（运筹学与控制论专业论文）具有耗散结构的n根eulerbernoulli耦合梁的稳定性分析.pdf

中文摘要 本研究论文是系列连接弹性振动系统的控制问题中的一个专题，主要是研究 系列连接的e u l e r - b e m o u u i 弹性梁系统在边界和连接点加控制的条件下，所形成 的闭环系统的稳定性与结构研究在反馈控制之下系列连接弹性梁系统的适定 性、渐近稳定性等性质对于单根弹性梁振动系统来说，专家学者们常采用乘子 办法来得到系统的这些性质，也有些学者采用谱分析方法来做，在这种情况下， 系统的特征值往往都比较容易求出，并且性质上也比较简单；但是对于系列连接 弹性梁振动系统来说，由于其复杂性，乘子是很难找到的，其特征值也很难求出， 并且往往具有多重性、非可分离性等特点，这就需要我们去寻找其它方法来解决 这个问题本文处理系统的最大特点在于把系统微分方程用矩阵形式来描述，把 每根梁都放在矩阵中统一地去处理，给出谱的分布区域，得到系统的广义本征向 量的完整性 本文主要研究一端固定一端自由的n 根系列连接的e u l e r - b e m o u l l i 弹性梁系 统，假设在连接点处其横向位移和旋转角度是连续的，而剪切力和弯曲力矩不连 续，在此情况下，通过在连接点处和右端点处施加反馈控制器，得到闭环系统的 渐近稳定性及( 广义) 本征向量的完整性，给出系统的谱分布区域 本文是以系列连接的e u l e r - b e m o u l l i 梁系统为研究对象进行研究的，由于我 们采用的方法具有一般性，这样的方法可以推广应用到其他系统模型的研究中， 诸如：系列连接的弦系统和t i m o s h e n k o 弹性梁系统以及网络结构弹性梁系统等 关键词：e u l e r - b e m o u l l i 梁边界反馈控制稳定性岛半群完整性 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni so n ep a r to ft h er e s e a r c ho nt h ec o n t r o lp r o b l e mo fs e r i a l l y c o n n e c t e de l a s t i cs y s t e m t h ea i mi st os t u d yt h ef e e d b a c ks t a b i l i z a t i o no ft h es e r i a l l y c o n n e c t e de u l e r - b e r n o u l l is y s t e ma n dt od i s c u s st h es y s t e m sp r o p e r t i e ss u c ha sw e l l - p o s e d ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t ye t c i nt h ec a s eo fs i n g l eb e a m ，t h e s ep r o p e r t i e sw e r eu s u a l l y d i s c u s s e db yu s i n gm u l t i p l i e rm e t h o dw h i c hi ss t i l la ni m p o r t a n tw a yt os t u d yt h es y s t e m s t a b i l i t y u n d e rt h i sc a s et h ee i g e n v a l u e su s u a l l yc a nb ec a l c u l a t e da n dt h ep r o p e r t i e so f t h e mi ss i m p l e h o w e v e r ，f o rs e r i a l l yc o n n e c t e ds y s t e m ，i ti sd i f f i c u l tt of i n dam u l t i p l i e r f o rt h es y s t e m t h ee i g e n v a l u e so fs y s t e ma r ev e r yc o m p l e xa n du s u a l l yc a nn o tb e o b t a i n e d s oa n o t h e rw a ys h o u l db ef o u n dt os o l v et h i sp r o b l e m f r e q u e n c yd o m a i n m e t h o di su s e dt os t u d yt h es t a b i l i t yo fs e r i a l l yc o n n e c t e de u l e r - b e m o u l l ie l a s t i cs y s t e m i nt h i sr e p o r t t h ed i s t i n g u i s h i n gf e a t u r eo ft h i sr e p o r ti st h a tt h em a t r i xf o r mi s u s e dt od e n o t es y s t e m ，t h ed i s t r i b u t i o no fs p e c t r u mi sg i v e n t h e nt h ec o m p l e t e n e s so f t h ee i g e n v e c t o r sa n dg e n e r a l i z e de i g e n v e c t o r so ft h eo p e r a t o ri sp r o v e d b yu s i n gt h i s m e t h o d ，w en o to n l ys t u d i e dt h es t a b i l i t yo ft h ec l o s e dl o o ps y s t e m t h em a i nr u s u l t o f t h i sd i s s e r t a t i o ni st h a ts e r i a l l yc o n n e c t e de u l e r b e r n o u l l i b e a m sw i t hj o i n ta n db o u n d a r yf e e d b a c kc o n t r o l s s u p p o s e dt h a tt h el e f te n do fw h o l e b e a mi sc l a m p e da n dt h er i g h te n di sf r e e a ti n t e r m e d i a t en o d e s ，t h ed i s p l a c e m e n ta n d r o t a t i o n a la n g l eo fb e a m sa r ec o n t i n u o u sb u tt h es h e a r i n gf o r c ea n db e n d i n gm o m e n t c o u l db ed i s c o n t i n u o u s t h ec o l l o c a t e dv e l o c i t yf e e d b a c ko ft h eb e a m sa ti n t e r m e d i a t e n o d e sa n dt h er i g h te n da r eu s e dt os t a b i l i z et h es y s t e m ，t h e nc o m p l e t e n e s so ft h ec l o s e d l o o ps y s t e ma r ep r o v e dt ob et r u e a l t h o u g ht h es t u d yo ft h i sd i s s e r t a t i o ni sm a i n l yo ns e r i a l l yc o n n e c t e de u l e r - b e r n o u l l ie l a s t i cs y s t e m ，t h i sm e t h o du s e di nt h i sd i s s e r t a t i o nc a nb eg e n e r a l i z e di n t h es t u d yo fo t h e rm o d e l s ，s u c ha 5s e r i a l l yc o n n e c t e dt i m o s h e n k oe l a s t i cs y s t e m ，n e t w o r kc o n f i g u r a t i o ne l a s t i cs y s t e ma n d8 0o n k e yw o r d s ： e u l e r - b e r n o u l l ib e a mb o u n d a r yf e e d b a c kc o n t r o l s t a b i l i t yc os e m i - g r o u pc o m p l e t e n e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：孛寸毒瞵 签字日期： 1 刀- 7 年6 月，f ，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位敝储繇讥鑫砗 签字日期： 唧年占月f ，日 签字日期： 们年6 月f ，日 导师签名： 7 缈 签字啉砷月j 日 第一章绪论 机械振动是自然界最普遍的现象之一，它与人们的生活，人类的生存密 切相关可以说在宏观世界里，任何具有弹性及质量的物体，都会做机械振 动。机械振动具有某种周期性，类似于波动，并涉及能量的传递历史上， 振动的研究和乐器有关，但十六世纪以前进步不大自从文艺复兴以后， 科学家开始对振动运动发生极大兴趣第一次作出贡献的当首推意大利科 学巨匠g g a l i l e i ( 1 5 6 4 - 1 6 4 2 ) 他首先研究了音量与频率的关系，摆的长度与 频率的关系，特别是发现了共振原理。这为现代钟表，无线电技术奠定了坚 实的基础稍后一点的英国大科学家r h o o k e ( 1 6 3 5 - 1 7 0 3 ) 在研究弹簧的振动 时，写下简谐运动方程式： m s ：( t ) + k x ( t ) = u ( t ) ，t 0 这里仇表示弹簧质量，七为弹性系数，牡为外力，z 为物体位移1 7 4 7 年，法 国启蒙运动领袖j b l r d a l e m b e r t 在张紧的弦振动时形成的曲线研究 一文中推导出著名的弦振动方程： 可0 2 v ( x , t ) 一c 20 2 y 抛( x 。, t ) = 0 a 庐抛。 这是研究连续体力学振动现象的第一个偏微分方程模型此外e u l e r 于1 7 4 4 年，b e r n o u l l i 于1 7 5 1 年写下了结构力学中梁振动的方程。 _ p 0 2 y 瓦( x 广, t ) = 一e io t y 抛( x 。, t ) 梁振动方程构成了本论文的基本数学模型本文我们要解决的就是弹性梁 振动系统的镇定问题，通过设计控制方案，对弹性系统施加控制，抑制其振 动，使其能够在一定时间内镇定下来，并对其镇定的程度进行分析，得到相 关的结论 本章我们将回顾一下弹性梁振动系统的进展和振动系统的控制研究及 发展情况，并在第四小节给出了本文的结构 1 第一章绪论 1 1 振动控制的研究进展及方法 2 0 世纪5 0 年代，现代控制理论的产生及生产实践的可实现性使得振动 系统的控制问题特别是反馈控制问题成为基本的研究对象由于控制理论 的应用涉及社会生活的各个方面比如人口控制，光污染，噪声污染控制等， 许多科学工作者在这一方面作了大量的工作比如最优控制、控制工程的实 现等但这一时期仍以集中参数与分布参数控制为主，控制多以分布力来 表述，分布控制在工程实践中不容易实现2 0 世纪7 0 年代后期，对分布参 数系统而言，边界控制成为一个重要的研究领域由于边界控制易于在工 程中实现，特别含有柔性结构的系统，人们研究的重点转向在边界反馈控 制下系统的可控性及精确可控性，以及在边界反馈下的闭环系统的渐近稳 定性与指数稳定性这期间产生了一系列重要的研究方法，获得了许多重要 的结果 自然，弹性振动控制引起广泛关注的背后有深刻的现代工程技术的应 用。在工程上，柔性结构系统多见于大型空间结构、空间机械手和高速机械 手等方面新一代的航天器都附有大型柔性部件，如雷达天线，太阳能收集 器等在这种航天器的飞行与控制过程中，作用在航天器上的扰动力和控 制力不仅会激起航天器的位置与姿态的改变，而且会激起柔性附件的弹性 振动，柔性附件的弹性振动进而又影响航天器的整体运动与控制【1 】1 近年 来，卫星通讯技术日益发展，为了增大通讯容量和延长卫星寿命，近代卫星 都配备有大型太阳帆板以获取卫星工作所需能量这种卫星整体上显得十 分柔软，一旦因太阳风，引力差等引起了卫星的振动，则由于宇宙高空空气 阻尼极小，振动会长久持续，从而影响卫星的精确定位，或导致卫星姿态控 制系统失控多年前一日本卫星就因为其姿态控制系统中没有考虑太阳电 池振动的影响而失控，造成了巨大的经济损失 解决以上问题的关键在于如何有效地抑制振动。大型空间结构本质上 是分布参数系统，其振动模态理论上有无限个，但在工程上只能用近似的方 法把无穷维模型近似成有穷维模型，然后用有穷维系统控制理论讨论振动 控制2 0 世纪9 0 年代初期，随着材料科学的革命，智能材料作为传感器和 执行机构在振动控制中得以广泛应用，由于这种材料同时具有价格低廉， 重量轻，易成型并可粘贴或嵌入到各式各样的材料中等特点，当它作为感应 2 第一章绪论 器和控制器嵌入到弹性体中时，不会明显地影响弹性体的材料结构性质， 并且作为控制器可直接用来控制局部振动而无须再施以外力和力矩，因此 分布参数的镇定控制再次成为人们关注的热点越来越多的专家学者投入 到分布参数的镇定控制研究当中 在研究振动问题包括系统的镇定问题中，有许多研究方法，这里我们 就线性分布参数控制系统的工作进行了粗浅的总结 工程上，常用的对线性分布参数系统的镇定是将系统的解按照相应的 系统的本征向量展成无穷级数，以有穷和近似作为控制的出发点，这种方 法称为模态分析法该方法的本质是先近似后控制这种方法虽然简便， 但也存在一些重大问题：控制器一般比较复杂；需要对系统参数进行 辨识；存在控制和观测溢出；有些先前稳定的但在截断模型中没有出 现的模态有可能在控制作用下突然变得不稳定，等等见 2 】这些问题引起 了上个世纪8 0 年代和9 0 年代早期的大量研究先后出现了诸如分布参数系 统新理论和新算法；溢出抑制和调节；模型截断；控制和观测位置设置；频 率成形等这些研究在【3 3 和【4 】有非常全面的综述 弹性振动系统主要是研究其可观性、可控性以及最优控制、系统的镇 定等系统的镇定就是给一特定的振动系统施加一适当的控制让其以特定 的方式逐渐停振研究系统镇定性的传统方法是l y a p u n o v 函数方法，例如 b i s w a s 在 5 】中就用l y a p u n o v 函数法来证明经过控制力和力矩作用的系统的 稳定性理想的系统镇定是利用系统的观测值反馈从而实现系统的稳定。 简单而自然的方法是取反馈控制使得闭环系统的能量衰减( 这种控制律通 常称为自然控制律) 为了研究闭环系统的能量衰减率，产生了能量方法( 也 称为乘子方法) 即在方程两端通过乘以一个因子再积分得到一个能量配置 项函数，由此得到能量函数的指数衰减性质1 9 7 8 年q u i n n 和r u s s e l 【6 】运用 此方法建立了一维波动方程的边界控制的一致稳定性c h e n 7 】对任意空间 维数的波方程获得了类似结果1 9 8 7 年c h e n 等人在【8 】对e u l e r - b e m o u l l i 梁 在边界控制下建立起边界反馈的一致稳定性。相关的文献还有很多，在上 面所提到的是起始性工作，这些工作的主要特点是运用乘子方法得到了闭 环系统的稳定性 与乘子方法相伴发展的是频率域分析方法以及由此而产生的频域乘子 法，它是直接从分析闭环系统的频率出发研究系统的稳定性与指数稳定性 3 第一章绪论 运用此方法进行研究的文献已非常之多，其主要理论基础是无穷维线性系 统稳定性的频域判据 9 】【9 1 给出了一个正规算子被线性有界算子扰动谱 确定增长假定成立的条件 乘子方法对研究系统的稳定性的确是一种好方法，但是它只是一个定 性的结果，当我们研究智能材料被用来在大型柔性结构控制中作为局部分 布阻尼来镇定系统时，为了获得最优位置配置结果，往往需要知道能量衰 减速率与系统反馈参数的定量关系获取这一定量关系的一个重要途径便 是研究此时的闭环系统是否满足谱确定增长假定( 即系统的最优能量衰减 率等于系统谱实部的上确界) ，此问题是分布参数系统稳定性理论研究的一 个重要问题对于具体的模型( 比如e u l e r - b e r n o u u i 梁) 已做了很多工作在 抽象理论方面也出现很好的结果常用的一个理论结果是【1 0 从研究结果来说，主要是研究闭环系统的稳定性以及闭环系统解的结 构通常在研究解的结构时，主要是研究闭环系统的广义本征向量是否构 成r i e s z 基乘子方法可以用来研究系统的稳定性，方程通过乘以一个因子 再积分得到一个能量配置项函数，由此得到能量函数的指数衰减性质，但 通过此方法获得的信息很少，最多能够得到指数衰减，是无法进一步得到 系统指数衰减率等性质的；用频率域分析方法来研究受控系统的稳定性及 解的结构不失为一种好方法，但同时也是一个极为困难的方法，如果能够 求出闭环系统的频率以及相应的本征向量或广义本征向量，并能够得到广 义本征向量系统的r i e s z 基性质，那么闭环系统的解就可以按照基展开，整 个闭环系统的结构也就一目了然了同时用闭环系统的本征向量展开，取 有限项作为近似计算时，可以得到预期的阶数估计，消除了前面提到的计 算溢出的现象然而在大多数情况下闭环系统的频率是难以确定的，特别 是在高维情形或多自由度情况下。算子扰动方法在研究稳定性及解的结构 方面，对某些类型的方程可能行之有效，但对有些方程恐怕还难以从抽象 的分析中得到所期待的结果，或者说算子扰动理论的结果还不足以满足实 际应用的需求 从研究方法上讲，现有文献所用的方法主要有：乘子方法、频域方法、 r i e s z 基方法与算子扰动方法或几种方法相结合特别对高维几何体的边界 控制问题，出现了微局部分析方法【1 1 】，微分流形分析方法 1 2 】，以及用 h i l b e r t 空间唯一性方法与微分流形工具相结合，获得了一些好的结果，可 4 第一章绪论 见y a o 【1 3 ，【1 4 】 1 2关于弹性梁研究的现状 对于柔性结构梁，目前较为流行的模型主要有三种形式：e u l e r - b e m o u u i 梁、脚l e i 曲梁和t i m o s h e n k o 梁我们仅就e u l e r - b e r n o u l l i 梁系统目前研究的 进展情况阐述一下 在七十年代以前，大多采用分布控制去实现弹性振动系统的镇定；七十 年代以后，边界控制渐渐成为了专家学者们研究的主流1 9 8 7 年，g c h e n 等在( 8 】就对多连结的梁作了稳定性分析，给出了系列连结e u l e r - b e r n o u u i 梁 方程节点连结方式的工程背景和意义随后【1 5 在1 9 8 8 年运用【9 】中关于 无穷维线性系统的指数稳定性的一个判据研究了关于边界能量耗散的单根 e u l e r - b e m o u l l i 梁系统的指数稳定性g c h e n 等在1 9 8 9 年又给出了两根梁在 耗散结构连结时，闭环系统的指数稳定性分析【1 6 】1 9 9 5 年r e b a r b e r 【1 7 研 究了两根梁连结的情况，采用节点反馈，利用预解式估计得到相应闭环系 统的指数稳定性1 9 9 6 年i s s a d e k 等对多连结系统利用点控策略研究了系 统的最优控制问题 1 8 】，其后以网络为对象的多连结梁系统稳定性分析文 章多见发表【1 9 ，【2 0 】，【2 1 】，【2 2 】 下面是系统本征频谱的渐近分析的一系列讨论：首先，g c h e n 和j c z h a u 用【8 】中波传播法研究了带有阻尼边界的一维振动问题【2 4 】也给出了两根 梁在耗散连结时( 第一种连结方式) ，闭环系统的指数稳定性，表明存在谱 的两个分支平行位于虚轴的左端。1 9 9 1 年，k r a n t z 和p a u l s e n 【2 3 将n 根梁 连结方式分成四类，针对不同的连结方式以及相应的节点耗散反馈，文中 计算相应闭环系统的谱分布在各梁长度之比为有理数时，给出了有限谱 流的渐近式 对无穷维线性振动系统来说，最重要的性质之一是系统的广义本征向量 构成状态空间的r e i s z 基联系系统指数稳定性和本征频谱的渐近分析就是 r e i s z 基生成问题r e i s z 基生成是振动频谱分析的基础并与其他重要的系统 性质有关而梁振动系统的r e i s z 基生成问题直到近几年才有重要进展单 根梁问题被c o n r a d 在 2 5 和g u o 【2 6 】中研究过g u o 在【2 6 】中给出了h i l b e r t 空间离散算子r i e s z 基生成的一个抽象条件，这个条件在某些“几乎”充要 5 第一章绪论 条件下可以完全忽略了“低”阶模态，该条件也是r i e s z 基性质的“几乎” 充要条件通过运用这个条件，作者给出了左端固定右端自由( 右端加上了 线性边界反馈控制) 的单根e u l e r - b e m o u l l i 梁 ， iy u ( x ，t ) - fy x x x z ( z ，t ) = 0 ，0 z 0 u ( o ，t ) = 掘( o ，t ) = 0 ，t 0 ， ( 1 1 ) i 跏( 1 ，t ) = - k x y x t ( 1 ，) ，如( 1 ，t ) = k 2 y t ( 1 ，t ) ，t 0 对v h ，七2 系统的广义本征函数形成r i e s z 基，并给出了系统的本征值的渐 近表示及推出系统的指数稳定性随后g u o 在 2 4 】对两根系列连结的e u l e r b e r n o u l l i 梁在一些特定条件( 第二种连结方式) 下，利用【2 6 中给出的h i b e r t 空间离散算子r i e s z 基生成的一个抽象条件，得到了闭环系统的r e i s z 基性 质、系统广义本征值分布和指数稳定性 1 3本文的研究方法 在研究系统的适定性问题与稳定性问题时，主要是采用泛函分析的基 本方法来研究系统具体来说是利用算子半群相关的理论工具，利用诸如 岛半群的生成理论，有界线性算子扰动理论，半群稳定性等性质来解决上 面的问题。 利用算子半群理论进行系统分析研究的大体步骤如下；首先将系统模 型通过一定的方式转化成微分方程，它总是一个与时间有关的发展方程 然后根据问题的实际意义我们选取相应的状态空间，将数学模型( 方程) 写成抽象c a u c h y 问题，此时系统的功能是确定一个算子，而后研究算子的 各种特性 算子适定性的研究主要基于l u m e r - p h i u i p s 定理，表明系统所确定的算 子是一个闭稠定耗散线性算子，然后表明右半平面属于算子的预解集，从 而算子生成q 压缩半群，完成系统的适定性证明通过证明虚轴上没有谱 点，得到了系统的渐近稳定性通过求解本征值问题，得到特征方程零点的 渐近分布，从而得到谱分布 6 第一章绪论 1 4 文章结构简要说明 本文共分为5 章，中心内容为第三章和第四章 第一章为绪论，介绍了弹性振动系统的研究发展，研究方法及研究的 现状，及在研究系列连接e u l e r - b e m o u l l i 弹性梁系统镇定问题过程中所遇到 的主要难点和一些需要解决的问题 第二章，介绍了半群理论的基本内容在这里只对于文章需要用到算 子半群理论方面的定义和性质进行了简要的说明，罗列了半群中一些常用 的主要结果有关的证明可以参考p a z y 【2 t 第三章，介绍了e u l e r - b e r n o u l l i 梁系统中的四种连结条件及边界条件， 讨论了由四种结点连结方式构成的n 根e u l e r b e r n o u l l i 弹性梁系统的规范化 问题 第四章，考虑一端固定一端自由的n 根系列连接的e u l e r - b e r n o u l l i 梁系 统的适定性、稳定性及l ：t i e s z 基性质假设结点为文献【2 3 】提到的第三种， 即横向位移和旋转角度是连续的，而剪切力和弯曲力矩是不连续的，我们 通过设置状态空间将闭环系统转化一个抽象初值方程然后利用算子半群 的理论得到闭环系统的适定性和渐近稳定性，而后我们研究了系统算子的 广义本征向量的完整性，这里的技巧在于引入一个辅助算子，利用反证法 得到系统算子广义本征向量的完整性 第五章，对于本文中研究方法进行了总结与展望 7 第二章基础知识 2 1 线性算子半群基本概念及性质 本节设x 是b a n a c h 空间 定义2 1 1设x 是b a n a c h 空间，t ( t ) ( o t o 。) 是x _ x 的有界线性 算子族，称t ( t ) ( 0 t “， 时，有 i i r ( a ，4 ) n 峪丽而m u ) i = 1 ，2 ) 下面我们介绍指数公式 当a 是x 上有界线性算子，生成半群t ( ) ，且t ( t ) = = 磊么n 仍 然是x 上的有界线性算子若4 是无界线性算子，上式不成立。但我们有 下面的结论： 指数定理 设t ( t ) 是x 上的一个岛半群，4 是t ( t ) 母元，则： t ( d z = 熙( j 一元t4 ) 一z = 熙 孚r ( 詈，4 ) n z 对比碱立， 且极限关于t 在任何有界区间上是一致的 2 2 c o 半群生成理论 定义2 2 1设t ( t ) 是岛半群，则存在常数u 0 与m 1 ，使得 i i t ( t ) l l m e ，v t 0 若u = 0 ，则称t ( t ) 为一致有界；若i i t ( t ) l l 1 ( 即：m = 1 ，u = 0 ) ，则称t ( t ) 为压缩半群 定理2 2 2 ( h i l l e - y o s i d a r p h i l l i p s ) 一个线性算子4 是岛半群 t ( t ) ；t o ) 的无穷小生成元的充要条件是 ( 1 ) 4 是闭稠定算子； 】0 第二章基础知识 ( 2 ) 存在实数m 与u ，使得当a u 时有a p ( 4 ) ，和ij r ( a ；4 ) n l j 搀，n ) 推论2 2 3线性算子4 是一个满足i l t ( 圳m 的岛半群的无穷小 生成元的充分且必要条件是 ( 1 ) 4 是闭稠定的； ( 2 ) 若跄a u ，贝0a j d ( 一4 ) 且 i i r ( a ；卵忙忐，扎n 推论2 2 4设4 是x 上岛半群t ( t ) 的无穷小生成元，a x = x a r ( a ，a ) = a 2 r ( a ，a ) 一入j ，贝4 t ( t ) x = 1 i r ae u l z ，对比x 由此我们引出定义t 推论2 2 4 中的山= 入a r ( a ，a ) 称为一4 的y o s i d a 逼 近 定理2 2 2 中条件( 2 ) 中的预解式估计的复杂性使我们转向考虑耗散算 子： 设x 是b a n a c h 空间，x + 为其对偶( 共轭) 空间我们以( 矿，z ) 或( z ，z ) 表示矿x 。在z x 的值，对于比x ，定义对偶集f ( x ) x 如下： f ( z ) = p 旷x + ，且( 邓) = i i z l l 2 = i i = * 1 1 2 ) 对比x ，由h a h n - b a n a c h 定理知f ( z ) 定义2 2 5一个线性算子4 称为耗散的，、如果它对于每一z 口( 4 ) ，存 在z + f ( z ) ，使得跄( b ，z + ) 0 定理2 2 6设x 是b a n a c h 空间，4 是v ( a ) cx x 的闭线性算子，如 果存在，y 0 ，使得| i 血| i - r l l = l l ，则兄( 4 ) 是x 中的闭子空间 定理2 2 7线性算子a ：d ( 4 ) 一x 闭稠定且耗散，则对于v a 0 ， l i ( 入一a ) x l i a 1 1 = 1 1 ，对于比d ( 4 ) 和a 0 成立 推论2 2 8若4 是闭稠定耗散算子，则对v a ，孵a 0 ，有a 西( 一4 ) u p ( 4 ) ， 特别有| | ( a 一4 ) 一1 士，当入p ( 4 ) 推论2 2 9设x 是b a n a c h 空间，一4 是x 中的闭稠定耗散算子，那么对 任意的a c ，睨a 0 ，或者都是预解点或者都是剩余谱点特别当a j d ( 4 ) 时，有i i ( a x 一4 ) - 1 i i 杰 1 1 第二章基础知识 由推论2 2 8 和定理2 2 2 我们得到下面的岛压缩半群的生成定理， 定理2 2 1 0 ( l u m e r - p h i l l i p s 定理) 若4 是闭稠定耗散算子，且1 p ( 4 ) ，则 4 生成一个岛半群t ( ) ，并且满足i i t ( t ) l l 1 推论2 2 1 1设4 是b a n a c h 空间( i - i i l b e r t 空间) x 上闭稠定算子，则a 为压缩半群t ( t ) 的无穷小生成元的充分必要条件是 ( 1 ) ( 0 ，o o ) cp ( 4 ) ； ( 2 ) i i r ( a ，4 ) | js 圭，对姒 0 推论2 2 1 2设4 是b a n a c h 空间( h i l b e r t 空间) x 上闭稠定算子，若 4 耗散且( 0 ，o o ) cp ( a ) ，则4 为某一压缩半群的无穷小生成元 推论2 2 1 3设4 是b a n a c h 空间( h i l b e r t 空间) x 上闭稠定算子，且4 与都是耗散的，则4 是x 上某岛压缩半群的无穷小生成元 2 3b a n a c h 空间上半群的稳定性 定义2 4 1设x 是b a n a c h 空间，t ( t ) 是x 上的岛半群，如果存在常数 u 0 ，以及m ( w ) 使得 i i t ( t ) l l m ( w ) e 一优，v t 0 则称t ( t ) 是指数稳定的如果对每个z x 都有 u 12 。( t ) z = 0 ， c + 则称t ( t ) 是强稳定的 下面给出半群指数稳定的充要条件， 定理2 4 2以下三个结论等价： ( 1 ) t ( t ) 指数稳定； ( 2 ) i = o ；2 r i m i t ( t ) l ( 3 ) 蛳 w o 号 a p ( 4 ) 注 若r e x 咖，则a p ( 4 ) 且有i i r ( a ，j ) l ls 跞1，即沿着跪a = w 0 w e 上预解算子一致有界 1 2 第二章基础知识 推论2 4 4 ( 黄发伦定理) 设x 是h i l b e r t 空间，t c t ) 是x 上的岛半群， 4 为母元，若兄( a ，a ) 在虚轴上一致有界，则t ( t ) 指数稳定 关于半群的强稳定，我们有下面的性质： 定理2 4 5设t ( t ) 是b a n a c h 空间x 上的岛半群，4 是其母元，若t ( t ) 强稳定，则； ( 1 ) t ( t ) 为一致有界半群； ( 2 ) 盯( 4 ) cc 一= 入c i r e a o ) ； ( 3 ) 在虚轴上没有4 的本征值和剩余谱 在1 9 8 8 年，l y u b i c h 和p h 6 n g 在其文章【2 9 】中给出了半群强稳定的充分 条件： 定理2 4 6设x 是b a n a c h 空间，t ( t ) 是x 上一致有界的岛半群，4 是其母元，若对坝o ( a ) ，r e a 0 ( 2 1 ) i 乱( o ) = g 这样的问题称为初值( c a u c h y ) 问题 定义2 5 2 设u ( t ) ： 0 ，) 一x 抽象函数，u ( ) 称为系统( 2 1 ) 的经典 解，如果对任意的t 0 ，u ( t ) 连续的，对t 0 ，牡( ) v ( a ) 且是可微的，并 且满足方程( 2 1 ) 和初始条件 定义2 5 3系统( 2 1 ) 称为适定的，如果方程( 2 1 ) 对每个g d ( 一4 ) 都存 在唯一的解，且解连续依赖于初始值g 定理2 5 4 假定算子4 生成岛半群t ( t ) ，那么方程( 2 1 ) 是适定的， 1 3 第二章基础知识 且对任意的初始值g 口( 一4 ) ，( 2 1 ) 的解由下式给出， u ( t ) = t ( t ) g ，t 0 ( 2 2 ) 定理2 5 5设算子a 是闭稠定线性算子，并且预解集非空，那么系统 ( 2 1 ) 是适定的当且仅当算子一4 生成岛半群t ( ) 2 5 文中用到的其它一些定义和定理 定义2 6 1一个函数称为整函数，如果它在整个复平面上是解析的 定理2 6 2( l i o u v i l l e 定理) 有界整函数必为常数 定理2 6 3 ( p h r a g m 6 n - l i n d e r 5 f 定理) 设f ( z ) 在扇形区域( 丌肛) 中解析， 在其闭包上连续假设f ( z ) 在该区域边界上有界的，即l ，( z ) l m ，且对于该 区域内部的点i z l ，当i z i = ，充分大时，对于某个卢 0 ，c 1 ，j ，c 2 , j r ， 尼 ，j 口2 + 七乏j 卢2 + ( e l ，j c 2 ，j ) q p o ，v q ，卢r ， 假设 y ( x ，t ) = ( w l ( x ，t ) ，w 2 ( x ，t ) ，加n ( z ，t ) ) 7 ，z ( 0 ，1 ) ，t 0 由于这四类不同结点类型在规范化的过程中使用相同的方法，为此我 们仅以第三类结点类型为例 令 m = d i a g ( m l ，m 2 ，m n ) ，e i = d i a g ( 丑r l ，现，砜) 那么原来的偏微分方程可变成 m 笋- - e u i i 百0 4 y ( x 广, t ) ，州0 ，1 ) 令 c= 00 00 1o 00 o1 00 00 10 1 8 第三章四类具有耗散结构的n 根e u l e r b e r n o u l l i 耦合梁方程的规范化问题 和 k 。= 出a g ( 磁1 ，磋2 ，磋。) ，n = m a g ( g ，1 g ，2 2 一，g ，n ) ，s = 1 ，2 那么经简单计算有 c c + = i 一只，c 4 c = i p n 其中p 1 = ( 1 ，0 ，o ) r ，r = ( o ，0 ，1 ) 下 1 位移连续，即+ 1 ( o ，t ) = w j ( 1 ，t ) ，歹= 1 ，2 ，n 一1 ，从而有 w 2 ( o ，t ) = w i ( 1 ，t ) ，w 3 ( o ，t ) = w 2 ( 1 ，t ) ，叫。( o ，t ) = 一i ( 1 ，t ) ，即 w l ( o ，t ) w 2 ( o ，t ) w 3 ( o ，) 叫n ( o ，t ) 00 10 o1 00 0 0 0 0 0 0 10 w 1 ( 1 ，t ) w 2 ( 1 ，t ) w 3 ( 1 ，t ) 嘶。( 1 ，t ) + w l ( 0 ，t ) 0 0 0 2 旋度连续，即w j + i ，。( o ，t ) = ，。( 1 ，t ) ，歹= 1 ，2 ，礼一1 ，从而有 f 三 三量i 釜 ：f 三；i 三 | - w ：l ：, s ( ：a ：, 3 t ) + 叫1 8 | ；0 。) 所以( ，一p 1 ) y 。( o ，t ) = c y s ( 1 ，t ) 3 力矩不连续，即 ( 3 1 5 ) 一e 易+ 1 + l ，8 8 ( o ，t ) + e i j w j ，8 8 ( 1 ，) = c 2 , j w j ，t ( 1 ，t ) 一七；，j ，8 t ( 1 ，) ，j = 1 ，2 ，扎一1 ， 从而有 - e 1 2 w 2 ，8 8 ( o ，t ) + e i x w x 椰( 1 ，t ) = c 2 ，l w l ，t ( 1 ，t ) 一镌1 w l ，以( 1 ，t ) ， - e 1 3 w 3 ，8 8 ( o ，t ) + e 1 2 w 2 朋( 1 ，) = c 2 ，2 w 2 ，c ( 1 ，t ) 一磋2 w 2 ，8 t ( 2 ，t ) ， - e i n w t l ，8 8 ( o ，t ) + e 厶一1 t , n 一1 ，8 8 ( 1 ，t ) = c 2 ，。一l w n 一1 ，t ( 1 ，t ) 一南参n 一1 w n l ，戚( 1 ，t ) 第三章四类具有耗散结构的n 根e u l e r - b e r n o u l l i 耦合梁方程的规范化同题 e i l e 1 2 e i n 一1 0 e 如0 00 e 1 3 00 00 q 2 0 q , n - - i e i 。 0 0 鹾。一1 0 加1 舯( 1 ，t ) w 2 御( 1 ，t ) 叫3 椰( 1 ，t ) 椰( 1 ，t ) t ，l 。卵( o ，t ) 伽2 御( 0 ，t ) w 3 ，s 8 ( ，0 t ) 御( o ，t ) w 1 ，t ( 1 ，t ) t 7 2 t ( 1 ，t ) w 3