（概率论与数理统计专业论文）个别风险模型的几种近似及其比较.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 短期个别风险模型是保险精算中最为基础的一个风险模型。理赔总额被建模为由各 保单生成的独立理赔变量之和。这样总风险的分布可以由卷积得到。然而这样做非常麻 烦，因此需要其它更简单的方法。本文要做的主要工作就是寻找近似方法并且比较它们 的好坏。本文的主要内容可概括如下： 1 第一章首先回顾了中心极限定理的主要结论。用两个例子比较了中心极限定理在 应用上的适用性。得出这种近似在保险实践中不能令人满意，尾概率的近似误差较大。 这是因为s 的三阶中心矩通常大于0 ，而正态分布的三阶中心矩等于o 。接着又回顾了 平移伽玛近似和另一种正态功效近似，证明了利用它们可以很好的修正中心极限定理的 误差。本文用e x c e l l 表宜观的给出了这几种近似针对同一问题的比较，可以很好的看 出它们的关系和在近似时产生的误差大小。 2 第二章中主要介绍了另一种近似个体风险模型的办法，即复合泊松近似。这种方 法是将个体风险模型转化为聚合风险模型。这种近似也分好几种不同的参数选择，本文 选取了两种最为常用的参数选择方法，而且得到了它们的近似误差上限。通过例子可以 发现复合泊松近似很好的回避了中心极限定理等近似方法中“大量”的问题，降低了对 个体数量的限制，但是它的精度却受到赔款概率的影响。 因此我们可以得出结论，不同的近似方法对原模型有不同的要求，我们可以根据具 体的情况来选取近似方法。 关键词：个别风险模型；中心极限定理；平移伽玛近似；咿近似：复合泊松近似 个别风险模型的几种近似及其比较 s o m er a n d o mv 撕a b l e s 印p r o x i i n a t i o nt om ei i l d i v i d u a l 砌s km o d e la n dt h e i rc o m p a r i s o n a b s t r a c t i n d i v i d u a lr i s km o d e li so n eo f 出em o s tb a s i cr i s kr n o d e l sma c 删a lt l l e o r v t h et o t a l c o i n p e n s 撕0 1 1i s 廿l es u mo fa l l 也ei n 血v i d u a lc o m p e n s a 6 0 n s t h u s 也er i 出c a nb em e a s u r e d b yl 印1 a c em u l t i p l i c a t i o n ，b u ti ti st 0 0c o m p l i c a t e dt og e ti t se x a c ta 1 1 s w e r ，s ow en e e da n o t l l c r s i m p l e rm e 也o d s i i lm i sp 印e r ，i th 踮t os o l v et 1 1 ep m b l e m ，孤df i n ds o m eo t h e ra p p r o x i m a t e m 劬o d s ，t b e nc o m p a r e 虹1 e m t h e r ej sm a i nc o m e n to f t h ep a p e rb e l o w ： 1 h 1c h a p t e r l ，a tf i r s tt h j sp a p e rr e v i e w st h ec e n t r a ll i i l l i t 血e o r e m t h e ni tt a k e st w o e x a m p l e st oc o m p a r et h er e s u l t sa 1 1 df i n di ta p p l i ca _ b l em g e ，b 眦t h i sk i n do f a p p r o x i m a t i o ni s n o ts a t i s f 砬t o r ymi n s u r a n c ep r a c t i c e ，t h et a i lp r o b a ：b i l i t y se r r o ri s 曲v i o u s s ow er 地e dr n o r e e x a c ta p p r o 】【i m a t i o n w ed i s s st h eg 猢a 椭n s l a t i o n 印p r o x i m a t i o na i l da n o t h e rn p 印p r o x i m a t i o n ，t h c np r o v e s 1 a ti tc a i lm o d i 母m e ro fc l t h 1t 1 1 i sp 印e r ，i no r d e rt oa v o i d c o m p l i c a t e dp r o o e i tu s ee x c e ld i a g r a l n si nc o n 【p 撕n gt h e i re 仃c c t s 2 妯c h a p t e r 2 ，t h i sp 印e ri n 廿o d u c ea n o t h e rm e 血o dt oa p p r o x i m a t es ，t l l a ti sc o m p o u n d p o i s s o na p p m x i m a t i o n t t l i sa p p r o x i m a t i o nc a na l s oh a v e 舢1 yp a r 锄e t e rc h o i c e s ，i nt h i s p a p e r ic h o o s e 柳oo ft l l en o m a lc h o i c e s ，a n dg e tm ee r r o 。u p p e r1 i l n i t 1 1 1 i sm e t h o dc a i la v o i d 1 e “m a n y p r o b l e m ，b u ti ti sb ee 讯c t e db yc o i n p e n s a t e dp r o b a b i l i t y w ec a i l g e tt l l e c o n c l u s i o n 血a td i 侬l 佗n tm e t l l o d sh a v ed i m r e ts u p e r i o r i t va 1 1 d i n f b r j o r i t y ，w es h o u l dc h o o s et h em o s ts u i 切b l eo n e k e yw o r d s ： i d i v i d u a ir i s km o d e l ；c e n 打a il i i i l i tt l l e o r e m ；g a m m at r a n s l a t i o n a p p r o x i m a n o n ；n pa p p r o x i m a 6 0 n ；c o m p o u n dp o i s s o na p p r o x i m a 6 0 n 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 口占，占 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名；圣l 重鲨 导师签名：理篮遗 大连理工大学硕士研究生学位论文 引言 假设保险人在某个时间段内，比如一个会计年度内已售出n 张保单，保单持有者遭 遇损失则可以根据投保内容向保险人索赔，保险人则按保单的承诺赔付被保险人，即理 赔。对第i 张保单来说，在这段时间内可能发生索赔也可能不发生，若发生索赔，则赔 付额可能是一个确定的数目也可能按损失程度大小和保单承诺的具体条款而定，假定第 i 张保单可能发生的理赔为x ，则x ；是一个随机变量，在所考虑的时间段内的理赔或赔 付总量为s = y x ，个别风险模型就是要研究随机变量s 的分布情况口。3 】。但是在一般 莒 情况下，要获得s 的分布是十分复杂的，只能在一些特殊假设下讨论s 的分布，个别风 险模型通常做如下假设： ( 1 ) 每张保单是否发生理赔以及理赔额大小是相互独立、互不影响的，即x ，是一列 相互独立的随机变量。 ( 2 ) 每张保单至多发生一次理赔。若用随机变量i ；表示i 张保单可能发生的理赔次数， 厂n1 、 则i ，的取值为。或1 ，即i ，服从。一1 分布或贝努里分布，记作：i ，f ，。f ，其中 l p ip 理赔一次的概率p ；的确定视具体问题而定。经常记q 。= l p 。 ( 3 ) 很多情况下我们都假设保单组合s = 罗x ；中的风险都为保单组合中的风险都为 百 同质风险，理解为同类保单。数学上则反映为每张保单的理赔x ；具有相同的分布。 r1 ， t 一1 令v i 为第i 张保单需要赔付的数额，则x ，= i 。v2 ：1 1 i ：o e ( x 。) = e ( i ，v i ) = e ( e ( v l l i ，) ) = e ( v ：) p i v a r ( x ) = v a r ( e ( v i l i ，) ) + e ( v a r ( v i i j ) ) = e ( v i ) 2 v a r ( i i ) + p 。v 盯( v i ) 4 _ 5 】 我们可以发现为了研究s 的分布，我们必须要知道每个x 的分布，然后再利用卷 积公式才能得到s 的分布。但是当n 比较大时，我们用卷积会非常的复杂，所以必须采 用一些比较简便的方法来近似s 的分布，而不能一味的寻求精确情况。一种比较被大家 熟知的方法就是中心极限定理，这种方法在n 比较大的时候可以有很不错的近似效果。 而且中心极限定理到目前来说是一个很成熟的理论。但是基本上所有的文献中都提到了 它的不足之处，就是无法确定这个n 什么时候才算“够大”，而且相关的文献也提到了 正态分布三阶中心矩为零，不适合对偏度较大的分布进行近似，本文中也给出了相应的 个别风险模型的几种近似及其比较 例子。所以就不得不再找其它近似方法以弥补中心极限定理的不足。很多文献中给出了 平移伽玛近似，这种方法可以对偏度较大的分布近似，近似效果优于中心极限定理，本 文给出了效果图比较这两种方法。在利用平移伽玛近似的时候还可以根据这个方法对中 心极限定理进行修正，取得的结果也比单纯用中心极限定理好的多。类似的，在一些文 章中还发现了n p 近似，它也可以对中心极限定理进行修正，这种修正主要是针对三阶 中心矩为零进行的。 另外一种完全不同的近似方法是复合泊松近似，这是用聚合模型来近似个别模型， 也是一种常见的方法，只是涉及到的原理同上面的方法完全不同。这种近似很多人研究 的已经很成熟了，这里只是为了进行比较引用了两种最为常用的复合泊松近似。 本文所要解决的问题是在这么多的近似方法里，我们应该如何选取用哪一种方法去 近似。本文针对同一例子给出不同近似，从中可以很好的看出近似的好坏。而且还给出 了近似的误差范围及其影响因素，这样可以根据具体情况来判断所选用的近似方法( ”。 2 大连理工大学硕士研究生学位论文 1 中心极限定理近似及其修正 中心极限定理是对多个随机变量和的近似方法，它要求这多个随机变量是独立同分 布的，这也是我们在引言中提到的假设条件所能够满足的，这一章我们就是要讨论中心 极限定理近似的误差和条件，并且给出平移伽玛分布对它的修正以及正态功效近似( n p 近似) 。 1 1 分布函数的变换 一、矩母函数( m f d ) ： 对一个非负随机变量x ，其矩母函数的定义为： m x ( t ) = e e “ ， 一o 。 t 0 。如果x 和y 相互独立，则 m x + y 【t ) = e 【e x + 。1 】= e e 】e e 啊】= m x ( t ) m y ( t ) ( 1 2 ) 即分布函数的卷积对应于矩母函数的简单乘积。注意到矩母函数是一一对应的，所 以每个分布函数恰对应唯一的矩母函数，而且一个分布函数序列极限的矩母函数等于对 应的矩母函数的极限。 矩母函数正如其名称所表明的那样，可以用来产生随机变量的各阶矩。利用通常的 e 。的展开式可以得到 喇= 善警 ，) k = 0 所以x 的k 阶矩等于 e x 小嘉m 删t - o ( 1 舢 二、特征函数： 对于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其矩母函数不存在。但是特征函数总是存 在的，特征函数定义为 奴( t ) = e 【e “】，一一 t o 。 ( 1 5 ) 特征函数一个不足之处是需要处理复数，尽管经验告诉我们，无论是实数t 还是虚 数t ，我们得到的都是同样的结果。例如，e i f ) = e 。2 是n ( o ，2 ) 分布的特征函数，其 矩母函数为e 。 三、概率母函数( d d f ) ： ! 塑堕堕型塑壁墼茎些墼 它仅用于取值为自然数的随机变量，定义为 g x ( t ) = e t 。】= t 。p x = k j ( 1 6 ) 因此，( 1 6 ) 中的概率p 【x = k 作为概率母函数展开式中的系数。若 0 ，s = u ，+ u ：+ + u 。的概率密度 为 f s ( x ) = 志乳卜h ( x - h ) “ 其中 x 】表示x 的整数部分。 可以用理论上的证明来计算出在衅1 2 时中心极限定理在近似s = u ，+ u ：+ + u 。 时的误差范围，本文用e x c e l l 绘制出了它们之间的比较，误差范围从直观上就可以看出 来。 图1 1 ：是标准正态分布函数的密度函数 标准正态分布密度函数 。二? | + + j j 蛾 、 = = 。 一” 1 。：翟：”沁 鼍5 ：v z 登- i 卜 j ：譬i 。 左。”：三1 l 卜5 “”： 一42024 ( 图i 1 ) 大连理工大学硕士研究生学位论文 图1 2 ：是s = u ，+ u ：+ + u 。：用引理( i i d 均匀分布的卷积) 计算出的密度函数( 向左 平移了6 个单位后) ( 图1 2 ) 图1 3 ：是将这两个密度函数叠放在了一个图中，可以看出两者几乎重合在一起，说明 正态近似的效果很好。( 紫色线是正态密度，蓝色是均匀分布的卷积) 【1 0 。1 】 ( 图1 3 ) 个别风险模型的几种近似及其比较 例1 2 2 假设1 0 0 0 个男性年轻人购买了保险期为一年的保单。每个投保人在一年内 死亡的概率为o 0 0 1 ，且死亡发生的理赌支付为l 。我们要计算这批保单总的理赔支付至 少为4 的概率。 解：令x ，为第i 个投保人可能发生的理赔额 由题意可知x 、( 。品，o 三。1 则总理赔额s = x 1 + x 2 + 十x l 用中心极限定理近似= e ( s ) = 1 ，口2 = v a r ( s ) = o 9 9 9 。1 p 【s 4 ：p f 三二丝坐1 ：l m ( 3 ) ：o o o l 3 我们再来计算一下真实值 s b ( 10 0 0 ，o 0 0 1 ) 贝4 p s 4 = 1 一p s = 0 一p s = 1 】一p s = 2 一p s = 3 = o 0 1 8 9 3 误差= 1 0 0 0 1 3 一o 0 1 8 9 3 i = o 0 1 7 6 3 分析：尽管此处n 比上一个例子中的n 大得多，但用中心极限定理给出的近似却很 差，这是因为，在第一个例子中u ；u ( o ，1 ) 定义儿，i - l ，2 ，3 为它的i 阶原点矩 则偏度托，= 争= 型! 二! 些；型! ! 坐! ：= 三二：圭：i ：! ：! 圭! ： 盯3盯3 = 0 而在这个例子中偏度 参= 堑笋= 螋垒鼍型以叭埘4 每一个x 。都有偏度，就有蚝= 1 0 0 0 x h = o 9 9 7 ；l 因此可见中心极限定理应用在偏度较小特别是偏度为0 的分布中效果很好，而且不 用非常大的n 比如侧一中n 仅为t 2 ，但用在偏度较大的分布中，即使n 很大近似的效果 也不好 3 】o 大连理工大学硕士研究生学位论文 1 3 平移伽玛近似 1 3 1 平移伽玛近似的原理 正态分布是对称的，因此它的三阶中心矩为o 。然而总理赔量的分布通常是扭曲而 有偏性的。由于总理赔量的有偏性，我们需要一个具有偏性的近似，我们选择伽玛分布。 我们记g ( x ；口，) 为参数是口，口 o ， 0 的伽玛分布的分布函数，即 g ( x ；仂2r 篙r l c 邓d t 记g ( x ；口，) 为参数是口，卢盘 o ， o 的伽玛分布的密度函数，即 g ( x ；励2 惫。e “4 ，x o 经过计算我们可以得到： e ( x ) 2 号，( x ) 2 劳 e ( ( n e ( x ) ) 3 ) _ 芳 ( 1 1 5 ) 从而偏度以= 里蜓竺掣= o ( 1 1 6 ) v a f f x 乒 口 并且可以看出，若口较小，伽玛分布的密度函数偏度较大，并且向右逐渐减小；若 口较大，则密度函数比较对称，m 。 下面两个图比较了伽玛分布在口= 1 5 ，= o 5 和口= 5 ，= o 5 时的密度函数，可以 很清晰的看到上面所说的伽玛分布的特性m “ 。 伽玛分布n = 1 5 o 3 0 2 5 _ o 2 0 1 5 o l 0 0 5 o b = 0 j 的密度函数 一，：= ! = ： ，i =o i _ ， 誓辫麓。_ ：，曩二霉j 。i j 。4 蔓j 警“划_ ? 囊囊曩_ i 。 囊强一嚣舞甄5 r 曩曩：一t i 。+ _ 一 t 。：；撼二# ：；蕉黪i 懑，瓣。冀；麓j 、。_ ：j ：；j ；，0 s 掣= u ? ；? 鬻：一 0 51 01 5 ( 图1 4 ) e 巫 个别风险模型的几种近似及其比较 卜 t 赫搿爨。孙，：纛垂繇；2 i * 。薯；缸善、霈 。8 蕊巍鹾羹鬃翅萎l 蒸鬻臻2 辫蠢 。- 。6 j 。慧t 搿釜慧i ；波霉；誊j 。，整鬟5 耘l 誉i i 鞋g 业 蕾 ，矧董 ：飘 叠 “爿鼠一 j 系列1 ) 。4 蔓：节麓。茹，尊蒜甏裂蠊：i 。戮搿嚣葛# o _ 。2 “群a 蠢；j j 强烈；$ 溪曩尊- ：。- 。：隧叠j i 猫孽鬈：j i 黼。：蠢薯囊0 一( j 。【j z ( 圈l _ 5 ) 大多数保单的总理赔支付，其分布大体上和伽玛分布近似：向右偏斜( y o ) 取值 非负并且具有单峰性。除了通常的参数口，卢，我们允许偏移大小为x 。的距离，从而引 入第三个自由度。因此，我们用x + x 。的分布函数来近似s 的分布函数，其中x 服从 g a m m “x ；口，) 分布。我们选择盘，和x 。以使得x + x 。与s 有相同的前三阶矩。 平移伽玛近似可以表述如下： 为使两分布对应的前三阶矩相同，口，和x 。的选取必须满足： - e ( s ) 2 芳十x 。c r 2 = ( s ) = 拳e ( ( s 屯( s 炉) = 芳 ( 1 1 7 ) 于是弘手，= 嘉，x 。= 一等 s ， 我们用平移伽玛近似来做一下例1 2 2 解：经过计算可以得到 1 = e ( s ) = 告+ x 。 1 = v 则) = 帚 ；口= 4 ，卢= 2 ，x 0 = 一1 l _ e ( ( s 咽s 矿) = 詈 则所求概率为g ( 4 + l ，4 。2 ) = 0 0 2 1 2 ( 用e x c e l l 计算得出) 要比正态精确的多。 0 大连理工大学硕士研究生学位论文 1 3 2 平移伽玛近似的正态近似 当口为整数时，g a m m a ，声) 分布是口个e x p ( 卢) 分布的卷积。根据这一事实和中心 极限定理，当口较大时，我们可以用一个正态分布来近似g a 加m a 位，) 分布。当然，在 这里讨论这种情况是无意义的，因为这又变成了简单的中心极限定理近似。我们希望得 到更精确地近似。用下面这样的近似可能会更好一点：若y g 锄m a 也，声) ，其中口 ( 于是h 4 ) ，则近似有4 卢y 一4 d l n ( o ，1 ) 证明：令t = 4 芦v ，我们要证明t 近似的服从u n ( 4 口一l ，1 ) ，即结论可得证。 先来计算一下t 的前四阶矩 e ( 打) = r 扛志y 9 1 胙曲d y r ( 髓+ o 5 ) r ( 口) 声 r ( 盯+ o 5 ) = ( 髓一o 5 ) r ( 口一o 5 ) 等盯一o 2 5 r ( 口) 把上面两式代入有： e ( t ) = 4 口- 1 = = e ( u ) 同理， e ( t2 ) = 4 芦e ( y ) = 4 口= e ( u 2 ) e ( t 3 ) e ( u3 ) = ( 4 口+ 2 ) 4 口一1 e ( t 4 ) = 1 6 ( 口2 + 2 ) = e ( u 4 ) + 2 由此可知这两个分布的矩母函数前四项近似相等，所以它们的分布也近似相同 3 1 。 我们用e x c e l l 图来直观的比较一下：其中系列一为伽玛分布，系列二为标准正态分 布i 州”。 个别风险模型的几种近似及其比较 q = 1 5 ，b = o 5 的伽玛分布的正态近似 l ，j ，- _ i 蠢j 一暑- ，0 。_ 1 j i t j 0 0 ，：j 囊i 零曩0 。? 0 8 。- 。：0 “i j 一- 。f ，j o 6 “。j 劳“_ ，。：m r ：j 。7。 f 一系列1 o 4 1 。影= - ，i j + ：一：鼍j ，o 。i 系列2 o 2 o i 。 0 一一_ _ _ - 1 ni - 。l _ j 。1 7 o24681 01 2 ( 图1 6 ) a = 5 ，口= n5 的伽玛分布的正态近似 j - 一i _ = j i j5 _ 、_ j ，：_ 。 o 。1 ：蠢一? 曩童。；彩宇誓i 。 。 ：- = = ：+ _ 雾谬i ：。：蠢- i 一0 ； ? ? 。7 0 澎= _ 一“童i i ，。i 一 5 - ：j j 。= 。c 二i 。j o 三曩，。0 0 j i 。一 、：_ i， i 、 ： ：， 旷：吾j n1 n t 1 5 。蜘“一2 1 3 3 平移伽玛近似对中心极限定理的修正 利用平移伽玛分布的正态近似对中心极限定理进行修正2 ： 对于参数为口，和x 。的平移伽玛分布作为s 的近似有 p 【sss = 垂( 扛而j 万一丽) ( 1 1 9 ) 相应的逆函数水平或水平1 一的在险价值可从下式得到 1 2 刮= h 列疆至 一 2 1 8 6 4 0 4 0 奎蕉堡三奎塑塑壅兰塑坚 一 p s 。】；p 百万两一丽i 两一丽】 ：p u 厢而一再五 = 1 一s u 州( o ，1 令西( y ) = 1 一s 则s = x 。十南( y + 4 扩1 ) 2 翮s 中的两个修正项会消失，同时可证明( 2 2 2 ) 收敛于垂( z ) 。 用这个修正的近似再来做一下例1 2 2 ( 其偏度蚝= 1 ) ： p s 4 _ p 【业业】- p 掣3 ou u ：l m ( 五石一西) = 1 一垂( 2 4 5 1 6 ) = o 0 0 7 1 1 2 不经过修正时误差为o 。0 1 7 6 3 ，现在误差为o 0 】1 8 l ，显然得到了一定的修正。 1 4n p 近似 下面的近似非常类似于( 1 2 0 ) 。修正项具有简洁的形式，且稍微大一些。可以对 分布函数作某种展开得到，但这里我们不再给出具体的推导。 ：e ( s ) ，巧2 = v a r ( s ) ，y = 携，则当s i 时 p 【业s + 善( s ：一1 ) z 中( s ) ， ( 1 2 3 ) 盯 o 或等价于，当x 1 时， 科等纠州伊一 ( 1 2 4 ) 个别风险模型的几种近似及其比较 ( 1 2 4 ) 可用来近似s 的分布函数，( 1 2 3 ) 可以得到近似的分位数。若s o 。 记具有相同分布的个别理赔额变量为v ，其分布函数为p ( x ) ，并记其k 阶原点矩为 p k = 【x “d p ( x ) ，k = 1 ，2 ， 对于复合泊松分布s ，有 e ( s ) = 邱， ( 2 1 ) v a r ( s ) = 印2 ( 2 2 ) s 矩母函数： m 。( t ) = m n 1 0 9 m v ( t ) 】= e 2 “。卜1 1 ( 2 3 ) 定理2 、1 1 如果y ，y ：，y 。是相互独立的随机变量，且y 。是服从参数 的复合泊 松分布，理焙额函数为e ( x ) ，i = 1 ，2 ，n ，则s = y 服从参数为五= 的复台泊松 分布，且 f ( x ) = 喜砉_ ( x ) ( z 4 ) 证明令m 。( t ) 表示e ( x ) ，l = l ，2 ，n 的矩母函数，则x 的矩母函数为： m 。( t ) = e x p f 五 m ，( t ) 一1 】 由于y 。y ：，y 。相互独立，s 的矩母幽数应为： 由于x ，y ：，y 。相互独立，s 的矩母函数应为： m s ( t ) = m y ( t ) = e x p a 眠( t ) 一l 】 = e x p 趣喜鲁w t h 】 个别风险模型的几种近似及其比较 其中丑= 五。因此s 的矩母函数可以看作是以泊松参数五= ，理赔分布函数 为f ( x ) = 喜鲁民( x ) 所确定的复合洎松分布的矩母函数”名4 5 3 。 2 2 距离的定义 考虑n 个一年期寿险保单，保单i 导致赔付k 的次数为i ；b e m o u l l i ( p ) 分布，我们 现在用一个p 0 i s s o n ( 丑) 随机变量来替代赔付v 的次数i 。，在个体模型中t 考虑理赔总额 s = i ，v i ，其中p i j = 1 - p ， ( 2 5 ) 的分布，而现在我们考虑如下近似随机变量的分布： = y i ，其中y i = 芝v j 和n p o i s s o n ( 矗) ( 2 6 ) 我们用的分布来近似s 的分布。重要的是如何选取 对于个体风险模型的复合泊松近似，我们总希望所做的近似与原有模型之间的差异 越小越好，如果两者之间的差异太大，则这种近似就没有什么意义了。为了衡量近似程 度的好坏，下面我们引入个体风险模型与复合泊松模型两者之间距离的概念，其中r 表 示个体风险的分布函数，r 表示复合风险的分布函数1 3 。16 】。 全变差距离： d ( s ，s ) = s u pp ( s a ) 一p ( s a ) l ( 2 7 ) 2 3 经典聚合逼近 在( 2 6 ) 中取五= p ，则有e ( x ) = e ( 、) p 。= e ( v ) 暑= e ( y j ) 由( 2 1 ) 可得，则在两 个模型中保单i 的期望赔付次数相同。尽管( 2 6 ) 仍然具有个体模型的形式，由定理2 2 】 可知s 服从复合泊松分布，其参数为 a = 喜a = 喜p ， 和 f ( x ) = 喜砉_ ( x ) a = a = p ， 和 f ( x ) = 手( x ) 1 5j l o 1 3 l f v ( x ) 为v l 的分布函数。 若五= p ，则有 e ( s ) = e ( v j ) p 。= e ( ) ( 2 + 8 ) 大连理工大学硕士研究生学位论文 v a r ( s ) = e ( v j ) 2p j ( 1 一p 。) + p 、v a r ( v ) 1 = l v a r ( 两= e ( v i 阮+ 五v a r ( 、) = v a r ( s ) + e ( v j 2 p ，2 可见e ( v 。j 2 p 2 越小，两者差异就越小。 下面我们就来讨论此种复合泊松近似与原有模型之间拟合程度的好坏，即两者距离 的大小。首先给出几个引理： 引理2 3 i ：d ( s ，t ) = s u p ( s ( a ) 一t ( a ) )s ( a ) 即为p s a ) b f r l 证明： s u p ( s ( a ) 一t ( a ) ) a b r r l = s u p m a x s f a ) 一t ( a ) ，s ( a 。) 一t ( a c ) ) 】 a e b ( r ) = s u p m a x s f a ) 一t ( a ) ，t ( a ) 一s ( a ) 】 = s u pl s ( a ) 一t ( a ) i 引理：2 3 2 ：令x ，x ：，x 。和y 】，y 2 ，y n 为两列独立随机变量，则有 d ( x ，y j ) d ( x ：，一) 仁【仁1仁1 证明：令x ，y i 的分布函数分别为f i ，g ，1 i n 先证明n 二2 时的情况： d ( x ，+ x ：，y l + y 2 ) 2 s u p | f 1 + f 2 ( a ) g l + g2 ( a ) l = s u p l ff l ( a x ) f 2 ( d x ) 一e g ( a x ) g ：( d ) 【4 2 8 u p i e f 】( a x ) f 2 ( d ) 【) 一f g ，( a x ) f 2 ( d ) 【) + e g t ( a x ) f 2 ( d ) 【) 一e g 。( a x ) g ：( d ) 【) i 2 s u p i ef l ( a x ) f 2 ( d x ) 一f g 一( a x ) f 2 ( d x ) + e f 2 ( a x ) g ( d x ) 个别风险模型的几种近似及其比较 一e g ：( a x ) g ，( d x ) l 2 刊e ( f i ( a x ) 一g ，( a x ) ) f 2 ( d x ) + e ( e ( a x ) 一g ：( a x ) ) g ，( d x 4 叫e ( e ( a x ) 一g ，( a x ) ) f 2 ( d x ) 卜s u p j e ( f 2 ( a x ) 一g ：( a x ) ) g t ( d x ) l s u p lf 1 ( a ) 一g ( a 1 + s u p l f 2 ( a ) 一g ：( a ) 1 对于一般性的情况的证明，只需将上式中的f 2 替换成f 2 + l ，将g ：替换成 g 2 + g 。即可f 司。 下面我们研究个体风险模型s = x 。= i 。v j 与复合泊松模型g = y 之间的距 离，其中y = v i 和n ；p o i s s o n ( p ，) 定理2 3 1 ：如下的上限成立 d ( s ，蓉) p 2 ( 2 9 ) 证明：对于随机变量x ，y i 及v a b ( r ) p ( x ，a ) 一p ( x a ) = q 献a ) + 州a ) _ 薹蔷e 1 譬( a ) 5 q 。驰) + p ( a ) _ ( e _ “坑( a ) + ”1 州a ) + 薹蔷e 1 喇a ) ) q i 氏( a ) + p i f v ( a ) 一e - p 。瓯( a ) 一p ，e - p 。f v ( a ) 由不等式q ，e 。，可以得到q 瓦( a ) 一e 1 磊( a ) s0 则： p ( x ie a ) 一p ( y 。a ) p 。f v ( a ) 一p e 1 1 f v ( a ) = p i f v ( a ) ( 1 一e 1 ) 曼p i 2 f v ( a ) 所以d ( s 酉) d ( x ；，y 。) p ；2 大连理工大学硕士研究生学位论文 定理2 3 1 告诉我们当每张保单发生索赔的概率p ，都很小的时候，上述的复合泊松 近似较好。 如果个体风险模型s = x ，= i v j 中的v j 都是同分布的，如果p t 1 ，则我们 1 = ll # 】 仁i 可以得到比定理l 更好的界。在实践中我们处理的个体风险模型往往包含大量的保单， 所以条件p ； 1 很容易满足。 l - l 定理2 3 2 ：对同质的保单组合，即民= f v ，一一k = f ，则有 为7 证明定理的结果，我们先做如f 假设： 令i 】，- i 。为一列独立的贝努里随枫变量，p ( i ，= i ) = p ；，并且令n 服从参数为 五= p 。的泊松分布。定义n = i ，p k = p ( n = k ) ，则n 的概率母函数为 g 。r = n ：。( q ；+ p 。x ) 引理2 3 3 ：如果f v = f v ：一一f v n = f ，则 f x + f x ! + + f x 。= ef 1 证明；对左右两式同时作l a p l a c e s t i e l l j e s 变换 左边： l ”也= e e l 但1 + “- j = n e e “1 = n ( q i + p ir ”e “d f ( x ) ) = 融p 酢) ) 1 由拉普拉斯变换的唯一住就得到f x ，+ f x ：+ + f x 。= p ip 缸i 个别风险模型的几种近似及其比较 引理2 3 4 ：如果氏= f v 2 = = f v 。= f ，则 d ( s ，s ) d ( n 7 ，n ) 证明：令c = i 1 ，t ，n ) ：p i p i ) ，其中p i = p ( n = i ) ，e = p ( n = i ) 。由此定义的 c 为一非空集合。 由引理2 3 3 ，我们可以得到：v a b 限) p ( s a ) 一p ( 喜a ) = p if 1 ( a ) 一e f l ( a ) i _ ol = 0 一b ) f 1 ( a ) ( p i p ) f 1 ( a ) 】卸i = l ( p i p i ) = p = p ( n c ) 一p ( n c ) 培c d ( n ，n ) 所以我们要证明定理2 3 2 ， 令b n 为任一自然数集， c k = o ，1 ，k 1 ) 。定义： 酎k ) 2 亩口( n b n c j _ p ( n b ) p ( n “k ) ) ，k - 1 2 ，g ( o ) _ o 因为有关系( k + 1 ) p k + 。= 仰。，我们可以得到： 砖( k + 1 ) 一k g ( k ) = 五_ 二；吾一( p ( n b r 、c ) 一p ( n eb ) p ( n ck + 1 ) ) ( k + 1 ) p k + 1 、 州7 、 7、。+ 1 川 一击( p ( n b n c j _ p ( n e b ) p m c t ) = 蔷一 p ( n b n c k “) 一p ( n b n c k ) 一p ( n b ) p ( n c k 十1 ) + p ( n b ) p ( n c k ) 2 毒口( n b n k 卜p ( n b ) p ( n _ k ) = 最( b ) 一p ( n b ) 可即 和f nn 文 果 结明证 要 需只我 大连理工大学硕士研究生学位论文 迭| 为 州驴锯雾；警 所以可以得到： e 氐，( b ) = p ( n b ) 由此p ( n b ) 一p ( n b ) = e ( 氏，( b ) 一p ( n b ) ) = e ( 豫( n + 1 ) 一n ( n ) ) 记n = 1 1 + + i + i 。+ 1 + + i 。，则可以推出如下关系式： p ( n 7 b ) 一p ( n b ) = e ( p g ( n7 + 1 ) 一i ，g ( n ) ) = e 。g ( n 7 + 1 ) 一i ，g ( n ，) ) = e q ，g ( n + i + 1 ) 一i g ( n 1 + 1 ) ) = e ( ( 1 - p ，) p i g ( n o + 1 ) + p ；g ( n 时+ 2 ) 一p ，g ( n 1 1 + 1 ) ) = p ；e 睡( n m + 2 ) 一g ( n 。+ 1 ) ) 所以要证明关系d ( n ，n ) i ，我们只需证明 因为