（应用数学专业论文）两个广义逆矩阵乘积的前序率的研究.pdf

原创性声明 本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名：冗龟彳亍色 日期； 乙。f 。尹j f 9 讪防 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名；f 色2 ： 己 导师签名；日期： 跏吁研 上海大学理学硕士学位论文 两个广义逆矩阵乘积的前序率的研究 作者：任行卫 导师：王卿文教授 学科专业：应用数学 上海大学 上海市应用数学与力学研究所 2 0 1 0 年1 月 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt os h a n g h a iu n i v e r s i t y f o rt h e d e g r e eo fm a s t e ri ns c i e n c e r e s e a r c ho nf o r w a r do r d e rl a w sf o rt h eg e n e r a l i z e d o ，- 1 n v e r s e s0 tt w om a t r i xd r o d u c t m d c a n d i d a t e ：r e nx i n g w e i s u p e r v i s o r ：p r o w a n gq i n g w e i m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s s h a n g h a iu n i v e r s i t y s h a n g h a ii n s t i t u t eo fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dm e c h a n i c s j a n u a r y , 2 0 1 0 摘要 本文在四元数除环上研究了两个矩阵乘积的广义逆的前序率问题，得到了一 系列等价性条件，这些等价性条件在矩阵运算中有着非常重要的作用这些结果 进一步丰富和发展了四元数矩阵代数 全文共分为三章，第一章首先介绍本文主要内容的一些研究背景、研究进展 和本文所要做的主要工作除此之外，我们还介绍了一些预备知识第二章我们 给出了( a b ) 7 印b 町) 的充要条件，并给出了一些特例我们在第三章给出了 _ 4 叩b 叩) ( a b ) 町) 的充要条件，并用矩阵的秩方法研究了a + b 矸和a b + 与 ( a b ) 一的关系 关键词：四元数，四元数矩阵，前序率，矩阵的广义逆，最大秩，最小秩 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h ef o r w a r do r d e rl a wf o rg - i n v e r s e s o fp r o d u c t so ft w oq u a t e r n i o nm a t r i c e s ，a n dd e r i v en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h ef o r w a r do r d e rl a w t h e s ec o n d i t i o n sh a v eaf a r - r e a c h i n g i n f l u e n c et om a t r i xo p e r a t i o n t h e s er e s u l t sf u r t h e re n r i c ha n dd e v e l o p et h e q u a t e r n i o nm a t r i xa l g e b r a t h ed i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t o3c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h er e s e a r c h b a c k g r o u n da n dp r o g r e s so ft h em a j o rc o n t e i l to ft h i sd i s s e r t a t i o na sw e l l a st h em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ei n t r o d u c e d s o m ep r e - l i m i n a r i e su s e di nt h i sp a p e ra r ea l s op r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，w ed e r i v e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r ( a b ) 7 印b 町) ，a n dt h f i sw eg i v e s o m ec o r r e s p o n d i n gs p e c i a lc a s e s w ei nc h a p t e r3p r e s e n tn e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r a 叶b 叩) ( a b ) 叩】- ，a n dv a r i o u sr e l a t i o n s h i p sb e - t w e e na + b ，7 ，a , t b + a n d ( a b ) 一b yu s i n gm a t r i xr a n km e t h o d k e yw o r d s ：q u a t e r n i o n ，q u a t e r n i o nm a t r i x ，f o r w a r do r d e rl a w ，g e n e r - a l i z e di n v e r s eo fm a t r i x ，m a x i m a lr a n k ，m i n i m a lr a n k 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1 引言1 1 2 预备知识2 1 3 研究背景9 第二章( a b ) 7 印b 刁) 的充要条件1 2 2 1 ( a b ) 一 a b 一) 的等价性条件1 2 2 2 ( a b ) ( 1 ，3 ) a ( 1 ，3 ) b ( 1 , 3 ) 的等价性条件1 8 2 3 一些特例2 3 第三章 印彤) ( a b ) 叩) 的充要条件2 7 3 1 _ 4 ( 1 ，2 ，3 ) b ( 1 ，2 ，3 ) ( a 8 ) 1 ，2 ，3 ) ) 的充要条件2 7 3 2a + b 叩和a b + 与( a b ) 一的关系3 3 结语3 6 参考文献3 7 作者在攻读硕士学位期间公开发表的论文4 4 致谢4 5 第一章绪论 1 1引言 四元数是伟大的爱尔兰数学家w r h a m i l t o n 于1 8 4 3 年发现的，它的发现 标志着一个新的代数系统非交换除环和有限维代数的诞生四元数形成一个实数 域上不可交换的四维结合代数体上矩阵是非交换代数研究的基本方向之一，早 在2 0 世纪6 0 年代初，著名数学家华罗庚、万哲先在其专著典型群【1 】序中就 明确指出：体上的矩阵是一个值得注意的对象，因为它是一个不太失去普遍性的 抽象事物，但同时又和成果丰富的具体的域上的矩阵距离不远他们在典型群及 矩阵几何方向上取得了举世公认的成就而四元数矩阵正是非交换除环上矩阵的 重要情况 很多著名的数学家对四元数及四元数矩阵的研究作出了重要贡献如1 9 3 6 年 l a w o l f 研究了四元数矩阵的相似f 2 1 1 9 4 1 年n i v e n 给出了四元数标准多项式的 解的存在性定理【3 】，且于1 9 4 4 年和s e i l e n b e r g 一起证明了四元数代数基本定理 4 】h c l e e ，j l b r e n n e r ，n a w i e g m a n n ，r m w w o o d 等分别于1 9 4 9 年， 1 9 5 1 年，1 9 5 4 年，1 9 8 5 年给出了四元数矩阵具有右特征值，左特征值和标准型 的理论( 5 1 一【8 】) j e j a m i s o n ，y h a u - y e u n g ，w s o ，r c t h o m p s o n ，f z h a n g 等分别于1 9 7 2 年，1 9 8 4 年，1 9 9 4 年，1 9 9 5 年给出了四元数矩阵的数值域方面的 一些理论( 【9 】- 1 2 】) 1 9 8 9 年a b u n s e - g e r s t n e r ，r b y e r s 和v m e h r m a n n 给出了 四元数矩阵的q r 分解算法f 1 3 1 9 9 7 年，张福振对四元数及四元数矩阵作出了 较详细的总结，并在h c l e e 的研究基础之上，给出了任意四元数矩阵极分解的 存在性及其证明1 4 1 2 0 0 3 年d r f a r e n i c k 和a f p i d k o w i c h 介绍了四元数矩 阵的谱理论及其一些应用【1 5 】此外，2 0 世纪的八九十年代，国内的谢邦杰，陈龙 玄等一批著名的数学家对四元数矩阵的行列式也做了比较深刻的研究( 1 6 】， 1 7 】) 上述工作中影响比较大的有：p m c o h n 七十年代用模论方法建立起的除环上矩 阵相似化简的基本理论( 1 8 】- 2 0 ) ，谢邦杰八十年代建立起的除环上可中心化矩阵 的初步理论( 2 1 1 ， 2 2 1 ) 自2 0 世纪八十年代末期以来，随着代数学的进一步发展， 除环上矩阵论的研究也进一步深化，并成为代数学研究的一个新的生长点 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 2 通过对四元数和四元数矩阵理论的历史与现状的考查，我们可以看到上世纪 中叶以来，四元数和四元数矩阵方法在刚体动力学、量子力学、陀螺使用理论、捷 联惯性导航、机器与机构、机器人技术、人造卫星姿态控制，计算机图形学，彩色 图像处理等领域中有着非常重要的应用( 2 3 】一 3 3 】) 广义逆作为矩阵论中的一个非常重要的分支，在数学本身和其他自然科学中有 着广泛的运用我们知道，对于两个相同阶数的非奇异矩阵a ，b ，如果a b = b a ， 那么( a b ) _ 1 = a - 1 b 然而，这个所谓的前序率对其他种类的广义逆并不总是 成立近来，w a n ge ta 1 【6 5 ，g u o 和、e i 6 6 ，x i o n g 和z h e n g 【6 7 】对前序问题 进行了研究并得出了一些有用的结论 近几十年来，人们对矩阵最秩问题的研究一直非常活跃如2 0 世纪8 0 年代 后期，b o s t i a n 等【3 4 ，c o h e n 等【3 5 ，d a v i s 【3 6 1 ，j o h n s o n 3 7 】，j o h n s o n 等 3 8 】， w o e r d e m a n ( 3 9 - 4 1 】) 和t i a n ( 4 2 ， 4 3 ) 对一些特殊矩阵的最秩进行了研究，最近 t i a n 等( 4 4 】_ 4 8 】) 研究了某些矩阵表达式的最大秩和最小秩本文通过矩阵的最 大秩和最小秩这一强有力的工具进一步研究了两个矩阵乘积的前序问题，成功地 避开四元数乘法的不可交换性 全文内容大体上可分为三章第一章，除了介绍本文主要内容的一些研究背 景、研究进展之外，还介绍了一些预备知识其中包括实四元数的概念及其一些 性质，四元数矩阵的初等变换、相似、等价、秩、广义逆以及四元数矩阵其它的相 关性质等第二章，主要给出( a b ) 7 印b 叩) 的充要条件，同时给出了一些重要 的特例第三章，我们研究了 印伊) ( 4 b ) 叩) 的充要条件，并给出了a + b , 1 和 a ，7 b + 与( a b ) 一的关系 1 2 预备知识 本节除不加证明地介绍四元数除环上矩阵的一些基本知识和要用到的一些性 质外还提供了一些文中的记号 本文约定，r 表示实数域，c 表示复数域，表示实四元数代数； 酞m 馆， c m 期和m 跏分别表示r ，c ，上的全体mx 佗矩阵；狂? 姗表示皿上秩为7 的 全体m 礼矩阵，g l n ( 丑) 表示上的全体n 阶可逆矩阵，r a n k a 或r ( a ) 表示矩 阵a 的秩，0 分别表示适当阶数的单位矩阵和零矩阵；对于a m 竹( c m 竹) ， 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 3 岔表示a 的共轭转置，a r 表示a 的转置，才表示a 的共轭，n ( a ) 表示a 的 列空间，毋= i a a + ，f a = i a + a 下面我们介绍四元数、四元数矩阵的基本知识 k 表示任意的一个除环设y 是加群，将y 的加群自同态环记为e n d z v ， 如果定义了每个a k 在y 上的右乘作用a l ：v _ k 口hv a ，使得映射aha l 是k 到e n d z v 中的同态，则y 成为k 上的右向量空间，或称为右k 一空间 类似地可定义左k 一空间 我们总是将k 上全体佗维行向量的集合k 1 n 在矩阵运算下看成n 维左k 一 空间，称为k 上n 维行向量空间；k 上全体礼维列向量的集合k 似1 则看成右 k 一空间，称为k 上n 维列向量空间 设是全体实四元数，a = a o + a l i + a 2 j + a a k 皿，其中i ，j ，k 满足 i 2 = j 2 = k 2 = 一1 i j = - j i = k ，j k = 一k j = i ，k i = - i k = j 称瓦= a + = a o a l i a 2 j a 3 k 为a 的共轭元素实四元数a 的实部a o 记 为r e ( a ) ，实四元数a 的虚部0 1 i + a 2 歹+ a 3 k 记为i m ( a ) ，实四元数a 的长度或模 定义如下 n i = ( n 瓦) = ( n 3 + o ；+ n ；十o ；) ； 若 a l = 1 ，则称a 为单位四元数显然，对于两个实四元数p ，q 有两= 一q p ， p + q = 梦+ 虿 1 4 】中关于四元数我们有以下定义、命题和定理 定义1 2 1 设q 皿，若存在p ，使得 q p = p q = 1 则称四元数p 为四元数q 的倒数或逆元，记为q ，即有 g g 一1 = q - a q = 1 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 4 命题1 2 1 四元数q 存在逆元的充要条件是q 0 ，且q 的逆元是唯一的，并有 q 一1 = 定理1 2 1 易y ，z 为四元数，则有以下成立 ( 1 ) x * x = 黝+ ，即h = i z + i j ( 2 ) i - i 为上的模，则有 i z i = 0 兮z = 0 ， i z + y l i z i + i y i ， x y i = i y x i = l x | j y i ； ( 3 ) i z l 2 + i 可1 2 = ( i x + y 1 2 十i z 一秒 2 ) i ( 4 ) x = hu ，其中 i t 是一单位四元数，即i 让i = 1 i ( 5 ) 对于任意复数c ，有j c = e j 或j c j = 石； ( 6 ) 若z = x o + x l i + x 2 j + x 3 k ，则z + i x = ( x 0 2 + z 1 2 + z 2 2 + x 3 2 ) i + 2 ( 一z o z 3 + x l x 2 ) j + 2 ( x o + z l z 3 ) 七； ( 7 ) z = ；( z + z + ) + j 1 ( z + z z + ) + ( z + 歹z j ) + l ( x + k x + 后) ，z + = 一；( z + 谊z + 歹巧+ 南z 忽) ； ( 8 ) z 2 = j r e ( x ) 1 2 一l j m ( z ) 1 2 + 2 r e ( x ) i m ( x ) ； ( 9 ) ( x y ) = y + z + ； ( 1 0 ) ( x y ) z = z ( 可z ) i ( 1 1 ) 一般情况下( z + 秒) 2 z 2 + 2 x y + y 2 j ( 1 2 ) z = z 当切仅当z r ，r 为实数集； ( 1 3 ) 任意z 狂，c x = x c 当且仅当c r i ( 1 4 ) x 2 = 一1 有无穷多个四元数解z ； ( 1 5 ) z 和x + 都是t 2 2 ( r e ( x ) ) t + h 2 = 0 的解； ( 1 6 ) 每一个四元数q 都可以唯一的表达成口= c 1 + c 2 j ，其中c 1 ，c 2 为复数 定理1 2 2 ( b r e n n e r ，1 9 5 1 ；a u y e u n g ，1 9 8 4 ) 四元数x , y 分别为z = x o + z l i + z 2 j + x 3 k ，y2 y o + y l i + y 2 j + y 3 k 则z 和相似当且仅当x o = y o ，z ；+ z ；+ z ；= 可1 2 1 2 2 1 - 3 2 ， 即r e ( x ) = r e ( y ) 且l i m ( x ) i = l ，m ( 可) | 一2 一g一训 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文5 【1 4 】中，关于四元数矩阵可逆和运算有以下定义和定理 定义1 2 2 设a p 黼，若存在b h n 黼，使得 a b = b a = ， 则称四元数矩阵a 是可逆的，而称b 为a 的逆阵，a 的逆阵记为a 定理1 2 3a m 跏，b p 口，则有 ( 1 ) ( 再) t = 万j ( 2 ) ( a b ) = b + a + i ( 3 ) 一般情况下，才百一a 百i ( 4 ) 一般情况下，( a b ) t b t a t j ( 5 ) 若a ，b 可逆，则( r i b ) 一1 = ( b ) 一1 a 一1 ； ( 6 ) 若a 可逆，则( a 4 ) _ 1 = ( a _ 1 ) i ( 7 ) 一般情况下， ( 才) 一1 万= t j ( 8 ) 一般情况下， ( a 丁) 一1 ( a _ 1 ) 7 理 4 9 】中关于四元数矩阵初等变换，等价，相似，秩等有如下定义、命题和定 定义1 2 3 含幺环r 上一个佗m 矩阵a 的行空间( 或列空间) 是由a 的诸行 ( 或者诸列，分别看作是妒和r n 中的元素) 所生成的自由左( 或者右) 模r m ( 或者r n ) 的子模如果兄是体，则a 的行空间( 或者列空间) 的维数叫作a 是的行秩( 列秩) 定理1 2 4 如果，：e f 是体d 上有限维左( 或者右) 向量空间，a 是厂对 于某两组基的矩阵，则厂的秩等于a 的行秩( 或者列秩) 可以证明如果a 是体d 上仇xm 矩阵，则a 的行秩等于4 的列秩 定义1 2 4 设4 是含幺环r 上的矩阵下列诸项均叫作a 上的初等行变换： ( 1 ) 交换a 的两行； ( 2 ) 将a 的一行左乘以单位c r ； 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 6 ( 3 ) 对于7 r ，i j ，将第j 行左乘以r 加到第i 行之上 类似地定义a 上的初等列变换( ( 2 ) 和( 3 ) 中的左乘改成右乘) 将单位矩阵厶恰 好进行一次初等行( 或列) 变换所得的矩阵叫作nxm 的初等( 变换) 矩阵 命题1 2 2 设a m 黼，则a 的初等变换不改变a 的秩 定理1 2 5 设a 是含幺环冗上的nxm 矩阵玩( 或) 是厶( 或k ) 上进行 初等行( 或列) 变换t 而得到的初等矩阵，则既a ( 或a ) 是a 上作用t 而得 到的矩阵 定理1 2 6 对于a 丑m 黼，r ( a ) = 7 的充要条件是存在尸g l 仇( ) ，q g l 几( ) 使得 p a q = 言兰 当m = n 时，以下条件等价 ( 1 ) r ( a ) = n ； ( 2 ) a 等价于厶； ( 3 ) a g l n ( 皿) ； ( 4 ) a 是一些初等矩阵的乘积 定义1 2 5 设a ，b 形n ，其中r 是一含幺环，如果存在p g l n ( r ) ，使得 p 一1 a p = b ，则称a 与b 相似，记为a b 如果有p g l n ( 冗) ，q g l n ( r ) 使得p a q = b ，则称a 与b 等价，记为a b 定理1 2 7 5 0 】设a h i m n ，b n 5 ，c 8 埘，p g l m ( ) ，q g l n ( ) ，贝l j 有下面式子成立 ( 1 ) r ( a ) = r ( p a ) = r ( a q ) = r ( p a q ) ； ( 2 ) r ( a ) + r ( b ) 一佗r ( a b ) m i n r ( a ) ，7 ( b ) ) ； ( 3 ) r ( a b c ) r ( a b ) + r ( b c ) 一r ( b ) 下面介绍一下四元数除环上矩阵广义逆的定义及性质，矩阵的广义逆是研究 矩阵方程和矩阵秩的一个十分重要的工具 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 1 设 - ab1 m = li 【- c d j ( 1 2 1 ) 是一个四元数域上一个2 2 的块状矩阵，这里a 丑m 黼，b 皿m 黼，c f 跏，d l 鼬如果m = 佗且a 是非奇异的，那么a 在m 上的舒尔补被定义为 勘= d c a b 对于m 和乳秩的一个著名的公式是 r ( m ) = r ( a ) + r ( d c a _ 1 b ) 如果a 是奇异的或m n ，那么a 在m 上的一个广义舒尔补被定义为 s a = d c g b ， ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) g 是a 的一个广义逆甄的两种著名的情况是乳= d c a + b 和懿= d c a b ，a + 是4 的m o o r e - p e n r o s e 逆，也是下面四个p e n r o s e 方程的唯一 解 ( i )a x a = a ， ( i i ) x a x = x ， ( i i i ) ( a x ) + = a x ， ( i v ) ( x a ) + = x a 一个矩阵x 被叫做矩阵a 的广义逆或9 逆如果它满足条件( i ) 和被表示为a 一或 a ( ，所有的a 一或a ( 1 ) 组成的一个集合被表示为 a 一) 或 a ( 1 ) ) ；如果它满足条 件( i ) 和( 沈) 被叫做矩阵a 的最i j 、- - 乘广义逆和被表示为a ( 1 3 ) ，所有的a ( 1 ，3 ) 组 成的一个集合被表示为 a ( 1 , 3 ) ) ；如果它满足条件( i ) 和( 锄) 被叫做矩阵a 的极小 范数广义逆和被表示为a ( 1 4 ) ，所有的a ( 1 ，4 ) 组成的一个集合被表示为 a ( 1 ，4 ) 】- 矩 阵a 的 1 ，2 ，3 - 逆， 1 ，2 ，4 - 逆和 1 ，3 ，4 - 逆相似的被定义( 【5 1 】，【5 2 】) 上述 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 8 矩阵a 六类广义逆能被表示成如下形式 a ( 1 ) = a + 一死y 一既彬( 1 2 4 ) a ( 1 ，3 ) = a + 一f a k( 1 2 5 ) a ( 1 ，4 ) = a + 一w 毋，( 1 2 6 ) a ( 1 ，2 ，3 ) = a + 一f a v a a + ，( 1 2 7 ) a ( 1 ，2 ，4 ) = a + 一a + a w e a ，( 1 2 8 ) 4 ( 1 ，3 ，4 ) = a + 一f a v e a ， ( 1 2 9 ) 其中v 彤是任意的矩阵 舒尔补作为矩阵论中重要的表达式之一，有许多文献对此进行研究矩阵a 的m o o r e - p e n r o s e 逆a + 是唯一的，所以d c a + b 的秩也是唯一的 【6 8 】中 d c a + b 秩的一个表达式是 r ( d - c a + b ) = r a c * a a a 。+ a 。* b 一r c a ， c l 2 - 。， 当赋予矩阵a ，b ，c 和d 特殊形式时，( 1 2 1 0 ) 右边的块状矩阵通过块状的 g a u s s i a n 消去法能被简化成一些性质比较好的矩阵秩形式( 1 2 1 0 ) 也被认为关 于一个矩阵m o o r e - p e n r o s e 逆的线性矩阵表达式最简单的秩形式一些关于一个 矩阵m o o r e - p e n r o s e 逆的线性和非线性秩形式能够通过( 1 2 1 0 ) 来表示，如 r ( d c p + a q + b ) = r p + a q + p p p + o q 4 q q 4 0 q + b qcp 一d r ( 尸) 一r ( q ) ( 1 2 1 1 ) 因为矩阵a 的广义逆一般情况下不是唯一的，所以d c a b 的秩也不是 唯一的。y t i a n 【7 1 】给出了舒尔补d c a b 的极大秩和极小秩 m a _ a x r ( d - - c a - b ) = r a i n ( a b ) 一) 成立 的充分必要条件 但由于广义逆反序问题本身的难度较大，许多问题一直未能得到彻底解决 1 9 9 7 年，魏木生率先用p s v d 的方法研究了广义逆的反序问题，并取得了质 的突破，成功地解决了一些疑难的反序问题如w e i s s ，d ep i e r r o 和w e i s g ， 分别给出了下列两个包含关系成立的充分必要条件： b a 一) = ( a b ) 一) 和 w e i 6 0 】推导出了 和 的等价条件 和 b ( 1 ，2 ) a ( 1 , 2 ( a b ) ( 1 ，2 ) a 9 2 ) a i l 2 ) ( a l 厶) ( 1 ，2 ) 靠a 1 ) ( a 1 a ) 一) 2 0 0 2 年，w e i 和g u o 6 1 】获得了 b 1 3 a ( 1 3 ) ( a b ) 1 ，3 ) b 1 4 a ( 1 ，4 ) ( a b ) 1 ，4 的充要条件 2 0 0 8 年，l i u 和w e i 6 4 】给出了 和 的充要条件 a 3 a i l ，3 ( a 1 a n ) ( 1 ，3 ) 1 ( a a n ) 1 ，3 ) a 9 ，3 ) a i l ，3 ) 在这期间，以田永革为代表的国内外学者尝试用矩阵的秩来解决反序率问题， 取得了进一步的成果 如y t a k a n e ，y t i a n 和h y a n a i 6 2 】给出了 ( a b ) + = b + a + 铮 b 1 ，3 a 1 ，3 ) ( a b ) ( 1 ，3 ) 和 b ( 1 ，3 ) 4 ( 1 ，3 ， ( 4 b ) 1 ，3 ) x i o n g 和z h e n g 6 3 】获得了 和 b ( 1 2 ，3 ) 4 ( 1 , 2 , 3 ) b ( 1 ，2 ，4 ) a ( 1 ，2 ，4 ) 冬 ( a b ) 1 ，2 ，3 ) ( a b ) 1 ，2 ，4 ) 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 1 1 的充要条件 然而，却很少文献讨论前序率问题究其原因，笔者认为前序率问题较逆序 率更难近来一些学者用秩的方法来研究前序率并取得了一些成果，如w a n ge t 以 6 5 】研究了多个矩阵乘积的m p 逆前序率问题并得到了他们的一些充分分必 要条件g u o 和w e i 6 6 给出了 a b 一) ( a b ) 一) 的充分必要条件是 a b = 0 或者r ( a ) + r ( b ) = 佗+ r ( a b ) + r ( a b b a ) x i o n g 和z h e n g 6 7 】获得了 a f a ：) ( a 1 a n ) 一) 的等价条件 受以上学者的启发，我们用矩阵秩的方法进一步地研究了前序率问题首先， 我们在第二章给出下面五个式子的等价条件： ( a b ) 一 a b 一 ( a b ) 1 ，3 a ( 1 ，3 ) b ( 1 ，3 ) ( a b ) 1 ，4 a ( 1 ，4 ) b ( 1 ，4 ) ( a b ) 1 ，2 ，3 a ( 1 ，2 ，3 ) b ( 1 ，2 ，3 ) ( a b ) 1 ，2 ，4 a ( 1 ，2 ，4 ) b ( 1 ，2 ，4 ) 由此也给出了一些有用的推论 作为反向关系，我们在第三章给出了下面四个式子的等价条件： a ( 1 ，3 ) b ( 1 ，3 ) ( a b ) 1 ，3 ) a ( 1 ，4 ) b ( 1 ，4 ) ( a b ) ( 1 ，4 ) a ( 1 ，2 ，3 ) b ( 1 ，2 ，3 ) 冬 ( a b ) 1 ，2 ，3 ) a ( 1 ，2 ，4 ) b ( 1 , 2 , 4 ( a b ) 1 ，2 ，4 ) 并给出了a + b 叼和a t b + 与( a b ) 一的关系 第二章 ( a b ) 7 a 叩b 叩) 的充要条件 本章我们给出四元数矩阵表达式( a b ) 一 a b 一 ，( a b ) ( 1 ，3 a ( 1 ，3 ) b ( 1 ，3 ) ) ， ( a b ) ( 1 ，2 ，3 ) 一n = d l a x r ( d ) 一r ( a d ) 一r ( d b ) + r ( a ) + r ( b ) 一佗，1 从上述定理，我们能够容易的得到 定理2 1 2 设a p 黼，b 矿n ，则下列条件等价： ( 1 ) 存在( a b ) 一 ( a b ) 一) 使得( a b ) 一 a b 一) ， ( 2 ) r ( a ( a b ) 一) + r ( ( a b ) 一b ) = r ( ( a b ) 一) + r ( a ) + r ( b ) 一扎或 r ( ，一b a ( a b ) 一) + r ( a ) + r ( b ) = 2 n 2 2 ( a b ) 0 , 3 ) 4 ( 1 ，3 ) b ( 1 ，3 ) ) 的等价性条件 定理2 2 1 若a l - l i 舣n ，b l i - i 似n 则下列条件等价； ( 1 ) 存在( a b ) 1 ，3 ( a b ) 1 ，3 ) 使得( a b ) ( 1 ，3 4 ( 1 ，3 ) b ( 1 ，3 ) ， c 2 ，r a 。a 。：，。，渤二? = r 三 或 r a 。a 。三二，。，渤：? = r a 笔n ，3 一r a 翟1 + 仡 ( 2 1 8 ) 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文1 9 一_ 证明：我们能够容易的得到， 脚怫3 ( 删1 3 ) 铮脚r a 例i n 例r ( a b ) ( 1 , 3 ) - - 俨桃3 】：o 由( 1 2 5 ) 及简单的变换可得 r ( a b ) 1 3 ) 一a ( 1 ，3 ) b ( 1 , 3 】 = r ( a b ) 1 3 一( a + 一f a v ) ( b + 一如) 】 =r。，3，-fav)b f b w i 卜 = ri i n i ( + 一 ) i = r ( a 警1 等 一 ： y 。 由引理2 1 3 可得 m i n r ( a b ) ( 1 ，3 ) 一a ( 1 ，3 ) b ( 1 ，3 ) 1 a ( 1 ，3 ) b ( i ，3 ) “ 7 。 = = r 其中 ( a b ) ( 1 ，3 ) b + 0 i 8 12r r + r ( 4 b ) ( 1 ，3 ) a + b +i i q ( 4 b ) ( 1 ，3 ) a + ( 2 2 9 ) 咄小 ( 2 2 1 0 ) 小邛 小 十a 三+ f 兰a ( 2 2 1 1 ) r 0 胪 j 严+ b b a -。l 舻 ， ， o o e o 乃o o r o o o ， ， 0 矿 o ， 8 2 ：= r r 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文2 0 ( a b ) ( 1 ，3 ) a + b + 1 0， ( a b ) ( 1 ，3 ) a + 卞a ；+ 苫0 用引理2 1 1 ，引理2 1 2 以及块状矩阵的初等变换可得 ( a b ) ( 1 ，3 ) a + f a 0 l b +1 0f b i ( a b ) ( 1 , 3 ) 一a + b + f a a + 如i + n 引q 3 l 矿b + n “+ i + 佗叫 00b l 兰b b 弘b 一b a + n 0 l + 礼一r c b ， 一 + l ( a b ) ( 1 ，3 ) 一a 十ii - b b +b 0 i + n r ( s ) 一r ( a ) ooa j o j - b b +b0l + n r ( b ) 一r ( - a ( a b ) o , 3 ) a a + 0i b b +b a ( a b ) ( 1 3 ) a a + l + 2 佗一r ( b ) 一“4 ) b 1 a ) 通过用等式a = a + a a + 和a + = ( a + a ) + 4 + ，我们能得到下面两个等式 儿赫计h 赫渤b 4 * 卅b ( 2 2 1 2 ) 巳o o o 乃o o o o ， j 0 矿 o ， 广【广l广l广l广l广l 爿 爿 爿 却 爿 爿 和 因此， 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 一。圳删。赫蚓= 耶，甜 r 耶，篡+ = l 。蕊一b * 。b 仁2 m ， 把( 2 2 1 3 ) 代入( 2 2 1 2 ) 可得 ( 以b ) ( 1 3 ) a + l ib +， l 类似地， f ( a b ) ( 1 ，3 ) l rl b + i 【 ， f ( 仙) ( 1 3 ) i- ： =r，a。：，。渤b+，+2一nrcl一ja a ，一r c a ， = il +一l r la 1 1 a ( a j e 7 ) ( 1 3 ) + l 、7 、7 = r 兄一a + f b + 2 佗 ( a b ) b + o ( a b ) b + ( 2 2 1 4 ) 三1 + 2 礼一r c b ，一r c a ， + 3 扎一r ( s ) 一r ( a ) ， ，3 ) 一r ( b 1 - fn r ( b ) - p2 n ， ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 1j o 如 巳o o码。 乃o o 胪 j o +1j 以 b o b _。l p。l r r 0 ， p。l p。l o码。 矿 j ， 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文2 2 r l 4 孑1 a ；+ 苫0f 兰ai = r a 警1 三苫 + n ( a b ) ( 1 ，3 ) j 一b b + 0l r ( b ) 一r ( a ) + 2 n 0a j a ( a b ) ( 1 3 i r ( b ) 一r ( a ) + 3 n b + l nm ，、i n ，、r ( a b ) 1 ，3 ) 一a ( 1 ，3 ) b ( 1 ，3 】 a ( 1 ，3 、3 ( 1 ，3 ) “ 。 = r a + 4 。三二，。渤二? + m 。z 一r 三 ，r a ：1 十掣卜) 2 耶， 类似地，可以得到以下几个结论 疋埕2 2 2 署a l i - i “”，b 脚“”。则下列条件等价： ( 1 ) 存在( a b ) 1 ，4 1 ( a b ) ( 1 ，4 ) 使得( a b ) 1 ，4 a ( 1 ，4 ) b ( 1 ，4 ) ， r 陋司| = r 一 或 r 匕引( 删4 ，卜 ( 删4 卜 定理2 2 3 若a 皿n 黼，b 研n 黼则下列条件等价： ( 1 ) 存在( a b ) 1 2 3 ( a b ) 1 , 2 , 3 ) 使得( 4 b ) ( 1 ，2 ，3 a ( 1 ，2 ，3 ) b ( 1 ，2 ，3 ) ， _。l-。l ( 2 ) r a + a ( a b ) ( 1 ，2 ，3 ) b + o b + ( a b ) ( 1 ，2 ，3 ) 0 0 2 0 1 0 年上海大学硕士学位论文 + r 2 3 = r a * a ( a b b 。) ( 1 2 ：二 + r 。a 品名3 ， 或 似爹02 卜 l = r b +i + r a a ( a b b + ) ( 1 2 ：二 + r 。a 品名3 ， ( a b ) ( 1 , 2 , 3 0 b 定理2 2 4 若a 几黼，b m 跏则下列条件等价： ( 1 ) 存在( a b ) ( 1 ，2 ，4 ( a b ) ( 1 , 2 , 4 ) 使得( 4 b ) ( 1 ，2 ，4 a ( 1 ，2 ，4 ) b ( 1 ，2 ，4 ) ， c 2 ，r a b 弘b b + ：三 = r a b 弘i j e 7 b 篡。 + r c a b ，c a 4 ， ( a b ) ( 1 , 2 , 4 ) b b 【 b 4 + rf _ a b ：2 ，4 ) b + 三小rr r 4 一岔lr1 a a 。l 2 r 【ab + j 2 3 一些特例 本节将给出上面两节的一些有用的推论 在定理2 1 2 中如果令( a b ) 一= 0 ，可以得到 推论2 3 1 若a n 期，b h i n 跏则 r a i n r(ab一)=max0，r(