（管理科学与工程专业论文）证据理论中冲突证据的处理及其应用.pdf

ab s t r act t h e d - s e v i d e n c e t h e o r y , w i 也i t s a d v a n t a g e s i n e x p r e s s i o n , m e a s u r e m e n t a n d c o m b i n a t i o n o f u n c e r t a i n t y , i s t h o u g h t t o b e q u i t e i m p o r ta n t . t h e a p p li c a t i o n o f e v i d e n c e r e a s o n i n g i s e x t e n d e d t o t h e fi e l d s o f p r o b a b i li t y a n d f u z z y 喊 b e c a u s e i t h a s b e e n i m p r o v i n g i t s e l f a n d t r y i n g t o t a k e a d v a n t a g e o f t h e s t r e n g th s o f o t h e r t h e o r i e s . i t c a n n o t o n ly u s e p r i o r i i n f o r m a t i o n a s b e y e s r e a s o n i n g 山 .， b u t a l s o d e a l w i t h f u z z y e v i d e n c e l i k e l a n g u a g e s . a s t o i t s a p p li c a t i o n s , t h e e x p e rt s y s t e m a n d d a t a 五 ” 沁 。c a n u s e t h e e v id e n ce t h e o ry a t d i ff e r e n t l e v e l s , a n d t h e r e s u lt s c a n b e q u i t e s a t i s f a c t o r y . w i t h t h e d e v e l o p m e n t o f t h e e v i d e n ce山 e o ry , 山 e p r o s p e c t s o f i t s a p p li c a t i o n s a r e e v e n b e t t e r . i s s u e s l i k e h o w t o d e a l wi 山 c o n fl i c t e v i d e n ce a n d h o w t o s e t ma s s f u n c t i o n h a v e b e c o m e t h e f o c u s i n i t s t h e o r e t i c a l a n d a p p li e d r e s ear c h . s o m e r e s e a r c h w o r k o n t h e 山 e o r e t i c a l a n d a p p li e d i s s u e s o f 此 d - s e v i d e n ce t h e o ry h a s b e e n d o n e i n t h i s t h e s i s . t h e ma i n r e s e a r c h w o r k i s a s f o ll o ws : f i r s t ly , v a r i o u s c o n c e p ts a n d t h e i r im p l i c a t i o n s i n t h e e v i d e n ce t h e o ry a n d t h e la te s t d e v e l o p m e n t s i n t h i s fi e l d a r e i n t r o d u c e d . t h e e x i s t i n g p r o b l e m s i n t h e t h e o r e t i c a l a n d a p p li e d r e s e a r 比o f t h e e v i d e n ce t h e o ry a r e a n a ly z e d . s e c o n d l y , t h e c o n fl i c t e v i d e n ce i s s u e a n d it s t r e a t m e n t a r e s t u d i e d , t h e e x i s t i n g c la s s i c a l m e t h o d s o f d e a l i n g w i 山c o n fl i c t s a r e a n a l y z e 氏a n d s o m e a n a ly s e s a n d c o m p a r i s o n s o f t h e s e m e t h o d s a r e d o n e . b a s e d o n t h e r e s e a r c h a b o v e , a n e w m e th o d o f a v e r a g i n g 血 w e i g h t e d e v i d e n c e s b e f o r e c o m b i n i n g t h e m i s p u t f o r w a r d . t h e n e w m e t h o d i s t h e n u s e d t o d e a l w i t h s o m e e x a m p l e s o f c o n fl i c t e v i d e n ce t o t e s t i t s e ff e c t i v e n e s s i n t h i s a s p e c t . t h i r d l y , 山 。 a p p l i c a t i o n s o f t h e e v i d e n ce t h e o ry i n t h e c o m p r e h e n s i v e e v a l u a t i o n o f t h e t e a c h i n g q u a l i t y a r e s t u d i e d . f i n a ll y , t h e w h o l e t h e s i s i s s u m m a r i z e d a n d s o m e i s s u e s w o r th y o f s t u d y i n g . a n d e x p l o r i n g a r e m e n t i o n e d k e y wo r d s :c o n fl i c t ; c o mb i n a t i o n r i l e m 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中 特别加以 标注和致谢的地方外，论文中 不包含 其他人己 经发表或撰写过的 研究成果， 也不包含为获得 南昌大李 或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文储 签名 (手写 :4 f 签 字 日” : 2-o e 1 9 6 7 年提出了上、 下 概率的概念， 并且第一次明 确提出了 不满足可加性的概率。 1 9 年， 他又探讨了 统计推理的一般化问 题， 并针对统计问 题给出两批证据( 即 两个独立的 信息源) 合成的原则。1 9 7 6 年， c % s h a f e r 出版了 证据的数学理论 一书。 该 书的出 版 标 志 着证据理论的 诞生。 s h a f e r证 据理 论就是 在d e m p s t e r 工作的基础上产生的. 在s h a f e r 证据理论中， 最重要的合成法贝 十- d e m p s t e r 合成法则也是由d e m p s t e r 在研究统计问题时首先提出的， s h a f e r 只不过把它 推广到更加一般的 情况。 为了纪念d e m p s t e r 对该理论的贡献， 有人也称证据理 论为d e m p s t e r -s h a f e r 理论。 证据理论是对概率论的扩展，d e m p s t e r和 s h a f e r在证据理论中引入信任 函数，它满足比 概率论弱的公理，并且能够处理由未知引起的不确定性，从而 把不确定和未知区分开来。当概率己知时，证据理论就变成概率论。因此，概 率论是证据理论的一个特例。当先验概率很难获得时，证据理论就比概率论合 适。 d - s证据理论用取值单位区间 ( 0 1 1 )中的 信度函数与似然函数两个数值 组成的区间表示在给定证据下对命题或假设的信念， 并用d e m p s t e r 规则对不同 证据产生的信念进行综合。 证据理论以 其在不确定性的 表示、 t锄和组合方面的优势受到大家的重视。 证据推理在改进自 身不足的同时又结合其他方法的长处， 先后推广到概率范围 和模糊集，不仅可以 像贝叶斯推理结合先验信息，而且能够处理像语言一样的 模糊概念证据。 在应用方面，专家系统和数据融合等领域在不同层次上可用证 据推理，并取得较好的结果。随着证据理论的发展，它的应用前景更加广阔。 证据理论已 经逐渐发展成为一种重要的不确定推理方法。 本文试图比 较全 面、系统地叙述当前证据理论的最新进展，着重介绍证据理论中冲突证据的处 理问 题，比 较分析经典的处理冲突的方法，同时提出自己的处理冲突的方法， 并将讨论其在评价体系中的应用，以便为读者的进一步研究做参考。 第一章 引言 1 . 1基本理论 d e m p s t e r -s h a f e r 证 据 理 论， 又 称d - s 证据 理论 或证 据 理 论， 是 在d e m p s t e r 提出的上、 下概率以 及两批证据合成的原则的基础上， 由s h a f e r 在1 9 7 6 年发表 的 证据的数学理论一书中正式建立并发展起来的。 证据理论是一个建立在非空集合o上的理论，o称为 辩识框架， 它是关于 某个问 题域中所有可能的答案组成的有限集合，并且这些答案相互排斥，对于 问题的描述是完备的。a的选取依赖于我们的知识，依赖于我们的认识水平， 依赖于我们所知道的 和想知道的12 1 。 设有o的划分组成集类r ， 表示判断该问 题 正 确 答 案 的 所 有 命 题 构 成 的 集 合 。 m : r -+ 0 , 1 满 足 : ( 1 ) m ( ) = 0 ( 1 . 1 ) ( 2 )艺m ( a ) = 1 ( 1 . 2 ) 称 二 ( 刃 为 基 本 可 信 度 数 ， 表 示 证 搪 蚤 持 命 题 的 a 发 生 的 程 度 ， 而 不 包 含 对 a 的 真 子 集的 支 持 。 如 果a 为。 的 子 集， 且m ( a ) 0 ， 则 称a 为 证 据的 焦点 元 乳 简 称 焦 元 所 有 焦 元 的 集 合 称 为 核 ， 证 据 有 若 干 证 据 体 ( a , m ( 刃 ) 组 成 ， 利 用证据体可以定义r 上的三个测度函数，即置信函数b e l 、 似真度函数p i 和公 共函数q : b e l ( a ) = e 二 ( b ) i b 二 a , b x 4 ) ( 1 . 3 ) p i ( a ) 二 z ( m ( b ) l a b x 叫( 1 . 4 ) q ( a ) = y m ( b ) 1 a 二 b c o ) ( 1 . 6 ) 里 信 函 数b e l ( a ) 表 示 给 予 命 题a 的 全 部 支 持 程 度 ， 包 括 对a 的 子 集 的 支 持 似 真 度 函 数p i ( 刃表 示 不 反 对 命 题a 的 程 度 公 共函 数以 刀没 有 明 显 的 含 义， 但 可 以 简 化 计 算 ， 如 组 合 公 式 的 简 化 . 对 于 一 个 命 题 a r. 0 ， 它 的 公 共 函 数q ( 刃 反 映 了 包 含 a 的 集 合 的 所 有 置 信 度 之 和 b e l ( a ) , p i ( a ) 构 成 证 据 的 不 确 定 区 间，表示证据的不确定程度。证据理论的目的之一就是缩小不确定区间。 对证据理论中 置 信函 数， 人们有两种看法 131 ， 其一是 源于d e m p s t e r 的 看法， 即认为置信函数是概率的下界，似真函数是概率的上界，又因为证据理论也有 类似概率的三公理， 从而产生了信任函数是概率函数推广的结论; 另外， 以s m e t s 为代表的学者认为置信函数仅表示证据，和概率函数没有直接关系，他建立的 第一章 引言 可传递信任模型把推理过程分为两步:首先是信任级，他只考虑证据影响信任 程度，不加主观判断;其次是决策级，利用不充分推理原则将里信函数转化为 赌博概率进行决策。 这样，它与人的先逻辑思考再决策行动的过程相符，显得 更客观。 另外还有一些新的解释， y a 。 运用粗略集的理论解释了置信函数n i ， 为 促进证据推理和粗略集的理论的发展提供基础。 刘大有和李岳峰用布尔代数解 释证据推理阅 ， 推广了 概率的上下界的概念。 d e m p s te r 合成法则是一个反映 证据的联合作用的一个法则。 给定 几个同 一 辩识框架的 基于不同 证据的 信任函 数， 利 用d e m p s t e r 合成法则可以 得到不同 证 据联合作用产生的信任函数。 设b e 4 、 b e ls 是同 一 辩 识 框架e 上 荃 于 两 个 独 立 证 据的 信任函 数， 叭、 m k 分别是其对 应的 基本可 信度分配， 焦元分别为a , . 凡 ， 二 、 人和尽 ， 几, . . . , b , ， 有 d e m p s t e r 合成法则可得出 新的 基本可 信度分配: - ( a ) = ?)+, . % ( a ) = k - e m , ( a k ) * % ( b ,) 1 a k n b , = 好 , a * o j l 4 c e m ( o ) = n .m 2 ( . ) = 0 其 中 ，k 二 e *a k ) i nh ( b , ) 1 a k n b , ， 朴 = 1 - e 码 c a k ) h c b , ) 1 a k n b , = 对 为归一化因子，这样由上面的基本可信度分配就可以得到新的证据体。 给定a g e ， 若有人n b , = a ， 那么ph( a k ) m z ( b , ) 就是 分配到a 上的 那一 部 分 信 质 ， 所 以 确 切 分 配 到a 上 的 总 信 质 为 l r ( m , ( a k ) m z ( b , ) ) ， 但 当 a = f 时 ， 按 这 种 理 解 ， 将 有 一 部 分 信 质 艺 ( n ( a ) m z ( b , 分 配 到 空 集 上 ， 这 显 然 是 不 合 理 的 . 按 照d e s p s t e r 合 成 法 勋 尹 就 要 丢 弃 这 部 分 信 质 ， 但 丢 弃 这 部 分 信 质 ， 我们的总信质就会小于 1 ，为此需要在每一信质上乘上一系数r， ， k = y- n ( a k ) ,.h ( b , ) / a k n b , * o = 1 一 e n ( a k ) 7n 2 ( b ,) 1 a k 门 b , = # ， 以 满 足总信质为1 的要求。 1 . 2证据理论的最新进展 国内 外许多学者对证据理论的理论和应用方面的发展做了不少工作。 在理 论方面， 我 们知 道d e m p s t e r 合成法则 在组合证据冲突时， 把空 集的基本信任指 派质等比例地分配给两证据公共焦元。这种组合规则有一定的缺陷。为解决冲 突问 题，中 外许多学者提出了自 己 的改进的组合规则. 另外， d e m p s t e r 合成法 则有严格的条件独立的要求。w比等学者定义了证据能量和相关系数等一系列 第一章 引言 概念， 把d e m p s te r 合成法则推广到一般条件， 还得出 一些有意义的 结 论+ . g u a n 和 b e ll对证据推理的各种操作器的性质进行分析门 ，并把它应用于不同辩识框 架的 证据的组合。 在哪个证据对结论假设贡献最大的问 题和提供给结论假设多 少信息的问题上， xu 和p s m e t s 提出了解释证据推理过程的方法is :一种是证 据支持结论的灵敏度方法，另一种是利用证据提供的信息t的分析方法。 这为 进一步定性分析组合方法提供了有力的工具。 模糊数学的创始人 l .a . z a d e h 1 和专家系统 my c in 的主要开发人 e .h . s h o r tl i ff e t 0 ) 等人，都积极地进行证据理论理论模型解释，算法实现以 及实际应 用研究。d . d u b o i s等人指出证据理论中的置信函数是一种模糊测度，他们还 以 集合论的观点研究证据的并、交、补和包含等问 题。 s m e t s 将置信函数推广 到假设空间的 所有 子集上， 并 提出杯 脚s t i c 概率和可传递置 信模型t b m. z . p a w l 心 1提出的粗糙集理论为证据理论的发展提供了新的机制，它使无限框架 上的证据处理向有限框架近似转化成为可能。为了解决证据组合规则在实现时 存在的指数爆炸问题，一些学者对其进行了拓展，相继提出了扩展的 d e m p s te r - s h a f e r ( e d s ) ，条件化的 d e m p s t e r - s h a f e r ( md s ) . ( c d s )及修改的 1 . 3证据理论的推广 有先验条件的证据推理早已有许多研究，确定性先验的条件置信函数早已 经提出 0 , j o h n y e n又将证据推理推广到概率范围 11 2 1 ，先验证据用条件概率表 示，用z a d e h的粒度重新定义焦元，又定义一个类似置信函数的概率价值。他 把组合规则分三步完成: 确定基本信任指派， 利用d e m p s t e r 规则组合， 最后转 化为 概率价值. g u a n 等人 把三步合并为 一个公式v a t . s p i e s 建 立了 条 件事件和 离散随机集的关系，并引入条件里信函数p e t ，当全部证据推理为概率时，他提 出的 组 合规则的结 果等于应用j e ff e ry全概率公式的结果。1 9 9 6 年m a h 利用 随机集理论和条件事件代数提出条件证据推理阴，他没有直接引入条件置信函 数， 而是定义先验条件一致， 把它加入d e m p s t e r 组合规则， 用组合结果再求每 个焦元的先验条件一致度， 使得在先验条件一致性好的情况下， 融合结果较好。 当先 验条 件一致性差时， 融合结果近似于d e m p s t e r 组合规则的结果。 另外， 条 件证据推理有很好的概率基础，当先验为贝叶斯条件时，他的组合公式就是并 第一章 引言 行贝叶斯公式，并且s m a . 意义下的赌博概率也是它的一种特殊情况。 证据理论产生不久， 3 m e t 4 61 就提出了模糊集的置信函数的概念， 他是用模 糊事件的 概率对关系函数的数学期望进行推广。 接着， y e n ( 1 用线性规划的方法 把与概率相容的置信函数和似真函数推广到模糊集，并给出相应的组合公式。 值得注意的是ma lil e r i s ， 他把自 己的条件证据推理推广到模糊集，形成模糊条 件证据推理，他的理论在某些方面弥补了 y e n理论的不足。r o m e r lt 91 提出更一 般的理论，把置信函数约束到连续和离散的模糊随机变t上，与可能性分布结 合，得出简单的表示式。 1 . 4证据理论的应用 强调依据证据为一个命题赋予真值。为一个命题赋予一个真值本身可以看 成是一种决策模型，因此证据理论可以 看成是根据证据做决策的理论。 从这个 意义上讲，证据理论理所当然可以 用于决策问题的解决。 人们利用证据理论成功地解决了许多领域的不确定信息的处理问题。目前 主要应用于数据融合和专家系统中pm。 尽管在实际应用中，数据融合的方法很 多，但所有的方法都面临着处理各种不确定信息的问 题，而证据理论为不确定 信息的表达和组合提供了自 然而强有力的方法，这使得它在数据融合领域获得 了 广泛的应用浏。在军事领域，如:目 标检测、识别、跟踪以及态势评估与决 策分析:非军事领域， 如: 机器人导航、故障诊断、数字图象处理、 字体识别、 决策分析等。证据理论的另一个可适用的领域是人工智能和专家系统。证据处 理理论不仅可以 看成是人工智能的一个分支，而且也可尝试用于人工智能研究 的各个方面。在人类的推理中包含有大t的不确定性，因此建造专家系统时就 必须考虑这些不确定性。证据理论是一种似然推理的理论，这种理论从一个角 度探讨了人类推理的不确定性。因此这种理论在专家系统的建造中必定可以 起 到重大的作用。事实上，专家系统是证据理论最早的应用领域。近年来，由于 将证据理论推广到模糊集，从而也能够进一步表达以 语义为规则的专家系统。 1 . 5证理论存在的问题 证据理论在表示不确定问题的优势有目共睹，但证据理论在理论上的局限 第一章 引言 一直制约着他的应用推广，主要存在的问题如下: 首先，其组合规则在处理冲突证据时引 起许多问题，明显的例子如普棒性 问 题 : m , ( a ) = 0 .9 , m , ( b 卜0 . 1和 - ,z ( b ) = 0 . 1 , h ( ., ) = 0 .9 ( 其 中 a , b , c 是 相 互 独 立 的 焦 元 ) 组 合 后 的 结 果 是 : m ( 习 = l , m ( a ) = 二 ( c ) 二 0 , 事 件b 变 为 必 然 事 件 ， 这显然不合理。针对冲突问 题，国内外的学者提出了 许多解决冲突的方法，但 这些方法处理冲突的效果并不是很好，而且还会带来新的问题。 其次， 证据推理的组合条件十分严格， d e m p s t e r 组合规则要求两证据是条 件独立的，而且要求辨识框架能够识别证据的相互作用。 第三、 证据组合会引起焦元“ 爆炸” ， 焦元以 指数级数递增， 造成计算t变 大。 第四、证据推理和贝叶斯推理的比较仍然是大家注视的焦点之一。 第五、实际应用中如何根据应用背景构造基本概率指派函数的问题。 最后，缺乏对决策规则的研究。由于组合规则的重要性，使得证据理论方 面的文献几乎集中于讨论组合规则上，而对决策规则的研究相应不够阂。 鉴于此，我们认为以下几个问题值得进一步研究:处理证据冲突的方法研 究;放宽组合规则对证据的约束条件的研究;证据理论与概率论、模糊集合论 结合的进一步完善和发展;证据理论的应用研究以 及关于具体背景的应用算法 研究;对具体背景的决策规则的研究。 1 . 6本文研究的主要内 容 本文共分为五章: 第一章为绪论。介绍证据理论的基本理论和最新进展、证据理论的应用、 证据理论存在的问题。 第二章为证据理论基础。系统、全面地介绍证据理论的基本概念、合成规 则、框架的转化等。 第三章着重讨论证据冲突及其处理以及证据相关的处理。其中，证据冲突 的处理是本文的核心，在对各种处理方法的 优劣的 基础上， 本文提出了自己的 加权平均法来解决冲突问题，并验证了该方法的有效性。 第四章研究了证据理论在教学质量综合评价中的应用。 第五章总结全文， 并针对证据理论及证据冲突处理问 题， 提出了一些展望。 第二t 证据理论 第二章 证据理论 在s h a f e r 的证据理论出现之前，概率的 解释可以 概括为三种:客观解释， 个人主观解释以 及必要性解释。客观解释又称频率解释。根据这个解释， 概率 描述了一个可以 重复出现的时间的客观事实，用该时间发生的频率当试验次数 趋于无穷时的极限来刻画，要求出一个事件的概率必须要求出该事件重复出现 的频率。 数学概率论以 及数理统计所采用的概率就是一种广泛频率解释下的概 率。个人主义解释又称为主观解释或贝叶斯解释， 根据这种解释， 概率与某个 人的行为相联系，由 某个人在赌博中或其他带有不确定性结果的事件中所表现 出来的行为来反映。个人主义的概率反映了个人的一种偏好，是个人的主观意 愿作用的结果。 值得注意的是，现在许多频率主义者也经常采用主观主义的观 点，尽管频率主义者根本不承认先验概率的存在，但要应用贝叶斯条件法则就 必须首先给出先验概率， 而先验概率的给出在没有大t统计资料可利用的情况 下必须依靠人的主观估计。必要性解释又称逻辑主义解释，它把概率看成是命 题与命题之间联系程度的 度t。这种联系程度是纯客观的，与人的作用毫无关 系。逻辑主义解释使归纳逻辑得到很大发展。 证据理论给概率一种新的解释。s h a fl ，指出w 1 :以上三种解释都没涉及概 率推断的构造性特征。 频率主义解释以 及逻辑主义解释赋予概率一种客观属性， 概率的得到与人类活动毫无关系。贝叶斯的解释把概率解释成人的偏好或主观 愿望的度t，但是它既没强调也没要求概率如何构造。不管哪种解释， 概率的 得到都可以看成是在为一个命题赋真值，只不过该真值并非非真即假或非假即 真，而是可以取l 0 , 1 之间的所有值，即该命题为真的程度并非 1 或0 ，而是 介于0 与1 之间的 数。因此，为概率赋予真值在贝叶斯解释看来，完全是人主 观判决的结果，与证据无关，尽管有时也谈到证据， 但是根本不强调证据，即 贝叶斯解释片面强调人的主观作用，忽视证据的作用。为命题赋予真值在逻辑 主义解释看来完全是证据作用的结果，是证据与该命题逻辑关系的体现，是纯 客观的。频率解释也将概率归结为一个事件的客观属性，是有该事件发生的频 率完全决定的。因 此，逻辑主义与频率主义片面强调证据的作用， 忽视人的判 决作用。而s h a f e r 认为:对于概率推断的理解，我们不仅要强调证据的客观性 第二幸 证据理论 而且也要强调证据估计的主观性。数字化的概率并没有独立于人类判决的客观 属性，在人思考之前也不会在人的头脑中存在。但是我们人可以在客观证据的 基础上构造出这样一个数字化的概率来阅。 综上所述，根据构造性解释， 概率是某人在证据的 基础上构造的他对一命 题真的信任程度，简称信度。为强调这种理论对概率的不同 理解， s h a f e r a 文章 中出 现的概率一词不译为概率而译为信度或可信度等。 而这种理论我们也不称 为一种概率理论，而称为证据的数学理论或证据理论， 有时为突出 信度也称为 信度理论等。 证据是证据理论的核心， 这里的证据并不是指通常愈义的实证据， 而是人们知识和经验的一部分，是人们对有关问题所做的观察和研究的结果。 决策者的知识、经验以及他对问 题的观察研究都是他用来做决策的证据。证据 理论要求决策者根据他所拥有的证据，在假设空间 ( 识别框架)上产生一个t 信度分配函数， 称m a s s 函数。 该函数可看作是该领域专家根据自己的经验对假 设所做的评价，这种评价对该问题的最终决策者来说可以看作是一种证据。 2 . 1证据理论基础 2 . 1 . 1证据理论的墓本概念 设现在有一个判决问题，对于该问题我们所能认识到的所有可能的结果的 集合用0表示，这些可能的 结果也称为对问 题的假设。 那么， 我们所关心的任 一命题都对应于e的一个子集。将命题和子集对应起来可以使我们把比较抽象 的逻辑概念转化为比较直观的集论概念。事实上，任何两个命题的析取，合取 和蕴含分别对应与这两个命题对应集合的并、交和包含， 任何一个命题的否定 对应于该命题对应集合的补。s h a f e r m指出:0的选取依赖于我们的知识，依 赖于我们的认识水平，依赖于我们所知道的和想要知道的。为了强调可能性集 合0所具有的这种认识论的 特性， s h a f e r 称其为识别框架。 而且当 一个命题对 应于该框架的一个子集时， 称该框架能够识别该命题。 0的子集称为一个命题。 0的幕集2 e 表示所有可能的 命题集， 即有0的所有子集构成的 集合。 识别框架 0通常是一个非空的有限集合， r 是识别框架幕集2 e 中的一个集类，即表示任 何可 能 的 命 题 集， ( 0 , r ) 称 为 命 题 空 间. 因 为r 有 集 合 性 质 ， 故 可以 在 其 上 定 义交、并、补以及包含等关系。识别框架是证据理论的基础， 证据理论的每个 第二章 证据理论 概念和函数都是荃于识别框架的，组合规则也是建立于同一识别框架荃础之上 的。 定 义2 . 1 . 1设 。 为 识 别 框 架 如 果 集 函 数，e - + 0 , i 满 足 : ( 1 ) m ( o ) = 0.( 2 . 0 ( 2 ) ym ( a ) = 1 ( 2 . 2 r 则 称 二 为 框 架 e 上 的 基 本 才 稽 度 分 配 ; v a c， 二 ( 刃 称 为 a 的 基 本 可 信 度 数( b a s i c p r o b a b i l i t y n u m b e r ) 。 m ( a ) 表 示 指 派 给a 本 身 的 信 度 大 小 ， 即 支 持a 本 身 发 生 的 程 度 ， 而 不 支 持 a 的 任何真子集。条件 ( 1 ) 反映了对于空集不产生任何信度;条件 ( 幻 反映 了 虽然我们可以给一个命题赋予任愈大小的信度值，但要求我们给所有命题斌 的 信度值的和等于1 ，即总信度为1 . s h a f e r p ) 认为: 在一批给定的证据与一个 给定的命题之间没有什么一定的客观联系能够确定一个精确的支持度:一个实 在的人对于一个命题的心理描述也不是总能够用一个相当精确的实数来表示， 而且也并不是总能确定这样一个数。 但是， 对于一个命题他可以做出一种判决， 在他通盘考虑之后，能够说出一个数字来表示据他本人判断出的该证据支持一 个给定的命题的程度，也即他本人希望赋予该命题的那种信度。 s h a f e r 对于人 根据证据为一个命题赋予一个信度的理解可以用下列图形来表示。 图2 . 1根据证据为命题斌予信度的示意图 在证据、命题与人之间所划的实线表示人可以 根据证据加以分析从而得到 他本人希望赋予命题的信度b e t ;在证据与命题之间所划的虚线表示一种人假 想出来的证据对于命题的支持关系，是人经过对证据分析后所赋予的证据对命 题的支持关系， 支持程度s = b e l 。 所以，支持度与信度是人根据证据判断出的 对命题看法的两个方面。 第二章 证据理论 这种基于证据分析， 确定相信一个命题为真的程度的方法， 称为证据处理。 按照s h a f e r 的观点， 证据处理的数学模型为: 1 .首先确定识别框架0。只有确立了 框架0才能使我们对于命题的研究转化 为对集合的研究。 2 .根据证据建立一个信度的初始分配，即证据处理人员对证据加以 分析，确 定出证据对每一集合 ( 命题) 本身的支持程度 ( 而不去管它的任何真子集 ( 前因后果) ) 。 3 .分析前因后果，算出我们对于所有命题的信度。 定 义2 . 1 . 2 设 0 为 识 别 框 架 ， . : 2 - + 0 , 1 为 框 架 0 上 的 基 本 可 信 度 分配，则称由 b e l ( a ) = y - ( b ) ( v a c 0 ) ( 2 . 3 ) 所 定 义的 函 数b e l : 2 - + 0 , 1 为。 上 的 信 度 函 数 、 ， _、_， 、 _， _、 ( 1 a = 0_ .、 _ _ . _ _ _ _ 白垂不p佰度分配m( a ) = i . . j 盯，信度函致的结构是最简单的，此 l u d笋妙 b el (a ，一 a二0 a*0 ( 2 . 4 ) 该信度函数称为空信度函数 ( v a c u o u s b e l i e f f u n c t i o n ) 。 空信度函数适 合于无任何证据的情况。 定 理2 . 1 . 1 r j设。 是 一 个 识 别 框 架 。 集 函 数 b e l : 2 e - 0 , 1 是 信 度 函 数 当 且仅当它满足: ( 1 ) b e l ( o ) = 0 ( 2 ) b e l ( 0 ) = 1 . ( 3 ) 料 ， a z , . . . , a c o ( n 为 任意自 然数) bell u a, z y b e1(a )-lba m f, b e l ( a n -4 . ) + - + ( - 1 ) b e l 们4 ) 第二章 证据理论 =艺 _ ; + j r ( - 1 尹 1 b e l 们a ,) ( 2 . 5 ) 该定理说明， 由( 2 . 3 ) 式定义的函数b e l 满足( 2 . 5 ) 式， 反过来满足( 2 . 5 ) 式的函数也可 以由 ( 2 - 3 )式定义 。即存在函数 m ，使得 d a c b e l ( a ) = 艺- ( b ) 由 此 ， 信 度 函 数 除 了 可 以 从 基 本 可 信 度 分 配 的 角 度 定 义 以 外 ， 也 可以 从 借 笺满 足 什 么 特 征 的 角 度 定 义 。 在经典的概率论中，概率满足可加性: v a , b c e , a n b = f则 p ( a u b ) = 尸 ( a ) 十 尸 ( b ) ( 2 . 6 ) 其中， e为样本空间， a , b 为e中的事件。 这个特性是以 往概率理论所普遍遵循的一个原则。根据可加性，如果我们 相信一个命题为真的 程度为 s ,那么我们必须以1 - s的程度去相信命题的反。 然而，在许多情况下，这是不合理的。举例来说，对 “ 地球以 外存在着生命， 和 “ 地球以外不存在生命”这一对命题，在目 前科学水平或我们目 前所拥有的 知识结构下，我们既不相信前者，又不相信后者，即我们对前者的信度很小， 对后者的信度也很小， 因此两者之和根本不可能等于1 。 因此， 对于信度， s h a f e r 舍弃了这样一个原则，而用一种成为半可加性的原则代替。 定 义2 . 1 . 3 ( 半 可 加 性 ) 料， 人 ， ， 人c . ( 动任 意自 然 数 ) b e l ( u a 11 z y b e 1、 一 i b el(a , (1 a . ) +. 二 + (- 1) 1b e l 们a r ) ( 2 . 7 ) 特别地，b e l ( a ) 十 b e l ( a ) 5 1 对于这种半可加性原则， s h a f e r 指出:我们并不要求一个人产生的信度必 须遵循这个原则， 也不去说如果一个人产生了 遵循其他原则的信度是无理智的， 荒谬的。 那么为什么采用这个原则而不采用其他原则呢? s h a f e r 回答说: 回答 这个问 题就相当于回答为什么一种语言要采用这种语言所遵循的语法结构一样 是毫无意义的。不过要解释的话也可以 从整个理论的内部作些解释。由 于这种 半可加性与理论的其他方面是协调的， 直观的，而且这个原则对我们的理论来 讲也是必须的， 因为只有满足这个原则的函数才能用d e m p s t e r 合成法则进行合 成， 而且在某个具体例子 ( 码的传输) 中可以产生遵循这种原则的函数， 因此， 使用半可加性是合理的。但是，s h a f e r 又接着指出: 这种解释仅仅是一种理论 第二章 证据理论 内 部的解释，不能排除遵循其他原则的信度函数的 存在;而且也不能担保，遵 循其他原则的信度函数的理论就不比他的理论更有用，更优越。 定义2 . 1 . 4 如果m ( a ) 0 ， 则称a为信 度f 数b e l 的 焦元 ( f o c a l e l e m e n t ) ，所有焦元的并称为它的核心 ( c o r e ) . 定理2 . 1 . 2 pm假设l 是e上的信度函数 b e l的核心， 那么e的一个子 集b 满足b e l ( b ) = 1 的 充分 必要条件为 e cb 该定理说明， 只有包含核心的集合，其信度才能 达到1 ，否则永远小于1 . 定 义2 . 1 . 5 设 函 数e : 2 - + 1 0 1 1 1 由 下 式 定 义 v a c e q ( a ) = e二 ( b ) ( 2 . 8) 则q 称为b e l 的 众信度函 数。v a c e , q ( a ) 称为a 的 众 信度数。 由以 上定 义可以 看出 ， 对于一个集合( 命题)a c e ， 它的 众信度数以习 反映了包含a的集合 ( 被a 所蕴含的命题)的所有基本可信度数之和。b e l 是 从一个结论的前提这个角度描述信度，而q 是从一个前提的结论这个角度描述 信度。众信度为我们提供了另外一种研究信度函数的核心的方法。 定理2 . 1 . 3 p 设l 是一个信度函数的核心，而q 是其对应的众信度函数， 那么b e e是t 中的元素当且仅当 q ( e ) 0 ( 2 . 9 ) 因为0 是非增的，即 若b c a 那么q ( b ) z q ( a )( 由q 的 定义显而易见) ， 所以 若一 个集合a 中 包含有 一个不是核心的点b ， 那么么刃必等于0 。 这就是 说若集合a 完全包含于核心l 中的话， 它的众信度必为0 。 尽管集合a 完全包含 于核心l ，它的众信度也有可能等于0 . 关 于 一 个 命 题人 的 信 任 单 用 信 度函 数 来 描 述 还 是 不 够 的 ， 因 为b e l ( a ) 不 能 反映出我们怀疑a 的程度即我们相信a 的非为真的程度。所以为了全面描述我 们对a 的信任还必须引入表示我们怀疑a 的程度的f. 定 义 2 . 1 . 6 d o u : 2 0 - + 0 , 1 和p i 设b e l : 2 b - - 0 , 1 是e上的一个信度函数 : 2 b - + 0 , 1 如 下 : v a c . , d o u ( a ) = b e l ( a ) 定 义 ( 2 . 1 0 ) 第二幸 证据理论 p i ( a ) = l 一 b e l ( a ) ( 2 . 1 1 ) 则称d o “ 为b e l 的 怀疑函数，p i 为b e l 的 似真度函 数。 v a c ) , d o u ( a ) 称为a 的 怀疑 度;p i ( a ) 称为a 的 似 真度。d o u ( a ) 表示 我 们 怀 疑a 的 程 度 ， 而 p i c a ) 表 示 我 们 不 怀 疑a 的 程 度 或 者 说 琴 们 发 现a 可 书 或 似 真 的 程 度 b e l ( a ) , p i ( a ) 】 构 成 不 确 定 区 间 ， 表 示 对a 的 不 确 定 性 度 f . 减 小不确定区间是证据理论的目的之一。 对a 的不确定性度it可以 用f ( a ) 表示，即 f (a ) = b el(a )+ 昌 (p i(a )一 b el(a ) ( 2 . 1 2 ) 其 中 ， 川 和 冈分 别 表 示a 和 e 中 元 素 的 个 数 了 “ ) 具 有 如 下 性 质 : f ( o ) = o , f ( ) ) = 1 , 0 5 f ( a ) 5 1 ( 2 . 1 3 ) 如果我们将e的 元素看成点， 那么我们就可以 将我们的 信度看成是一种半 流动的“ 信质” ( s e m i - m o b i l e p r o b i l i t y m a s s e s ) , 这些信质可以从一点移动 到另一点，但是要局限于o的各个子集中。m , b e l , p l , q 的几何意义如下: 城刃反映了 对a 本身的信度大小， 即 反映了 局限 于a 而不局限 于a 的 任何 真子集的 总 信质. 换 句 话说， - g i ) 是 局限 于人 中 可以自 由 移动到a 的 每一点的 信质。 b e l ( a ) = 艺m ( b ) 是 分 配 到a 上 的 总 信 质 ， 它 练 合 了 a 的 所 有 前 提 本 身 的 信 月月 质，所以，b e l ( a ) 是局限于a ，可以 在a中自由 移动但不一定能达到每一点的 总信质。 q ( a ) =艺m ( b ) 是 a 的 所 有 结 论 本 身 的 信 度 之 和 ， 所 以 q ( a ) 是 可 以 自 由 移 动到a 的每一点但不一定局限于a中的总信质。 p l ( a ) =艺二 ( b ) 是 所 有 与a 相 容