（运筹学与控制论专业论文）周期抛物方程的系数识别问题.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 摘要 本文讨论了如下周期抛物方程的系数识别问题 a y + a y = f t ) = 0 ， 0 ) = y ( x ，t ) ， 在q = qx ( 0 ，t ) 内， 在= a q x ( 0 ，丁) 上，( 1 1 ) 在q 内， 这里，q 是r 中的有界开区域，并具有c 2 光滑的边界。u 为q 的给定 的子区域记q = q ( 0 ，t ) ，q “= u ( o ，t ) ，其中t 0 假设f l 2 ( q ) 是给定的已知函数，函数n ( z ) 在l o 。( q ) 中的某一有界闭集中取值。 本文的主要目的是通过观测子区域u 上的y 值来从集合k 中识别出口( z ) ， 并使得( g ，。) 满足抛物方程( 1 1 ) 。更准确地说，我们考察的是如下识别问题： ( p ) ( 玑。) 脾i n f 。( 。) 。k l ( ，。) ：口) 满足系统( 1 - 1 ) l ( y ，功= y 一别2 d x d t ， j o u 州啦驯9 四c o y 瓦o y ，鑫甜( 鳓_ 1 ，n k = 口( z ) l ( n ) 1o 墨c 1sa ) 曼c 2 口e z q ， 其中争l 2 ( q “) 是给定的函数，c z 和c 2 均为正常数。 在本文中，我们解决问题( p ) 的关键步骤是利用了c a r l e m a n 不等式。借助 c a r l e m a n 不等式及方程的周期性条件，一我们得到了最小化序列在相应空间的有 界性最后由a r z a l a a s c o l i 定理和a u b i n 引理我们得到了问题( p ) 的解。 关键词：系数识别，c a r l e m a n 不等式，线性抛物方程，周期条件 一 o z 蛳“ ，、i【 a b s t r a c t l e tqcr nh ea no p e na n db o u n d e dd o m a i nw i t hc 2 _ b o u n d a r y 口qa n d ucqb eas u b d o m a i n l e tq = n ( 0 ，t ) ，t 0 a n dq u = 叫( 0 ，t ) f r o m n o wo n , w es h a l lo m i ta l lza n dti nt h ef u n c t i o n so f 。，t ，i ft h e r ei sn oa m b i g u i t y w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gl i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n i n q = q ( 0 ，t ) ， o n = a q ( 0 ，t ) ， ( 1 1 ) i nq w h e r ew ed e n o t ey to ry 7t h ed e r i v a t i v e o f y ( z ，t ) t ot ，f l 2 ( q ) i s a g i v e nf u n c t i o n t h ef u n c t i o n ( z ) i st a k e nf r o mac e r t a i ns e tk o ff u n c t i o n sw h i c hw i l lb ep r e c i s e d l a t e r t h ep u r p o s eo ft h i sw o r ki st oi d e n t i f ya ( x ) f r o ms e tk v i at h eo b s e r v a t i o n s o i ls u b d o m a i nucn m o r ep r e c i s e l y ，w es h a l ls t u d yt h ef o l l o w i n gi d e n t i f i c a t i o n p r o b l e m ： ( p ) i n f l ( y ，n ) o v e ra l l ( y ，。) h 2 ，1 ( q ) xk s a t i s f y i n g ( 1 1 ) ，w h e r e l ( y ，n ) 3 o 。l 一泐砒， 础q ) _ 赢瓦o y ，瓦o y ，酝甜( q ) ，= 1 k = 口扛) l o o ( q ) j0 茎c 1 墨o ( z ) c 2o e z q ) ， 雪l 2 ( q “) i sag i v e nf u n c t i o n ，e l a n de 2a r ec o n s t a n t s t h ek e ys t e pt og e tt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n sf o r ( p ) h e r ei s t ou s et h e c a r l e m a ni n e q u a l i t y w i t ht h eh e l po ft h ec a r l e m a ni n e q u a l i t ya n dt h ep e r i o d i c c o n d i t i o n ，w eg e tt h eb o u n d n e s so f a m i n i m i z i n gs e q u e n c e 鼽 t op r o b l e m ( p ) i n as u i t a b l es p a c e t h e nb ya s c o l i - a r z e l at h e o r e ma n da u b i nl e m m a ，w e d e r i v e t h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n st op r o b l e m ( 尸) k e y w o r d s i d e n t i f i c a t i o no fp a r a m e t e r ，c a r l e m a ni n e q u a l i t y , p e r i o d i cc o n d i t i o n ，l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n u ， l = t z 哪仉“ = = 幻 一 z z 玑“烈 ，、【 硕士学位论文 m a s t e r st i 王e s i s 第一节引言 本文讨论了如下周期抛物方程的系数识别问题 fy t a y + a y = j 可( z ，t ) = o ， 【掣( z ，o ) = 掣( 。，t ) ， 在q = q ( 0 ，t ) 内， 在= a n ( 0 ，t ) 上，( 1 1 ) 在q 内， 这里，q 是r “中的有界开区域，并具有c 2 光滑的边界u 由为q 的给定 的子区域我们记q = n ( 0 ，t ) ，q 。= u ( 0 ，t ) ，其中t 0 。本文中，在 不致于引起混淆的情况下，我们省略函数表达式中的( t ) 。假设，驴( q ) 是 给定的已知函数函数o ( z ) 在l ”( q ) 中的某一有界闭集k 中取值。稍后，我们 将给出集合耳的准确定义。 本文的主要目的是通过观测子区域u 上的y 值来从集合耳中识别出n ( o ) ， 并使得( y ，g ) 满足抛物方程( 1 1 ) 。更准确地说，我们考察如下识别问题： ( p ) ( 轨。) 艘i n f ，( 研。五 l ( 可，) ：( 可，n ) 满足系统( 1 1 ) ) l ( y ，。) 2 。l y 一奇1 2 d x d t ， 州q ) - 赢瓦o y ，面o y ，器甜( q ) l 刈乩问 其中争l 2 ( q “) 是给定的函数，c l 和c 2 均为正常数 线性系统( 1 1 ) 表征了一类物理过程，这里y 代表温度，a 代表热传导系 数我们知道前人已经研究过了观测值在整个区域上且所给系统具初值时的系数 识别问题例如【3 】，【6 中作者考察了线性热传导方程的传导系数的识别问题， 在整体观测的情况下，做了存在性、逼近性及相关数值分析的研究但在很多实际 问题中，我们只能在某个子区域上得到观测值，这就需要我们去考虑问题( p ) 。 这里，问题( p 1 与上述工作的不同之处是前者所给的是周期抛物方程，丽后者研 究的是具初值的抛物系统在整体观测的情况下，运用上述工作中的方法来研究 问题( p ) 不会有什么困难但在局部观测的情况下，运用上述工作中的方法，我 主 硕士学位论文 m a s t e r st i 王e s i s 们得不到最小化序列 鼽 在相应空间的有界性。在本文中，我们解决问题( p ) 的关键步骤是利用了c a r l e m a n 不等式。借助c a r l e m a n 不等式及方程的周期性 条件，我们得到了最小化序列在相应空间的有界性最后由a r z a l a - a s c o l i 定理和 a u b i n 引理我们得到了问题( _ p ) 的解。此问题是一个反问题，其对应的正问题是 给定一个a ( x ) 求出方程的解y ( x ，t ) 。具有局部观测的类似问题的相关研究见【5 j 和【7 】 本文的结构如下： 第一部分是引言，介绍了系数识别问题的物理背景及相关问题研究的历史进 展在回顾前人工作的基础上叙述了本文的主要结果 第二部分首先介绍了线性抛物方程的c a r l e m a n 不等式，并证明了具有周期 性的抛物方程的解的存在唯一性最后，以c a r l e m a n 不等式为主要工具，借助 方程的周期性条件，我们给出了一系列的估计式，并得到了本文的第一个主要结 果即识别问题解的存在性 第三部分是在第二部分的基础上，运用类似的方法，我们得到了本文的第二 个主要结果即识别问题的逼近 记号：本文所采用的数学符号绝大部分都是标准的，但为了本篇文章的完整性， 我们在这里补充几点： 1 在不致于引起混淆的情况下，我们用e 表示正常数，并且在不同的地方， 同一个字母c 可以表示不同的正常数。 2 l 2 ( q ) 表示通常意义下定义在q 上的l 2 空间，其范数定义为”i i = ， ( 1 2 d x ) ，本文中简记为i i 。 3 y 7 和轨均表示函数y ( x ，t ) 对t 的偏导数 4 本文中我们用“_ + ”表示在相应的函数空间中的强收敛，“一”表示在 相应的函数空间中的弱收敛，“一+ ”表示在相应的函数空间中的弱+ 收敛 2 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 第二节识别问题解的存在性 在这一节我们将证明识别问题解的存在性为此，我们先介绍几个引理。 引理2 1 设q 是r 中的有界开区域，u 是其非空子集，。是q 的另一 非空子集且_ 0cu ，则存在函数砂( z ) c 2 ( 丽) 满足 ( i ) 砂( z ) 0 ，在q 内， ( i i ) t ，( z ) = 0 ，在a q 上， ( i i i )i v 妒( 石) f 0 ，在q o = 矾叫。内， 引理2 1 的详细证明见【2 】下面我们取引理2 1 中的妒( z ) ，令 ，、 e a 口( “ ，、e ( z ) e 2 ( 。- ) 妒( 。，2 ) 2 轰；i 二酉，( 。，t ) = 三i 巧；二f ， 则有如下引理； 引理2 2 存在常数a o 0 和函数s o ( 为：r + _ + r + 使得当a 之a o ，s s o ( a ) 时，对系统( 1 1 ) 中的所有解y 都满足如下不等式： 绨幽e 2 s a 2 端d x 引d 2 t ：篱d “z 2 + d t ) ，出出 江， s g ( s 3 妒3 9 2 + 卜2 ”，2 ， 、7 j 0 “j o 这里a 是一个正常数，其取值依赖于a 和u ，但与y 和s 的取值无关，且对于 取值在工o d ( q ) 中的任意有界集的所有n ( 士) ，a 都是有界的 引理2 2 的证明参见 2 】，f 4 】和【8 】 弓l 理2 3 对每个口( z ) k = 口( 石) l o 。( q ) 10 c 1 ( z ) c 2 ，a , e z q ，方程( 1 1 ) 都存在唯一解y h 2 , 1 ( q ) 证明：令a = 一+ a i ：l 2 ( q ) 甘三2 ( q ) ，d ( a ) = h 2 ( q ) n 皤( q ) ，则 一a 生成一个解析半群e 。4 若y 是( 1 1 ) 的解，则有 ( t ) = e - r a y ( o ) + 上e 邛叫 坤) d s 3 由周期性条件有 ( i - e - r 。) 姻) = f e 书q ”m ) 如l 2 ( q ) 又因为j e 一丁4 是可逆的，我们可得 可( 。) = ( i - e - r a ) f o t e - ( t - s ) a f ( s ) d s ， ( 2 2 ) 则方程( 1 1 ) 中具有初始条件( 2 2 ) 的解c ( i o ，t 】；l 2 ( q ) ) nl 2 ( o ，t ；硪( n ) ) 。 由弱鬻的全局正则性可知y 日2 , 1 ( q ) 。这就完成了引理2 3 的证明 下面我们给出本文的第一个主要结果 定理2 1 识别问题( p ) 至少存在一个解( y 4 ，o ) 。 证明：我们记d = i n f ( p ) ，由引理2 3 的结论可知d 。， 定义可知，存在一个无穷序列 ( ，n 。) ) 日2 ，1 ( q ) k 使得 d 厶。【弧卅2 d x d t a + ；， 且有 又由下确界的 ( 2 3 ) l 站一骱+ = ，在q 内， ( z ，t ) = 0 ，在上， ( 2 4 ) i ( o ) = ( t ) ， 在n 内 由集合k 的定义可知，有界列 n 。) 必存在弱t 收敛到矿k 的子列，不妨仍 a 。一o + 在l 。0 ( n ) 中( 2 5 ) 下面我们分四步来证明 g 。) 必存在弱收敛到y 4 h 2 1 1 ( q ) 的子序列，以下 不妨仍将此子列记为 第一步，将( 2 4 ) 中第一个方程的两边同时乘以y 。后，再在n 上积分，运 用格林公式我们计算后得到 ；未l ( 驯；+ 五可1 2 如c 五j 蜘j 2 d x + 互1 五2 出 ( 2 6 ) 4 硕士学位论文 i v i a s t e r st 1 1 e s i s 将不等式( 2 6 ) 在区l 司p ，t 】上进行积分，：兵甲0 s - s t s ，戎1 l j 口j 得 i ( t ) 巨sl 铷( r ) 睦+ 厶i ，1 2 d z 出+ c f ) fl y ( s ) 1 2 d z d s ， 由g r o n w a l l 不等式我们推得 l y ( o l ；g r ) 1 2 + 厶汗d z 4 ) ，v t 旧1 ， 在上面不等式中取t = t 则有 i y ( t ) 2 2s g ( 1 骱( r ) 1 ；+ f q i l l 2 d x d t ) ，v7 - o ，卅- 我们令z = 2 e 2 1 i i 训。( - 1 ，则有 【( t ) 嚏兰g ( 互e - - 2 s o r 妒- 3 e 2 s a 妒3 y ：d x + f ql l l 2 如d t ) c e 桶( 上e 2 s a 妒3 y ：d x + f q i l l 2 d x d t ) ( 2 7 ) 将不等式( 2 7 ) 两边同时在 吾，丑上积分，经过计算后我们得到 i 可n ) l ；s g e 胛f 2 s n 3 2 。d 础+ 厶胛出出) 由c a r l e m a n 不等式( 见引理2 2 ) 及( 2 4 ) 式，易得 l n ( t ) 窿a e p 8 ( f qe 2 s a 妒3 y n 2 d 。出+ f q l y l 2 d x d t ) c x e 。( f qe2。tosl犷引2如dt+厶。e拈8妒3胁础+厶胛dzdt)jj q ”j 口 再由周期性条件。( o ) = 。( t ) ，我们可得 i ( o ) 1 2 墨c( 2 8 ) 第二步，将不等式( 2 6 ) 在【0 ，叫上积分，其中t 【0 ，t 】，我们有 l g 。( t ) 喔+ o * ni v y ( s ) 1 2 如d ssc + c 上。j ( s ) i ；d s ， ( 2 9 ) 5 再应用g r o n w a l i 不等式知 1 w ( t ) l ；墨c ，vt o ，t 1 ， ( 2 l o ) ( 2 1 0 ) 式联合( 2 9 ) 式可得 l l 弧l i c ( o x l ；l n ( n ) ) + i l 鲰i k t ( o 丁；础( n ) ) sc ( 2 1 1 ) 第三步，将( 2 4 ) 中的第一个方程两边同时乘以一t n 后，再在q 上进行 积分，经过计算后可得 ；t 是l v ( 圳；+ ；厶t i 。1 2 d z _ 0 ，令d = i n f r ，显然有d 0 呼e ( 弘如) l ( y + ，矿) 9 ( 3 3 ) 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 由l 。( ，a ) 的定义以及( 3 3 ) 式我们可令 y ：一u ：+ n 二y e = l + 6 e 骓( z ，t ) = 0 ， 骓( z ，0 ) = 骓( z ，t ) ， 在q 内， 在上，( 3 4 ) 在q 内， 这里，( 以 cl 2 ( o ，t ；l 2 ( n ) ) 且在l 2 ( o ，丁；l 2 ( q ) ) 中e - - 0 时6 。_ 0 。同样用 定理2 1 中的证明方法，我们可以得到( ( 骓，) ) 的仍记为其本身的子序列，使 得当e _ 0 时，有 魄j 可 在l 2 ( o ，t ；h 2 ( q ) ) n 1 ，2 ( 【o ，t ；l 2 ( q ) ) 中， 骓_ + 可 在g ( 【o ，t 】；l 2 ( q ) ) n l 2 ( o ，t ；弼( q ) ) 中， a e y e _ 瓦可在l 2 ( 0 ，t ；l 2 ( q ) ) 中 我们在方程( 3 4 ) 上取极限_ 0 ，则有 l 甄一可+ 西可= ，在q 内， l 可( z ，t ) = 0 ，在e 上，( 3 5 ) 【可( z ，o ) = 可( z ，t ) ， 在q 内 下面我们将分三步证明在l 2 ( o ，丁；h 2 ( q ) ) nw 1 , 2 ( o ，卅；l 2 ( n ) ) 中_ 0 时，骓+ 可。我们令= y 。一可，由方程( 3 4 ) 和( 3 5 ) 可得 i 妒：一妒。= u 。，在q 内， l 妒。( z ，t ) = 0 ，在上，( 3 6 ) 【妒e ( 。，o ) = 妒e ( z ，t ) ，在n 内， 其中咄= 以+ 瓦可2a e 骓，且在l 2 ( o ，t ；l 2 ( q ) ) 中，当e - - 4o 时0 第一步，将( 3 6 ) 中的第一式两边同时乘以忱，在qx ( o ，t ) 上积分后可得 ；i ( t ) i ；+ 上i v 忱( s ) i ；d s 兰z ol u 。恍i d x d s + ；i 忱( 0 ) l l ，vt 0 ，t ， 1 n 硕士学位论文 m a s t e r st t 正s i s 上式暗含着当e _ 0 时 1 1 _ p ej ! g “o ，t ) ；f ( n ) ) 十j l 妒el i 口( o t ；硪( n ) ) - 0 ( 3 7 ) 第二步，将( 3 6 ) 中的第一式两边同时乘以一t 忱，并先在q 上后在( 0 ，t ) 上积分可得 ；t f v 慨( 驯；一上 v ( s ) ；出+ ；z o s f 慨 2 出d s ；f 正t f 雠f 2 出出，v t o ，丁 上式结合( 3 7 ) 式可推得当_ 0 时j v ( t ) 1 2 斗0 。因为缺( o ) = 妊( t ) ，我 们可得当- - + 0 时1 v 快( o ) 1 2 0 。 第三步，将( 3 6 ) 中的第一式两边同时乘以一仇( ) ，先在q 后在( 0 ，t ) 上 积分，经过简单计算后可得 l v ( t ) 曙+ o 上i 仇( s ) 2 d z d s 墨0 t 上l 峨1 2 出出+ j v 慨( o ) 良v t 【o ，卅， 此时显然有当斗0 时 妒c l l c o ，司i 硪( n ) ) + f i i l z ( o ，r ；抒2 ( n ) ) + o 结合( 3 6 ) 及( 3 8 ) ，我们可推得当s 寸0 时j i 妒川l t ( 咿；l 2 ) - 0 。 l 2 ( 0 ，丁；铲( q ) ) n 1 ，2 ( 【o ，司；l 2 ( c 3 ) ) 中当s 0 时，骓_ 可 此外，由，) 的最优性，我们知 ( 3 8 ) 因而在 l 。( 骓，a 。) 墨l 。( 可，- ) = n ( y ，西) ，ve 0 ， 因此 撕厶( 挑，如) sl ( y ，却t ( 3 9 ) 另一方面，( y + ，口+ ) 是问题( p ) 的最优解，则有 躲训玑，曲_ 葡l i m 厶l 骓一引2 出出厶。防一, j 1 2 出d k n ( y , a ) 2 地4 ，。飞 上式联合( 3 3 ) 和( 3 9 ) 可知 觋厶( 骓，口s ) = l ( 矾) = l ( y ，o ) 一 因此( 歹，动是问题( p ) 的最优辩到此即证明定理3 2 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st i 王e s i s 参考文献 f 1 1v b a r b u ，a n a l y s i sa n d c o n t r o lo fn o n l i n e a ri n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s ，a c a d e m i c p r e s s ，n e wy j r k n y ，1 9 9 3 2 】v b a r b u ，c o n t r o l l a b i l i t yo fp a r a b o l i c a n dn a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s ，s c i e n t i am a t h - e m a t i e aj a p o n i c a ，6 ( 2 0 0 2 ) ，p p 1 4 3 2 1 1 【3 】h w e n g la n dj z o u ，an e wa p p r o a c h t oc o n v e r g e n c er a t ea n a l y s i so ft i k h o n o v r e g u l a r i z a t i o nf o rp a r a m e t e ri d e n t i 丑c a t i o ni nh e a tc o n d u c t i o n i n v e r s ep r o b l e m s ， 1 6 ( 2 0 0 0 ) ，p p 1 9 0 7 1 9 2 3 【4 】a v f u r s i k o va n do y u i m a n u v i l o v ，c o n t r o l l a b i l i t yo fe v o l u t i o ne q u a t i o n s ( l e c - t u r en o t e ss e r i e sn o 3 4 ) ，s e o u ln a t i o n a lu n i v e r s i t y , k o r e a ，1 9 9 6 5 c j i aa n dg w a n g ，i d e n t i f i c a t i o n so fp a r a m e t e r s i ni l l - p o s e dl i n e a rp a r a b d i c e q u a t i o n s ，t oa p p e a r i nn o n l i n e