（应用数学专业论文）umd3fq的道路图结构及其应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 令是特征数不为2 的有限域，( 3 ，) 表示有限域上3 维非零向量组成的集 合本文在d ( 3 ，) 中研究了道路图结构，并用这些结果构造了具有多个结合类的结 合方案，而且计算了相应的参数 关键词：有限域；道路图；结合方案 u m d ( 3 ，f q ) 的道路图结构及其应用 t h ep a t hs t r u c t u r eo f ( 3 ，) a n di t sa p p l i c a t i o n a b s t r a c t l e t b ef i n i t ef i e l d s w i t h c h a r f g 2 ，a n d 砜d ( 3 ，) d e n o t e st h e s e to fn o n z e r o v e c t o r so v e r 矿3 ( ) w h e r ed i m v 3 ( ) = 3 i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ep a t hs t r u c t u r eo f v e c t o r si n ( 3 ，乞) ，a n du s et h e s er e s u l t st oc o n s t r u c ts o m ea s s o c i a t i o ns c h e m e sw i t hm a n y a s s o c i a t i o ns c h e m e sw i t hm a n ya s s o c i a t i o nc l a s s e sa n da l s oc o m p u t et h e i rp a r a m e t e r s k e yw o r d s ：f i n i t ef i e l d ；p a t hs t r u c t u r eo fv e c t o r ；a s s o c i a t i o ns c h e m e 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工 大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 丝塑丛至：已2 苎匹鹭! 囝丝煎垒壅应颦 作者签名：丝盟l 吼肆年二月血 u m d ( 3 ，f q ) 的道路图结构及其应用 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交 学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大 学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 大连理工大学硕士学位论文 引言 有1 的交换环r 上的向量称为幺模向量，如果该向量的坐标生成的理想为环r 本身 环r 上n 元幺模向量的集合记为u _ ( n ，r ) 如果r 为域f ，u ( n ，f ) 即为f 上r l 元非零向量 之集h i n s o n u 。对于交换环r 上的u - ( n ，r ) 提出了道路图结构理论并将它应用于研究 u - ( n ，r ) e 。r 上的v a s e r s t e i n 幂算子和e i r 初等分解的最小长度的估计嗍口1 为了完整对 特征数不为2 的有限域上的向量空间中非零向量的道路图结构的研究，本文将对特征数 不为2 的有限域上n = 3 维非零向量空间的道路存在性，及具有同一范数的非零向量间的 道路长度为某一确定值的条件作彻底研究我们会看到当n - 3 时向量间的道路关系比 n 4 时的情况要复杂的多隋儿7 1 u m d ( 3 ，f q ) 的道路图结构及其应用 1 预备知识 定义1 设有1 ，个处理，聊种关系，我们用矿，y ，k ，呸，表示处理，( y ，v ) = i 表示处理 y 与矿有第i 种关系假设这，个处理对于这7 1 种关系满足以下条件： ( i ) 任给两个不同的处理k 和k ，总有唯一的i ( 1 is 册) ，使得( k ，k ) = f ；而且当 ( k ，砭) = i 时，总有( ，k ) = f ( i i ) 任给一个处理矿，那么对于每_ 个i ( 1 i 聊) ，与y 有第i 种关系的处理共有惕 个，与y 的选择无关 ( i i i ) 对每一组( f ，j f ，七) ( 1 f ，歹，k m ) ，如果( k ，v 0 = i ，那么与k 有第_ 种关系又与有 第k 种关系的处理共有p 么个，p 么与k ，k 选择无关于是我们说，这v 个处理对于这脚种 关系构成聊个结合类的结合方案关系叫结合关系，1 ，珥，p k ( f ，j f ，k = l ，2 ，m ) 叫做这个结 合方案的参数 易之，朋个结合类的方案的参数之间适合以下关系式： 1 ，= ，l i + ，+ + 刀册+ l p 名= 死，i ，k = 1 , 2 ，聊， 善办书1 嚣州i = j ，i 闩，2 ，m p 幺= 玎，以， i , j ，k = 1 , 2 ，m 因此对于两个结合类的结合方案来说，如果已知v ，d ，和p 二，那末其余的参数也被确定 定义2 令a = ( 口l ，口2 ，) e u m ( i i ，r ) ，一个向量卢= ( b l ，b 2 ，b 1 1 ) t 是a 的相伴元，若 t a = 口，岛= 1 令 渊 n ( 口) = ( c l ，c 2 ，e n ) t er n i a i c ，= 1 ) 即n ( a ) 由a 的所有相伴元组成给定a ，卢u m ( n ，r ) ，一个从口到卢的道路是指一个有 序序n 2 下面我们将按d , u 的关系，分几种情况详 细考证( 1 ) 式有解和无解的条件： 一当d - - u 时易见( 1 ) 式等价于 2 ( a 2 + 6 2 ) ( 甜一d ) y = 砌? 霹一霹- ( a l 一6 1 ) 2 又此时有a 2 + 6 2 - g ：0 若不然有- a ? - a ；= q6 l + 口2 b 2 = a l b l a ；即a l = b l ，则 a ? + 口；+ b 2 = d ，霹= o ，矛盾因此，( 1 ) 式有解，即d ( a ，卢) - 2 二当d - - u 时，只有在d = - i 芒碍时才有d ( a ，) = 2 事实上，当d = u 时，( 1 ) 式等价于 o ：如，2 2 一巧- ( a ，一岛) 2 故只有在此式成立时，才有解而此等价于d 2 = 1 又d 仨露， 故当d _ - 1 仨砰时，才有d ( a ，p ) _ 2 否则，d ( a ，卢) 2 继续考证d - - u 1 的情况此时卢= ( 6 1 ，b 2 = u - a j b i ，b 3 ) ，口；霹= 一材( 口1 6 1 ) 2 令 “2 y = “，y ，z ) 7 ，考虑方程组 作简单整理得 罾a l x + a 2 ：y 筹= 1 l 一! 二1 2 z 一 q z：(-da)a2-a2bi)+(ubi-ua,)y a l a 2 b s x 2 + y 2 + z 2 = d 把前两式代入第三式整理得二缫y = u 1 1 一蟛 a ll 口1 一o l ja i口l 又d - - u ：- 1 ，a l a 2 0 故必有a l b l ，否则由d 飞口；+ 口；= 口l6 l + 口2 如有口2 = b 2 ，则有 b 3 = o ，矛盾，故有解再，与卢线性无关事实上，若，= 卢，则户a = 1 = i l ，此矛盾于 u 1 ，所以，与卢无关因此由“一一知d ( v ，卢) = 2 ，即d ( a ，卢) = 3 三当d u 时，对方程( 1 ) 先除以d 2 u 2 ，然后配方得 u m d ( 3 ，f q ) 的道路图结构及其应用 旷等) 2 - 坐警争型+ 噼 2 瓦未两如? 霹一2 如? + 2 彩：2 + 讹- 2 码2 + 2 u 2 _ 4 u a 2 也) 口1 2 d 3 2 ( d 2 + d u 一2 ) = _ _ _ 二_ - _ ：二_ _ - _ _ _ _ - _ _ - _ - - _ _ _ _ - - - - - _ _ _ - _ _ _ ( d + “) 2 ( d u ) 所以，当堕攀碍时，方程( 1 ) 有解，即d ( a ，卢) - 2 否则无解，即d ( a ，f 1 ) 2 我们继续考虑当d 屿竺 鱼璺正碍，u 1 时的情况仍令a ，卢如前，则有 d a ；= 斫+ 甜2 - 2 u a l b l + 口2 2 码2 令y = ( x ，y ，z ) 7 ，考虑方程组 i ，口= 1f a l x + a 2 y = 1 l ，y = d【x 2 + y 2 + z 2 = d i 口l ( x + b 1 ) + a 2 ( y + b 2 ) = 1 + 甜 营 6 l ( x + b 1 ) + b 2 ( y + 6 2 ) + b 3 ( z + 6 3 ) = 0 i ( x + 6 1 ) 2 + ( 少+ 6 2 ) 2 + ( z + 6 3 ) 2 = 0 i 口l x + a 2 y 2 1 + “ 营 岛x + b 2 y + b 3 z = 0 ( 2 ) i x 2 + y 2 + z 2 = 0 一d 碍营( 1 ) 仨碍因此，如，与卢无关，则由“- 知d ( v ，f 1 ) = 2 事实上，与卢无 再继续考证当d u d 2 _ + d u 一- 2 叠碍，( 1 ) 露时的情况( 注意：此时u 可以为1 ) 口一u 。 y a = 1 ，卢：w d 、，d 2 - = + d w 一- 2 牙( 3 ) a w ，。，= d 一6 一 大连理工大学硕士学位论文 有解贝j j 由“三 前面的证明知d ( v ，卢) = 2 ，即d ( a ，卢) ：3 ( 此时，与p 无关，如不然y = 卢， 有卢口= 1 - - u 若u = l ，矛盾；若u = - i ，则当，= 卢时有u = l 矛盾当，= - 卢时，w = - d , 但 w = - d 对应的d 2 _ + d w 一- 2 口一w 可 = 一吉仨碍，矛盾) 下面我们只要指出存在满足( ? ) 式的y ，w 即 设等= h 巧，w = 丝亏笔竽易见当h 碍时有w 与之对应且是一一对 v 。a = 1 ，。卢= 1 4 解数+ w - - 叫l v v = d v7 a = l ，。卢= w 解数( 注：w v7 v = d f ，7 a = 1 ，r 卢：w 将前两式代入第三式整理，则有第三式为一元二次方程) ，而右端后两部分方程 i v t v = d 中有解的方程个数至多为乏 ( n nh 萑巧的h 的个数为芝 ，即右端第二部分的方程 数至多为生；但是但w 刮时，h ：堡霉：一导萑巧，而此时它对应的在右端第二部 2a t w口 分的方程无解，参看( 2 ) 式) 故右端后两部分方程的解数至多为q 。1 但是我们将上式 左边方程j v7 a = 1 的一式代入二式整理，并由引理1 1 ，知道上式左边方程解个数为 q + j l i ( 口? 一吉+ 参2 ) t 7 ( 才0 2 ) m + 1 ( 注：口；一石1 + 笋2 0 ) 所以，有一个w 使与之对应的 h 碍，即d ( v ，卢冲，d ( a ，卢问( ( 3 ) 式) 四设d 坞百d 2 + d u - 2 萑巧，u - 1 ，( - 1 ) 叠巧考虑方程组 ，卢：w ，即 口一, 。 l 箩 数解 1 w d = l l = 口卢y 扩 管厅* 数解 l d i i = 够v ，-i-_l又仁 应 d 功“哪 “ = x卜以 k = q 玩 o 玩斗 一一“0 )卜 蛐o 如少+ + “岛岛户 + + 1 + 幽所 w = d _ =，啦乙 卅曲严吒k 户 帆坞 z x 叩啦， u m d 鱼：堑2 笪壅堕堕笙塑堕查旦 一 一一 把前两式代入第三式整理得 弘矿 x 2 + 少2 + z 2 = 2 ( w + d ) - 2 ( d + w ) 可a t ( w + d ) 2 所以由弓l 理2 1 知上式有y 解的充分必要条件是等( d 2 d w - 2 ) 晖进而有唯哺 的充分必要条件是w 葺d ，w ；望产，而有两个不同解的条件是w 吐w 丁d 2 - 2 且 d 2 一d w 一2 d + w 因为当 它对应的b 司( d 2 2 ) 碍所以此时方程组 ，。卢= 1 w 有解 a = l v t v = d ，且与卢线性无关( 事实上，当y = 卢或，= 芦会导致2 = o 或d 2 - 1 ，矛盾) 这样，此时有 再w ，z h 。， f ( w ，：d ) j 乃匕：也为一一对应故若存在某个x 2 ( x 2 。，。也。孑1 ) 使它对应的 巧，则证毕 下面设所有的x 2 ( x 2 o ，- d ，- j 1 ) 对粤的象而匕：仨 的忏也w = 竽，w = 一8 一 碍又易知能使方程组 ，卢= 1 w 有解 l ，口。 l ，= d 其总个数为q - 23 + 2 - 孚，且 y 一 一 = x 帮 对 约 删 咱 等一 m 们 0 一 孵 越 卧 肋乏且篡 旷 脚 则 钳 2 ， 江 乏 段警舭生d 卟 阴曩融 州 正 方 兰彳降 口2 一 i竺毒 乙 设 的 心 瞰 啪 y k f 大连理工大学硕士学位论文 w ：竺三皇芝兰( x 2 0 一，d ) 对应的方程组w = _ i ，一d ) 盯胜网万程组 d + x ，7 口= 1 v 1 卢= h ，有两个解再、7 l ，= 一d 对应的 v v = d ”一扣，w = 竽对鳓h a 2 d - 2 = d ( d 2 2 ) 叠碍考虑 i ，。a = 1l ，口= ij ，7 a = i 哆般i + 外y , t v f l = d w 臌- 三陋， 我们知道( 4 ) 式右端第一部分有孚个方程，右端第二部分有孚个方程( 根据有限域中 平方元与非平方元的个数) 因为等= 一吉巧，所以( 4 ) 式右端第三部分方枉有d + d d 两个解又我们假定了所有的w ：竺等( x 2 o ，_ d ，与) 对应的k 仨碍，总个数为 d + x 口 故( 4 ) 式右端第一部分除w - - - d 对应的方程有一个解之外，其余的方程均无解；第二 部分的方程组除w = 芝善( 即】【2 = o 对应的w ) 对应的方程组有二个解外，其余的方程组 均有两个解或无解至此，若右端第二部分的方程组都有解，则解个数已为 1 + 1 + 2 字+ 2 = q + 1 q 1 ，矛盾于方程组i ，a ：= d 1 的解个挈为q - 1 ( 将一式代入i 式整理， 并利用引理1 1 ) 因此，( 4 ) 式右端第二部分至少有一个方程组无解，但只能有一个无解 ( 事实上，若至少有两个无解，则( 4 ) 式右端解个数至多为1 + 1 + 2 + 2 等子= q 3 1 6 ，这说明至少有一个x 2 ( x 2 ：# o ，。也。i 1 ) 对应的零：碍，矛盾以下我们 对g 一1 2 ；又若d ( a ，卢) = 3 ，则应存在，使，口2 1 且 d ( v ，卢烨若，与卢线性相关，则y = 卢若，= 卢，则y7 口= 声a2 l = 1 飞矛盾；若 v = - t l ，即有x u 耐( 3 ，) 使 p p 一营p 户一1 c f v = 1【一z 1 卢21 有2 ：0 ，矛盾；若y 与声线性无关，则应有w 使，1 卢2 w 且d = 。w 或 d 、，d 2 + - d w 一- 2 a t w y 。a = 1 碍然而，当w - - - d 时，方程组 ，。卢= w 的解唯一且为一p ，当然它 ，= d 与卢相关，矛盾；当d w 时，只有w 3 ，、降1 使方程组 有解，但此时 f ，a = 1 _ d 2 + d w - 2 正巧，所以，d ( a ，f 1 ) 3 可我们在滞5 1 时，方程组 y 7 卢= w 有解，这 d w v t v = d 由“二知d ( v ，卢) = 3 即d ( a ，卢) = 4 命题2 3 设d 岳碍，a 与声都是u m d ( 3 ，f q ) 中的元素且仅卢，与多线性相关，则 1 ) 当d 盅1 仨砰时，d ( a ，卢) = l ； 2 ) 当d ，1 ，d - 2 霹时，d ( a ，卢) - 3 ； 3 )当d 1 ，d 2 芒巧，i f 。i - - 7 ，d - 5 时，d ( a ，卢) = 5 ；而在 i 7 或i l2 7 但d 5 时，d ( a ，卢) ：4 证明因为d 仨碍，d o ，故由a = 印有a 口= d = u 2 卢卢= d u 2 ，u 2 = 1 即“= 1 又 a 卢，所以a 。一卢 1 ) 当d _ - 1 时，易见a 卢= - 口口= 1 ，即d ( a ，卢) 。1 ； 1 w d = = i i 口q 2 l y w 、 u m d ( 3 ，f q ) 的道路图结构及其应用 2 ) 不妨设a = ( a l ，a 2 ，0 ) ，a 2 + a 2 = d ，则p = ( a 1 ，- a 2 ，0 ) 如d ( a ，卢) = 2 ，则存在，= ( x ，y ，z ) 使 ，口= 1 ，v t 卢= 1 但这有2 = 0 ，矛盾所以必有d ( a ，卢) 2 ，又有引理1 1 ，2 1 知方程组 有解且，与口线性无关， 又由( 6 ) 有，卢一l ，则因为d - 2 碍，由命题2 2 证 明过程中的“三”知道d ( ，p ) = 2 ，即d ( a ，卢) = 3 ； 3 ) a ，卢仍如2 ) 中所设令，= ( x ，y ，z ) ，则方程组 y ：a = 1 有解，且与a 线性无关又 ，2d d - 2 萑巧，；= - 1 ，所以由命题2 2 知，r 1 = 7 ，d = 5 时，d ( ，卢) = 4 ，即d ( a ，卢) = 5 而在其 它情况下有d ( ，卢) = 3 ，即d ( a ，卢) = 4 命题2 4 设0 d = 6 2 ，a 与卢都是u m d ( 3 ，f q ) 中的元素且口芦，口与卢线性无关， 卢口= u 如果存在从口到卢的道路，则d ( a ，卢) 4 ；或者不存在从a 到卢的道路迸一步， d ( a ，卢) ：3 ，d ( a ，卢) = 4 与d ( a ，) = 仅在下列情况下出现： 1 ) 当u _ 6 2 一1 , - 1 巧时，d ( a ，卢) 3 ； 2 ) 当u 艿2 ，u - 1 或u 一1 但i l = 1 3 与d - 62 = 1 0 不同时成立， 等萑和巧时，d ( 口胁3 ： 3 ) 当u ，等仨聃仨巧1 时，d ( 哪) ：3 ； 4 ) 当u 艿2 ，u = - 1 ，i f q l = 1 3 ，艿2 = 1 0 时，d ( 口，卢) ；4 ； 5 ) 当p 6 2 ，等叠碍1 仨砰，艿2 = 1 时，a 与卢间的道路不存在 证明方法同于命题2 2 ，故在此略去证明 命题2 5 设o 艿2 = d ，口与卢都是u m d 3 ，f q ) 中的元素r a 卢，口与卢线性相关，则 1 ) 当6 2 = - 1 时，d ( a ，卢) = l ； 2 ) 当占2 = l ，- 1 碍时，d ( a ，卢) - 3 ； 3 ) 当6 2 = 1 ，- i 岳砰时，d ( a ，) = o o ； ，d l = = + 一 么v 仁 叭 否 大连理工大学硕士学位论文 。，1 当6 2 2 碍时，d ( a ，卢) = 3 ， 4 ) 当铲1 1 当艿2 2 诺弓且j 卜1 3 6 ：1 0 不同时成立时，d ( 口，夕) ：4 ； 5 ) 当 f q = 1 3 ，艿2 = 1 0 时，d ( a ，卢) = 5 证明因为62 0 ，故令a = 印，由口a _ - - i 1 2 卢。3 = 82 有u 2 = 1 又a 卢，所以口卢 1 ) 显然 2 ) 令口= ( 6 ，0 ，0 ) ，卢= ( 6 ，0 , 0 ) t 如果d ( a ，卢) - 2 ，则存在y ：( x ，y ，z ) ，= 艿2 使v 口= 1 ， ，卢= 1 有解但这会导致2 = 0 ，矛盾所以d ( a ，卢) 2 而由1 碍有 y = ( ，口2 ，口3 ) ，a 2 口3 0 ，口；+ 口；= o ，即，卢；1 = - 52 所以由命题2 4 知d ( v ，卢) = 2 ， d ( 倪，卢) ：3 3 ) 冷，= ( x ，y ，z ) t ，考虑方程组 船q 臆：， 把1 式代入2 式有y 2 它= 0 但由1 芒巧知它无解，所以d ( a ，卢) = 4 ) 5 j 此时仍有d ( 口，卢) 2 ，证法同于2 ) 的前半部分令y 电，y ，z ) t ，则方程组 ：孑三三： 的解为，= ( 吉，口：，口，) ，口：2 + 口，2 = 丁t 多4 - 1 o 因此，p = - i 彤2 至此，由命题2 4 知当 62 - 2 e 碍时，d ( v ，卢) = 2 ，即d ( a ，卢) - 3 ；当6 2 - 2 仨v ：或l v q l = 1 3 与62 = 1 0 不同时成立时， 也有d ( v ，卢) ：3 ，d ( a ，卢) = 4 ；但当f f q 。= 1 3 ，52 = 1 0 时d ( ，卢) = 4 ，即d ( a ，卢) ：5 命题2 6 设d 卸，口与卢都是u m d ( 3 ，f q ) 中的元素且口卢，与线性无关则当存在从 倪到p 的道路时，有d ( a ，卢) 3 , 1 i i i gd ( a ，卢) - 3 仅在2 u 仨巧，l i e 碍时出现；或者 d ( a ，卢) = ，并且d ( a ，j 6 1 ) = 仅在2 u 萑碍，u 仨巧时出现 命题2 7 设d = 0 ，a 与卢都是u m d ( 3 ，f q ) 中的元素且口卢，与卢线性相 关，卢= ua ，u o ，1 则a 到卢的道路存在时有3 d ( 口，卢) s4 且d ( a ，卢) ：4 仅在 2 u 诺巧，u 巧时出现；或者d ( a ，卢) = ，且它仅在2 u 诺碍，u 仨碍时出现 u m d ( 3 。f q ) 的道路图结构及其应用 3 结合方案的构作与参数计算 我们仅以d = 1 仨巧为例取u 肼d ( 3 ，) 中的向量作为处理来构作结合方案这里所用 的有关定义及符号同于 4 】【5 】 设a 卢u 舶d ( 3 ，e ) 若d ( 口，卢) = 1 ，口一卢，则口与卢有第1 种关系；否则a 与卢有 第2 种关系；若d ( a ，卢) = 2 ，卢a = p ( p 为e 中选定的一个本原生成元素) ，i _ 1 ，2 ，q 2 ， 则口与卢分别有第3 , 4 ，q 种关系；若卢7 口= o ，则a 与卢有第q + 1 种关系 从命题2 2 ，2 3 知上述定义有意义又有引理1 2 知n ，与以为常数 定理3 1 对于结合方案，处理的个数为 v = 9 2 + g j 7 ( ( 一1 ) 2 ) = q 2 + g ； 对于给定的处理v ( = 口( 3 ，c ) ) ，与v 有第f 种关系的处理的个数为 万j2 2 q 一2 ，i = i ； l ，i = 2 ； g _ 1 ，3 f 牢，江g + 1 ； 2 q - 2 ，江掣 定理3 2 对于结合方案，相交数为 以= l ，：1 ，l 七g + 1 但七2 ，掣；：2 ，七：华； 3 ，k g ，p - 2 + p 一2 0 ；3 ，g ，k = q + 1 o ，：1 ，2 ，七：2 ；，：2 ，3 七g + 1 但七皇 譬；= k = 9 + 1 g 一2 ，= 1 ，| j = 掣 1 + l z ( p 2 ( j 一舶一1 ) ，3 ，七q ，p j 一24 - p 。= 0 p 2 一，o ，2 ，g + 1 ，k = q + l ；j = 2 ，2 k q ；3 j ，k g ，p 。一2 + p 。- 2 o 1 业 l q 1 ，j = k = q + 1 ；3 j , k q ，p 7 2 + p 一2 = 0 大连理工大学硕士学位论文 1 ，3 钆3 尼g + l ，乩待华，七牟 m 小= 七= 字 州：掣，：七华；江，：七：9 + 1 1 + 7 ( ( 1 矿埘) b ) ，3 i ，j ，k q ，i ，j ，k 字， 6 = 一，+ p 2 仲- 2 ) + 量筹 ( ( 1 - p ：( i - 2 ) ) ( - l + 寿) ) ，3 鼠钮j = g + l ，f ，歹字 一，7 i 1 矿q ) ，j = k = q + 1 ，3 承q ，i 孚 定理3 1 和定理3 2 的证明方法同于【6 】中相应定理的证明 一1 5 一 u m d ( 3 ，f q ) l 拘道路图结构及其应用 结论 众所周知，近些年利用有限域上的矩阵标准型来构造结合方案理论已经有了丰富的 发展，本文更进一步地发展这方面的理论假设是特征数不为2 的有限域，巩d ( 3 ，) 表示有限域上3 维非零向量组成的集合我们在u m d ( 3 ，) 中研究了道路图结构，并 用这些结果构造了具有多个结合类的结合方案，相应的参数也被计算了出来 大连理工大学硕士学位论文 1 9 2 0 2 1 2 2 参考文献 h i n s o ne k p a t h so fu n i m o d u l a rv e c t o r s j j a l g e b r a ，1 9 9 1 ，1 4 2 ：5 8 7 5 h i n s o ne k o nv a s e r s t e i n sp o w e ro p e r a t i o no ne l e m e n t a r yo b i t s j c o m m a l g e b r a 1 9 9 1 ，1 9 ：1 8 5 1 - 1 8 5 6 h i n s o ne k w o r dl e n g t hi ne l e m e n t a r ym a t r i c e s j j a l g e b r a ，1 9 9 1 ，1 4 2 ：7 6 8 0 万哲先等有限几何与不完全区组设计的一些研究 m 北京：科学出版社，1 9 6 6 ：1 2 7 万哲先，霍元极对称矩阵的非对称结合方案 j 科学通报，1 9 9 0 ，1 3 ：9 7 1 9 7 4 南基洙，游宏利用有限域上非零向量的道路图结构与内积构作结合方案 j j 应用数学， 1 9 9 9 ，1 2 ( 2 ) ：1 21 1 2 8 南基洙，游宏利用有限域上非零向量的道路图结构与内积构作结合方案( i i ) j 数学物 理学报，2 0 0 1 ，2 1 a ( 1 ) ：1 4 2 2 l i d lr f i n i t ef i e l d s m c a m b r i d g