（计算数学专业论文）各向异性下抛物问题及变分不等式的变网格有限元方法.pdf

摘要 本文主要采用变网格的思想，在各向异性网格下，讨论了抛物问题及抛物 型变分不等式的c r o u z e i x - r a v i a r t 型各向异性非协调矩形和三角形有限元逼近 对于抛物问题，我们采用p l 一三角形非协调元进行逼近；而对于抛物型变 分不等式问题，我们采用一类c r o u z e i x - r a v i a r t 型非协调元进行逼近，其中有韩 厚德先生提出的五节点矩形元，s h e e n 等的尸1 一矩形元以及p i 一三角形非协调 元我们证明了这些单元均具有各向异性插值特征并且通过采用一系列新的 技巧和方法，得到了与传统有限元方法完全相同的最优误差估计这说明传统 有限元分析中的正则性条件或拟一致假设是不必要的，从而进一步拓宽了非协 调有限元的应用范围，这给以后设计自适应网格是有意义的 另外，在传统的变网格方法中r i t z 投影的引入是对问题进行逼近的必不可 少的工具，而我们则利用单元的特殊性质，在无需引入r i t z 投影的情况下对问 题进行了直接分析，使得证明过程大大简化 关键词：抛物问题，变分不等式，各向异性，c r o u z e i x r i n r t ，变网格，最 优误差估计 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，ac l a 8 so fc r o u z e j x _ r a v i a r tt y p ea n j s o t r o p i cn o i l c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa r ep r o p o s e df o rp a r 如o l i cp r o b l e ma n dp a r a b o l i cv a r i a t i o n a li n e q u a l i 谚 p r o b l e i nw i t hm o v i n gg r i d 厂eu 8 ep 1 一n o n c o n f o r m i n gt r i 锄g u l a re l e m e i l tt oa p p r o x i m a t et 1 1 ep a r o b l i cp r o b l e m ；a n dac l a s so fc r o u z e i x _ r w i a r tt y p en o n c o l l f o r m i n ge l e m e n c st oa p p r 。) d m a t et h e p a r o b o l i c 、t a n a t i o n a li n e q u a 1 i t yp r o b l e m ，w h i c hi n c l u d en v 争1 1 ( ) d a lr e c t a n g u l a re l e m e n t ， p l r e c t a n g u l a re l e m e n ta n db t r i a n g u l a rn o n c o n f o r m i n ge l e m e n t w ep r o v e dt h a ta l l a b o v ee l e m e n t sh a v ea n i s o t r o p i cp r o p e r t yb y u s l i l gs o m en o v e la p p r o a c h e sa n dt e c h n i q u e s ， t h es a m eo p t j m 出e r r o re s t i i i l a t e sa r e0 b t a i n e d 舢t h et r a 出t i o n a lm e t h o 出t h er e s u l t so f t h 曲i ) a p e rs h o wt h a ti ss h o w nt 1 1 a tt 1 1 ec l a s s i c a lr e g u l a r i t ya s s u m p t i o no rq 1 1 a s i u 1 1 i f o r m a s s u m p t i o no nm ( j s h e si sn o tn e c e s s a r yt ot h ea n i t ee i e m e n ta n a l y s i s t h 【l st h ea p p l i c a t i o n o ff i n i t ee i e m e n tc a nb ew j d e d i tj sh e l p f u lt od e s i g na d a p t i v el n e s h e s m o r e o v e r ，i i lt h ep r e v i o u ss t u d i e sf o rt i m e d e p c n d e n tv a r i f d t i o i l 扎li n c q u a l i 够p r ( ) b l e i n s ， w i mm o v i n gg r i d ，t h er i t zi ) r o j e ( ：t i o nw a si n d i s p e n s a b l ei i lt h ce r r o ra n a l y s i s h o w e v e r ， w i t ht h ep r o p e r t yo ft h e 矗n i t ee k m e n t s p a c e s w e1 n s t e a dt h ei n t e r p o l a t i o no fr j t zi 1 1 j e c t i 0 1 l d j r e c t l y 【1 圳，h e n c e ，t h ep r o o fc a nb es i m p l i 矗e ( j k e yw o r d s ： p a r a l ) o l i c ，v a r i a t i o n a l j n e q u a l i 吼a n i s o t r o p i c ，c r o u z e i x r a v i a r t m o v i n gg r i d ，o p t i m a le r r o re s t i m a 七e s 1 l 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、 抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的 一切法律责任和法律后果，特此郑重声明 学位论文作者：寡殉g 一 伊6 年q ，月；日 前言 有限元方法是数值求解微分方程问题的一种方法早在1 9 4 3 年，c o u r a n t 已经提出在三角形网格上用逐片线性函数去逼近d i r i c l ! l 1 e t 问题，这是有限元方 法最初的思想而真正的有限元方法首先是在2 0 世纪5 0 年代初由工程师们提 出，并用于求解简单的结构问题在6 0 年代中期，我国计算数学家冯康先生 与西方学者独立并行的奠定了有限元方法的数学基础，并给出了收敛性和误差 估计近年来，随着计算机的蓬勃发展，有限元方法已成为一门理论完善，应 用广泛的数值方法 传统意义下的有限元方法对网格的剖分有严格的要求，要求剖分满足正则 性条件或拟一致假设【1 2 】，即等g 或鲁sc ，这里k 为剖分单元的直径， p n 为k 的最大内切圆直径， = r x 够坛，g 是一个与k 无关的常数但最近 一些研究表明上述要求对一些有限元格式并不是必要的同时，有些问题定义 在窄边区域，例如对于复合材料，转子间隙等问题，如采用正则网格剖分，计 算量将非常大，使我们无法承受然而在这种情况下，上述比值；一可以非常 大，甚至趋于无穷，这使得传统的有限元分析方法已不再适用于是采用各向 异性剖分，即不要求网格满足上述正则性条件或拟一致假设就显得十分必要 关于这方面的研究，法国的t a p e l 等做了大量的先驱性工作在3 1 中，他将 这方面的工作做了系统的总结，提出了一个各向异性判别定理最近陈绍春教 授和石东洋教授在文 4 中对ta p e l 的方法进行了改进，给出了一一种更易于操 作的方法 对于发展方程的有限元方法( 包括半离散和全离散格式) 已有很多研究【5 出l 梁国平先生在| 5 中提出了一种变网格有限元处理方法，沈树民先生在f 9 中将 变网格方法应用到抛物型变分不等式问题上其基本做法是：对空间域采用有 限元方法，而对时间轴采用差分法，并且对于不同时间的空间区域可以采用不 同的网格以与时间有关的障碍问题为例，由于接触部分随时间变化而有所改 变，因而采用变网格方法( 例如可以在接触部分附近保持较细的网格) 有其实 际意义 1 然而上述研究都是在正则网格下进行的本文将对抛物问题及抛物型变分 不等式采用变网格技术，在各向异性网格下对区域用一类c r o u z e i x r a v i a r t 型非 协调有限元进行剖分( 包括五节点矩形元，p 1 一非协调矩形元，以及p 1 一三角 形元等) ，我们利用单元的特殊性质，并采用一些新的误差估计方法和技巧，得 到了一系列最优误差估计值得一提的是，对于发展型方程来说，引入崩如投 影是传统方法中进行逼近的必不可少的工具，而在本文中，我们利用单元的特 殊性质在不引入r 托。投影的情况下对问题进行了直接分析，从而大大简化了 证明过程 本文的写作安排如下： 第一章：介绍预备知识，列举本文中用到的一些记号和定理 第二章：在各向异性网格下，采用变网格技术对抛物问题的非协调三角形有限 元方法进行研究 第三章：在各向异性网格下，采用一类c r o u z e i x - r a v i a r t 型非协调元对抛物型变 分不等式的变网格有限元逼近 2 1 s o b l e v 空间及一些记号 第一章预备知识 设舻为礼维欧式空间，z = ( 巩，z 。) 为口中的点，q 为彤中的区 域a 一( a - t ，a 。) 称为n 重指标，其每一分量均为非负整数，记其长度为 混合偏微分算子记为 s 。b l e v 空间定义为 矿一瓣筹面 w 7 m 巾( q ) = ，l 9 ( q ) ：d 。，l ”( 9 2 ) ，l 血l m ) m 一( f 2 ) 上的范数和半范定义为 “9 ( q ) | | = ( f ，l d 。训出) ；， “【三m w “9 ( q ) i = ( f 、l d 。”1 9 如) ； | a | = m 为方便起见，本文中我们假设nc 兄2 为一凸多边形区域空间h m ( f 2 ) ：哪( n ) 上的范数和半范记为l 。和f f 。 2 有限元方法的基本理论 用有限元方法来数值求解微分方程，主要是从数学物理问题的变分原理出 发，将微分方程转化为与其等价的变分形式设y 为h i l b e r t 空间，定义在v 上的抽象变分问题为：求v ，使得 其中n ( ，) 为定义在v y 上的连续双线性泛函，为定义在y 上的线性泛 函 上o z m 咖r n m 定理设y 是一个实h i l b e r t 空间，y7 是其对偶空间，o ( “， ) 是y y 上的双线性形式，假定a ( 札，”) 满足连续性和强制性，即存在正常数 m ，o 使 l n ( 乱，口) l a f l | u l l v l l 口i v ，地，u v i n ( ”， ) i2n l i 口i l 移，矿 则对任意的，y ，变分问题( 1 1 ) 有唯一解，其中v ，为v 的对偶空间 l c m i l g r a m 定理对变分问题( 11 ) 解的存在唯一性给出了明确的回答，然而 一般情况下，其精确解的求解却非常困难有限元方法就是用一个有限维空间 来逼近无限维空间v 、( 1 1 ) 化为如下的离散变分问题：求她。，使得 n ( 1 “，) = ( ，u z ) ， ( 12 ) 上述有限维逼近空间与原无限维空间的关系只有以下两种可能： ( 1 ) 当cv 时，我们称之为协调元；( 2 ) 当k y 时，称为非协调元 而c e d 引理和s 打9 引理就分别给出了协调元和非澎调元的误差估计 c e 引理设v 为h i l l t 空间，kc 矿是y 的有限维子空间，n ( ，) ，均 满足l * m i l g r a m 定理的条件，u 和“ 分别为( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的解，则 脾 | | “一“n 忆煞舷一 ( 13 ) o 。 、7 其中卢为n ( ，) 在v 上的连续常数，n 为n ( ，) 在v 上的强制常数 s t r 彻g 引理设日为h i l b e r t 空间， v 和为口的子空间，。( ) 是h 上 的连续双线性泛函，并且在上强制，_ ，日7 ，u 和讹分别为( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的 解，则 川一。黑。，哗黹剑) ， ( 1 a ) 3 各向异性基本定理 设膏为一参考元，p 是膏上的一个m 维多项式空间( 形函数空间) ，户，是 户的共轭空间设协，南，赫) 和 疵，觑，亿 是户和户，的一对共轭基， 即 疵( e ) = 设立：h ( 霞) 一户，1 是有限元插值算子，满足 疵( n o ) ：藏( o ) ，i ：1 ，2 ，mv 。f 户 设。= ( n 。，n 。) 是一多重指标，则伊p 也是霞上的多项式空间，设 出m 伊户= r 鼠，i = 1 ，2 ，r 是d “户的一组基 伊( n i ) 加户可表示 成 d “( f i i ) = 疵。d 。扇= 岛( i ) 白 ( 1 5 ) 2 ：= l = 1 显然，白是 d 扇) 罂，的线性组合，而岛( 。) 是 m ( 。) j 墨。的线性组合设 岛( o ) = 庶( o ) ，f 1 6 1 0 = 1 则由( 15 ) 和( 16 ) ，我们有 zm 岛( i ) = 啦藏( 。) = 啦成( r i i ) = 岛( r i ( o ) ) 基本定理4 ) ：在上述表达下，如果岛( 。) 能表成 岛( i ) = 马( d 。o ) ，1s j 曼m 其中玛( 日5 ( 疗) ) 7 ，1 i ，j ，n ，同时毋( 露) cd n 户，f ( s 一1 ) ，则存在常数c f 霞) 满足f f 西。( 砬一疗矗) 忆霞c ( 露) f 西。缸l h l ，_ 】 ，o tsf + l ，v 缸h n + 1 ，f 庀1 设霞= 卜_ 1 ，l 】 l ，1 是相应矩形参考元，顶点坐标为慨( 一1 、一1 ) ，庇( 1 ，一1 ) ， 庇( 1 ，1 ) ，庇( 一1 ，1 ) ，中心坐标为城( o ，o ) ，其四边为f 1 ：蕊，2 ：蕊，： 5 丽，4 = 丽，在参考元霞上定义五节点矩形有限元( 膏，户，宝) 如下： 壹= 慨i 2 ，。3 ，砒，瑰) ， 户= 印n 扎 1 ，叩，妒( ) ，妒( 卵) ) ， ( 1 7 ) 其中讧2 南j ；：l 。幽，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，魄= 南成毋嫩d 叩，妒( t ) ：；( 3 f 2 1 ) ，( o zs1 ) 易知这样定义的有限元是适定的，插值函数为： 。= 吨+ ；( 也一魄) f + j ( 如一。1 ) q + j ( 。2 + 。4 2 魄) 妒任) + j ( i 1 + 。3 2 如) 妒( 1 ) ， f 18 1 引理1 3 1 上述单元具有各向异性特征，即v 。日。( 霞) ，：( 。，。) ，且 n l = 1 ，成立 j l d 。 一n 。) f 。，膏c | f d 。i f l ，膏f 1 9 1 其中g 为一个与 及豢均无关的常数，但不同地方可以取不同的值 证设n = ( 1 ，o ) 则有 一 口 d 。( i ) 2i ( 啦一也) + ；( i 2 + 噍一2 。5 ) 圭卢1 + 胁妒，( ) 显然， 1 ，妒代) ) 是d “户的一组基，且由于 口1 = ；( i 。一啦) 2 ； 见i ( 1 ，q ) 咖一丘。( 1 ，q ) 酬( 1l o ) = j 屈赛蟛咖 和 口1 = ( i 2 + 幽一2 魄) 2j 吮i ( 1 ，q ) 咖+ 坛i ( 一l ，q ) d 即 屉i ( f 叩) 必咖 ( 1 1 1 ) 2 南屉f 赛西咖 廿1 ( 霞) ，定义算子弓0 ：l ，2 ) 如下 毋( 由) 2 击厶。武咖 吲。) 2 高厶蟛咖 6 易知乃( 日1 ( 露) ) ，0 = 1 ，2 ) 同理，对a ：( o ，1 ) ，也有类似结果由以上各向异性基本定理知，该五节点矩 形元具有各向异性插值特征，引理得证 同样用上述方法可以得到下面的推论1 3 2 推论1 3 2c r o u z e i x - r a v i 盯t 型p 1 一矩形元和日一三角形元均具有各向异 性特征，即v o 日2 ( 霞) ，地= ( n ，。：) ，且i o l = 1 ，成立 l l d “( i n i ) | | o 膏曼c l d “i 1 1 膏( 11 2 ) 第二章抛物问题的变网格有限元方法 1 - c r o u z e i r a v i ”t 型三角形单元的构造 为方便起见，设k 为z 一平面上的一个三角形单元，其顶点为尬( o ，o ) ， 尬( z ，o ) 及坞( o ，愚，) ，其三边为f = 丽，f 2 = 蕊及f 3 = 丽设露是一目 平面上的参考元，慨( o ，o ) ，庇( 1 ，o ) 和庇( o ，1 ) 为霞的顶点，其三边为1 ：蕊， f 2 = 庇庇及f ； = 庇眈( 见图1 ) 参考单元矗到一般单元k 的仿射变换取：詹，k 为 庄篡 ， 所以 图l 参考单元霞及一般单元k 赛2k ，鬻= o ，赛= ( 】，雾= 。， 且对于任意的”( z ，) ，记o ( ，q ) ：”r 在单元上定义有限元( k ，珞， ，) 如下： 吆：s p n n ( 1 ，。，) ，k ： 似= 南上，”，江1 ，2 ，3 ) ，于是我们有下面的引理 引理2 1 1 攻由k 唯一确定 证设。，玮，记u = n 。+ n l z + n 2 ，由仇= 由i ：， ，待l ，2 ，3 得 l = 血o + ；n 1 z + ( ) 地= 。o + j n l 。+ i 。2 地2n o + o + ；8 2 7 z ， 8 f 22 1 b 慨 吩 ( 2 2 ) 中系数矩阵的行列式= k ，o ，故存在唯一解，且 引理得证 。o 2 w 。+ ”t 一”z ，n t2 丢( ”。一”s ) ，n 。= 彘( 也一”) 由推论1 1 ，上述单元具有各向异性特征，即对n = ( a 。，q 。) ，且：1 ，成立 i i d 。( i r i o ) 霞茎g l d “0 1 1 ! 引理2 1 2 讹日1 ( k ) ，令u = 南& 则 忙刊h 眦i 孰，k 地i l 跏，砒 ( 2 3 ) ，i j 。 r ， 、 这里及以后出现的c 均表示一个与，z 及警无关的常数，不同地方可以取不同 的值 证利用仿射变换及p o i n c n 俺一f r 钯d n c ，l 不等式，得 再利用仿射变换，得 引理得证 u u | j 。，k c ( z l i 赛| | m x + 7 b | j 器 f 。，w ) 2 抛物问题的变网格方法 考虑如下抛物问题 t 0 】 f ，差j i o j v 乏j ：毫薹毫乏j c 。， 由 1 1 】，若t 加明( 吼譬上2 ( o ，丁；l 。( f 2 ) ) 则( 2 4 ) 存在唯一解，且 鲁l 2 ( o ，t ；明( q ) ) nl o 。( o ，r ；l 2 ( n ) ) ，u l 2 ( o ，t ；础( n ) ) n 上”( o ，丁；h 2 ( f 2 ) ) 与( 2 4 ) 等价的变分问题为：求钍k f ( o ，t ) 满足 j ( 譬， ) + ( “， ) = ( ， ) ， v v ( 2 5 ) l“b 5 饥。，比n ， 其中y = 嘲( q ) ，n ( “，”) = 岛v “v 口，地，”y 满足有界性和椭圆性 设qcr 。为凸多边形区域，霸为如下图2 所示的各向异性剖分形式 ( 即假设三角形的两直角边中，长边平行于z 轴，短边平行于可轴，7 b k ) 图2 剖分网格 设相应的有限元空间为= 驴( 跳”n l p v k 孔，正。m = o ，i = 1 ，2 ，3 ) ，其中 是函数”n 在单元边f 。( i = 1 ，2 ，3 ) 上的跳跃值，而当单元边在外边 界a n 上时，= 这里不要求其剖分满足上述正则性条件和拟一致假设 相应于( 2 5 ) 的离散问题为：求“ 、使得 ( 警，) 棚) 刈，研1 ) 1 柞 ( 2 6 ) iu f 。i 悟o = 扎g ， v 。n 其中砧是札。在中的一个适当的逼近，( “”惦) = kv t 地v 讹 ，k 定义慨队= ( 巨) ，则”队是上的一个模 下面我们引入变网格的思想【“，得到各向异性剖分下非协调c r o u z e i x r i a r t 型三角形有限元变网格格式设o = 如 t 。 = 丁将时间轴分成段， 分点为“，n = o ，l ，2 ，令 霸) 。为扣如时刻对空间区域的一个三角形剖分 簇，珊为t 。时刻的有限元空间： v ? = 口( z ，t 。) ；u 坛) 我们这样来选取“( z ，t ) 的近似解空间s “：伊上的函数札n t ) ，有+ 1 个有限 元插值函数，即“( z 、) 在+ 1 个节点处的节点值，在时间间隔t 。 o ， ( 缸j 一砧，口h ) = o ， 铷h v ， ，。rn = o ， ( 2 + 7 ) ( 札1 一也：，) + o ( “1 ，蜥) 如= ( + l ，) t 。，v 呲味1 ， 其中厶= ，( 。，k ) 从( 2 7 ) 可知，馏一咯。时，破= u ：，而当两层网格或插值函数不同时， 矗：为前一层的l 。投影修改格式( 2 7 ) 中第三个式子是通常的差分格式，通过 第一个式子由“：得到破，再通过第三个式子由矗：得到。每一步解一个线 性方程组，近似解显然存在唯一( 详见文献 5 8 ) 3 辅助空间 真解扎( 。，t ) 和近似解“n ( 。、t ) 的误差主要包含三个部分：对区域变量的有限 元方法的插值误差、对时间变量的差分误差以及网格变动误差为了完成对上 面的误差估计，我们在一般单元k 上引入辅助有限元( k ，取，k ) 如下 1 3 1 ： 反= 印a 礼n 北k = 地= 高五刚= 1 ，2 ) ， ( 2 8 ) 其中f 。为单元k 的二条长边相应的辅助空间为坛： 讫= ( 讥l 2 ( q ) ；i j k 段v k r ，陬 = o ，i = 1 ，2 - ( 2 9 ) 这个辅助有限元在后面各向异性误差分析中起着至关重要的作用 设m ：一讫是一个插值算子，定义如下： 一n h = 砒， ( 2 1 0 ) 其中 序= 小啦，。 ( 2 - 1 ) 易看出铅和哥是常数，而且由g r e e n 公式和( 2 1 1 ) 式可得哥2 静 事实上， 酱一静= 南k ( 鸷一鸷) = 南( 巩一魄) 2 0 - 4 误差估计 首先我们证明下面的引理2 41 ，该引理对各向异性误差估计起着非常重要 的作用，其证明方法也与传统方法大不相同 引理2 4 11 1 1 l o c 1 v t 饥 证考虑如下的二阶椭圆问题 r 越”9 ， 虮2 ( 2 1 2 ) ju = o ， v z 珊2 t 由微分方程理论知，( 2 ，1 2 ) 有唯一解u h 2 ( q ) n 嘲( n ) 且满足i 。墨训训o 利用g r e e n 公式，得铷 坛， ，n g 2 一厶“2 蓍丘v “v ” 一萎如k 箦， 这样 厶9 u 刈i + l e ( h ) l ， ( 2 - 1 3 ) 其中r h ( u ，) = 舞d s 由g r e e n 公式，辅助函数空间诼和f l n 的定义以及特殊性质鬻= ，e ( w ，) 可改写为： r ，) 丢厶k 器d s 一莓k 器( 篱一努) 丢k 拳( 一魄) + 暑b k 畚吼如一暑，8 k 智( 一i “) 吼d s 若氏孝( 一讥) + 丢如”( 筹n z + 筹嘞) d s 一萎如券( 一诜) 出 丢& 辔( 一该) + 暑岛x ( 舞礼z ) ( f s + 善后k ( 鬻，b 西。) d s e l + e 2 + e 3 ， 其中e - = 善k 券( 一饥) ， h 。 由( 21 1 ) 和p 嘶，z 佣r 不等式， 1 2 岛2 嘉岛( 嚣，b 锄) d s s m 以 堂c 鲁 k岛 e k i i b 得 锄一由 i l o 膏sgj o 一o 1 1 膏 注意到静= 和繁= o ，得 | | 一该k = 九 ；l f 讥一瓦霞sa ； ；f 讥一诜 ，膏茎g ；磅| | 凳 f 。，膏：c 。| | 静k 于是最可估计为： e ，= 善厶券一诹) 咧删砒 ( 2 1 4 ) 另一方面， ca ，定义坼u = 厅u d s 则有 易2 蔷厶k ( 差n z ) d s2 善厶( 嚣一坼警) n 。( 坼) d s = 局。+ 岛。， 其中马z 2 丢山。( 筹一坼券) n z ( 一螈) d s ，易。= 善凡( 券一坼罄) n 。( 一坼) d 。 由 1 2 知，v f ( a ，v 口日1 ( k ) ，k ，有下式成立 i 厶( 。一坼q ) ( 吼一珥训酬sg 罱( 矧i 知i 对矧i 勃i ，驯等憾k 稍l 鲁幅一 ( 2 1 5 ) 于是，我们便有下面的误差估计： 故 岛。g 蚤老高( 镌| | 器憾+ 刻器憾k ) sc f uj 。lj 岛。茎e 丢彘 2 川一曼咧u 圳忆 岛c 怫忆 ( 21 6 ) 在对玛进行估计时，因，是三角形的两个长边，在各向异性网格下， ( 2 1 5 ) 式中的因子禺可以趋于无穷大，传统的边界估计技巧失效。因此，需要 充分利用上述辅助空间的性质，采用新的估计方法。 ，因玛2 善j 赢( 券嘞) 出2 丢，乏。易( 券一坼嚣) ( 诜一坼该) d s 儿 f r 月矿1 ” o 目7 、。 1 ，”一。 苎1 0 1 j 莓州券一坼嚣) 一蛳锄冲，玛。= 丢刖券一坼券) d s ( 嘞 注意到鬻= o ，有 “ 岛t2 导以，( 嚣一坼券) ( 诹一坼砒) 如 a 暑彘( 碡| f 器+ 九刻剐3 ，耳) 钒唠帆 1 3 g 丢 z m ，k g 圳。 ， 岛。2 聂正。( 嚣坼券) ( 诹一坼巩) 嘞如 s g 丢黼篙( 到器憾k + 弼| | 券憾) ( 圮l 卺嗑+ 蚓j 镑旧。) s g 蚤老嚣( 镌f | 器憾+ 刻皆旧k ) ，| | 话 g 丢k x m ，ks 咧u m 札 所以 由( 2 1 4 ) ，( 2 1 6 ) 及( 2 1 7 ) 得 于是由( 2 1 3 ) 得 在上式中令g = 得 引理得证 玛i c r h 川2 f | r h ( u ， h ) l 墨a u 1 2j | 砷。【h 如夕 h l c | j u i l 2 | | l i sc | | | g | | o lj 削 | j 下面我们给出差分误差的估计 引理2 4 2 令。= ( z ，t 。) ，则 ( “。+ 1 一札。，) + n h ( “。+ 1 ，现) “= ( ，n + l ，) “+ e 。( ) ，机噱1 ， 其中 蜀( s 州“”i l 筹憾d c ) + i f ”“l l 甓幡蚴 ( k ) 忡圳n + c 圳h 队 证由( 2 4 ) 得 ( 窑，) + n 咖，= ( ，+ 州刚n v 咯， 对( 22 0 ) 式两端关于t 。t 曼t 。+ 。积分，可得 ( “”一，+ n m ( 硼屯= ( ，妣+ “1n ( u ，) 批，r cj t 。j 。 由( 22 1 ) 和( 21 8 ) 知 1 4 ( 2 1 7 ) 掩 埘 加 虬 幢 幢 他 伦 鼠( ) = ( 盘+ 1 ( ，一 十1 ) 出，) 一o ( 廊+ 1 ( “一+ ，) d f ，) + 盘+ 1 n ( 札，) 出 于是利用c a u c h y 不等式和引理2 41 ，得 l ( j 嚣“( ，一厶+ ) 出，) ls 1j 拳“( ，厶+ ，) 出1 0 1j 毒”i 鬻f d 亡0 ( t 。) 1 | 1 f 。 = i 岛( 廊“i 譬) d 亡) 2 1 ( t 。) 1 1 sc 如i ，n ( 廊+ 1i 玺 2 出髓+ 11 2 班) 旧。 = c ( “) ( 盘+ 11 i 鬻惦出) 钏 由j r ( n ，) i c 九j 圳队，得 f 麝”n ( 乱，) 出f 墨a 忍m 廊“f u l 2 疵g ( 。) ( 眨“1i “旧出) 钏嘞sg 如j | 队 又由( “，口) 的有界性及引理2 4 1 ，得 j n ( j ；：；：y 1 心一“叶，) 出，) jsg f 髓”沁一“。+ ，) 以sg ( 。) ( 廖+ 1l 警惦出) 钏地 引理得证 我们先来证明下面一个非常重要的结论：讹日，( n ) ， 事实上，对于三角形单元，妒= o ，于是我们有 n ( 一“，妒) 2 若厶器( “一i i u ) 如一善& 妒一“) = o 显然n n 噔是“y 的一个有限元逼近解，我们可以得到v 口。( n ) ，有 礼f sc f 札1 2 ， l f u 礼l f osg 2 i 札1 2 ， ( 2 2 3 ) 事实上， f j 挈憾w = k ( 掣) 2 如由= 急屈( 业茅) 2 武咖sg 瑟f 赛e 膏 = g 鲁詹 ( 露) 2 + ( 翥) 2 j 矗咖：g 老戊 ( 韶) 2 聪+ ( 鑫) 2 醒 舶矗d z 咖 = c & ( 券) 2 ：+ ( 是茜) 2 ；j d z d g c r 2 f 札匡k 类似地， 因此 ! 生i 笋盟| 1 3 符sg 2 m 匡 “一训2 。嘉f “一n n c r 2 1 5 另外， 仳一兀“旧2 善k m 一扎) 2 d z 咖2 善佞( 矗一f i 矗) k ”d 咖 s g 蔷k 吲：膏e 4 i “巨结论成立 为书写方便，引入以下记号【s e o = o ， = t 破一。“。： h = 矗：一1 u 。 其中n 。按n 的定义 加= 0 ， 风= “。一n 。n = 1 ，2 ，一，( 2 2 4 ) 风= “。一n + l u 。，n = 1 ，2 ， 引理2 4 3v o o 1 ，成立如下估计 其中 ( 1 一。) 弘| ；+ ( 1 一n ) 。n ( 坼舭州) k 刮风一p 。肌口。， ( 2 2 5 ) c | ”1 川篙惦+ | | 鲁旧) 以( 2 + e f ”1j l 謇眶出+ c ， 2 。 ( 2 2 6 ) 证由( 2 2 4 ) 得 ( e n + 1 一毒t ) + n ( e n + 1 ，研。) t 。 = ( 。n + 1 一风，t 饥) + ( “：+ 1 一五：，) ( 乱。+ l 一“。，口 ) + n ( e ，叶1 ，t 饥) 如， 将( 2 7 ) 和( 2 1 8 ) 中的( “：+ 。一砩，) 和( “。+ 。一“刈惦) 代入上式，v 唆、 ( e n + 1 一占n ， ) + n ( e n + 1 ， ) t 。= ( p 。+ 1 一芦。 ) 一( ) ( 2 2 7 1 在( 2 2 7 ) 中，令呲= e 。得 ( e n + 1 一芭n ，e n + 1 ) + o h ( e n + 1 ，e 。+ 1 ) t 。= ( p 。+ 1 一声。e 。 1 ) 一( e 。+ 1 )( 22 8 ) 上式右端第一项可估计为 ( f k 1 一a z ，e n 1 ) sf 肼i + 1 一风0 | | e 。+ 1 i i osa l i p 。+ 1 一p 。0 f e 。+ 1 f sc 业号i 吾监+ j ( e 。+ ，+ 1 ) 如se 此堕上些生唑者 塑型! ! i ! 塾监+ j n h ( e 。+ l ，e 。+ 。) 1 r sg 九2 。皆+ j ( e 。+ 1 ，e 。+ 。) t 。g z 掣+ ；。 ( e 。+ 1 ，e 。+ 1 ) 。 茎a 九2 髓”l i 赘旧+ j n ( e 州，e 州) 。 再由( 2 1 9 ) ，( 2 2 8 ) 式中的第二项可估计为 i 玩( e 叶，) i g ( 廊+ 1l l 甏幅) ( t 。) 铀e 叶t + c ( 位+ 1l l 象旧) ( 如) e i e 。l 。+ g 九k | | e 。+ 。队 茎a ( 麝“l i 筹惦) ( k ) 2 + 击。i e ”l i + a ( 麝+ 1l l 裳旧) ( k ) 2 + 壶“i i e 。+ 。咤 + g 2 。+ 击如j l e 。+ l 恨 = c 廊+ 1 ( i i 筹惦+ i i 甓惦) ( t 。) 2 + ；n ( e 。+ ，+ 1 ) t 。+ g 2 t 。 将上述两项的估计代入( 2 2 8 ) 式，得 e n + l 惦一l 旧。惦+ n ( e 叶1 ，e 。+ ，) t 。冬，( 2 2 9 ) 其中f isa 应+ 1 ( | | 筹惦+ l i 甓旧) ( 如) 2 + g 2 盘+ 1j 窑旧+ g 2 t 。 又由( 2 7 ) 式，得 ( 二n e n ，u h ) = ( 卢。一p 。， ) ，坼机w 1 1 令蜥= 。代入上式，有 ( i n e n ，j 。) = ( 磊一“，i 。) ， vo “ l ，利用s c h 、v a r z 不等式，有 ；( a n | j ；一i l e 。f f j ) 曼号f | i 。| | j + 去i f 芦。一岛。f 1 3 这样由( 2 2 9 ) ，得 ( 1 一n ) l i e n + 1 l f 3 一| | | | 3 + ( 】一q ) n 九( e 。+ l ，e 。+ 1 ) t 。 ：lj p n 一耽帽+ ( 1 一。) s ：lj p 。一p 。旧+ 引理得证 引理2 4 4v l ，lsl 曼，则成立如下估计： 工 e 。肌三( e 州，nsg m ( m + 1 ) 。器，愉，= u ) ，一1 1 7 f 2 3 0 1 以 h 咖 + c 其中m 是网格变动的次数 证由引理2 43 叩n + t i f e 一惦一l i e n 惦+ + 1 n ( e 一，e 1 ) t 。si 二杀i i l 风一m 惦+ ， 其中当噱。一喈时，+ 。= 1 ；当k + 1 k 时，+ 。：l 一。 对上式左端乘以因子矗仇( s1 ) ，得 嚣仇t 肛鱼仇肛嚣慨( 坼郇州) 坯狮一m | | 3 + 目。 再对n 求和，得 。甄仇i e c i 屠+ 笺誊讯n n ( e 州岛+ t ) “三笺l l 氐一mj | i + 兰+ f 吾 由于e 0 = m 直吼= ( 1 一n ) 肘，则有 ( 1 一n ) “肛( 1 一n ) 蓦( e 州岛+ ，) 。s 吉蔓愉风| | ；+ 莹1 口。， 2 = u n = 0 。 ，l 三0 4 对上式两端同乘( 1 一n )，可得 慨j j j + 美( 钆舭州) k ( 1 一n ) n1 笺i i 磊一耽f | 3 + ( 1 一n ) 篡 注意到当n = 南时，a ( 1 一) m 取得最大值，这时 ( 五) ”= ( 1 + 击) ”se 、 从而 忙c | | j + 篡n 小州，e 州) k 曼e ( m + 1 ) 笺怕。一圳3 + e 笺 把! 美慨一p 。憾s m 。! 襞鬣。慨一肌惦代入上式右端，即可得证引理 下面的定理是本章的主要结果： 定理2 4 5 设( 2 5 ) 的解“和右端项，满足 赛l 2 ( o ，t ；h 2 ( n ) ) 和髻l 2 ( o ，丁；l 。( i 2 ) ) 1 8 则成立如下估计： 一1 。辫，嗽飞| | 3 + 薹。n ( u o ，扎 ! ：+ 广“州) t n c r 渺 2 + 1 ) 2 + 觇( 2 3 1 ) 其中m 是给定的有界量， t = 。 m 努一，k 证由e 。，陆的定义及三角不等式，得 和 “：一u 。j | j = lj e 。肌j | 3 兰l l | | 3 + l l 砌1 1 3 o h ( u ：+ 1 一“。+ 1 ，札：+ 1 一t h + 1 ) sc r ( n ( e 。+ 1 ，e 。+ 1 ) + o ( n 汁l ，p h + 1 ) ) 由引理244 得 。婪。懒一u n 旧+ i 戛n n ( t z t 一札州，“：+ 一- ) t 。 纠。臻。( 3 ) + a 篓( e n 十) 针c 篓。一( m t m ，) k 烈m ( m + 1 ) 。! 搿川驴圳+ 篓以) + “。嚣一， j + 篓a n ( 叭m 州) 鲺) 一4 1 + a 2 + 4 3 + a 4 其中a ，2 m ( m + 1 ) 。臻，f i 风一“惦，a 。= 笺，a 3 = 。器，i l 砌限 山= en h ( m 扎陆+ 1 ) t 。 n = u 由引理243 直接得到 4 。a 羔( 黜) + 饼硎黜+ 钾笺坯c ( t ) 。+ 饼 又 a 12 m ( m + 1 ) 。饕。f i “一m 惦= m ( m + 1 ) 。野一。l i “。一。“。一( n 。一h 。+ 。“。) 惦 m ( m + 1 ) c ，r 。搿1 忆n 旧s g m ( m + 1 ) 胪， a 一。爨髓。32 。爨一。一n 州n 惦c 胪。 n 糟，睢e 4 v 一1 一1 a 。磊( 叭t 帅) e f 帆胚c r 。 o 卿( f ) = 。q ：“( z ，t ) = o 记以为旷( t n ) 与n + ( 时z ) 的对称差，m ( 风) 表示d 。的三e 6 e 。9 。测度，我 们做如下假设【。】： 这表明，“从。变到正值的变化并不太快 3 误差估计 f 32 1 1 真解“( 。，) 和逼近解“( z ，t ) 的误差主要包含三个部分：对区域变量的有限 元方法的插值误差，对时间变量的差分误差以及网格变动误差 我们先来证明下面一个非常重要的结论 v 。h ，f q l o ( 札n 乱，妒) = o ， v 妒蹭 f 3 2 2 1 事实上，对于五节点单元，& ( “) = o ，对于三角形单元和p l 一非协调矩形 元，妒2o ，同时注意到厶耳一t c ) ：o ，于是我们有 “一w ) 。暑k 舞( “一蛐一善，a 妒( “一u ) = o 同第二章，为书写方便，引入下列记号【s 】： 2t 一n u n ， e 。= u 。一。趾。， 礼：o ，1 ， 魂= 磷一州m d 。= “。一蚪1 札。、 礼：o ，l ，一1 ，( 32 3 ) 2 + 2 ；( + l + 。n ) ，e 。+ = j ( e 。i + ，：) ，n ：o ，l ，一1 2 5 引理3 3 1 成立如下估计式： 鲰州曼淤：冀