（应用数学专业论文）一类广义凸性及其在最优化理论中的应用.pdf

摘要 本学位论文讨论了一类广义凸性及其相关的其它广义凸性类和它们在最优化理论中 的应用，共分三章 第一章指出了凸性的概念在最优化理论中的重要作用；简述了对凸性概念拓广的研 究历史及其在最优化理论中的应用进程；同时，表明丁本文所研究的广义凸性是迄今为止 最为广泛的一类广义凸性；论证了本文所用的条件及所提出的各种定义的合理性及意义 性由此，本文的许多结果涵盖了以往文献中的相关结果，具有一定的创新意义 在第二章中，本文对半预不变拟凸函数及其相关的其它广义凸函数的判定准则作了 较深入的研究，推广了以往文献中的相应结果，例如文献1 2 i ，1 8 l 中的一一些结果 第三章主要讨论了半预不变凸性在最优化理论中的应用，共分四节： 第3 1 节是关于最优性条件在此部分，本文提出了两个定义，即定义3 1 1 和定 义3 12 ，这些定义是以往相关定义的推广，且与之相比富有新意利用这两个定义，本节 讨论了半预不变凸规划( 包括单目标规划和多目标规划) 的f r i t z 1 0 h n 型最优性条件和 k u h n 一7 n l c k e r 型最优性条件，同时也考虑了此类规划的鞍点问题尤其要指出的是：本 节在建立k u h n 一i 、】c k e r 型最优性充分条件时，所用的条件较以往相关文献相比有了较大 程度上的减弱，而且，蕴涵在其中的想法具有一定的创新意义 第3 2 节讨论了半预不变凸规划的对偶问题，介绍了l a g r a n g e 对偶和混合型对偶， 并重点讨论了徐增坤教授提出的混合型对偶在半预不变凸性的假定下，分别证明了弱对 偶定理和强对偶定理 在定义3 1 2 的基础上，第3 3 节提出了一类所谓的半似变分不等式问题，这是变分 不等式问题的延拓并且讨论了半似变分不等式问题与最优化问题之间的若干关系在提 h ；此类问题和建立这些关系的过程中，所用到的想法与以往文献相比具有一定的新意 第3 4 节考虑了一类分式规划( f p ) ，分别讨论了与此类分式规划满足弱对偶关系的 两类问题( f d l ) 和( f d 2 ) 在半预不变凸性的假设下，证明了它们分别与( f p ) 之间所 存在的强对偶关系，并且讨论了它们的最优解的存在性及鞍点问题这些结果要么是以往 相关结果的推广，要么是新的 关键词半预不变凸函数，半预不变拟凸函数，方向极限，混合型对偶，半似变 分不等式问题 at y p eo fg e n e r a l i z e dc o n v e x i t ya n d a p p l i c a t i o n si no p t i m i z a t i o nt h e o r y z h a o y i n g x n e ( c o l l e g eo fm a t h e m a t i c sa n 1p h y s i c s ，z h e j i a n gn o r m a lu n i v e r s i t y a b s t r a c t t h i st h e s i s ，c o n s i s t i n go ft h r e ec h a p t e r s ，d i s c u s s e sat y p eo fg e n e r a ，l i z e dc o n v e x i t ya n do t h e rr e l a t e do n e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n si no p t i m i z a t i o nt h e o r y i nc h a p t e r1 ，ip o i n t , o u tt h ei m p o r t a n c eo fc o n v e x i t yc o n c e p ti no p t i m i z a t i o n t h e o r y ；a tt h es a m et i m e ，t h ep r o c e s so fi n v e s t i g a t i n g 0 ng e n e r a l i z e dc o n v e x i t ya n d t h ea p p l i c a t i o n si no p t i m i z a t i o nt h e o r yi s r e v i e w e d ；i na d d i t i o n ，ip r o v et h a tt h e g e n e r a l i z e dc o n v e x i t ys t u d i e di nt h i st h e s i si so n e o ft h em o s tg e n e r a l i z e dk i n d ss o f a r ；a l s oi n c l u d e di nt h i sc h a p t e ri sm y d e m o n s t r a t i o no ft h er a t i o n a ，l i t 3 , a n dt h e s i g n i f i c a n c eo f t h ec o n d i t i o n sa n t it i l ed e f i n i t i o n sp r o p o s e db yt h i st h e s i s t h e r e f m e ， m a n yc o n c l u s i o n si n c l u d e di n t h et h e s i sc o v e rt h ec o u n t e r p a r t sa p p e a r i n gi nt h e f o r m e rl i t e r a t u r ea n da r ec r e a t i v e i nc h a p t e r2 t h ec r i t e r i af o rs e m i p r e q n a s i i n v e xf u n c t i o n sa n do t h e rr e l a t e d t y p ef l m c t i o n sa r ec a r e f u l l yi n v e s t i g a t e d ，r e s p e c t i v e l y t h ec r i t e r i ag e n e r a l i z et h e c o u n t e r p a r t sa p p e a r i l l gi n t i l ef o r m e rl i t e r a t u r es u c ha ss o m ec o n c h l s i o n si nt i l e l i t e r a t u r e 2 】1 s 1 c h a p t e r3 ，c o n s i s t i n go f f o u rs e c t i o n s ，d i s c u s s e st h ea p p l i c a t i o n s o f s e m i p r e i n v e x p r o p e r t yt oo p t i m i z a t i o nt h e o r y s e c t i o n3 1d e a l sw i t ht h eo p t i m a l c o n d i t i o n si nt h i sp a r t ，t w of r e s hd e f i n i t i o n s d e f i n i t i o n 31 ，1a n dd e f i n i t i o n 3 12a r ei n t r o d u c e d a tt h es a m et i m e ，b ym e a n so f t h ea s s u m p t i o no fs e m i p r e i n v e xp r o p e r t y ，e m p l o y i n gt h e s et w od e f i n i t i o n s ，t h e f r i t zj o h nt y p eo p t i m a lc o n d i t i o i l sa n dt h ek u h n 3 h c k e rt y p eo p t i m a lc o n d i t i o n s f o rt h es i n g l e - o b j e c t i v ep r o g r a m m i n ga n dt h em u l t i - o b j e c t i v ep r o g r a m n l i n ga i e d e v e l o p e d ，r e s p e c t i v e l y a l s oi n c l u d e di nt h i sp a r ti st h es a d d l e p o i n tt h e o r yf o r t h eb o t ht y p e sp r o g r a m m i n g se s p e c i a l l y ，w h a t iw o u l dl i k et op r o p o s ei st h e c o n d i t i o n sn s e dt oc o n f i r mt h ek u h n t u c k e rt y p eo p t i m a ls u f f i c i e n t , c o i l ( t i t i o n s 2 a r em u c hw e a k e rt h a nt h ec o u n t e r p a r t sd oi nt l l ef o r n l e rl i t e r a t u r em o r e o v e l 1 ，h e t h o u g h ti m p l i e di nt h ep r o c e s si s c r e a l ，i v e t h ed u a lt h e mi e sf o rs e n t i p r e i n v e xp r o g r a m m i n ga r ep r e s e n t e d i ns e c t i o n 3 2 f h e r e i n ，ii n t r o d u c el a g r a n g et y p ed u a l i t ya n d ：n i x e dt y p ed u a l i t y t h et y p e t ow h i c hi p a ym o r ea t t e n t i o n i sm i x e do n ep r o p o s e df i r s t l yb yp r o f e s s o rx u z e n g k n nb ye m t ) l ( 1 y i n g t h ea s s u m p t i o no fs e m i p r e i i i v e xp r o p e r t y ，td e v e l o pt h e w e a kd u a lt h e o r ya n dt h es t r o n gd u a lt h e o r y b a s e do nt h ed e f i n i t i o n3 12 i ns e c t i o n33 at y p eo fp r o b l e mc a l l e ds e m i v a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t yp r o b l e mw h i c hg e n e r a l i z e st i l e v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y p i o b l e m i sp t o p o s e d m o r e o v e r ，s o m er e l a t i o n sb e t w e e nt h et y p ep r o b l e ma n dt h e o p t i m i z a t i o np r o b l e m a r ed i s c u s s e d t h et h o u g h tw h i c hc o n t r i t ) u e 8t ot h ec r e a t i o n o ft h ep r o b l e ma n dt h er e l a t i o n si sal i t t l ef r e s h s e c t i o n3 4c o n c e r n sa b o u ta t y p ef r a c t i o n a lp r o g r a m m i n g ( f p ) i n t h i sp a r t ，t w o t y p e sp r o g r a m m i n gp r o b l e m s ，n o t e d ( f d l ) a n d ( f d 2 ) ，r e s p e c t i v e l y ，b e t w e e nw h i c h a n dt h ep r o b l e m ( f p ) t b ew e a kd u a lr e l a t i o n sa r ef u l f i l l e d ，a r er e s p e c t i v e l yd i s c u s s e d u n d e rt h ec o n d i t i o no fs e m i - p r e i n v e x i t y ，t h es t r o n gd u a lt h e o r i e sb e t w e e n t l l e ma n dt h ep r o b l e m ( f p ) a r ev e r i f i e d ，r e s p e c t i v e l y m o r e o v e r ，a l s oi n c h n l e di nt h e d i s c u s s i o na r et h ee x i s t e n c eo ft h eo p t i m a ls o l u t i o na n dt h es a d d l e p o i n tt h e o r y c o n c e r n i n ga b o u tt h ep r o b l e m s ( f d l ) a n d ( f d 2 ) t h e s e r e s u l t se i t h e rg e n e r a l i z e t h ef o r m e rc o u n t e r p a r t so ri sf l e s h k e yw o r d s s e n t i p r e i n v e xf u n c t i o n ，s e m i p r e q u a s i i n v e xf u n c t i o n ，d i r e c t i o n a ll i m i t ，m i x e dt y p ed u a l i t y ，s e m i v a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t yp r o b l e m 3 第一章引言 1 1 研究背景及研究现状 由于具有丰富的实际意义和广泛的应用前景，最优化问题渐为人们所重视此问题 可简述为：在给定的条件下，求一目标函数的极值点由此可知，证明在某一给定条件下 目标函数是否存在极值点以及存在时如何求出极值点的问题便成了最优化理论的中心内 容而解决这一问题的主要手段有： ( i ) 探索目标函数的极值点存在的必要条件和充分条件这些条件为判断目标函数的 极值点存在与否以及研究极值点的算法提供了重要的理论依据； ( i i ) 探索最优化问题的对偶问题对偶问题的研究对最优性条件的揭示和最优化问题 的求解均有着重要的作用写出一个最优化问题 ( p )r a i n ，( z ) = ( 】! ，z x ( 其巾，= ! n i ，( z ) ，这与p 是否有最优解无关) 对偶理论的任务是! 给出某种系统 的方法，用以对给定的原问题p ，能够构造一个与之关联的对偶问题 ( d p )m a x f ( y ) = p ，y y ( 其中，p = s 1 1 i ) f ( y ) ，这与d p 是否有最优解无关) 使得在一定的条件下可以证明 y e 7 卢s ( 】j ( “弱对偶性”) 或卢= o ( “强对偶性”) 或其它更强的对偶理论这类结论使得对问题 p 和问题d p 的研究能相互转化，从而为求解提供更多的途径而不管是目标函数极值点 的必要条件、充分条件的研究，还是对偶理论的研究，凸性的概念在其中都起着重要的作 用，许多有意义的重要的结果大都建立在凸性概念的基础上的鉴于此，探索和研究n 性 概念的拓广( 从而使最优化理论中的许多结果适合于更多类型的问题) 成了最优化理论的 重要内容之一一由此，回顾一下此内容的研究应该是一件有意义的事从历史上看，对凸性 概念的研究主要有以下几个方面( 若没有特殊说明，以下总设x r “，( z ) ：x _ r ) 一对凸集的拓广一般凸集是这样定义的： 定义1 1 1 【1 1 称x 是一个凸集，若v z ，y x ，v 口e 【0 ，1 】，有：( 1 一o ) z + o y x 在此基础上，一些广义凸集的概念被提出诸如弧式连通集、近似凸集、不变凸集、 半连通集等为了阅读方便，在此写出与本文相关的几个定义 定义1 1 2 称x 是一个弧式连通集，若vz ，y x ，存在一个在f 0 ，1 i ：关于 0 的连续函数凰，( 目) ： 0 ，1 】ox ，使得i t = ，v ( o ) = z ，h ( 1 ) = y 5 定义1 1 3 2 】 给定函数r 扛，y ) ：r ”r “。月”，若vz ，y x ，v0 f 0 ，1 1 ， 有： y + 0 r ( x ，y ) x ，则称x 是一个关于r ( z ，y ) 的不变凸集 对于不变凸集，有两点想说明 ( i ) 任何一个集合都是关于函数r ( 石，y ) = 0 的不变凸集由此，为使我们的研究更 有意义，在本文中规定( 显然，这个规定是合理的) ：当称一个集合为不变f r 、集时，一个合 适的r ( z ，9 ) 应满足t ( x ，) 不恒等1 ：o ； ( i i ) 若x 为关于r ( z ，y ) 的不变凸集，则对v z ，y x ，存在。( 。，) = y + r ( z ，y ) x ， 使得y 与。( ) 的连线含于x 中，这是因为v0 0 ，1 】，y + 0 r ( x ，y ) = ( 1 0 ) y + o ( y + r ( z ，) ) 定义1 1 4 【3 1 给定函数7 _ ( z ，y ，0 ) ：r ”r “【0 ，1 - 4r “，若vz ，y x ，v0 【0 ，1 1 ，有：y + o r ( x ，y ，0 ) x ，则称x 是一个关于丁- ( z ，0 ) 的半连通集 本文的讨论主要涉及到的是如定义11 4 所定义的半连通集，容易看出若集x 是不 变凸集，则x 必是半连通集下面的例子表明了一个弧式连通集也必是一个半连通集 例1 1 1设x r 7 。是一个弧式连通集，即vx ，y x ，存在一个在 o ，1 】上关 于0 的连续函数日( 目) ：【0 ，1 】- x ，使得凰，”( o ) = z ，巩，( 1 ) = 如下作一个函 数t ( x ，y ，0 ) ：x x 【0 ，1 1 _ r ”， ，口、f 旦学，贯，x ，p ( o ，i i ； r 扛m 印2 y ，：，9 y 美蒜ji ，o ， ，f = 【j 容易验证相对于如上给定的7 - ( x ，y ，0 ) ，x 是半连通集 但若x 为半连通集，则x 不一定为不变凸集或弧式连通集，下面的例子表明了这 一点 例1 1 2 设 x = ( z l ，x 2 ) r 2 ：( z 1 ) 2 + ( x 2 ) 2 = 1 ，z 2 之0 ，z 2 1 对vz = ( x l ，。2 ) 义，y = ( y l ，y 2 ) x ，必存在a 0 ，7 r 】，卢 0 ，”j ，使得 z 1 = c o s n ，x 2 = s i n ，掣1 = ( 1 0 s _ 臼，讹= s i n p 。记h 。，( 日) = ( c o s ( ( 1 目) q + o z ) ，s i n ( ( 1 一口) o + p p ) ) ，如下作一个函数t ( x ，y ，0 ) ：x x 【0 ，1 】。r 2 ， 7 ( z ，y ，0 ) 生铲型，z l 一1 ，o ) ，y 1 一1 ，o ) ，0 ( o ，1 】 旦“0 衄，。1 ( o ，1 】，y 1 ( o ，1 】，0 ( o ，1 ； ( 乎，学) ，。1 f 一1 ，o ) ，y 1 ( o ，1 ，0 ( o ，1 ； ( 型此等业l 且，虹姒雩! ! 也) ，$ l ( o ，1 ，y 1 【一1 ，( ) ) ，0 ( o ，1 1 ； z ， vz ，y x ，0 = 0 6 可以验证相对于如上定义的f ( z ，口) ，x 为半连通集但由上面的关】：不变凸集的两点 说明可知x 必不是不变凸集且由于( 0 ，1 ) 毛x ，联系x 的几何形状可知x 也不是弧式 连通集我认为下面的两个关于半连通集的说明导致了个半连通集不一定是一个弧式 连通集这两点也是半连通集与弧式连通集显著区别的地方 ( i ) 在半连通集的定义中并没有要求事先给定的函数r ( z ，p ) 对给定的z ，y 关于口 的连续性，即对给定的z ，y ，路径+ o | r ( x ，y ，0 ) 可以不是连续的例如在例1 1 1 中所 构造的函数r ( z ，y ，p ) ，对于固定的x ，x ，y ，+ o t ( x ，y ，口) 在0 = 0 处就不是 连续的 ( i i ) 在半连通集的定义中，即便路径y + 6 t ( x ，y ，p ) 是连续的，但这条路径的一个端 点为，它的另一个端点为9 + r ( z ，1 ) ，即这条路径并不要求以z ，为其两个端点，这 也是与弧式连通集有着本质区别的地方 二对凸函数概念的拓广一般的【n i 函数的定义为： 定义1 1 5 设x 是一个凸集称，沁) 为x 上的凸函数，若对vz ，x ，vp 0 ，1 ，有： f ( o x + ( 1 一o ) y ) 目， ) + ( 1 一日) ，( ) 在此定义的基础上，为了减弱凸性的要求，许多广义凸函数类被定义诸如拟凸函 数，弧式凸函数，不变凸函数等光滑不变凸函数类首先由h a n s o n 9 】引入随后，与此 相关的预不变凸函数，预不变拟凸函数等广义凸函数出现在许多的文献中【2 ，4 ，为便r 阅读，在此写出相关定义 定义1 1 6 【1 】 设x 是一个凸集称f ( x ) 为x 上的拟凸函数，若对vz ，y x ，v 口【0 ，1 】，有： f ( o x + ( 1 一p ) y ) 5 ，( z ) ，( ) 定义1 1 7 1 1 】设x 是一个弧式连通集，即对vz ，y x ，存在一个在 0 ，1 】j ：关 于口的连续函数巩，”( p ) ：【0 ，1 _ x ，使得巩，。( o ) = y ，皿，( 1 ) = z 称，( ，：) 为x l 的弧式凸函数，若对vz ，y x ，vp 0 ，1 】，有， ，( 也，( p ) ) o f ( x ) + ( 1 一日) ，( ) 定义1 1 8 【4 】 给定函数r ( z ，) ：r “r ”_ r ”，设x 是一个关下7 ( z ，) 的不 变凸集称f ( x ) 为x _ l 关于t ( z ，y ) 的预不变凸函数，若对vz ，x ，vp 【0 ，1 】， 有： f ( u + o v ( x ，g ) ) o f ( x ) + ( 1 一o ) f ( y ) 7 定义1 1 9 【2 1 给定函数t ( z ，y ) ：r “r ”斗r ”，设x 是一个关rr ( z ，y ) 的不 变凸集称，( z ) 为x 上关于r ( z ，) 的预不变拟凸函数，若对vz ，x ，vp 0 ，1 ， 有， f ( y + 0 7 ( x ，) ) 茎 ，( z ) ，r ( ) ) 在此基础上，杨新民等1 3 球】引进了一类更广的广义凸函数类，即：半预不变凸函数， 半预不变拟凸函数，半预不变严格拟凸函数，半预不变强拟凸函数，其定义分别为： 定义1 1 1 0 1 4 1 给定函数r 扣，y ，口) ：且“咒” 0 ，1 】一只“，没x 屉一个 关于r ( ，y ，p ) 的半连通集称，( z ) 为x 上关于r ( z ，y ，口) 的半预不变凸喃数，若对 v z ，y x ，vp 0 ，1 ，有： f ( y + 8 t ( x ，y ，目) ) o f ( z ) + ( 1 p ) ，( ) 定义1 1 1 1 剐 给定函数r ( z ，y ，目) ：r ”r ”【0 ，1 】- - + r “，设x 是一个关 于了i ( z ，y ，口) 的半连通集称，扛) 为上关于t ( z ，y ，口) 的半预不变拟凸函数，若对 vz ，y x ，vp f 0 ，1 1 ，有： r ( y + 口r ( ，y ，口) ) m a x f ( x ) ，( ) j 定义1 1 1 2 【3 1 给定函数t ( z ，y ，p ) ：r “r “ 0 ，1 - r ”，设x 是一个关于 t ( x ，y ，0 ) 的半连通集称f ( x ) 为x 上关于r ( z ，y ，口) 的半预不变严格拟凸函数，若对 v x ，y x ，f ( x ) ，( ) ，v 目( 0 ，1 ) ，有： f ( y + 8 t ( x ，y ，p ) ) l n a x f ( x ) ，( ) ) 定义1 1 1 3 【3 】 给定函数r ( 。，0 ) ：r “r “【0 ，1 _ r “，设x 是一个关j ： t ( x ，y ，目) 的半连通集称f ( x ) 为x 上关于r ( z ，y ，口) 的半预不变强拟凸函数，若对 vz ，x ，z y ，v 日( 0 ，1 ) ，有： ，( + o ，- ( x ，口) ) m a x f ( x ) ，( ) ) 在本文中，主要考虑的是定义1 11 0 ，定义1 1 1 1 所定义的广义凸函数类蹦及与这 些广义凸函数类相关的问题 容易说明弧式凸函数和预不变拟凸( 预不变凸) 函数都隶属于半预不变拟凸( 半预不 变凸) 函数，而半预不变拟凸( 半预不变凸) 函数却不一定属于弧式凸函数或预不变拟凸 ( 预不变凸) 函数，这样的例子是容易找到的，以下就是一个说明半预不变拟凸函数的情 形的例子： 例1 1 3 设集合x ，函数r ( z ，y ，口) 分别为例1 12 中所定义的，( z ) = ( z 1 ) 2 _ ( t 2 ) 2 则容易验证，( ) 为x 上头rr ( m ，y ，口) 的半预不变拟凸函数，而r f l 前面的分析 8 易知f ( x ) 既不是x 上的弧式凸函数，也不可能是x 上关于某一不恒等】二0 的函数 t ( x ，y ) ：r 2 r 2jr n 的预不变拟凸函数 事实上，半预不变拟凸( 半预不变凸) 函数是一种相当广泛的广义i 码函数，若把定义 j 1 1 0 中的y + r y r ( z ，“) 记为。一个抽象函数o ( x ，n ) ：r ”月”【0 ，1 1 r ”，容 易看出此时o ( x ，矿，矗) 与+ ( = i = r ( _ ，。) 也有着非常密切的关系，这是因为对v “ ( 】，一0 ，秒，他) 可以写成y + o ( 些学) 的形式由此我认为：半预不变凸性是迄今为止 最为广泛的类广义凸性目前，关于半预不变凸性研究的文献很少。在此方面只有零星 的几个结论h 三对各种广义凸性的判别准则的研究随着各种广义凸性概念的提m ，谋求这些广 义凸性有效实用的判定准则已形成优化领域中的一个极其重要的方面甚至可以说，有了 这些判别准则的研究，就使得这些广义凸性概念的提 h 以及建立在这些广义凸性假定上 的优化理论显得更有意义 自从中点凸的连续函数就是凸函数的结论被提出以来，这个结论被许多学者改进， 经过若干学者的努力，得到了下面关于凸函数的比较好的结论 定理1 1 i f 5 j 避x 为一个n 集，f x ) 为x 上下半连续的函数若对vt ，y x ， 存在口( ) ( 0 ，1 ) ，使得 厂( p z + ( 1 一目) ) 目，( z ) + ( 1 一口) ，( 可) ， 则f ( x ) 是x 上的凸函数； 沿着凸函数判别准则的研究思路，各种广义凸函数判别准则的研究发展比较迅速 1 2 ，6 ，7 ，8 】 杨新民，刘三阳在文献 6 】中在下半连续条件下对拟凸函数证明了如f 的结果： 定理1 1 2 【6 l 设x 为非空凸集，( z ) 为x 上下半连续的函数若对vz ，x ， 存在a ( 0 ，1 ) ，使得 ，( a z + ( 1 一a ) ) sm a x f ( x ) ，( ) ) ， 则f ( x ) 是x 上的拟凸函数 r n m u k h e r j e e 等在文献【7 】中证明了如下的定理11 ，3 ，并利用这个结论对拟凸 函数得到了如下定理1 14 的结果 定理l 1 3 【7 】 设x 为凸集，对函数，扛) ，若存在a ( 0 ，1 ) ，使得对vz ，x ， 有： ，( a z + ( 1 一a ) ) h l a x ，( z ) ，( ) ) ， 9 则下面的集合a 在 0 ，1 中稠密， a = o 0 ，1 1 ：厂( “z + ( 1 一o ) 掣) m a x ，( z ) ，( 可) ) ，v 茁，y x ) 定理1 1 4 7 】设x 为开凸集，( 茁) 为又上上半连续的函数若存在a ( 0 ，1 ) ， 使得对vz ，x ，有： ，( a z + ( 一a ) v ) sm a x f ( x ) ，f ( y ) ) ， 则，( z ) 是x 上的拟凸函数 r n m u k h e r j e e 利用f o ，1 1 中的稠密子集a 研究拟凸函数判别准则的思路在广义 凸性判别准则的研究中起着重要的作用，x m y a n g 等在文献 2 】中把如上定理11 3 的结论推广到预不变拟凸性的情形为说明这一点，先介绍以往文献c 2 ，8 j 在研究预不变 拟凸性时对函数t ，) ，f ( x ) 常用的两个条件： c o n d i t i o n c 给定函数r ( x ，) ：r “r “一r “，称函数r ( z ，! ，) 满足c o n d i t i o n c ，若vz ，r “，v9 【0 ，】 ，有： r ( ，+ 9 r ( z ，) ) = 一o r ( x ，) i r ( z ，+ o r ( z ，) ) = ( 1 一目) r ( ，) c o n d i t i o n d 给定函数r ( z ，y ) ：r ”r 4 - 5r ”，设x 为关f ：t ( x ，y ) 的不变 集称，( z ) 满足c o n ( ( ) 。，i = 1 ，他； r ? = z r “：z 0 ) 1 5 第二章关于广义凸性的判定准则 鉴于最优化理论的许多有意义的重要结果大都建立在凸性和某些广义凸性的假定上， 谋求这些凸性和广义凸性的判定准则就显得尤为重要r 。甚至可以说，有了这些凸性捌广 义凸性的判定准则的研究，就使得建立在这些假定上的最优化结果晁得更加的有意义 本章研究的主要是关于半预不变拟凸函数的判定准则在本章中，若没有特殊说明， 总是设r ( 。，y ，0 ) ：r ”r “【0 ，i _ r 4 ，是事先给定的函数，x r ”，为关于 r ( t ，y ，0 ) 的半连通集，( j ：) ：x 甘r 首先给出函数r ( m ，y ，p ) ，( r ) 的几个条件，本章给出的半预不变拟凸甬数的判定准 则总是建立在这些条件的某几个上的，对于这些条件的合理性和意义性，本文在引言部分 已充分的讨论过( 参见引言部分) c o n d i t i o n a l 称r ( z ，y ，0 ) 满足c o n d i t i o n a l ，若vx ，y x ，vo t ，0 2 0 ，1 】 设z 1 = y + 0 1 r ( z ，y ，0 1 ) ，z 2 = y + 0 2 v ( z ，y ，p 2 ) ，有： z 14 - o i t ( z 2 ，z i ，o ) ：d f 0 ，1 ) = + 8 t ( z ，y ，0 ) ：0 位于口t 与0 2 之间( 包括端点) ) c o n d i t i o n a 2 称7 _ ( z ，0 ) 满足c o n d i t i o n a 2 ，若vz ，x ，v0 0 ，1 ，设 o = y + o v ( z ，y ，0 ) ，有： z + 下( 嚣，。，n ) ：n 0 ，1 1 ) = y + 口r ( z ，y ，0 ) ：0 咿，1 】) c o n d i t i o n a 3 没x 为关于r ( z ，y ，0 ) 的半连通集，称f ( x ) 满足c o n d i t , i o n a 3 ， 若v ，y x ，有： f ( y + 7 ( $ ，y ，1 ) ) 茎，( z ) c o n d i t i o n a 4 称r ( z ，0 ) 满足c o n d i t i o n a 4 ，若对任意给定的z ，x ，有： 5 i 。m o o r ( x ，y ，口) = 0 c o n d i t i o n b l 称t ( x ，y ，0 ) 满足c o n d i t i o n b l ，若vz ，”x ，v ，0 1 ，0 2 0 ，l j l 令2 1 = y + 0 1 r ( z ，y ，0 1 ) ，z 2 = y + 0 2 t ( z ，y ，0 2 ) ，有： y + ( ( 1 一) 口1 + “口2 ) 下( g ，可，( 1 一o ) 曰1 + 0 = 口2 ) = z l + f f g t ( z 2 ，2 l ，n ) c o n d i t i o n b 2 称t ( z ，0 ) 满足c o n d i t i o n b 2 ，若vr ，y x ，vn ，0 0 1 ， 令z = ”+ 6 r ( x ，y ，0 ) ，有： - 4 - ( ( 1 一弛) 日+ n ) 丁( z ，可，( 1 一n ) 目+ o ) = 2 + a t ( x ，。，( ) 注1 当f 扛，y ，0 ) = 7 - ( z ，y ) 时，r ( z ，y ) 满足c o n d i t i o n c 意味着f ( m ，y ) 满足 c o n d i t , i o n b l ，c o n d i t i o n b 2 ，具体推理见引言部分定理1 2 1 ， 1 6 2 当r ( z ，y ，0 ) 满足c o n d i t i o n b l ，c o n d i t i o n b 2 时，t ( z ，y ，0 ) 满足c o n d i t i o n a l ，c o n d i t i o n a 2 ，这一点是显然的 为了阅读的方便，下面重述在引言中提及过的几个定义： 定义2 1 1 【3 】给定函数r ( x ，y ，口) ，设x 是一个关于t ( z ，y ，0 ) 的半连通集稚 ，( z ) 为x 上关于7 - ( 茁，y ，0 ) 的半预不变拟凸函数，若对vx ，y x ，v0 【0 ，1 1 有： f ( v + o t ( x ，y ，目) ) m a x f ( z ) ，( ”) ) 定义2 1 2 【3 】给定函数t ( x ，y ，设x 是一个关于r ( g ，y ，0 ) 的半连通集称，( z ) 为x 上关于r ( z ，y ，0 ) 的半预不变严格拟凸函数，若对vz ，y 义，f ( x ) ，( ) ，v 口 ( 0 ，1 ) 有： f ( y + o r ( x ，y ，口) ) m a x f ( x ) ，( ) ) 定义2 1 3 1 3 】给定函数t ( x ，y ，日) ，设x 是一个关于r ( z ，y ，0 ) 的半连通集称，( z ) 为x 上关于r ( z ，y ，0 ) 的半预不变强拟凸函数，若对vz ，y x ，z y ，v0 ( 0 ，1 ) 有： f ( y + o t ( x ，y ，p ) ) m a x f ( x ) ，( ) 下面给 n 本章的主要结果： 定理2 1 1设t ( x ，0 ) 满足c o n d i t i o n b l ，f ( x ) 满足c o n d i t i o n a 3 若存在 n ( 0 ，1 ) ，使得对v3 3 ，y x ， f ( y + o r ( z ，y ，“) ) m a x f ( x ) ，( 9 ) ) ( 3 ) 则下面的集合a 在 0 ，1 中稠密 a = a 0 ，1 1 ：f ( y + i r ( z ，y ，a ) ) m a x f ( x ) ，( ) ，vz ，y x ) 证用反证法若不然，由c o n d i t i o n a 3 知0 ，1 a 由此及假设知必存在 a o ( 0 ，1 ) 和a o 的一个领域( a o ) ，使得 ( a o ) n a = 口( 4 ) 又由0 ，l a 知： a a ：a a o 口， a a ：a 曼a o ) 口 令 a l = i n f a a ：a a o ， 1 7 a 2 = s u p a a ：asa o 由( 4 ) 知：0 a 2 a 1 1 既然i l l a x ( 1 ，1 一o ) ( 0 ，1 ) ，我们总可以取得 l ，t 2 a ，乱l a i ? t 2sa 2 ，使得 ( m a x o ，1 一) ) ( 1 一“2 ) a l a 2 令五= 删1 + ( 1 一a ) “2 ，则页( 札2 ，1 ) 对vz ，y x ，令 z 1 = + t t l t ( x ，y ，u 1 ) ， z 2 = y + z t 2 t ( x ，y ，u 2 ) 由c o n d i t i o n b l 知l ： + a 下( ：f ，y ，a ) = z 2 + 佃r ( 2 i ，z 2 ，n ) 南此： ，( g + a t ( x 、y ，a ) ) = ，( 现+ n r ( 饥，2 2 ，o ) ) 茎m a x f ( z , ) ，f ( z 2 ) ) sm a x m a x f ( x ) ，( ) ) ，m a x f ( x ) ，( ) ) ) = m a x f ( x ) ，( ) ) 由此知i a ( i ) 若a a o ，则由( 5 ) 式有： a 一“2 = ( “1 一2 ) a l a 2 ， 从而，a m a x 厂( z ) ，f ( y ) ) 1 8 显然，面( 0 ，1 )