（计算数学专业论文）一类特殊的dft调制滤波器组的设计算法研究.pdf

摘要 多速率滤波器组已广泛应用于图像和语音信号的编码、压缩、识别和传输等 领域中。作为一类特殊的多速率滤波器组，调制滤波器组由于设计简单而备受关 注。调制滤波器组主要包括复调制滤波器组和余弦调制滤波器组。复调制滤波器 组又称离散傅立叶变换( d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o 咖，d f t ) 调制滤波器组，这类滤波 器组只需设计一个或两个原型滤波器，因此设计简便。 作为一类特殊的d f t 调制滤波器组，二维d f t 调制滤波器组具有很多良好 的性质，比如好的方向选择性和频带划分，这些性质是图像处理所需要的。为此， 本文研究了二维d f t 调制滤波器组的设计，构建了一类冗余比为2 的二维双原型 d f t 调制滤波器组。利用原型滤波器的多相位分解，推导出了该滤波器组的完全 重构( p r ) 条件。基于该p r 条件，我们分别给出了两种设计原型滤波器的方法。 首先，我们提出了一种基于提升结构的设计算法，在该方法中，利用提升结构将 p r 条件参数化成关于提升滤波器的表达式，通过优化提升滤波器来最小化原型滤 波器的阻带能量，从而设计出具有p r 特性和良好频率特性的滤波器组。然后， 我们给出了一种基于无约束优化的设计二维线性相位d f t 调制滤波器组的方法， 我们将滤波器组的设计问题归结为一个关于原型滤波器的多相位分量的无约束优 化问题。其中，由于原型滤波器具有线性相位特性，因而多相位分量之间具有一 定的关系。利用这些关系，设计问题得到了简化。仿真表明了优化算法的有效性， 设计所得的滤波器组重构误差很小、频率特性较好，基本满足实际应用的需要。 关键词：二维d f t 调制滤波器组线性相位冗余比完全重构 a b s t r a c t m u l t i r a t ef i l t e rb a n k sh a v e b e e nw i d e l yu s e di nt h ec o d i n g ，c o m p r e s s i o n , r e c o g n i t i o na n dt r a n s m i s s i o no fi m a g ea n ds p e e c hs i g n a l a sas p e c i a lk i n do fm u l t i r a t e f i l t e rb a n k s ，m o d u l a t e df i l t e rb a n k sh a v eb e e np a i dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o nb e c a u s eo f t h e i rs i m p l ed e s i g n s t h ec o m p l e xm o d u l a t e df i l t e rb a n k sa n dc o s i n em o d u l a t e df i l t e r b a n k sa r et w om a i nt y p e so fm o d u l a t e df i l t e rb a n k s t h ec o m p l e xm o d u l a t e df i l t e r b a n k sa r ea l s oc a l l e dd i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ( d f t ) m o d u l a t e df i l t e rb a n k s ，w h i c h a r ee a s yi nd e s i g nd u et ot h a to n l yo n eo rt w op r o t o t y p ef i l t e r s ( if s ) n e e dt ob e d e s i g n e d a sas p e c i a lc l a s so fd f tm o d u l a t e df i l t e rb a n k s ，t w o - d i m e n s i o n a l ( 2 d ) d f t m o d u l a t e df i l t e rb a n k sp o s s e s sm a n yg o o dp r o p e r t i e s ，f o ri n s t a n c e ，g o o dd i r e c t i o n a l s e l e c t i v i t ya n df r e q u e n c yt i l i n g ，w h i c ha r cd e s i r e di ni m a g ep r o c e s s i n g i nv i e wo ft h i s p o i n t , w ef o c u so nt h ed e s i g no f2 dd f tm o d u l a t e df i l t e rb a n k si nt h i sp a p e r ac l a s s o f2 dd o u b l e - p r o t o t y p ed f tm o d u l a t e df i l t e rb a n k sw i t hr e d u n d a n c yr a t i ot w oi s c o n s t r u c t e d b y m e a n so ft h e p o l y p h a s ed e c o m p o s i t i o n o ft h ep f s ，t h e p e r f e c t - r e c o n s t r u c t i o n ( p r ) c o n d i t i o nf o rt h ef i l t e rb a n ki sd e r i v e d w i t ht h ec o n d k i o n ， t w oa l g o r i t h m sa r ep r o p o s e dt od e s i g nt h ep f s o no n eh a n d ，am e t h o db a s e d0 1 1t h e l i f t i n gs t r u c t u r ei sp r e s e n t e d t h ep rc o n d i t i o ni sp a r a m e t e r i z e da se x p r e s s i o n sw i t h r e s p e c tt ol i f t i n gf i l t e r s t h es t o p b a n de n e r g yo ft h ep f si sm i n i m i z e db yo p t i m i z i n g t h el i f t i n gf i l t e r s a sar e s u l t , p rf i l t e rb a n kw i t hf i n ef r e q u e n c ys e l e c t i v i t yi so b t a i n e d o nt h eo t h e rh a n d , a n a l g o r i t h m b a s e do nu n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o ni sg i v e nt od e s i g n t h e2 dl i n e a rp h a s ed f tm o d u l a t e df i l t e rb a n k s t h ed e s i g np r o b l e mi sf o r m u l a t e da s a nu n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o nw i t hr e s p e c tt ot h ep o l y p h a s ec o m p o n e n t so ft h ep f s s i n c et h ep f sa r el i n e a rp h a s e ，t h e i rp o l y p h a s ec o m p o n e n t sa r er e l a t e d , w h i c h s i m p l i f i e st h ed e s i g np r o b l e m t h en u m e r i c a lr e s u l ts u g g e s t st h a tt h es e c o n da l g o r i t h m i se f f i c i e n t a n dt h eg e n e r a t e df i l t e rb a n kh a sv e r ys m a l lr e c o n s t r u c t i o ne r r o ra n dg o o d f r e q u e n c yp r o p e r t y , w h i c hb a s i c a l l y m e e t st h er e q u i r e m e n to ft h e p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s k e y w o r d s ：t w o - d i m e n s i o n a l ( 2 d ) d f tm o d u l a t e df i l t e rb a n k s l i n e a rp h a s e r e d u n d a n c yr a t i op e r f e c t - r e c o n s t r u c t i o n ( p r ) 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：型望整日期竺丝：! ：鱼 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 本人签名：型塑整 导师签名：浏绋 日期兰! ：三：竺 日期圈q ：墨：生 第一章绪论 第一章绪论 1 1 多速率系统概述 随着数字信号处理的迅速发展，信号处理系统中信号的处理、编码、传输和 存储等工作量越来越大，如何能够有效地满足应用需求同时节省计算工作量成为 人们研究的热点问题。在这种情况下，多速率数字信号处理产生并发展起来。多 速率数字信号处理能够实现信号的不同抽样率及不同抽样率之间的转换，因此可 以降低计算复杂度、减少存储量等。 多速率是指在信号处理系统中存在着多个不同的数据处理速率。把具有多个 抽样率的离散时间系统称为多速率系统( 又称多抽样率系统) 。在多速率系统中， 存在着两个基本的组成单元，即抽取器和内插器，如图1 1 所示，由它们来实现 信号在不同抽样率之间的转换。在图1 1 中，上m 抽取器使信号的抽样率降低m 倍，即j ，( 刀) = x ( m n ) ；而个膨内插器使信号的抽样率增加m 倍，输入和输出信号 具有关弑j ，( 功- 篷x 肛批挺z 。根据不| 司应用的需靶我们可以利 用抽取器和内插器来实现信号的不同速率要求。 型吖瓦 _ 丑) 型吖石 _ 当) i 一1 一 ( a ) ( b ) 图1 1 多速率系统的两个基本单元，c a ) 抽取器，( b ) 内插器 多速率信号处理领域中最基础、最重要的模块是多速率滤波器组，其基本结 构如图1 2 所示。可以看出，除了上述提及的抽取器和内插器，多速率滤波器组 还包括分析滤波器组耳( z ) 和综合滤波器组q ( z ) ( 0 i m - d ，因此该滤波器组 又被称为“分析综合”滤波器组系统。在多速率滤波器组中，分析和综合滤波器 的设计至关重要。 利用多速率滤波器组，我们可以将输入信号分解成具有不同频率的子带信号， 然后根据应用场合的不同对子带信号进行相应处理，最后由各个经过处理的子带 信号重构得到输出信号。在图1 2 中，分析滤波器组e ( z ) ( o f m 1 ) 一方面起 到了分解输入信号的作用，另一方面作为抗混叠滤波器消除了由山m 采样产生的 混叠；综合滤波器组g ，( z ) ( 0 i m 1 ) 将不同频带的子带信号合成为重构信号， 同时又起到了消除由个m 采样产生的镜像的作用。 一类特殊的d f t 调制滤波器组的设计算法研究 z 0 ) x 0 ) 图1 2 肘通道滤波器组 在滤波器组的设计过程中，我们通常考虑滤波器组的重构特性。如果重构信 号“刀) 和输入信号x ( n ) 具有如下关系式： x ( 刀) = c x ( n n o )( 1 1 ) 式中c 、n o 是常数，即当重构信号是输入信号延迟后的常数倍时，称滤波器组具 有完全重构( p e r f e c t - r e c o n s t r u c t i o n ，p r ) 特性。然而在信号重构过程中，信号的失 真是很难避免的，只有所设计的分析和综合滤波器组满足一定的条件，我们才能 得到具有p r 特性的滤波器组。滤波器组的失真主要包括【l 】： ( 1 ) 混叠失真( a l i a sd i s t o r t i o n ，a l d ) ：由抽取和内插产生的混叠和镜像带来的 误差所造成； ( 2 ) 幅度失真( a m p l i t u d ed i s t o r t i o n , a m d ) ：由分析和综合滤波器幅频特性的 波动性产生的误差所造成； ( 3 ) 相位失真( p h a s ed i s t o r t i o n ，p h d ) - 由滤波器相频特性的非线性产生的误差 所造成； ( 4 ) 子带量化误差：由编、解码产生的误差，与量化噪声类似。这是一种无 法完全消除的误差。 在滤波器组的设计中首要的任务就是减小和消除各种失真现象，各种各样的 滤波器组理论与设计方法都是围绕着如何消除或抑制上述的失真来展开的。 1 2 多速率滤波器组的发展 1 2 1 一维滤波器组的发展 滤波器组最早于2 0 世纪7 0 年代在语音信号的子带编码【2 】中获得了应用，而 多速率数字信号处理及多速率数字滤波器组是在两通道正交镜像滤波器( q m f ) 成 功应用于语音信号的压缩后才获得了众多学者的重视。1 9 8 0 年，j o h n s t o nj d 提 第一章绪论 出了一类两通道正交镜像滤波器组【3 l ( q u a d m t u r em i r r o rf i l t e rb a n k , q m f b ) 。该 q m f b 能够完全消除混叠失真和相位失真，但不能完全消除幅度失真，j o h n s t o n 通 过优化来使滤波器组的幅度失真最小。1 9 8 4 年，s m i t h m j t 和b a m w e l l t p 嗍 以及m i n t z c rf 【5 j 分别独立提出了共轭正交滤波器组( c o n j u g a t eq u a d r a t u r em i r r o r f i h c rb a n k , c q m f b ) ，并首次实现了完全重构。s m i t h 和b a m w e l l 还证明了可以用矩 阵形式表示完全重构的仿酉滤波器组，使用仿酉滤波器组可以很容易做到p r 。 1 9 8 7 年，v a i d y a n a t h a np p 引入了多相位( p o l y p h a s e ) 分解的方法，为滤波器组的实 现提供了一种高效的结构，极大地简化了滤波器组的设计，从而推动了这一学科 的发展。v a i d y a n a t h a n 和他的研究小组还提出了f i r 无损系统的格型( 1 a t t i c e ) 结构【6 1 ， 将格型结构用于设计完全重构的仿酉( 正交) 滤波器组【7 】，可以实现功率互补的滤波 器组，简化了滤波器组的设计。 滤波器组的线性相位特性非常重要。但是，有实际意义的两通道完全重构的 线性相位正交滤波器组是不存在的【1 1 ，也就是说功率互补条件和线性相位条件在 两通道下是互相矛盾的。于是，n g u y e nt q 和v a i o y a n a t h a nr p 在19 8 9 年提出了 一种完全重构的线性相位滤波器组两通道双正交滤波器组，并研究了格型结 构的具体实现及格型系数的计算【8 1 。双正交滤波器组的设计方法有最小均方法、 梯式结构法 9 - 1 2 】等。 2 0 世纪8 0 年代后期，v e t t e r l i 和v a i d ) r a n a t h a np p 等学者将两通道子带扩展到 m ( m 2 ) 通道子带。1 9 8 1 年，n u s s n a u m e r 首先给出了m 通道近似重构的q m f b 的设计方法【1 3 】。之后，1 9 9 0 年，n g u y e n 和v a i d y a n a t h a n 的m 带线性相位滤波器组 的研究成果备受关注。t r a nt d 研究了任意长度、任意通道的线性相位滤波器组 的理论、结构、设计方法以及在图像处理中的应用 1 4 - 1 6 。 随后，调制滤波器组被提了出来。作为一个特殊的m 通道完全重构系统，调 制滤波器组的所有分析和综合滤波器都经一个或两个原型滤波器调制得到。调制 滤波器组分为复调制滤波器组( d f t 调制滤波器组) 和余弦调制滤波器组( c m f b ) 。 c m f b 理论主要由m a l v a r ，k o i l p i l l a i ，v a i d y a n a t h a n 和r a m s t a d 发展起来。1 9 9 2 年， k o i l p i l l a i 提出了肘带的c m f b ，给出了p r 条件，并用格型结构实现了该c m f b 0 7 1 。 这些工作极大地推动了调制滤波器的研究，同时还为后续的深入研究提供了理论 基础。 除了上面提到的均匀滤波器组外，非均匀滤波器组理论也是一个研究热点。 非均匀是指滤波器组的频带划分是不均匀的，这样的滤波器组可以适应多分辨率 的需求。但是由于这种非均匀的频带划分，使得整个滤波器组的p r 特性实现起来 比较困难。1 9 8 9 年，h o a n gp q 和v a i d y a n a t h a np p 研究了完全重构的非均匀滤波 器组理论，给出了消除混叠分量的条件 1 8 1 。1 9 9 1 年，n a y e b ik 等发表了非均匀滤 波器组重建和设计理论【1 9 1 。19 9 5 年，w a d as 设计出了非均匀f i r 滤波器组 2 0 1 ， 一类特殊的d f t 调制滤波器组的设计算法研究 a a s es o ，r a m s t a dt a 研究了子带编码中非均匀滤波器组的优化1 2 1 。1 9 9 7 年， l ij l ，n g u y e nt q 和t a n t a r a t a n as 提出新的近似完全重构的非均匀滤波器组的设 计【2 2 1 。1 9 9 9 年，s o n yj 2 3 1 等指出了非均匀滤波器组中一些尚未解决的问题。之 后，c h a ns c 等人不断完善完全重构非均匀滤波器组的理论和设计方法。目前， 非均匀滤波器组的理论和设计已基本成熟。 多速率滤波器组与小波变换关系密切 2 4 , 2 5 】，因此利用滤波器组设计小波成为 一个研究热点。1 9 9 2 年，v e t t e r l l ii 研究了两通道滤波器组、小波基和多分辨率信 号分析的关系 2 6 】。同年，c o h e na 和d a u b e c h i e si 提出用双正交滤波器组构造有限 支撑的对称双正交小、波【2 7 1 。1 9 9 3 年，s t e f f e 和h e l l e rp n 提出用必通道滤波器组 设计正交小波 2 8 】。1 9 9 5 年，p h o o n gs m 提出的滤波器组可以设计多种类型的滤 波器组及小波基1 2 9 。小波变换的研究始于2 0 世纪8 0 年代，现仍在快速增长。 1 2 2 多维多速率滤波器组理论的发展 多维滤波器组的研究开始于2 0 世纪8 0 年代，最早是由v e t t e r l im 在子带编码 中引入的0 0 1 。之后，w o o d s 和o n e i l 将其应用在图像编码中【3 。近几十年来，多 维多速率系统理论取得了很大进展，目前，多维多速率系统被广泛应用于图像和 视频信号的子带编码等技术中。 早期，对多维滤波器组的研究主要集中在二维信号上。二维信号可以用矩阵 表示，是了解一维和二维多速率表示的基础，而且易于推广到多维情况中。二维 两通道的多速率滤波器组的研究比较成熟，很多学者通过研究一维的原型滤波器， 设计出了具有菱形( d i a m o n d ) 、扇形( f 抽) 支撑域的滤波器和方向滤波器【3 2 】，并在图 像处理等方面获得了广泛的应用。之后，二维两通道滤波器组的设计理论和方法 被推广到任意网格取样和多通道的情况以及不可分离的情况【3 3 ，3 4 ，3 5 1 ，c h a ns c 由 矩形抽取和不可分离的原型出发研究了二维余弦调制滤波器组【3 6 1 。 二维的设计方法非常有价值，但并不适合任意维的应用，因此多维滤波器组 的研究相继发展起来。1 9 9 1 年，v i s c i t oe ，a l l e b a c hj p 分析和设计了基于任意网 格抽取的多维f i r 滤波器组【3 3 1 。1 9 9 3 年，c h e nt ，v a i d y a n a t h a np p 通过一维的滤 波器组原型给出了任意维的具有任意形状支撑域的滤波器组的设计方法，通过这 种方法设计出来的多维均匀d f t j e 交镜像滤波器组具有完全重构特性【3 丌。2 0 0 5 年，j i a n p i n gz h o u ，d om n 和k o v a c e v i cj 利用c a y l e y 变换设计出了正交的l i p , 和 f i r 多维滤波器组【3 引，弥补了谱分解和格型结构在多维正交滤波器组设计上的缺 陷。多维双正交两通道滤波器组和多维仿酉滤波器组的设计也被提了出来 3 9 4 0 1 。 近来，滤波器组与离散小波变换的关系也被推广到了多维情况中1 3 5 川。 第一章绪论 1 3 本文所做工作 近年来，二维滤波器组广泛应用于图像处理中【4 2 舶】。二维可分小波是最初的 选择，并成功地用于图像去噪和图像压缩中【4 3 一】。但由于二维可分小波的方向选 择性比较差，其不能有效地表示图像中诸如边缘、纹理等细节信息。为了弥补可 分小波的这一缺陷，许多具有更好方向选择性的二维滤波器组被提出，例如 c o n t o u r l e t s 4 5 】和二维对偶树复小波 4 6 】。作为一类特殊的二维滤波器组，二维调制 滤波器组由于设计简单和良好的方向选择性而备受关注【4 7 , 4 8 。在文献【4 7 】和 4 8 】 中设计的调制滤波器组均是余弦调制滤波器组。二维可分的d f t 调制滤波器组可 由一维d f t 调制滤波器组经张量积得到【4 9 1 。但由于设计自由度的限制，可分d f t 调制滤波器组难以具备良好的整体性能。相比之下，二维不可分的d f t 调制滤波 器组由于较多的设计自由度可获得良好的整体性能，并且二维不可分的d f t 调制 滤波器组同样可以具有很好的方向选择性。但是，目前为止很少有文献考虑二维 不可分的d f t 调制滤波器组的设计。低冗余比的二维滤波器组可以节约数据量， 在很多应用中较受欢迎。为此，本文考虑了一类冗余比为2 的二维d f t 调制滤波 器组的设计。此外，在图像处理领域中，线性相位是一个重要性质【5 刚。因此，我 们也考虑二维线性相位的d f t 调制滤波器组的设计。本论文的内容安排如下： 第一章为绪论部分，概述了多速率系统和多速率滤波器组理论的发展，同时 介绍了本论文的研究背景和主要内容。 第二章详细介绍了多速率系统的基础理论知识，包括采样网格、多维抽取和 内插、多相位分解和多速率滤波器组。之后给出了滤波器组的多相位矩阵表示的 高效结构，并且介绍了多通道最大抽取滤波器组混叠消除和完全重构条件的多相 位表示。最后，我们简单介绍了多维多速率滤波器组的设计方法。 第三章中，我们介绍了二维d f t 调制滤波器组的基础知识。我们推导出了一 类特殊的二维d f t 调制滤波器组的完全重构( p r ) 条件。然后我们介绍了一种利用 提升结构设计这类滤波器组的原型滤波器的方法。 第四章中，我们给出了第三章中推导出来的p r 条件的空域形式，并提出了 一种基于无约束优化的设计二维线性相位d f t 调制滤波器组的算法。最后，我们 给出了实验仿真并对仿真结果进行了分析。 第五章中我们总结了本论文的工作，并对下一步的工作进行了展望。 第二章多速率系统理论基础 第二章多速率系统理论基础 本章介绍多速率系统和多速率滤波器组的理论基础知识，是后面各章节的基 础。在本章中我们详细介绍了多速率系统中的多维抽取和内插、多相位分解以及 多速率转换系统的高效实现。在介绍完多速率系统的理论基础知识后，我们给出 了多维最大抽取滤波器组的基本结构，并简单介绍了下多速率滤波器组的设计。 我们首先给出多维多速率信号处理理论中常用的符号和预备知识，以肘维的 信号处理为例。在本论文中我们用黑体字母来表示集合、向量和矩阵，如用z 表 示肘维的复向量z = 【z o ，气，一。】r ，n 表示m 维的整数向量n = n o ，惕，一。r 。 f l 定义z 。= 球砷拙= 兀矿，z d = 【z d 0 ，z | 1 ，z 一】r ，其中d 代表m m 的整数 1 1 0 矩阵，d ，为矩阵d 的第f 列。给定矩阵a ，我们用a r 表示它的转置矩阵，4 。为a 在下标( f _ ) 处的值。i m 代表m x m 的单位矩阵。m 维信号x ( n ) 的z 变换、傅里 叶变换【5 0 1 分别定义为： x ( z ) = 石( n ) z 一，x 佃) = 双n ) p 一柚 ( 2 - 1 ) e a- e a 其中= ，0 ) 1 ，( a m 一。r ，a 为所有肘维整数向量的集合。以二维情况为例，则 信号x ( u ) 的二维z 变换和傅里叶变换为： x ( z ) = x ( z o ，毛) = x ( n o ，啊) 矿矿 ( 2 - 2 ) 2 o 2 1 x ( m ) = x ( c o o ，q ) = x ( n o ，啊弦叫嘶蛔 ( 2 - 3 ) 2 o 一 2 1 采样网格 肘维采样在m 维多速率系统中具有重要的作用，因此我们首先介绍膨维多 速率系统中的采样概念。由于m 维采样涉及到采样矩阵和采样网格( l a t t i c e s ) ，因 此与一维采样相比，朋维采样更复杂。设采样矩阵m 是一个m x m 的非奇异整 数矩阵，则采样率为其行列式的绝对值，记为l d e tm i 。由m 生成的采样网格定义 为， 8 一类特殊的d f t 调制滤波器组的设计算法研究 l a t ( m ) = m o ，n a )( 2 _ 4 ) 其中a 为所有m 维整数向量的集合。l a t ( m ) 是由无限多个整数向量构成的离散 集合。例如，图2 给出了分别由2 2 非奇异矩阵。= ( 三匀和q = ( 二。：) 生 成的采样网格。 由图2 1 ( a ) 可以看出，当采样矩阵为对角矩阵时，采样网格是可分离的。否则， 称采样网格是不可分离的，如图2 1 c o ) 所示。称由q 生成的网格是梅花型网格。 0 ( a )( b ) 图2 1 ( a ) d 生成的网格，c o ) q 生成的网格 下面给出与采样矩阵m 密切相关的其它几个概念，包括由m 定义的整数向量 集合、基本平行六面体和对称平行六面体。 ( a )( b )( c ) 图2 2 ( a ) 由m 生成的n ( m ) ，( b ) 由m 生成的f p d ( m ) ，( c ) 由m 生成的s p d ( m ) 由m 定义的整数向量集合为， n ( m ) = nn = m x , n z 2 , x = x o ，而，芳w l 】r ，x o ，j c l ，w l 【0 ，1 ) ( 2 - 5 ) 集合n ( m ) 中元素的个数等于采样率s ( m ) = l d c t m i 。例如给定采样矩阵 m ：f ，2 l 1 则n c m ，= k 匀，( o ) ，( ：计，其中n c m ，中的元素分别对应于 第二章多速率系统理论基础 9 x 埘x 髑珏阱 基本平行六面体f p d ( m ) 定义为， f p d ( m ) = m xx = ，x i ，一i 】r ，而，五，嘞一l 【0 ，1 ) ( 2 6 ) 给定采样矩阵m ，如果将m 所有的列向量都画在m 维坐标空间，以这些向量为 边画一个平行多面体，该平行多面体即为采样矩阵m 生成的基本平行六面体。由 几何知识可知，平行六面体f p d ( m ) 的容积等于i d e t m i ，每单位容积的采样点数 就等于单位容积中可容纳的f p d ( m ) 数。 对称平行六面体s p d ( m ) 定义为 s p d ( m ) = m x i x = 【x o ，j c l ，x u l 】1 ，x o ，x a ，嘞一l 卜l ，1 ) ) ( 2 - 7 ) 图2 2 给出了由采样矩阵m = ( 1 ) 生成的n ( m ) ，f p d ( m ) 和s p d ( m ) 。 2 2m 维抽取和内插 在一维多速率系统中已经引入了多速率的基本概念，包括抽取、插值、多相 位分解和无混叠失真滤波器组的设计等。现在我们利用采样矩阵和采样网格将这 些概念推广到膨维多速率系统中。 2 2 1 膨维抽取 对于m 雉序y o x ( n ) ，m 抽取定义为【4 2 】 y ( n ) = x ( m n )( 2 - 8 ) 其中m 为m xm 的非奇异整数矩阵，称其为抽取器，如图2 3 ( a ) 所示。由前面的 知识可知，y ( u ) 只包含x ( ) 中位于l a t ( m ) 格点上的值。以二维信号抽取为例， 图2 3 ( b ) 给出了m = ( 三三) 时的情况。需要注意的是：抽取器对抽取后留下的点 进行了重新编号。 在变换域，图2 3 ( a ) 中的输入和输出信号具有如下关系【4 2 1 ： l o 一类特殊的d f t 调制滤波器组的设计算法研究 x 0 3 工 x 0 2 工 x o l 洲苎q h 匿兰州羔q 倒 | 困囡囹囡 囡困囵囡 ( a ) ( b ) o ( 2 - 9 ) ( c ) 图2 3 ( a ) m 抽取器，( b ) 2 - d 下采样操作示意图。( c ) 抽取滤波器 可以看出式( 2 9 ) 中和号后共有j ( m ) = l d c t m i 项。称x ( m 寸) 为基带x ( m ) 的“拉 伸”项。k ，0 的项称为频移项。我们称k ，0 对应的项为混叠项，可以看出当 且仅当这些混叠项在每一频率都为0 时，才能从输出信号中恢复出输入信号。因 此在实际应用中，为了保证能够从输出信号中恢复出输入信号，需要在抽取之前 采用抗混叠滤波器组对输入信号进行预滤波，如图2 3 ( c ) 所示。称日( 仿) 为抽取滤 波器，为了保证不会产生混叠失真，要求日油) 的通带满足如下条件【4 2 】： c o = s p d ( 万m 寸) + 2 # k ，k a( 2 i o ) 2 2 2 肘维内插 对于m 维序列z ( n ) ，m 内插定义为【4 2 l y c n x ( m 兵- l n 它) , n l a t ( m ) ( 2 - 1 1 ) y 一 寸 一 m ) x 一江一 一 几一 固囡囡团困圈园固固圈囡固困囡囵困 第二章多速率系统理论基础 如图2 4 ( a ) 所示，在m 内插( 或称为m 上采样) 过程中，输出信号y ( n ) 将输入信号 x ( n ) 落在l a t ( m ) 格点上的值进行重排列，将没有、落在l a t ( m ) 格点上的值置0 。 给定采样矩阵m = ( 1 ：) ，则上采样过程如图2 4 ( b ) 所示。 ( a ) ( b ) x 生吨互计匦弘佃 ( c ) 图2 4 ( a ) m 内插，( b ) 2 - d 上采样操作示意图，( c ) 内插滤波器。 在变换域，图2 4 ( a ) 中的输出和输入信号具有如下关系【4 2 1 ， 】，佃) = x ( m 7 )( 2 - 1 2 ) 由上式可以看出，上采样后的输出频谱是输入频谱经压缩、旋转后得到。输出频 谱r ( t o ) 以2 万m - r 为周期，因此会在【一历万) m 频带内产生，( m ) 一1 个镜像。图2 5 给出了上采样后频带内发生的变化，其中m = ( 三：) ，- 厂( m ) = 3 。 因此为了消除由上采样引起的镜像，通常会在上采样操作后级联一个抗镜像 滤波器，如图2 3 ( c ) 所示。 一类特殊的d f t 调制滤波器组的设计算法研究 ( ) u 万眄一1 l 筇i 生一 i 一 万万 ，( o ) 一n 一j xl 一 ( a )0 ) 崮2 5 ( a ) 输入信号频谱，( b ) 经m 上采样后输出信号频谱( 灰色和螺灰色部分为镜像) 2 3 多相位分解 与一维( o n e 百7 。，b i 吾) ( 3 - 2 1 ) 3 4 仿真实验 我们利用上节介绍的提升结构设计一类冗余比为2 的二维d f t 调制滤波器组 的原型滤波器，其中调制矩阵和采样矩阵分别为。= i3 3 年1 d 2 = 三三 。提 升滤波器的支撑域为 n = 魄，嘭】r ：- l _ 。此时，式( 3 - 1 9 ) g i ( 3 2 0 ) 具有全 局最优解，设计所得的原型滤波器及其幅度响应如图3 2 所示，该滤波器组的重 构误差小于3 0 0 d b ，具有精确重构特性。 第三章基于提升结构的二维d f t 调制滤波器组的设计 03 0 2 ；0 1 ￥0 _ 0 1 i c x 躅3 2 设计实例( a ) 分析原型的脉冲响应t0 ) 分析原型的幅度响应，0 ) 综合原型的脉冲 响应，( d ) 综合原型的幅度响应 攀一 蘧鬻 第四章基于无约束优化的二维d f t 调制滤波器组的设计 第四章基于无约束优化的二维d f t 调制滤波器组的设计 在上一章中，我们给出2 dd f t 调制滤波器组的基本结构，并推导出了调制 矩阵和采样矩阵分别为 厂m m - ir m0 d i - - l mm | d 22 l omi ( 4 - 1 ) 的冗余比为p = l d 。i i d ，l = 2 的2 dd f t 调制滤波器组的p r 条件，然后我们利用提 升结构给出了这类滤波器组的设计方法。本章我们给出了p r 条件的空域形式，并 提出了一种基于无约束优化的设计方法。该方法将滤波器组的设计归结为一个关 于原型滤波器的多相位分量的无约束优化问题。考虑到在图像处理等应用领域中， 线性相位是一个重要性质【5 8 】。因此，在本章中我们假定原型滤波器是线性相位的， 则多相位分量之间具有一定的关系，因此我们可以简化该优化问题。仿真结果表 明了我们提出的这种优化算法的有效性，设计所得的滤波器组重构误差很小、频 率特性较好，基本满足实际应用的需要。 4 1 二维d f t 调制滤波器组完全重构条件的空域形式 由上一章中的定理2 ，我们知道具有( 4 1 ) 式所示调制和采样矩阵的2 d 双原型 d f t 调制滤波器组的p r 条件为： e 佃) r 佃) + e ( ( j t ) - - 7 ，万r ) r ( - - 1 f ，万】r ) = i m 2 , k = o ，l ，m 2 - 1 ( 4 - 2 ) 其中，最佃) 为分析原型办( n ) 的i 型多相位分量气( n ) 的傅立叶变换，而r 汹) 为 综合原型g ( n ) 的i i 型多相位分量咯( n ) 的傅立叶变换。 在空域上，这一条件可以表示为 ( 1 + ( _ 1 ) 0 ) 军略( n 。- n ) = 击舯o ) ，n o z 2 ( 4 - 3 ) 上式表明，滤波器组的完全重构条件是关于原型滤波器多相位分量的二次等式。 4 2 线性相位的原型滤波器及其频率特性 不失一般性，假设线性相位的原型滤波器关于n = ( 0 ，0 ) r 对称，即 一类特殊的d f t 调制滤波器组的设计算法研究 办( n ) = 厅( 一n ) ，一厶吃，吩厶 ( 4 _ 4 ) g ( n ) = g ( 一n ) ，一t ，7 乓 、7 原型滤波器的频率响应为 1 日( ) = 办( o ，0 ) + 2 5 ：h ( 0 ，) c o s ( q b ) + 2 - - r 办( 吃，够) c o s ( q + 哆b ) 0 10 爿 ( 4 - 5 ) ig 佃) ：g ( o ，o ) + 2 兰g ( o ，哆) c o s ( q b ) + 2 兰圭g ( 吃，吩) c o s ( q + q 勺) 、叫 为方便起见，我们引入下列向量 h 【h ( 0 ，o ) ，h ( o ，厶) ，h ( l h ，厶) r ， g - 【g ( o ，o ) ，g ( 0 ，厶) ，g ( l g ，乓) r ， ( 4 - 6 ) c ( o ，三) = 【1 一，2 c o s ( c a y l ) ，2 c o s ( c o , l + c o y l ) r 因而，原型滤波器的频率响应可以写成下列简洁的形式： 日汹) = c 1 佃，厶) h ，g 油) = c 1 细，t ) g ( 4 - 7 ) 原型滤波器的频率特性包括阻带衰减、过渡带能量和通带平坦性。阻带衰减 可以由阻带能量来控制。小的阻带能量对应于高的阻带衰减。阻带能量的计算公 式为： 巨( h ) 2 坠，1 日汹) 1 2 幽= h r 些c ，；h ) e t ，厶) 如) h - h 毽“ ( 4 8 ) e a g ) = 皿。i g 佃) 1 2 钿= g r ( 儿，c ( ，k 矿( ，l , ) a o ) g = g 7 s k g 、 式中q ，指的是原型滤波器的阻带区域，定义为 q ，= ( q ，哆) l ( 吱，q ) 【一万，万) 2 ，( 致，哆) 甓s p d ( z d - 2 r ) ) 对于一个矩阵d = 【d l ，d 2 】而言，s p d ( z d - r ) = = ( c o x ，缈y ) ri - 万d i ，d 知 万 。 在设计中，通过控制过渡带能量来防止过渡带的异常凸起( 异常凸起会严重影 响滤波器组的重构性) 。过渡带能量表达式为 巨( h ) 2 正l h 佃) 1 2 如_ h r ( 皿c ( ，厶矿佃，厶) 如) h - h r a ，h “9 ) 巨( g ) = f ll g ( , o ) 1 2 豳= g r ( j l c 佃，t 矽佃，t ) 豳) g = g r a ，g 、7 式中q ，指的是原型滤波器的过渡带区域，定义为 q ，= ( 吱，哆) i ( c o x ，q ) s p d ( z d i 7 ) ，( q ，q ) 诺s p d ( z d i r ) ( 4 1 0 ) 第四章基于无约束优化的二维d f t 调制滤波器组的设计 3 l 肿) = 儿扣卜卿舡n _ 2 b m ( g ) = 皿。i g ( ) 一阿1 2 豳= g r p 一2 b 乙g + d ， 。 式中p l = 亚，c 佃，三矿佃，l ) d o ，b 工= 圻可见，c 细，三) 钿，j = 4 刀2 l d ：i l d 。l ，通带区 域q ，定义为q p = ( q ，q ) i ( 畋，哆) d ( 刀d _ ) 。 另外，由多相位分量的定义可知，当原型滤波器满足对称性条件( 4 - 4 ) 时，其 各个多相位分量是相互联系的。 性质1 当原型滤波器满足对称性条件( 4 _ 4 ) 时，多相位分量毛佃) 和r a m ) 具 有下述性质 毛细) = e o ( ) ， 五) ：p 层“( 咱) ，k = l ，2 ，m 一1 ， 最佃) ：p j 吼：一i ( 嘞) ，七：m ，2 m ，m (