清北学堂 2014年暑假高中数学竞赛班型知识点梳理2

2014 年暑假高中数学竞赛班型知识点梳理 （第 二 次） 资料 说明 本 导学用于学员在实际授课之前，了解授课方向及重难点。同时还附上部分知识点的详细解读。 本 班型导学共由 4 份 书面资料构成。 清北学堂集中培训课程知识点梳 理 （ 2014 年 暑假 集中培训课程使用） QBXT/JY/ZSD2014/6-1-2 2014-6-20 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 2014 年暑假高中数学竞赛班型知识点梳理 (几何 部分 ) 目录 知识结构 . 3 重点难点 . 4 知识梳理 . 5 一、 平面几何 . 5 1. 基础定理 . 5 2. 三角形的心 . 6 3. 多点共圆问题 . 7 4. 面积问题面积方法 . 7 5. 面积的等积变换 . 9 二、 立体几何 . 10 1. 基础定理 . 10 2. 多面体与旋转体 . 11 3. 空间角和距离的计算 . 14 三、 解析几何 . 16 1. 圆锥曲线 . 16 2. 直线 . 17 3. 圆 . 19 4. 向量 . 19 四、 几何不等式 . 20 1. 证明不等问题的公理和定理 . 20 2. 几个著名的几何不等式 . 21 3. 证明几何不等式常用方法 . 21 例题选讲 . 23 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 知识结构 平面几何 基础定理 梅捏劳斯定理 赛瓦定理 托勒密定理 西姆松定理 其它定理 三角形的心 五心概念及性质 多点共圆问题 证明 面积 问题面积方法 面积公式 面积定理 立体几何 基础定理 基础定理 118 多面体与旋转体 棱柱与棱锥 长方体与正方体 四面体与直四面体 面积与体积 几何体截面 球与多面体切接 空间角和距离的计算 角的计算 距离的计算 解析几何 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 直线 直线方程 到角公式 位置关系及距离 圆 圆的方程 切线方程 位置关系 向量 重要定理 几何不等式 证明不等问题的公理和定理 证明线段不等 证明角不等 圆中有关不等量的知识 著名几何不等式 托勒密定理推广 欧拉定理 艾尔多斯 -莫迪尔不等式 外森比克不等式 费马问题 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 重点难点 几何部分在数学联赛中有两部分体现， 一试 中主要以高考大纲中 立体几何 与 解析几何 为重点，知识点一般不会超出高考大纲，但难度较高考有所提高。 二试 中主要以竞赛大纲较高考考纲新补充的 平面几何 与 几何不等式 为重点。特别是新补充的 四大定理 是联赛几何题目中的难点。 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 知识梳理 一、 平面几何 基础定理 （ 1） 梅捏劳斯（ Menelaus）定理（梅式线） ABC 的三边 BC、 CA、 AB 或其延长线上有点 P、 Q、 R，则 P、 Q、 R 共线的充要条件 是 1BP CQ ARPC QA RB 。 说明： 恰当选择三角形的截线或作出截线，是应用梅涅劳斯定理的关键，其逆定理常应用于证明三点共线问题。 （ 2） 赛瓦（ Ceva）定理（塞瓦点） ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上有点 P、 Q、 R，则 AP、 BQ、CR 三线共点的充要条件是 1BP CQ ARPC QA RB 。 说明： 对较复杂的问题，要注意梅涅劳斯定理和塞瓦定理的联合应用。 （ 3） 托勒密 (Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积 （如图，即A B C D B C D A A C B D ） 的充要条件是该四边形内接于一圆。 说明： 托勒密定理可作如下推广：在凸四边形 ABCD 中，有A B C D B C D A A C B D ，等号成立的充要条件是 ABCD 为圆的内接四边形，称为广义托勒密定理。 （ 4） 西姆松 (Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 （ 5） 其它定理 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 6 页 i. 余弦定理推论 推论 1：平行四边形两对角的平方和等于四边平方和。 推论 2：设 ABC 三边长分别为 a， b， c，对应边上的中线分别为 ma， mb， mc，则： 2 2 21 222am b c a ； 2 2 21 222bm a c b ； 2 2 21 222cm a b c ii. 斯德瓦特定理 如图， ABC 的 BC 边上有一点 P，则可满足下列关系： 2 2 2A B P C A C B P A P B C B P P C B C iii. 张角定理 由 P 点出发的三条射线 ,PAPBPC ，设 APC ， CPB ，180APB ，则 ,ABC 三点共线的充要条件是： s in s in s in ( )P B P A P C 三角形的心 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心 。 （ 1） 外心 三角形中垂线的交点，三角形外接圆的圆心，简称外心 .与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理 。 （ 2） 重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心 .掌握重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式，便于解题 。 （ 3） 垂心 三角形三条高的交战，称为三角形的垂心 .由三角形的垂心造成的四个等 (外接 )圆三角形，给我们解题提供了极大的便利 。 （ 4） 内心 三角形角平分线的交点，三角形内切圆的圆心，简称为内心 .对于内心，要掌握张角公式 。 （ 5） 旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心 .旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切 。 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 7 页 多点共圆问题 （ 1） 利用圆的定义证明 即要证 A、 B、 C、 D 四点共圆，只需要找到一点 P，证得 PA=PB=PC=PD 即可 。 （ 2） 利用圆内接四边形性质定理的逆定理 i. 若四边形的两个对角互补，则四点共圆 。 ii. 若四边形的一个外角等于它的内对角，则四点共圆 。 （ 3） 利用圆周角定理的逆定理证明 即两三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，则四顶点共圆 。 （ 4） 利用圆幂定理的逆定理证明 即 i. 若二线段 AB 和 CD 相交与 E，且 AE EB CE ED 则 A、 B、 C、 D 四点共圆。 ii. 若相交于 P 点的二线段 PB、 PD 上各有一点 A、 C，且 ,PA PB PC PD 则 A、B、 C、 D 四点共圆。 （ 5） 利用托勒密定理的逆定理证明 即 如果四边形 ABCD 的两组对边乘积的和等于它的两条对角线的乘积：,A B C D B C D A A C B D 则 A、 B、 C、 D 四点共圆 。 （ 6） 利用位似变换证明 如果两个几何图形 F 和 F的任意一对对应点 A 和 A的连线都通过同一定点 O，且OA K OA （其中 K 是常数），那么这两个图形叫做位似图形 ， O 叫做位似中心， K 叫做位似系数 。 通常把从图形 F 到 F得变换叫做位似变换 ， 如通过位似变换，图形 F 中共线的点在图形 F中仍然共线，反之亦成立 。 （ 7） 多点（大于 4 点）共圆 i. 通常先证其中四点共圆，再证其余点中一一与共圆四点组中的三点共圆。 ii. 直接 利用位似变换 证明。 面积问题面积方法 （ 1） 面积公式 由于平面上的凸多边形都 可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式。它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用。 设 ABC ， ,abc分别为角 ,ABC 的对边， ah 为 a 的高， R 、 r 分别为 ABC 外接圆、内切圆的半径， 1 ()2p a b c 则 ABC 的面积有如下公式： i. 12ABC aS ah 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 8 页 ii. AbcSABC sin21 iii. ( ) ( ) ( )ABCS p p a p b p c iv. 1 ()2ABCS r a b c pr v. 4ABC abcS R vi. 22 s in s in s inABCS R A B C vii. 2 sin sin2 sin ( )ABC a B CS BC viii. 1 ()2ABC aS r b c a ix. 21 ( s i n 2 s i n 2 s i n 2 )2ABCS R A B C （ 2） 面积定理 i. 共边比例定理 若 PAB 和 QAB 的公共边 AB 所在直线与直线 PQ 交于 M ，则:P A B Q A BS S P M Q M 。 这是一个极为重要的定理，可以说是面积法的顶梁柱，虽然看起来是很普通的事，实则它有着极为深刻的内含：等式左边是一个和 M 根本无关的式子，而右边却可以得到一个确定 M 位置的式子 .用这个式子就好像使用狙击枪一样，可以在根本不需要接近对手的时候就把对手搞定 。 要注意的还有一点，即选择 A 和 B 的时候尽量不要让 A 和 B 在直线 PQ 上，否则会大大影响共边定理的效用 。 ii. 定比分点定理 M 是线段 PQ 上一点，满足 :MP MQ ，则 图 1 - 1( 4 )( 3 )( 2 )( 1 )MPAQBPA BPAQPA MMQ MB QB图 1 -2PA BQM清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 9 页 1A P B A Q BA M B SSS 特别的，当 1 时， 2A P B A Q BA M B SSS 这个定理是对共边定理中处理面积计算所不够强大的一面的一个补充， M 可能是一个感觉上悬空的点，用这个式子可以把和 M 有关的面积转化一下 。 iii. 共角比例定理 在 ABC 和 ABC 中，若 AA 或 180AA ，则 ABCABCS AB ACS A B A C 。 其实共角定理就是 1 sin2S ab c的一个简单推论，我们可以考虑用正弦定理来代替之 。 面积的等积变换 等积变换是处理有关面积问题的 重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题。 面积法是一个很强大的工具，它可以让你在看不清应该如何去算的时候，提供一个有力的方法，尤其在处理线段比例上，它有着很强大的功能 .在后面很多地方都会用到面积的比例来转化边的比例，这也正是面积法的真正作用所在 。 我们先来熟悉一下这些定理，比如先证明在右图 的图形中要证明 AH AFHB BF， 就 可 以 由 AGE AGEBGE ABESSAHHB S S，ABEBGES DG ACS BC CG得到：只要证明 1DG AC BFBD CG AF 即可，这即是以 ABG 关于直线 DCF 的梅氏定理 .于是我们要证明的东西就出来了，其中用到的只有共边定理，再加上梅氏定理作为一个辅助的工具 。 面积法决不是那种能独当一面的方法，它一定是作为配角来使用的，而在证明过程中起到一个过渡的作用 。 图 1 - 3C C A A B ( B ) C B ( B )AAC图 1 - 4GCA FEBDH清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 10 页 二、 立体几何 基础定理 （ 1） 定理 1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直 。 （ 2） 定理 2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 。 （ 3） 定理 3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直 。 （ 4） 定理 4 若 d 为平面。的一条斜线， b 为它在平面 a 内的射影， c 为平面 a 内的一条直线，若 cb，则 c a逆定理：若 c a，则 c b。 （ 5） 定理 5 直线 d 是平面 a 外一条直线，若它与平面内一条直线 b 平行，则它与平面 a 平行 。 （ 6） 定理 6 若直线 a 与平面 平行，平面 经过直线 a 且与平面 交于直线 b，则 a/b。 （ 7） 定理 7 如 果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等 。 （ 8） 定理 8 平面 内有两条相交直线 a， b 都与平面 平行，则 /。 （ 9） 定理 9 平面 与平面 平行，平面 =a, =b ，则 a/b 。 （ 10） 定理 10 如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 。 （ 11） 定理 11 如果两个 平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内 。 （ 12） 定理 12 如果 两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直 。 （ 13） 定理 13 设多面体的顶点数为 V，棱数为 E，面数为 F，则 V+F-E=2。 （ 14） 定理 14 如果球心到平面的距离 d 小于半径 R，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球心的连线与截面垂直 。 设截面半径为 r，则 d2+r2 R2过球心的截面圆周叫做球 大圆 。 经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离 。 （ 15） 定理 15 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等 。 （ 16） 定理 16 从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角其中任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于 3600。 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 11 页 （ 17） 定理 17 若一个球的半径为 R，则它的表面积为 2S =4 R表 。若一个圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，则它的侧面积 S = rl侧 。 （ 18） 定理 18 半径为 R 的球的体积为 34V= R3 ；若棱柱（或圆柱）的底面积为 s，高 h，则它的体积为 V=sh ；若棱锥（或圆锥）的底面积为 s，高为 h，则它的体积为 V= .31sh 。 （ 19） 定理 19 四面体 ABCD 中，记 BDC=， ADC=， ADB=， BAC=A， ABC=B， ACB=C。DH 平面 ABC 于 H。 i. 射影定理： c o s =ABD ABHSS ，其中二面角 D AB H 为 。 ii. 正弦定理： sin sin sinsin sin sinA B C 。 iii. 余弦定理： c o s = c o s c o s + s in s in c o s Ac o s A = - c o s B c o s C + s in B s in C c o s 。 多面体与旋转体 （ 1） 棱柱与棱锥的性质 棱柱与棱锥的性质可以从 侧 面的性质、 平行于底面的截面的性质、几何体诸元素之间相互关系三方面加以考虑 。 其中，要重视棱锥中平行于底面的截面所具有的性质，以及正 棱锥中的四个直角三角形，它们沟通了正棱锥中诸元素之间的相互关系 。 （ 2） 长方体与正方体的性质 i. 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 ii. 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别是 ， ， ，则 2 2 2c o s c o s c o s 1 iii. 长方体的一条对角线与过一个顶点的三个面所成的角分别是 1 2 3, ，则 2 2 21 2 3s in s in s in 1 iv. 正方体的对角线与不相交的面对角线垂直；正方体过同一条对角线的三个对角面两两所成的小于 090 的二面角都等于 060 。 （ 3） 四面体与直四面体的性质 i. 连接四面体对棱中点的线段交于一点，且这点平分这些线段 。 ii. 连接四面体对棱中点的线段交于一点 G ，且这点将所在线段分成的比为 3： 1， G 称清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 12 页 为四面体重心 。 iii. 四面体的二面角的平分面分对棱所成的比等于形成这个二面角的两个侧面的面积之比 。 iv. 每个四面体都有内切球，球心 I 是四面体的各个二面角的平分面的交点，此点到各面的距离等于球半径 。 设四面体四个面的面积分别为 1S 、 2S 、 3S 、 4S ， V 表示它的体积， r 表示内切球的半径， 1h 、 2h 、 3h 、 4h 分别表示各顶点到对面所作的高，有 1 2 3 43Vr S S S S ，1 2 3 41 1 1 1 1r h h h h v. 每个四面体都有外接球，球心 O 是各条棱的中垂面的交点，此点到各个顶点的距离等于球半径 。 vi. 直角四面体中，不含直角的面是锐角三角形，其面积 2 2 2 2 2 212S a b b c c a ，其中 ,abc为互相垂直的三条棱长 。 vii. 直角四面体六条棱长的和 l 为定值时，直角四面体的体积的最大值为 35 2 7162 l。 viii. 直角四面体的内切球半径为 1 2 3 4 3S S S S Vr a b c S 其中 4S 表示锐角三角形的面积， 1S 、 2S 、 3S 表示三个直角三角形的面积， S 表示表面积 。 ix. 直角四面体的外接球半径为 2 2 212R a b c 。 x. 直角四面体的对棱中点连线长相等，且等于外接球半径 。 xi. 四棱柱 底 面 是 平 行 四 边 形 平行六面体 侧 棱 与 底 面 垂 直 直平行六面体 底 面 是 矩 形 长方体 底 面 是 正 方 形 正四棱柱 侧 面 是 正 方 形 正方体 xii. 四面体是立体几何中最基本，也是最重要的几何体， 其地位相当于三角形在平面几何中的地位，它有许多性质，应熟练掌握 。 （ 4） 折叠与展开的方法 要准确画出原来的图形和折叠或展开后的图形，对照平面图形与立体图形的对应元素的位置关系、大小、形状，确定哪些是不变量，哪些是变量，不变量是解题的基础 。 （ 5） 面积与体积 面积： i. 柱体侧面积 S c l侧 （ c 为直截面周长， l 为侧棱或母线长） ii. 正棱锥的侧面积 12S c h侧（ c 为底面周长， h 为斜高） iii. 圆锥的侧面积 :S rl侧 （ r 为底面周长， l 为母线长） 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 13 页 iv. 正棱台的侧面积公式： 1 2S c c h（ c 、 c 分别是上、下底面周长， h 是斜高） v. 圆台的侧面积公式： 1 2S c c l（ c 、 c 分别是上、下底面周长， l 是母线长） vi. 球的表面积 : 24SR vii. 面积射影定理 在二面角的一个半平面上的任意多边形的面积 S 与这个二面角的度数 的余弦的乘积，等于这个多边形在二面角的另一个半平面上射影多边形的面积 S ，即 cosSS 。 体积： i. 半径为 R 的球的体积为 34V= R3 ii. 若棱柱（或圆柱）的体积为 V Sh （ S 为底面积， h 为高）；若棱锥（或圆锥）的体积为 13V Sh （ S 为底面面积， h 为高） iii. 四面体的体积公式 13V DHSABC = 2 2 21 1 c o s c o s c o s 2 c o s c o s c o s6 abc 11 sin6aa d a32 sinABD ACDSS （ 其中 d 是 a1， a 之间的距离， 是它们的夹角 。 为二面角 BADC 的平面角） iv. 台体的体积公式： 1 3V S SS S h （ S 、 S 分别是上、下底面面积， h 是高） 多面体的体积计算 ： 特别是四面体的体积计算，是竞赛试题中常见的问题，其常用方法有： 直接法 ； 换底法 ； 割补法 ； 等积变换法 ； 比例法 ； 向量法 等 。 （ 6） 几何体的截面 用平面截几何体，平面在几何 体内的部分称为这个几何体的截面，截面问题包括作图和计算两个方面 。 处理截面问题 一般分为定位、定形、定量三个步骤，其中定位是解决此类问题的关键 。 锥体的平行于底面的截面性质 : 231 1 1 1,S h V hSVhh。 （ 7） 球与多面体的切接问题 设半径为 R 的球上有两点 M 、 N ，它们的纬度差为 ，经度差为 ，则 MN 的球面距清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 14 页 离为 2 a rc s in c o s s in2lR 。 若多面体有内切球，则内切球的半径 r ，表面积 S ，体积 V 之间有关系式 13V Sr。 一 般通过作截面，把立体图形平面化，然后用平面几何的相关知识来解决 。 多球相切问题由于球多，图形复杂，难以作图， 因此要求解题者具有较强的空间想象能力与分析问题、解决问题的能力 。 空间角和距离的计算 （ 1） 角的计算 i. 求异面直线所成的角 a. （平移法）过 P 作 /aa， /bb，则 a 与 b 的夹角就是 a 与 b 的夹角 b. 证明 ab （或 /ab），则 a 与 b 的夹角为 090 （或 0 ） c. 求 a 与 b 所成的角（ 0, ），再化为异面直线 a 与 b 所成的角（ (0, 2 ） ii. 求直线与平面所成的角 a. （定义法）若直线 a 在平面 内的射影是直线 b ，则 a 与 b 的夹角就是 a 与 的夹角 b. 证明 a （或 /a ），则 a 与 的夹角为 090 （或 0 ） c. 求 a 与 的法向量 n 所成的角 ，则 a 与 所成的角为 090 或 090 iii. 求二面角 a. （直接计算）在二面角 AB的半平面 内任取一点 P AB ，过 P 作AB的垂线，交 AB于 C，再过 P作 的垂线，垂足为 D，连结 CD，则 CD AB ，故 PCD 为所求的二面角 b. （面积射影定理）设二面角 AB的大小为 （ 090 ），平面 内一个平面图形 F的面积为 1S ， F在 内的射影图形的面积为 2S ，则 21cosSS .（当 为钝角时取 “ ”） c. （异面直线上两点的距离公式） : 2 2 2 2 2 c o sE F d m n m n ，其中 是二面角 AB的平面角， EA 在半平面 内且 EA AB 于点 A， BF 在半清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 15 页 平面 内且 FB AB 于 B，而 AB d ， EA m ， FB n d. （三面角的余弦定理），三面角 S ABC 中， BSC ， CSA ，ASB ，又二面角 B SA C ，则 c os c os c osc os si n si n e. （法向量法）平面 的法向量 1n 与平面 的法向量 2n 所成的角为 ，则所求的二面角为 （同类）或 （异类） （ 2） 距离的计算 i. 求两点 A， B 间距离 a. 构造三角形进行计算 b. 导面直线上两点间的距离公式 c. 求 AB ii. 求点到直线的距离 a. 构造三角形进行计算 b. 转化为求两平行红色之间的距离 iii. 求点到平面的距离 a. 直接计算从点到平面所引垂线段的长度 b. 转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离 c. （体积法）转化为求一个棱锥的高 3Vh S ，其中 V 为棱锥体积， S 为底面面积， h 为底面上的高 d. 在平面上取一点 A，求 AP 与平面的法向量 n 的夹角的余弦 cos ，则点 P 到平面的距离为 cosd AP iv. 求异面直线的距离 a. （定义法）求异面直线公垂线段的长 b. （体积法）转化为求几何体的高 c. （转化法）转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离 d. （最值法）构造异面直线上两点间距离的函数，然后求函数的最小值 e. （射影法）如果两异面直线 ,ab在同一平面内的射影分别是一个点 P 和一条直线 l ， 则 a 与 b 的距离等于 P 到 l 的距离 f. （公式法） 2 2 2 2 2 c o sd E F m n m n v. 求平行的线线，线面，面面之间的距离 通常是转化为求点与线或点与面之间的距离 。 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 16 页 三、 解析几何 圆锥曲线 （ 1） 圆锥曲线基础定义和公式 圆锥曲线的基本内容列于下表，便于比较及掌握。 椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 221xyab (或 221xyba) 221xyab (或 221yxab) 2 2y px (或 2 2x py ) 参数方程 cossinxayb (或 sincosxbya ) sectanxayb (或 tansecxbya ) 222x pty pt (或222x pty pt ) 准线 2axc (或 2ay c ) 2ax c (或 2ay c ) 2px (或2py ) 渐近线 byxa (或bxya ) 焦半径 10PF a ex20PF a ex (或 10PF a ey 20PF a ey ) 10PF ex a 20PF ex a ( 10PF ey a , 20PF ey a ), (点 P 在左或下支 ) 0 2pPF x (或0 2pPF y) （ 2） 圆锥曲线中的常用公式 i. 椭圆： 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 17 页 a. 过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为 12020 b yya xx b. 斜率为 k 的切线方程为 2 2 2y kx a k b c. 过焦点 F2(c, 0)倾斜角为 的弦的长为 222 2cos2ca abl ii. 双曲线： a. 焦半径公式 ： 对于双曲线 221xyab， F1（ -c,0） ， F2(c,0)是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点，若 P 在右支上，则 |PF1|=ex+a， |PF2|=ex-a； 若 P(x,y)在左支上，则 |PF1|=-ex-a， |PF2|=-ex+a。 b. 过焦点的倾斜角为 的弦长是 22 2 22 cosabac iii. 抛物线 ： 若 P(x0,y0)为抛物线上任一点 ，则 a. 焦半径 |PF|= 2px b. 过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0) c. 过焦点倾斜角为 的弦长为221 cosp iv. 圆锥曲线的统一定义： 到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P，若 0e1，则点 P 的轨迹为双曲线的一支；若 e=1，则点 P 的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 1 cosepe 。 直线 （ 1） 直线方程的各种形式 i. 点斜式 ： 00()y y k x x ii. 斜截式 ： y kx b 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 18 页 iii. 两点式 ： 112 1 2 1y y x xy y x x iv. 截距式： 1( , 0)xy abab v. 一般式： 0( ,Ax By C A B 不同为零 ) vi. 参数方程： 00co s (sinx x t ty y t 为参数 , 为倾斜角 ,t 表示点 (, )xy 与 00( , )xy 之间的距离 ) vii. 直线系的方程： 若已知两直线的方程是 l1： A1x+B1y+C1=0 与 l2： A2x+B2y+C2=0，则过 l1， l2交点的直线方程为 1 1 1 2 2 2A x + B y + C + ( A x + B y + C ) 0 ；由 l1 与 l2 组成的二次曲线方程为(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0；与 l1 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0(CC1)。 （ 2） 到角公式与夹角公式 i. 到角公式 ： 1l 到 2l 的到角为 ， 则 2112tan 1kkkk ( 000 180 ) ii. 夹角公式： 1l 与 2l 的夹角为 ，则 2112tan 1kkkk ( 000 90 ) （ 3） 位置关系及距离 i. 两点间的距离公式 设 1 1 1( , )Px y ， 2 2 2( , )P x y ，则 221 2 1 2 1 2( ) ( )P P x x y y ii. 线段的定比分点坐标公式 设 1 1 1( , )Px y ， 2 2 2( , )P x y ， 点 ( , )Pxy 分 12PP 的比为 ， 则 121xxx , 121yyy ( 1) iii. 点 0 0 0( , )P x y 到直线 l ： 0Ax By C 的距离： 0022Ax By CdAB iv. 两直线的位置关系 设 1 1 1 1 2 2 2 2: 0 , : 0l A x B y C l A x B y C (或 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b )。则 ： 1 2 1 2 2 1/ 0l l A B A B 且 1 2 2 1 0AC A C(或 12kk 且 12bb ) 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 19 页 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B (或 121kk ) 圆 （ 1） 圆的方程 i. 标准方程： 2 2 2( ) ( )x a y b R ，其中 (, )ab 为圆心坐标， R 为圆半径。 ii. 一般方程： 22 0x y D x E y F ，其中 2240D E F ，圆心为( , )22DE， 半径为 221 42 D E F。 iii. 参数方程 ： cossinx a Ry b R ， 其中圆心为 (, )ab ， 半径为 R。 （ 2） 圆的切线方程 过圆 2 +2 = 2上的点 (0， 0)的切线方程为 0 +0 = 2；过圆 ( )2 +()2 = 2上的点 (0， 0)的切线方程为 (0 )( )+(0 )() = 2。 （ 3） 位置关系 i. 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种，判断方法有两种：一种是联立直线与圆的方程，根据解的个数判断；另一种是利用圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断 。 相交 两个 交 点 ii. 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，常用圆心距 d 和半径 1， 2之间的关系判断 。 相离 1 +2 外切 = 1 +2 相交 |1 2| 1 +2 内切 = |1 2| 内含 AC，点 O是外心，两条高 BE、 CF 交于 H点，点 M、 N分别在线段 BH、 HF 上，且满足 BM=CN，求 的值。 解： 在 BE 上取 BK=CH，连接 OB、 OC、 OK 由三角形外心的性质知 BOC=2 A=120 由三角形垂心的性质知 BHC=180 - A=120 BOC= BHC B、 C、 HO 四点共圆 2)2(2cbxcxacayaabccb 2,2 2bcaacabcbbaa b cabkabacabcbcbaabck DFOB 222 222,221DFOBkk)( bxacy abcacabbcacbabcaabck OH 322 22xbca acaby 2)(2cxcayxbca acaby2222222 2,2 cbca aca b ccbca bcca 2222222 2,2 bbca aba b cbbca cbba bca acabbcabcabc bcacbak MN 3)3)()( )( 222222 OHNHMHB A C E F O H K M N 清北学堂集中培训课程知识点梳理 北京清北学堂教育科技有限公司 第 25 页 OBH= OCH OB=OC BK=CH BOK COH BOK= BOC=120， OKH= OHK=30 观察 OKH KH= OH 又 BM=CN ， BK=CH， KM=NH MH+NH=MH+KM=KH= OH = 例 3：（ 2003 年） 过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线，切点为 A, B. 所作割线交圆于C, D 两点， C 在 P, D 之间 . 在弦 CD 上取一点 Q, 使 求证： 分析：由 PBC= CDB，若 DBQ= PAC= ADQ，则 BDQ DAQ反之，若 BDQ DAQ则本题成立而要证 BDQ DAQ，只要证 BDAD=DQAQ即可 证明： 连 AB PBC PDB， BDBC=PDPB，同理， ADAC=PDPA PA=PB， BDAD=BCAC BAC= PBC= DAQ， ABC= ADQ ABC ADQ BCAC=DQAQ BDAD=DQAQ DAQ= PBC= BDQ ADQ DBQ DBQ= ADQ= PAC证毕 例 4：（ 2005 年） 如图，在 中，设 ，过 A 作的外接圆的切线 .又以 A为圆心 , 为半径作圆分别交线段 AB 于 D；交直线 于 E、 F. 证明：直线 DE、 DF 分别通过 的内心与一个旁心。（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁心圆的圆心称为旁心） 证明： （）先证 DE 过 的内心 .如图，连 DE、 DC，作 的平分线 30sin1