（计算数学专业论文）各向异性元的收敛性与误差估计问题的研究.pdf

摘要 本文主要研究了各向异性网格下粘弹性方程和抛物型积分微分 方程的收敛性问题以及各向异性网格下变系数抛物型方程变网格有 限元法的误差阶估计问题，全文共由六章组成： 第一章主要对各向异性有限元的研究现状进行了概述，并将本文 所做的工作进行了简单介绍。 第二章主要介绍了后面几章所用到的基础知识 第三章讨论了粘弹性方程各向异性非协调元的收敛性分析。首先 应用易于操作的各向异性插值定理求出插值的厶模误差估计，然后讨 论并得到了粘弹性方程有限元解的误差估计和超逼近性质，同时在超 逼近的基础上，最后利用多项式检验的方法得到了粘弹性方程在单元 中心点的点态超收敛结果。 第四章讨论了抛物型积分微分方程的各向异性三维线性元的收 敛性分析。首先采用一种新的简便的方法一双线性引理的方法，证 明了各向异性网格下积分恒等式成立，利用b r a m b l e h i l b e r t 引理求出 了插值的厶模误差估计。然后讨论并得到了与传统有限元网格剖分下 相同的超逼近性质和整体超收敛结果。同时在超逼近的基础上，最后 利用多项式检验的方法得到了三维线性元单元中心点的点态超收敛 结果。 第五章讨论了变系数抛物型方程各向异性变网格有限元法的误 差阶估计。首先在各向异性网格下证明了椭圆投影的性质，然后利用 此性质求出了各向异性协调元的能量模和厶模误差估计式，分析并得 到了最优能量模和厶模误差估计。 第六章对本文所做的工作进行了总结，并对各向异性有限元领域 进一步发展状况进行了展望。 关键词各向异性，非协调元，协调元，超逼近，整体超收敛，中心点， 粘弹性方程，误差估计，抛物型积分微分方程，变网格，抛物型方程 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ep r o b l e m so fa n i s o t r o p i cf i n i t ee l e m e n t s c o n v e r g e n c eo fv i c o e l a s t i ce q u a t i o na n dp a r a b o l i ci n t e g r o d i f f e r e n t i a l e q u a t i o na n dt h ee r r o re s t i m a t e so fv a r i a b l ec o e 街c i e n tp a r a b o l i ce q u a t i o n w i t h a n i s o t r o p i cm o v i n g 鲥d sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sm a i n l y i ti s c o m p o s e do fs i xc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，i ti ss u m m a r i z e da b o u tt h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n d t h ep r e s e n tp r o g r e s so f a n i s o t r o p i cf i n i t ee l e m e n t s a tt h es a m et i m e ，t h e m a i nw o r ko ft h ep a p e ri sc o n c l u d e d i nc h a p t e r2 ，t h eb a s i ck n o w l e d g ei si n t r o d u c e d ，w h i c hc a nb eu s e d i nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h e c o n v e r g e n c eo fv i c o e l a s t i ce q u a t i o n w i t ha n i s o t r o p i cn o n c o n f o r m i n ge l e m e n t w eg e t m e 厶e r r o re s t i m a t e u s i n gt h ea n i s o t r o p i ci n t e r p o l a t i o nt h e o r e m , t h ee r r o re s t i m a t e so ft h e f i n i t ee l e m e n ts o l u t i o na n ds u p e r c l o s ep r o p e r t yo fv i c o e l a s t i c e q u a t i o n a l s ow eg e tt h es u p e r c o n v e r g e n c er e s u l to nt h ec e n t r a lp o i n to fe l e m e n t o fv i c o e l a s t i ce q u a t i o nu s i n gt h ep o l y n o m i a lt e s tm e t h o d i n c h a p t e r4 ，w e d i s c u s st h e c o n v e r g e n c e o f p a r a b o l i c i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t ha n i s o t r o p i ct r i p l ed i m e n s i o n1 i n e a r e l e m e n t f i r s t l y , w ep r o v et h ei n t e g r a li n e q u a l i t yo ft h ea n i s o t r o p i cg r i d s w i t han e ws i m l p l em e t h o d - - b i l i n e a rl e m m a ，a n dw eg e t 厶e r r o r e s t i m a t ew i t hb r a m b l e h i l b e r tl e m m a t h ee r r o re s t i m a t e so ft h ef i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n ，s u p e r c l o s ep r o p e r t ya n dg l o b a ls u p e r c o n v e r g e n c e p r o p e r t yo fp a r a b o l i ci n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o na r ed i s c u s s e da n d d e r i v e d a tt h es a m et i m ew eg e tt h es u p e r c o n v e r g e n c er e s u l to nt h e c e n t r a lp o i n to fe l e m e n to fp a r a b o l i ci n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o nu s i n g t h ep o l y n o m i a lt e s tm e t h o d i nc h a p t e r5 ，w ed i s c u s st h ee r r o re s t i m a t e so fv a r i a b l ec o e f f i c i e n t p a r a b o l i ce q u a t i o nw i t ha n i s o t r o p i cm o v i n gg d d s f i r s t l y , t h ep r o p e r t yo f e l l i p t i cp r o j e c t i o ni sp r o v e do nt h ea n i s o t r o p i c 酊d s w eg e tt h ee r r o r e s t i m a t e sf o r m u l ao ft h ee n e r g yn o r ma n d 厶一n o r m ，a n dt h eo p t i m a l e n e r g yn o r ma n d 厶一n o r me r r o re s t i m a t e sa r ed e r i v e d i nc h a p t e r6 ，a l lt h ew o r ko ft h i st h e s i si ss u m m a r i z e d a n d t h e f u t h e rw o r ko ft h ea n i s o t r o p i cf i n i t ee l e m e n ti sg i v e n i i k e yw o r d sa n i s o t r o p i c ，n o n c o n f o r m i n g ，c o n f o r m i n g ，s u p e r c l o s e ， g l o b a ls u p e r c o n v e r g e n c e ，c e n t r a lp o i n t ，v i c o e l a s t i c e q u a t i o n , a r o r e s t i m a t e ，p a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，m o v i n g 西d ，p a r a b o l i c e q u a t i o n i i i 学位论文原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名：盛翌盎日期：型丑年 j , e l $ e i 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 硕士学位论文第一章绪论 1 1 经典有限元概述 第一章绪论 抛物型方程，双曲型方程等都属于偏微分方程，求解偏微分方程的数值方法 有很多，包括有限差分法、有限元法、有限体积法和广义差分法等。 差分方法是一种古老的方法，它是计算机数值模拟最早采用的方法，早在 1 9 2 8 年，c o u r a n t 、f f i e d r i c h s 和l 州在论数学物理中的偏微分方程差分方法 一文中就做过较深入的讨论。自从电子计算机问世后，差分方法的研究和应 用迅速地发展了，近几十年来新的思想和算法仍不断出现，就目前的研究和应用 现状看，差分方法是普遍实用的，它主要适用于有结构网格，网格的步长一般根 据实际情况和柯朗稳定条件来决定。 广义差分法( g d m ) 是由李荣华在上世纪7 0 年代末提出的，已建立了相当系 统完整的理论。一次元就是国内外文献所称的有限体积法( f v m ) ，又称为控制体 积法。这类方法适合非结构网格，因为它保持了物理量的局部守恒性，所以此方 法是目前计算流体中很流行的一种数值方法。但是有限元法的研究和应用更加实 用和广泛，所以深受国内外学者的喜爱。 有限元法是求解偏微分方程数值解的一种重要方法，它在数学上属于变分方 法的范畴，是古典变分方法( r i t z o a l e r k i n ) 与分片多项式插值相结合的产物。这 种结合不仅使有限元方法保持了原有变分方法的优点，而且还兼有差分方法的灵 活性，使古典变分方法的不足之处得到了充分地弥补。因此有限元方法是古典变 分方法的革新和发展，这种革新和发展是实质性的，使古典变分方法大大向前推 进了一步。其离散化思想最早由r c o u r a n t 于1 9 4 3 年首先提出，最早用有限元法 处理偏微分方程近似解。到了5 0 年代中期，随着电子计算机的迅速发展，有限元 法取得了巨大的进展。国内最早研究有限元法的是冯康先生，他的成果当时处于 世界先进行列。到了6 0 年代初，有限元法开始广泛应用于船舶等一般机械巨型建 筑和水利设施( 如大坝桥梁) 的设计。国内外几乎同时在不同实践的基础上，用有 限元方法来解决工程和力学问题，并给出了收敛性分析和误差估计。在数值求解 各种实际问题方面表现出极大的优越性和生命力，有限元方法的应用研究很快就 进入了黄金时代，后来更多的数学家对此方法作了深入研究，终于再清了有限元 方法是逼近论、微分方程和泛函分析等的巧妙结合，并对该方法的理论进行了全 面透彻地研究。近年来，又被用于解决流体力学、电磁场等非应力分析问题，并 取得了很好的成果。有限元法又包括时空有限元法、自适应有限元法、混合元法 和变网格有限元法等。 硕士学位论文 第一章绪论 有限元方法也是科学和工程计算中最重要的方法之一，其超收敛性是提高精 度和解决高维问题的有效途径，而后估计是研究求解后如何估计其真实的误差， 两者均具有重要的理论和实际应用意义。超收敛的发现及其应用，是有限元研究 的重要进展之一。国外从1 9 7 2 年开始超收敛研究1 9 9 5 年，国际超收敛研究取得 了新进展，美国学者b a b u s k a 教授提出了计算机搜索方法，w a h l h i n 教授提出了局 部对称理论。但这两种理论都依赖于二阶椭圆方程的内估计，其结果只在区域内 部有效，故实用受到限制。1 9 9 1 年，陈传淼提出正交性修正新思想，并解决了许 多难题，取得了一批令人振奋的新成果，并逐步完善，建立了独具特色的超收敛 理论方法体系，它以“单元正交分析法与四大法则为中心内容，在简明统一算 法、高精度计算多种问题、多数结果直到边界有效等方面，都是国外方法所不能 解决的。 1 2 问题的提出 然而，上述经典的有限元理论都是建立在单元剖分的正则性条件或拟一致假 设的基础上的，即要求剖分满足正则性条件或拟一致假设条件等。随着有限元方 法研究的日益深入和应用范围的不断扩大，正则性条件已经成为有限元应用的制 约因素。一方面，许多实际问题的解可能会在边界层或区域的拐角处呈现各向异 性特征，即真解仅仅沿某一方向变化剧烈。此时，标准的有限元方法会失去原有 的精度。另一方面，在实际应用中，如复合材料和转子间隙问题等若采用正则性 网格，计算量很大，无法承受。有些椭圆边值问题的解具有各向异性特征，即沿 某个方向解变化非常剧烈，而沿另外方向解变化平缓。例如：奇异摄动问题，对 流扩散问题等( 其解出现边界层) ，而且它也是某些有限元软件的规定。因此，从 理论分析和实际应用的观点来说，传统有限元分析中对网格剖分的正则性假设和 拟一致假设等是有限元方法的一个很大的限制。在这种情况下，一个明显能够反 映这种解的各向异性特征和克服上述限制的思想就是采用各向异性剖分。所以解 决此问题的有效方法之一就是采用各向异性单元，即对于各向异性单元k ，可以 允许( h a p d 专，当h 专o , h = m a x k ，此比值可以很大，甚至趋于无穷，其 中h ，是k 的直径，p ，是含于k 内最大球直径，而传统的有限元方法，则要求 ( i i l ，肋，) c ，其中c 是与单元k 及剖分无关的常数。因此，各向异性有限元的研 究成为当前有限元方法研究的热点，亮点之一，深受国内外学者的关注，成为当 前有限元领域关注的焦点。 1 3 各向异性有限元概述 最近，关于此方面的研究有很多，国外学者a p e lt 于1 9 9 2 年首先提出各向异 2 硕士学位论文第一章绪论 性有限元的研究【1 4 】，他在其论著 s l q 了对各向异性元的基础理论做了较系统的 总结，并给出了一个判别单元是否具有各向异性特征的定理，但由于其理论的局 限性，主要集中用于二阶问题l a g r a n g e 元的插值误差估计研究，也主要用于对协 调元的判别。但国内研究的还不是很多，近几年来，石东洋教授和陈绍春教授对 a p e lt 等人的结果进行改进，给出了一个更易操作的判别单元是否具有各向异性 特征的方法【6 】，开创了各向异性单元研究的新局面，特别是非协调元 7 1 2 】。利 用各向异性插值定理已经证明了许多常见的单元都具有各向异性特征，例如：双 线性元、c a r e y 元、w i l n 元【7 】和用于板问题的a 蛳元【9 】等，但并不是所有的在 正则性剖分下研究的单元都具有各向异性特征，例如非协调m o r e y = 角形元就不 具有各向异性特征，但作者在文【1 3 】中通过对此单元进行改进，使其具有各向异 性特征，进而就可以在研究板问题时进行任意的网格剖分，从而摆脱了正则性剖 分的限制，使得剖分更加灵活和自由。但是在各向异性网格下，传统的有限元分 析方法不能直接使用，通常的s o b o l c v 空间插值理论已不再适用( 【5 】中曾给出一个 反例) 。特别是对于非协调元来说，其传统边界估计技巧也不再适用，因为此时 对单元的长边，其误差估计中出现的i f g i 项将会趋于无穷大，所以加大了对非 协调元相容误差估计部分研究的难度。这就成为对广大研究者的一大挑战。目前， 各向异性有限元主要集中于对收敛性分析 1 4 - 1 9 1 、特征值问题【2 0 2 2 、混合元法 2 3 2 5 1 和变网格法 2 6 ，2 7 等问题的研究。 ，。 大家知道，收敛性分析是有限元误差估计中的一部分，也是其它理论分析的 基础环节，所以研究它具有重要的理论意义和应用价值。收敛性分析包括有限元 解的误差估计分析、超逼近性质分析和整体超收敛性分析等。林群院士在其论著 2 8 q 了对超收敛性分析做了较系统完整的论述和总结，但遗憾的是这些问题都是 在正则性网格剖分下研究的。所以最近出现了各向异性网格剖分的收敛性分析的 研究 1 4 q 9 。很庆幸的是有些单元在各向异性网格剖分下和在正则性网格剖分下 具有相同的收敛性结果。变网格有限元法是从上个世纪六七十年代开始研究的比 较多的有限元方法之一【2 9 3 3 】。但它也都是在正则性网格剖分下研究的。所以最 近出现了把变网格技术与各向异性网格剖分相结合的有限元法的研究，如文 2 6 2 7 ，等等。这些研究结果表明：正则性网格剖分并不是有限元分析中的必要条件， 我们可以采用各向异性网格剖分摆脱正则性剖分的限制，来满足实际问题的需 要。 总之，各向异性有限元的研究使得有限元领域的研究和应用更上了一大台 阶，扩大了有限元的理论和应用范围。但是作为有限元领域的一个前言分支，目 前主要集中于理论方面的研究，而且还不够成熟，所以仍有待于迸一步的发展和 完善，它的应用更有待于进一步的研究和推广。 3 硕士学位论文 第一章绪论 1 4 本文的主要工作 本文在第三章讨论了粘弹性方程各向异性非协调元的收敛性分析。首先应用 易于操作的各向异性插值定理求出插值的厶模误差估计，然后讨论了粘弹性方 程有限元解的误差估计和超逼近性质，同时在超逼近的基础上，最后利用多项式 检验的方法得到了粘弹性方程在单元中心点的点态超收敛结果。 第四章讨论了抛物型积分微分方程的各向异性三维线性元( 协调元) 的收敛 性分析。首先采用一种新的简便的方法一双线性引理的方法证明了各向异性网 格下积分恒等式成立，利用b r a m b l e - h i l b e r t 引理求出了插值的厶模误差估计 然后讨论了抛物型积分微分方程有限元解的误差估计和超逼近性质，在此基础上 利用插值后处理技术得到了整体超收敛性质。得到了与传统有限元网格剖分下相 同的超逼近和整体超收敛结果，同时在超逼近的基础上，最后利用多项式检验的 方法得到了三维线性元单元中心点的点态超收敛结果。 第五章讨论了变系数抛物型方程各向异性变网格有限元法的误差估计。文中 定义了椭圆投影，它在文中的误差估计分析中起着重要作用，由于在各向异性网 格剖分下其性质与正则性剖分下性质有所不同，所以首先证明了在各向异性网格 剖分下椭圆投影的性质，然后利用此性质求出了在此情况下的协调元的能量模和 厶模误差估计式，分析并得到了最优能量模和厶模误差估计。 4 硕士学位论文第二章预备知识 第二章预备知识 弟一早坝亩划伏 有限元方法是求解数学物理问题中的重要数值方法，能用这种方法求解的问 题呈多样性，诸如二阶椭圆问题，四阶椭圆问题，抛物问题，双曲问题以及粘弹 性问题等等。有限元方法实施以前要有理论保障，有限元空间的构造，空间插值 逼近的估计，偏微分方程正则性理论以及泛函分析理论都是该方法能够实现的前 提。 2 1s o b o l c v 空间中的一些基本定理和概念 2 1 1 基本定理 1 各向异性插值基本定理l o j 设霞是参考单元，户是詹上的一个维数为m 的多项式空间，称为形函数空 间，户是户的共轭空间， 多。，a ，丸 c 户和 赋，见，机) c p 是户和户的一 对共轭基，满足赋( 岛) = 岛，l l ，同时弓( 启) c 6 口p , l s 一1 则存在常数c ( 露) ，v 蠡日陋陋1 ( 霞) ，有 陬五一础j c ( 启) 陋i ，+ 1 t ，o t 0 ，使得剖 分加密时，m a x h , l p , ) o r 设f i u 是“的分片插值多项式，它在西上有z 一1 阶连续导数，在q 上有，阶 分片导数，而且在每一个单元q 上插值算子对k 次多项式只是准确的，即 n 只= 只，那么 l n 甜一“i ， c h “卜5u 川，其中o s m i n ( k + 1 ，) ，常数c 与五和“都无关。 3 b r a m b l e - h i l b e r t 引理 硕士学位论文 第二章预备知识 令q 为具有l i p s c h i t z 诌f ：续边界条件的彤中的开子集，设厂为空间形州p ( 卿 上的连续线性泛函，具有性质f ( p ) = o , v p 丑，则存在一个常数c f f ic ( q ) ，使得 l s ) lsd s l l ；q ，ql 叫m 。p 皿，其中l | i i ；“。，p w + l p ( q ) 共轭空间的范数，而丑表示全 体k 次多项式 4 b r a m b l e - h i l b e r t 引理推广形式 在q 具l i p s c h i t z 边界条件下，如q ( v ) 为形“1 ，( 哟上的连续半范，满足 g ( p ) = 0 ，坳( q ) ，那么存在与g 有关的常数c ，使 l g ( 训c 乩+ l ，q ，v ，e 降t k + l p ( q ) 5 双线性引理 令q 为具有l i p s c h i t z 连续边界的f 中的开子集，假设b 是w k + l , p ( q ) 矿上 的连续双线性形式，w 满足：曰( q ) cw c w “切( 锄，如果： 跏足( q ) ，v w ew ，b ( p ，叻= 0 v 1 ，w k + l , p ( q ) ，v q 毋( q ) ，6 ( ，q ) = 0 则存在一个常数c = c ( n ) ，使得： v ve w k + i p ( q ) ，v w 矿，i 跃v , w ) l - d b l ll v l 删，qi 叫，q 其中l i b l l 是双线性形式6 在厶( 形k + l , p ( q ) 矿；尺) 中的范数。 6 迹定理 设有界区域qcr “具有m 阶光滑的边界，“日“( q ) 。则存在与“无关的常 数c ，使得：0 乃“i i o 铀c p 。，v u e h ”( q ) ，o 0 ，a , b 0 ，下述不等式成立，a b 0 ， 一生 “占) ：鲤上，! + ! ：1 qpq 2 g r o n w a i l 不等式 设j ，( f ) 于【o ，d 上连续并满足y ( f ) s + f a ( f ) y ( f ) 打，其中五( f ) o ，a ( f ) e ( o ，乃，则 y ( t ) _ - y oe x p ( j ：a , ( r ) 打) 3 h 0 l d e r 不等式 设1 p ，g 为一对共轭指数，即一1 + 一1 ：1 ，且厂口( q ) ，ge 口( q ) ，则 pq i 厂( 曲g o ) 4 - 记启为孝一刁平面上的参考元，四顶点坐标依次为反( 一1 ，一1 ) ，a 2 ( 1 ，一1 ) ，幺( 1 ，1 ) 和 幺( 一1 ，1 ) ，四条边分别为j ：= 丽，= 丽，= 丽，= a 一4 a l 在霞上构造有限元( 露，a 宝) 如下： 硕士学位论文 第三章粘弹性方程各向异性非协调元的收敛性分析 = ( q ，也，也，以，也) ，p = s p a n 1 s p a n l l ，孝，刁，伊( 孝) ，妒仞) 己2 【h ，吃，嵋，屹，j ，尸2 ，亏，刁，伊峙) ，妒仰 舯砖2 扑绯乩2 a 4 。小呦州归尹i 叫 则k 与其参考单元启之间存在一个仿射变换疋：k - k ，定义为： l x = x x “占 【y = y x + 如吁 刁。 l 序 l 毛 序 吻 厶乞 1o 1 ； a 1 1 乞 则插值函数疗参可表示成： n 帚= 也+ 三心一或堵+ 三心一e ) 刁+ 三 + 也一2 也) 伊停) + 圭( 色+ e 一2 也砌仞) 且满足。南，i 觚2 南l 汹叁纵f 乩2 a 4 ，冈1 ，圣鼢孝却2 南l 雠却叁也 定义插值算子n ：日：( q ) 专k 如下：v y 日2 ( q ) ，i 1 k = h x ，l - i 置，= ( a 句。乓1 相应的非协调有限元空间圪定义为： 圪= “l 或= 屹i 茁。最p , v k 以， 】西= o ，c 觚) 这里h 】表示跨过边晃f 的跳度，当f c 勰时，h 】= 吒 由各向异性插值定理易得： 引理3 1 插值算子n 具有各向异性特征，即对多重指标口= 他。，a 2 ) ，当川= 1 时，则有： j i d 口( 参一f 1 d 0 。圣c i d 口叫。，启，v 参h 2 ( 启) 1 2 硕士学位论文 第三章粘弹性方程各向异性非协调元的收敛性分析 3 3 收敛性分析 f 一咋一a u = u = 0 【u ( x ，o ) = 吠四，吩( x ，o ) = 彩( x ) ， i n f 2 x ( 0 ，明 o n o q x ( 0 ，刀 ( 3 1 ) 伽q 其相应的变分问题为：求u 联( q ) ，使得： ( ，y ) + 口( ，吵) + 口( “，y ) = ( 垒y ) ，v y 磁( q ( 3 2 ) l u ( x ，o ) = d ( ，( x ，o ) = c o ( x ) 其中口 ，y ) = e v “v 缈西毋，y ) = f 驴c d x d y 取圪为五节点非协调有限元空间，显然圪岱联( q ) ，则相应的非协调有限元离 散形式为：求u h 圪，使得： j ( ，y ! ，棚一 笆篓+ 0 9 7 = - 婴，v 缈圪 ( 3 3 ) iu h ( x ，o ) = h 吠x ) ，( j ，o ) = 1 - i 彩( x ) 、7 其中1 7 0 ，兀缈圪为u ，国的有限元插值，也可以取为d ，国的某个逼近。 毗咖；v 唧妫，易知黔i i( 咖) ) i = ( 戮盖) i 是圪上的模 引理3 2 设解材叫( ，v v 圪，有a h ( u - h u ，力= o 引理3 3 u q 在各向异性五节点网格f ，看“日：( 【2 ) n h ( 砂，则硐卜回阴相谷 误差估计： l 善l 象凼脚娜i 1 1 1 1 。，弧圪 进一步地若“硪( q ) n h 3 ( q ) ，则有 l 萋l 豢出p i 乩i 呲帆圪 i 莓l 詈出m 训i 呲 圪 引理3 4v u 硪( q ) n 日2 ( q ) ，设n “为“的插值，则有： 硕士学位论文第三章粘弹性方程各向异性非协调元的收敛性分析 f l u - n u l l 。曲2l u l ：，i l u - n u h 。s 曲批 让明：仕合l h j 开任佃但疋埋中右耿h 2u ，1 2 1 ，册= ，墨2 2 n 蚕：岛+ 丢佗一色) 孝+ i 1 ( 或一禽) ，7 + 丢( 也+ 也一2 也) 矿( 孝) + 导( 岛+ 砩一2 也) 妒( ，7 ) 二二 二 当川= o 时，6 口( n 刃= a 参，则有： 屈心南量谢善却垒巧 屐鼍1 姚) 2 i 1 ( 南p 南膨辄 层= i 1 ( ) 2 i 1 ( 南l 妣南归钒旬 尼2 五1 ( 也+ 讧一2 也) 2 互1 ( 南丘汹一南j ! l 洒一2 南量瞄却) 垒只( 旬 压。i 1c 也+ q 一2 也，= 三喃l 汹一两1 l 池一2 南l 讼孝却，垒e c ? 令访= 争，则有： 朐2 南砧砌 啪2 j 1c 商量协一南 啪鼍1 南l 池南一 聃习1 南丘汹一南j ；l 泓2 南蝴刁， 聃鼍1 南l 汹一南王溉乞南谜锄 对e ( 奶，由h 0 l d e r 不等式及范数的定义可得： l 鼻c 训2 i 南i 砧影叫南丘i 刮j 孝却冈1 c r d 孝却a 铲d 孝却乒 1 4 硕士学位论文第三章粘弹性方程各向异性非协调元的收敛性分析 c ( 舻d 弘刁) j - - 4 刮1 。，启s c 。启c j 对e ( 动，由s c h w a r t z 不等式和迹定理以及范数的定义可得： 瞰刮2 i 三c 南l 汹一商王汹，卜1 c l c 洒i + l c 觎| ) c 【( 1 舻西) i + ( e 伊西) j 】= c ( o 刮i 。五+ o 刮l 。工) c ( 0 刮i o ，詹+ 0 吲l 。，永) ci i 剜l 。，藤- - 4 , 纠1 j c l l , 副l ：七 同理由s c h w a r t z 不等式和迹定理可得： l ( 动i c 0 吲k c 0 刮i ：。t o = 3 ，4 ，5 ) ，v 访日2 ( 露) 从而巧o = 1 ，2 ，5 ) 为日2 ( 霞) 上的有界线性泛函，即巧e ( h 2 ( 霞) ) 所以满足各向异性插值基本定理的条件，因此有： 卜叫。叠c 阮量，v 五h 2 ( 詹) i i - n “l 最x = 【( h 一兀甜) 2 d x d y = 上( 五一f i 五) 2 h a a c a 刁 以冲一酬：詹以州；，叠 = 以砖e ( 豢) 2 + ( 崭) 2 + ( 争倒刁 = 以哆【( 2i ，x + ( 意朋嘭+ ( 窘) 2 蜘虻1 杉1 劬 叫斟，丘酬甜置叫甜r 彬， c h 4 眦j 然后对所有单元k 求和可得： i i , , - n u l l 。 c h 2 盹( 这里q 省略不写) 利用引理3 1 易知肛一n , , l l 。 c hu ：成立，见文 3 6 】。 3 3 1 粘弹l $ ：f i - 程有限元解的误差估计 定理3 1 设“，分别为( 3 1 ) 和( 3 3 ) 的解，r u ，u u 日2 ( q ) ，则有： i l u - u h i l - - c h ( i 。i ：+ 肌i ：凼+ f ( | 咋卜i “洳】j ) 硕士学位论文 第三章粘弹性方程各向异性非协调元的收敛性分析 i 一l l o 幽( 1 缈l ：+ f 1 i ：d s + 【f ( i 睦+ i 哆仨+ 川：) 凼】i ) 证明：当“酬( q ) a h 2 ( q ) 时 设口= - f l u ，v 缈圪，由引理3 4 和( 3 1 ) 有： i - r l kc h “i ：sc h ( i 。i ：+ 肌l ：a s ) i u t n “, l l 。胡2m c h 2 帆+ i 呲a s ) 下面我们再来估计俐。和1 0 , i 。，对任意的y 圪，由( 3 2 ) ，( 3 3 ) 和引理3 3 ，并利用 g r e e n 公式有： ( 吃，y ) + 口 ( 倪，杪) + 口 ( p ，y ) = ( u 船- - l u , ，9 ) + a h ( ( u h , 一1 - i u , ) ，y ) + 口 “蚝- f l u ) ，y ) = ( - f l u , , ，缈) + ( ，i f f ) - - a h ( f 1 1 4 t ，y ) + 口 帆，杪) 一a ( 1 - i u ，i p ) + a h ( u ，) = ( - h u t , ，y ) 一a h ( h u , ，少) 一a h ( f i u ，) + ( ，y ) = ( - i - i u 圩，y ) 一a ( ，v ) 一a ( “，y ) + ( 厂，y ) = ( 1 气- h u ，v ) 一( 吆，沙) 一a h ( u t ，v ) 一a h ( u ，缈) + u ，y ) = ( u n - - 1 u t t ，y ) 一kl 鼍5 c ，凼一莓l 象y 豳 其中：( ，y ) + ( ，缈) + ( 少) _ ( 厂，y ) 2 ；l 鼍 c ，凼+ ；l 詈吵凼 事实上：1 1 n - a u t - a u = 厂j ( u n ，y ) + ( 坼，沙) + ( - ”，少) = ( f ，5 c ，) ，v y 圪 由g r e e n 公式可得： 帆， f ，) + 口 ( 鸭，y ) 一萎l 凼+ ，y ) 一；l 凼= ( 厂，y ) 移项即得结论成立。 因为p 圪，在上式中取y = e ，并利用y o u n g 不等式有： 圭泸d0 2 制0 。2 + 五l 妒d i l ： 吨一伊善l 挈凼一善l 挈凼 - l l u 膳- f l u 撑i i 。i i o , i i 。+ 幽m 。+ c hu ：i o , l 。 幽2i u 盯i ：l o t 。+ c h l u 川跳+ c h i u 圳吼 1 6 硕士学位论文第三章粘弹性方程各向异性非协调元的收敛性分析 幽2 q 卜l u , i ：+ i “胁u o , l e + 割枷+ 叫1 1 8 i t 。2 = c h 2 ( i h 吩h “仨) + ：+ ： c h 2 ( 1 u 1 ：- , - l u , l ：+ 1 “i ：2 j + i i q i i d 2 + 0 6 ：j | 2 + 1 9 1 l ： 吾历1 1 0i 呻1 2 + i l 磊d1 1 6 1 l 。2 曲2 ( 1 眭+ 1 臣+ i “层) + ( 1 l o , l l ：+ i l e l e ) 对上式两边从0 到f 积分，可得： 怜眨+ 俐i ：一怜( o ) 惦一0 秒( 0 ) l l ：砌2f ( k 仨+ l u t l ：+ 川：) 凼+ f ( 1 l e , l l ：+ i o l l ：) d s 因为幺( o ) = 烈o ) = o ，并利用g r o n w a l l 不等式，有： 0 0 , 1 1 ：+ i o l l ： c h 2f ( 呲+ l u , l ：+ 1 “) 凼 所以： i l e l l ： c h 2f ( k 臣+ l u , l ：+ i “l ：) 凼，u o , i 艺西2f ( 1 臣+ l 眭+ 川；) 出 即： l k - h “l | 幽【f ( k 臣+ k 疰+ 川：) 凼】- | j u 一r i u , i l 。s 幽 f ( 1 臣+ i 咋层+ 川：) 凼】2 一 由三角不等式可得： 一 陋- u h l l 如h ( i o l ：+ 删：d s + f ( 呲+ 呲+ 帕凼】j ) 卜i l 。幽( 眺+ f l u i ：d s + 哪卜l u t ”洳】i ) 3 3 2 粘弹性方程的超逼近性质 定理3 2 设l l ，分别为( 3 1 ) 和( 3 3 ) 的解，并假 殳冥解具有。足够的光精性，儿“ 为u 的有限元插值，则有： i l 蚝一兀“虬砌2 【f ( 1 臣+ 1 璧+ 川；) 凼】_ l 卜船- u , i i 。幽2 ( 1 u , i ：“f ( 1 仨+ k 仨+ l “后) 凼】i ) 证明：当”叫( q ) n 日3 ( q ) 时 类似定理3 1 证明，并利用引理3 3 中第二式有： 三j # 。l e , l o + l e , l l ：+ j l 圳d 钏。 = u n , - - 咿莓l 挈凼一莓l 挈凼 1 7 硕士学位论文 第三章粘弹性方程各向异性非协调元的收敛性分析 j i - n u o l l 。l 阿k + 幽2l 虬l ，0 0 , i i + c h 2l “i ，1 只i | c h 2l u , , l ：l i o , i 。+ c 矗2l 吩l ，0 2 k + c 矗2 i “l ，8 幺l l c h 4 ( i 川l l f i ：+ l u l ：) + l l o , l l ：+ 1 1 0 , i i ： c h 4 ( 呲+ 呲+ 吣+ 舢+ ：+ 矧： 圭面d o 。z + 三i 瓦d 1 1 西q 眭+ l u , l ：+ i “l ：) + o l e , l l ：+ i 1 0 1 1 ：) 对上式两边从0 到f 积分，可得： o , 1 1 ：+ 1 0 1 1 ：一愀吣一i o ( o ) 1 ： c h 4f 州+ 呲+ 吣出+ c ( 1 i e , i i ：+ i o l l ：) , 豇 因为倪( 0 ) = 口( o ) = 0 ，并利用g r o n w a l l 不等式，有： f