃 ， 1 厶2 万昙+ 噼碗) + y j a zf l 望舞_ + 2 事a o a ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 通过数值求解矩阵的本征值，即复增长率五，可以分析复增