（应用数学专业论文）the+generalized+riemann+problem++for+the+shallowwater+equations+with+bottom+topography.pdf

摘要 本文利用广义黎曼问题方法( c a p ) 来解决带有河床地势的浅水 波方程组，由此得到了一个推广了的g u d o n o v 型数值格式本文的 主要贡献在于，河床地势的影响被容入数值通量中。并且同时对河 床地势采用连接面方法离散当选择自由面来进行数据重构时，无 论是对一维还是二维情形，都证明了数值格式能很好的平衡流函 数梯度和河床地势在进行平衡态和非平衡态流体数值模拟时，数 值结果表明格式是高精确度的、高效率的，并且鲁棒性较好 关键调和短语t 浅水波方程，广义黎曼问题，河床地势，特征坐 a b s t r a c t t h i sp a p e ru s e st h eg e n e r a l i z e dr e m a n np r o b l e mm e t h o d ( g r p ) t os o l v et h e s y s t e mo f 曲矗l i o ww a t e re q u a t i o n sw i t hb o t t o mt o p o g r a p h y , t h e nag o d u n o v - t y p e h e m ef o rt h es h a o ww a t e re q u a t i o n sw i t hb o t t o mt o p o g r a p h yi so b t a i n e d t h e m a i nc o n t r i b u t i o ni st h a tt h eb o t t o m t o p o g r a p h ye 8 e c t i si n d u d e di nn u m e r i c a lf l u x e s a n dt h eb o t t o mt o p o g r a p h yi sd i s c r e t i z e dw i t h 蛆i l l t e r f 如m e t h o di nt h es a m es t e p 。酗s c h e m ep r o v e st ob ew e l lb a l a n c e db e t w e e nt h ef l u xg r a d i e n ta n dt h eb o t t o m t o p o g r a p h yf o rb o t h1 - da n d2 - dc 8 s a st h ew a t e rs u r f a c ei sc h o s e nt ob et h e b a s i so fd a t ar e c o n s t r u c t i o n n u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t et h a tt h es c h e m ei sa c c u r a t e 。 e 伍c i e n ta n dr o b l l s ti nb o t hs t e a d ya n du n s t e a d yf l o ws i m u l a t i o n s k e yw o r d sa n dp h r a s e s s h a l l o ww a t e re q u a t i o n s ，g e n e r a l i z e dr i e m a n np r o b - l e m ，b o t t o mt o p o g r a p h y , c h a r a c t e r i s t i cc o o r d i n a t e s a c k n o w l e d g e m e n t s 1w o u l dl i k et ot h a n kp r o f e s s o rq u nl i n ，m ys u p e r v i s o r ，f o rh i sm a n ys u g g e s t i o n s a n dc o n s t a n ts u p p o r td u r i n gt h i sr e s e a r c h ig i v et h es p e c i a lt h a n k st op r o f e s s o r j i e q t m nl i h eg u i d e dm et ot h i sr e s e a r c hf i e l d i 眦a l s ot h a n k f u lt op r o f e s s o r sy a p i n gw ua n dl o n g a n n gf o rt h e i rg u i d a n c e d u r i n gm yg r a d u a t ep e r i o d o f u r s e i 锄g r a t e f u lt om yp a r e n t sf o rt h e i rp a t i e n c ea n dl o 口e w i t h o u tt h e m t h i sw o r kw o u l dn e v e rh a v ec o m ei n t oe x i s t e n c e ( n t e r a l l y ) b e i j i n g ，p r c m a r c h1 5 ，2 0 0 4 i n t r o d u c ti o n 0 0 1t h es h a l l o ww a t e re q u a t i o n s t h es h a l l o ww a t e re q u a t i o n s ，f o r m i n gt h eb a s i so fm a n ym a t h e m a t i c a lm o d e l s , s u c h8 st h et i d a lf l o w si ne s t u a r y , l a k e sa n dc o a s t a lw a t e rm g i o n s t h ef l o o dr o u t i n g i nn a t u r ea n dm a n - m a d es t r e a m s ，h y d r a n t i cj u m pa n do p e n - c h a n n e lf l o w ，a n de t c ， a mt h ea p p r c o d m a t i o no ft h ef u l lf 髓e - s u r f a c ep r o b l e ma n dr e s u l tf z o mt h ea s s u m p t i o n t h a tt h ev e r t i c a lc o m p o n e n to ft h ea c c e l e r a t i o nc b b en e g l e c t e d t h ed e r i v a t i o no f t h e mc a nb e 鲫i ns o m eb o o k s 3 0 ，3 1 ，h e mw ew i l ld e r i v ei td i 弛c t l yf o rs e l f c o n t a i n e d u e s s b e f o r ep r o c e e d i n gt h ed e r i v a t i o no ft h ee q u a t i o n s ，w er e v i e ws o m ep r e l i m i n a r y c o n c e p t sn e e d e d w ed e n o t eb y 瓦d = a + 矿v ，t h em a t e r “d e r i v a t i v eo r8 u b s t a n t i a l d e r i v a t i v eo ft h ev e l o c i t yf i e l du 毒( u ，舻) t l e tnb et h er e g i o no ft h em o v i l l gw a t e r t h a t 毹a r ec o n s i d e r i n g ，a n d 霉0a n dw r i t e 妒( 毛df o rt h et r a j e c t o r yf o l l o w e db yt h e w a t e rc o l u m na t , ( 卫，t = o ) w ea q s u n l et h a tt h em a p 。卜+ 妒f ( 王) = 妒f 卫，t ) i ss m o o t h e n o u g h ，a n dd e n o t eb y ，( 甄t ) t h ej a c o b i a no ft h em a p 魄= 仇( 蛐) i st h em o v i n g a r e ao fa n yr e g i o n 蛐cq t h ef o l l o w i n gp r o p o s i t i o ni sc r u c i a li nt h ed e r i v a t i o no f t h ee q u a t i o n s ，s e e 【l3 】 p r o p o s i t i o n0 0 1 妄如f ) = j ) v ，双副冰 l 2 w h e nt h ev i s c o u se f f e c t sa r en e g l e c t e d u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ev e r t i c a l c o m p o n e n to ft h ea c c e l e r a t i o nc 姐b en e g l e c t e d t h ee u l e re q u a t i o n st a k et h e s ef o r m ， z 十= 0 ， u t 七u 飞- u = _ 1 予p 一一g 钏， 一；m 一。o ， ( 0 0 1 ) ( 0 0 2 ) ( 0 0 3 ) w h e r e 口d e n o t e 8t h ec o n s t a n td e n m t y , g 瑁t h eg r a v i t a t i o nc o n s t a n t8 n dps t a n d si o r t h ep r e s s u r e i nt h ef o l l o w i n g ，w ew i l ld e r i v et h es h a l l o ww a t e re q u a t i o u s ，c o n s i s t i n go fac o n - t i n u o u se q u a t i o ns a dt h ed i f f e r e n t i a lf o r mo ft h el a wo fb a l a n c eo fm o m e n t u m t h ec o n t i n u o u se q u a t i o n f r o mt h ee q u a t i o n s ( 0 0 1 ) a n d ( 0 0 3 ) ，w ec 柚d e r i v et h ec o n t i n u o u se q u a t i o n h e r ew ew i l ld e r i v ei tu s i n gp r o p o s i t i o no 0 1 a na l t e r n a t i v ef r e e - s u r f a c em e t h o d 啪b e f o u n d i nl 卸，a 1 1 f r o m t h e 瑚疆喇咖l a w o f m 啦，f o r a n y m 洲趣a m 咄， t h er a t eo fc h a n g eo fm 鹪仃li n s i d e 挑e q u a l st oz e r o ， 。= 丢m 沁) = 爰( p 上 p 西) = 磋厶仁以湖州汹 ，p 上( 等心丽0 脚眦 = p 上( 甓脚) + 州肛啪 = 一厶( 等们删叫汹 = p 上( 甓们u ) d v w h e r e ( z t ) i st h eh i g h to ft h es u r f a c e d u et ot h ea r b i t r a r i n e s so f “w eg e t ， dh+hvu：0dt 豢“( 删- o w ec a l lt h ee q u a t i o n ( 0 0 4 ) t h ec o n t i n u o u se q u a t i o n t h eb a l i t n c eo fm o m e n t u m t h eh y d r o s t a t i cp r e s s u r er e l a t i o n ，w eh a v e ， p = p o ( h + b 洳) 一z ) 3 ( o c 4 ) w h e r eb ( x ) i st h eb e dt o p o g r a p h y m u l t i p l y i n ge q u a t i o n ( 0 0 2 ) b yh a n d ( 0 0 4 ) b y 驴，w eg e t 疵盱a d d i n gt h e m ， 百d ( h u ) + ( h u ) v u f f i - 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- z - p r o p e r t y f e o u rs c h e m ec o u l dk e e pt h ee x a c ts t e a d ys t a t eu = 0 ，a n dh + b = c o n s t a n t 。f o rb o t h 1 - d a n d 2 - dc a s e s t h i si sa c t u a l l yas t a b i l i t yp r o p e r t yo ft h es c h e m e w er e c a l lt h a tt h eg r pm e t h o dw 罄o r i g i n a l l yi n t r o d u c e dm f 3 lt ot r e a tt h eg a s d y n a m i c a l s y s t e m ，t h e s y s t e m o f e u l e r e q u a t i o n s t a n d t h e n e x t e n d e d f o r t h e d u c t f l o w s 1 4 1a n dt h eg a sc o m b u s t i o np r o b l e m 【5 1 5e t c t h i sm e t h o ds t r o n g l yd e p e n d so i lt h e l 4 9 r b n g i a nf o r m u l a t i o no fe u l e re q u a t i o n s f o rt h es y s t e mo f s h a l l o ww a t e re q u a t i o n s w ea r ec o m l d e r i n g ，u ol s g r a n g i a nf o r m u l a t i o ni su s e db e c a u s et h em e m a n ni n v a r i a n t s e x i s t sa n dt h u st h es y s t e mc 帆b ed i t 姆m d i z a b l e t h i sf e a t u r eg r e a t l ys i m p l i f i e st h e 6 a l g o r i t h m a na l t e r n a t i v et h e o r e t i c a la p p r o a c hf o rg e n e r a lh y p e r b o l i cs 3 。s t e m sc a l lb e f o u n di n 【2 2 ，1 1 i ns e c t i o n1 1 ，w ew i l lo u t l i n et h i ss c h e m e ，w h i c hc o n s i s t so ft h r e em a i ns t e p s ：t h e e v o l u t i o no fs o l u t i o n s ，t h ec a l c u l a t i o no fm i d p o i n tv a l u e so nc e l li n t e r f a c e sa n dt h e d a t ar e c o n s t r u c t i o n t h em i d - p o i n tv a l u e sa r ed e r i v e dw i t ht h eg e n e r a l i z e dr i e m a n n p r o b l e mm e t h o d ( g r p ) i ns e c t i o n1 2 t h ez p r o p e r t yi ss h o w ni ns e c t i o n1 3t o e x h i b i tt h es t a b i l i t yp r o p e r t yo tt h i ss c h e m e an u m b e ro f1 - dn u m e r i c a le x p e r i m e n t s 啪g i v e ni ns e c t i o n1 4t od i s p l a yt h ea c c u r a c y , e f f i c i e n c ya n dr o b u s t n e s so ft h e s c h e m e i nc h a p t e r2 ，w ep r e s e n t2 - df l o ws i m u l a t i o n s c h a p t e r1 t h eo n e d i m e n s i o n a ls h a l l o w w a t e re q u a t i o n s i nt h i sc h a p t e r w ee x t e n dt h eg r pm e t h o dt ot h eo n e - d i m e n s i o ns h a l l o ww a t e r e q u a t i o n s 1 1t h eo u t l i n eo ft h es c h e m e i no 珊s p a c ed i m e n s i o n , t h es y l t e mo fs h a l l o w - w a t e re q u a t i o n sw i t hb o t t o m t o p o g r a p h ya r ew r i t t e na s w h e ” - k + f ( w k = 日( ；k 善) ( 1 1 1 ) 渺= ( ， h ) 7 ，尹( 聊= ( h u , h u 2 + ；) 一日( 暇。) = ( 0 , - g h b ( ) 7 i nt h i ss e c t i o n ，w eo u t l i n eo u rs c h e m e ，ah i g hr e s o l u t i o ng o d u n o v - t y p es c h e m e t h e 8 c h e l n e 佻a r ep r o p o s i n gm a i n l yc o m 【；s t so ft h r e es t e p s ：t h ee v o l u t i o no fs o l u t i o n s t h ec a l c u l a t i o no fm i d - p o i n tv a l u e so nc e l li n t e r f a c e sa n dt h e d a t ar e c o n s t r u c t i o n 7 8 巩扛) = w 7 + 。0 q ) z ( x j i ， ) ， ( 1 i 2 ) w ee v o l v e ( 1 1 i ) b yt h ef o r m u l a ， w 一町- 塞p ( 嘣) 一f ( 唰) ) + 譬( 凹( 仰霄，吻+ ) + 冒( 讳：警，q 一) ) ， w h 8 e 血2 一一 i st h es i z eo fc e l lb = 蝣+ ，吩一 ) ，田d e n o t et h ec e l l a v e r a g eo fq u a n t i t y 口o v e rc e l lc ja tt i m et = 俨，q ，j n + + t h em i d - p o i n tv a l u eo fq o nt h ec e l l b o u n d a r y 茹= 毛+ 女o v e rt i m ei n t e r v a li t n ，i n + 1 ) n o t et h a tt h eb o t t o m t n p o g r a p h yi sd l s c r e t i z o dw i t h 蛆i n t e r f a c em e t h o dh e r e t h er e s u l t i n gs c h e m eh a s t h es e c o n do r d e ra c c u r a c y w h a tw en e e dn o wi st oc a l c u l a t ew l 一, m s t e p2 t h ec a l c u l a t i o no fm l d - p o i n tv a l u e s 嘣t h em e t h o di s t h e g e n e r a l i z e dr i e m a n np r o b l e mm e t h o do r i g i n a u yp r o p o s e d m1 2 】w ew a n tt of i n d ， w i t h i nt h es e c o n do r d e ra c c u r a c y , t h em i d - p o i n tv a l u e s ， 嘣。瞻l + a 2 t 执0 w “ w 妇暇j i st h e s o l u t i o n 聃嘿p 瞻一o f t h ef o l l o w i n ga s s o c i a t e dr i e m a n n p r o b l e m ， f 职+ f ( k - o ， 七r ，t6 ，t 。+ 1 ) ， 沁小慨：叠葛 晔卜= 岬+ 哼+ 丁a x ，吩1 + = 。一咯。譬 w h i l e ( 袅w ) a i st h ei n s t a n t a n e o u sv a l u eo ft i m ed e r i v a t i v eo fwa t ( q + f 。+ o ) ， ( 刍w ) 二- 。热( 晏) c 刊， t h eq u a n t i t ywi st h es o l u t i o no ft h eg e n e r a l i z e dr i e m a n np r o b l e m ( 1 1 1 ) a n d ( 1 t 2 ) t h i sv a l u ei sd e r i v e dt h r o u g hs o l v i n gas y s t e mo fa l g e b r a i ce q u a t i o n s s e e t h e o r e m1 2 1i ns e c t i o n1 2 s t e p3 t h ec o n s t r u c t i o no f 哆w i t ht h es g m 盯1 a c eg r a d i e n tm e t h o d ( s o m ) t h es g ms u r f a c eg r a d i e n tm e t h o d ( s g m ) i nf 3 5 ji sd e v i s e df o rt h ed a t a r e c o n s t r u c t i o n ，m a i n l yd e a l i n gw i t ht h eb a l a n c eb e t w e e nt h ef l u xg r a d i e n ta n dt h eb e t - t o mt o p o g r a p h ye f f e c t t h i sr e c o n s t r u c t i o ni sn o tf o rt h ep r i m i t i v ev a r i a b l e s ( h ，h ) 7 ， b u tf o r ( h + b ，如) t ob em o r ep r e c i s e , d e n o t e ，7 忙，# ) = h ( z ，t ) + b 扛) t h e n 却，= z i m 艴e r ( 啦l ，嵋，哪n + 1 ) ， w h e r el i m i t e rj sa n ym o n o t o n es l o p el i m i t e ro p e r a t o r1 2 3 ，3 l 】a n dt h es l o p e6 ”o f k i n g i s d e f i n e d 鹳 啷= 叼一0 ) 1 2t h et i m ed e r i v a t i v eo fs o l u t i o na l o n gc e l li n t e r f a c e s t h er i e m m ms o l u t i o nr ( 0 ；w t + j 一，w j n + 扣) 啪b eo b t i a n e dw i t ht h es t a n d a r d r i e m a n ns o l v e rp 叫t h i ss e c t i o ni st oc a l c u l a t e ( 警) l t h ec r u c i a lp o i n ti st o 1 0 i n c l u d et h eb o t t o mt o p o r a p h ye f f e c ti n t 0n u m e r i c a lf l u x e s 、ef o r m u l a t et h i sp r o b l e m a sf o l l o w s c o i l s i d e rt h eg e n e r a l i z e dr i e m a n np r o b l e m ( 1 _ 1 1 ) s u b j e c tt ot h ei n i t i a ld a t a ， 啊，= 麓舞耋鬟 f o r t h el a t e rl l s e ，w ed e n o t et h a ti ns e c o n do r d e ra c c u r a c y ， c k 7 c 而。，= 篡；暑；：乏：耋 ：三呈 c 2 t ， w ew a n tt oc a l c u l a t e ， ( 晏w ) 。= 鲰( 妄w ) o re q u i v a l e n t l y , ( 象u ) 。= 琢( 击咖n t h er e s u l ti s 西v 吼i nt h ef o l l o 咖t h e o r e m t h e o r e m1 2 1 t h ei n s f a n t a n e o u sv a l u e ( 筹) oi so b t a i n e d 妇t h ef o l l o w i n g 踟把m o ，咖拥j c ce x l t m t i o n s , 卜( 瓮) 。m ( 謇) 。= 止， i n + ( 瓮) 。m ( 象) 。= 以， w h e r e 口一。b ”d a n da + 。b + td + o 住bd e p e n do nt h ei n i t i a ld a t a1 1 2 1 a n dt h e a s s o c i a t e dr i p , a n ns o l u t i o n 凡f 0 ：l ，+ ) t h ep r o o fo ft h i st h e o r e mi sg i v e ni nl e m m a s1 , 2 3 。1 2 4 婀 f i g u r e1 1 ：w a v ep a t t e r na n dr e l a t e dq u a n t i t i e s t op r o v et h i st h e o r e m ，w en e e dt oi n t r o d u c e ，c h a r a c t e r i s t i cc o o r d i n a t e s a tf i r s t ， w ec o n s i d e ras m o o t hs o l u t i o n ( u ) 7 ，w h i c hs a t i s f i e s 妄( ：) + ( ：) 嘉( ：) = ( 巍，) q 。 w s e t a ( u ) f f i ( h ) a n a 田= ( 一，；) a b o v e s y s t e mc a n k 。 f 象+ a 塞叫 裳+ 弘塞：妒， 。2 3 w h e r ea ；一口a n d