（计算数学专业论文）数值积分的若干问题研究.pdf

摘要 本文主要研究了数值积分中的几个问题：最佳求积，带权函数积分的最佳 求积公式和h a d a m 盯d 有限部分积分的数值计算 对自然数r 和常数k 0 ，以k w 7 【a ，6 】表示区间【n ，6 】上r 一1 阶导数绝 对连续并且r 阶导数，【r ) 满足 i ，( ( t ) i j ta i e t 【n ，6 】 的函数，的全体所构成的s o b o l e v 类现在假设函数f k 彤h6 】不知道其 表达式，而只知其在一组给定节点x ：= ( 1 ，z 2 ，) p 上的函数值和直 到r 一1 阶的导数值这些已知的函数值和导数值记为 ( x 1 )f ( x 2 ) ，( z 。) 心( 班：i 八? 1 ) 八? 。) 厂? i ， l ： ： i 产- 1 ( z ，) - 1 ( z 2 ) ，( r - 1 ( ) 称之为h e r m i t e 信息如果对一组给定数据y ，有 f ，玑 抛 、 ，咒：( ，) ：y ：i 呼呼 哆 1 ! ，i r - 1 毋_ 1 ) 拶1 利用这组给定数据，我们希望给出积分f ：f ( t ) d t 的最佳求积公式和误差估计 详言之，在所有可能的求积泛函q ：7 - l , ( k w 【口，6 】) 一r 中找出一个求积公 式驴，使得对所有满足r ( ，) ；y 的f k w 【o ，6 】的积分c ( t ) d t 的最大 误差达到最小，即 辫iz b f ( t ) d t - q ( y 2 警l 霸c k w r l a ，j , lf ， d t q ( y ) l ：= r ( y ) 那么称满足上式的求积公式q 。( y ) 为基于给定信息y 的最佳求积公式同时 其误差界r ( y ) 称为对积分的h e r m i t e 信息y 的半径 摘要 关于求积公式的极值问题，通常还有s a r d 意义下的和k o l m o g o r o v n i k o l s k i i - s c h o e n b e r g 意义下的最佳求积公式两种这两种最佳求积公式与 上面提到的基于给定信息的最佳求积公式之间的区别是：第一，这两种求积公 式都局限于在线性求积泛函中寻找；第二，它们没有利用给定的数据y ，而是 在整个函数类彬r f o ，6 】中寻求而我们知道，信息的获取往往是有代价的，因 而必须加以利用因此，从某种角度来讲，上面提到的这两种求积公式并不是最 理想的我们在文中将详细讨论三种最佳求积公式之间的关系，并且提供了一 种由基于给定信息的最佳求积公式得到其它两种求积公式的方法 基于给定信息的最佳求积公式的概念最先由王兴华和宓湘江在文献9 2 1 中 提出，并且给出当r = 2 时具体的求积公式和误差估计而r = 1 的情形也在文 献【7 1 】中给出现在，本文利用一些代数上的技巧获得了在上述意义下r = 3 ，4 时的最佳求积公式和误差估计这个课题进一步的发展可参见【7 6 ，7 7 ，7 9 ，9 4 】 另外，作者利用求得的最佳求积公式和误差估计的显式表达式得到一 阶i y e n g a r 型不等式 if 6 ，( 出一；( ，( + ，( 6 ) ) ( 6 一口) js 丁k ( b - a ) 2 一：丛掣 在三阶，四阶的推广1 y e n g a r 不等式自从1 9 3 8 年i y e n g a r 提出来之后，就不断 有学者试图将它推广到更高的阶但是，这些推广往往加了一些限制条件或者 即使推广了然而并不是符合i y e n g a r 原义的推广这里，我们给出了i y e n g a r 不 等式在真正意义上的的推广 本文还得到r 阶s o b o l e v 类k w f o ，嘲中带权函数积分的基于给定信 息的最佳求积公式及其误差估计，文中讨论了如下形式的权函数户( t ) = ( 1 一t 2 ) m 一，( 亡一甄) m _ ( z t + l t ) m 一( e = 1 ，2 ，n 一1 ) ，s i n m t ，c o s 拓，其 中m 为非负整数，并且就第一类c h e b y s h e v 权函数( 1 一铲) 一 给出一些数值例 子与g a u s s - 附a n 求积公式进行比较 本文最后一部分考虑h a d a m a r d 有限部分积分的数值计算问题1 9 3 2 年h a d a m a r d 把高阶奇异积分的c a u c h y 主值中引起积分发散的项删去，将剩 下的有限部分积分定义成高阶c a u c h y 积分的主值，称之为h a d a m a r d 有限部 摘要 分积分县仟表达瓦定义力 眦；，；钳= z 6 肿) 业号掣m + 喜学z 离岛此 其中f ( a ，6 ) ，p n o ：= o ，1 ，) - - 般情况- f ，( 1 ) 式右端第二项的积分值 是容易计算的，所以我们着重研究第一项积分的数值计算 首先，我们可以将第一项积分写成差商的形式，即 加，业芝警兰型拈肛挪，包a t - ( 2 ) 无论是用g a u s s 型求积公式还是插值型求积公式来近似计算积分( 2 ) 时，求积 公式中都将涉及到差商，【茁k ，f ，目的计算问题，其中x k 是求积节点那么 、- 。_ - ， p + l 当z 与f 充分接近时，直接用，在z k 和上的函数值来计算差商将是非常困 难的在文中，我们用，的l a g r a n g e 插值多项式的差商来近似代替，的差商 该插值多项式是函数，在另一组节点a o ，a 1 ，a n 上插值得到的虽然插值多 项式中也涉及到在另一组节点a o ，0 1 ，一，上差商的计算问题，但我们可以把 这组节点的间距取得足够大，以便使计算能够顺利进行 随后，我们利用对称群的循环指标多项式将求积公式显式地表示出来，并 且给出一些数值计算结果 关键词：s o b o l e v 类，h e r m i t e 信息，最佳求积，最佳插值，完全样条，i y e n g a r 不等式，中心算法，g a u s s - t a r d n 求积，c a u c h y 主值，h a d a m a r d 有限部分积 分，循环指标 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ef o l l o w i n gp r o b l e m si nn u m e r i c a li n t e g r a t i o na r es t u d - i e d ，b e s tq u a d r a t u r e ，b e s tq u a d r a t u r ef o r m u l a sw i t hw e i g h tf u n c t i o n sa n dn u - m e f i e a le v a l u a t i o no fi n t e g r a ld e f i n e db yh a d a m a r df i n i t ep a r t f o ra n yn a t u r a ln u m b e rra n da n yp o s i t i v en u m b e rk ，l e t 7a ，6 】b et h e r t hs o b o l e vc l a s sc o n s i s t i n go fe v e r yf u n c t i o n ，d e f i n e do nt h ei n t e r v a l 【o ，6 】，w h o s e ( r 一1 ) s td e r i v a t i v e ，( r - 1 ) i sa b s o l u t e l yc o n t i n u o u sa n di t sr t hd e r i v a t i v ef 【r ) s a t i s f i e s l ，( ( t ) i ka e t 【口 6 】 n o w ，s u p p o s et h a tf u n c t i o nf k w a ，6 】，w eo n l yk n o wt h ev a l u e so ffa n d i t sd e r i v a t i v e sa tas e to fn o d e sx ：= ( x l ，x 2 ，z n ) 舻，n o te x p r e s s i o no f f t h e s ek n o w nv a l u e so ff a r ed e f i n e db y 砥 幔点美， 砥 ：i 八? o，? z ) 一，( _ i ，( r 。1 ( z - ) ，( r 1 ( 。2 ) ，( r - 1 ) ) w e , n a m ei ta sh e r m i t ei n f o r m a t i o n s u p p o s ef o rt h eg i v e nd a t ay ，w eh a v e ， 讥抛 磁( ，) ：y ：；i乎呼 l ： ， 井1 毋- 1 识 ! 毋- 1 ) w eh o p et oo b t a i nt h eb e s tq u a d r a t u r ef o r m u l aa n di t se r r o rb o u n df o ri n t e g r a l e ，( t ) d tb a s e d o nt h eg i v e ni n f o r m a t i o ny t h a ti st os a y ，w en e e dt of i n da q u a d r a t u r ef o r m u l a 驴f o rt h ei n t e g r a lf ：f ( t ) d t ，w h o s ef u n c t i o nfb e l o n g st o t h es o b o l e vc l a s sk w a ，6 】a n ds a t i s f i e s 磁( ，) = y ，m i n i m i z i n gt h eb i g g e s t a b s t r a c t q u a d r a t u r ee r r o rb o u n da m o n ga l lt h ef u n c t i o n a l sq ：u ：( k w a ，6 】) _ r ，i e ， 。s u p 。，j z 6 邢) d t - q * ( y ) j = 1 手，。嚣p 4 ，。，( t ) d t q ( y ) l ：= 咒( y ) t h e nt h eq u a d r a t u r ef o r m u l aq ( y ) i ss a i dt ob et h eb e s tq u a d r a t u r ef o r m u l a b a s e do nt h eg i v e ni n f o r m a t i o ny c o r r e s p o n d i n g l y ，t h ee r r o rb o u n dr ( y 、i s c a l l e dt h et a d i n so ft h eh e r m i t ei n f o r m a t i o ny f o re x t r e m a lp r o b l e mo fq u a d r a t u r ef o r m u l a ，b e s tq u a d r a t u r ef o r m u l a si n t h e8 e n 8 eo fs a r da n dk o l m o g o r o v - n i k o l s k i i - s c h o e n b e r ga r ec o n s i d e r e d t h e r e a r es o m ed i f f e r e n c e sb e t w e e nt h eb e s tq u a d r a t u r ef o r m u l a sa b o v ea n dt h eb e s t q u a d r a t u r ef o r m u l ab a s e do nt h eg i v e ni n f o r m a t i o n f i r s t l y ，t h ef o r m e ra r el i n - e a rf u n e t i o n a l si n s t e a do fa l lf u n e t i o n a l sq s e c o n d l y ，t h 呵s e a r c h e st h eu p p e r b o u n do ft h ee r r o rf o ra l lt h ef u n c t i o n si n 耳w a ，6 】i n s t e a do fu s i n gt h eg i v e n i n f o r m a t i o ny a sw ek n o w ，t h eg i v e ni n f o r m a t i o na r ea l w a y so b t a i n e de x p e n - s i v e l y ，t h u s ，a n yd i s u s eo ft h e mi sn o tj u d i c i o u s f r o ms o m ep o i n to fv i e w ，t h e y a r en o tt h eb e s tq u a d r a t u r ef o m u l a s i nt h i sp a p e r ，w ew i l ld i s c u s st h er e l a t i o n s a m o n gt h et h r e eb e s tq u a d r a t u r ef o r m u l a sd e t a i l e d l y ，a n dp r o v i d eam e t h o d t oo b t a i nt h eo t h e rt w oq u a d r a t u r ef o r m u l a sf r o mt h eb e s tq u a d r a t u r ef o r m u l a b a s e do nt h eg i v e ni n f o r m a t i o n w a n ga n dm i 【9 2 】f i r s tp r o p o s e dad e f i n i t i o nf o rt h eb e s tq u a d r a t u r eb a s e d o nt h eg i v e ni n f o r m a t i o n ，a n do b t a i n e dr e s u l t sf o rr = 2 h 【7 1 ，t h er e s u l t sf o r r = 1a r ea l s og i v e n n o w ，w eo b t a i nt h ee x p l i c i tr e s u l t sf o rr = 3 4b a s e do nt h e g i v e ni n f o r m a t i o nm a k i n gu s eo fs o m ea l g e b r a i ct e c h n i q u e s f a r t h e rd e v e l o p m e n t o ft h i sp r o b l e mc a ns e e 【7 6 ，7 7 ，7 9 ，叫 f l a t h e m o r e ，u s i n gt h ee x p l i c i tq u a d r a t u r ef o r m u l a sa n de r r o rb o u n d 8 。w e p r o d u c et h ee x t e n s i o na n dg e n e r a l i z a t i o n so fi y e n g a ri n e q u a l i t y f z 6 ，( t ) d t 一；( ，( 西+ ，( 6 ) ) ( 6 一) i t k ( b - - a ) 2 一i 丛掣 t ot h ec l a s s 耳7a ，6 】( r = 3 ，4 ) s i n c e1 9 3 8 ，c o n s i d e r a b l ee f f o r t sh a v ec o n - t r i b u t e dt ot h ee x t e n s i o n sa n dg e n e r a l i z a t i o no ft h el y e n g a ri n e q u a l i t y r e s u l t s a r eo b t a i n e du n d e ra d d i t i o n a lc o n d i t i o n s i nt h i sp a p e r ，w eg i v ear e a lg e n e r a l - i z a t i o no ft h el y e n g a ri n e q u a l i t y a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea l s oo b t a i nt h eb e s tq u a d r a t u r ef o r m u l a sb a s e d0 1 1t h e g i v e ni n f o r m a t i o na n de r r o rb o u n d sw i t hw e i g h tf u n c t i o n so nr t hs o b o l e vc l a s s k w 7 l a ，6 j t h e w e i g h t f u n c t i o n s a r e i n t h e f o l l o w i n g f o r m ，p ( t ) = ( 1 - t 2 ) ”，( t - 茁t ) ”一( z + 1 一t ) ”一i ( = 1 ，2 ，n 一1 ) ，s i n m t ，c o s m t ，w h e r em i sn o n n e g a - t i r ei n t e g e r s w ec o m p a r eo u rq u a d r a t u r ef o r m u l aw i t hg a u s s - t t f f a nq u a d r a t u r e f o r m u l aw i t hc h e b y s h e vf u n c t i o no ft h ef i r s tk i n d t h er e s tp a r ti nt h i sp a p e rf o c u s e so nt h en u m e r i c a le v a l u a t i o no fh a d a m a r d f i n i t e - p a r ti n t e g r a l s t h ec o n c e p to ff i n i t e - p a r ti n t e g r a ls e 刨娜t oh a v eb e e nf i r s t i n t r o d u c e db yh a d a m a r di n1 9 2 3 h ed i s c a r dt h ed i v e r g e n tt e r m si nc a u c h y p r i n c i p a lv a l u ei n t e g r a l ，t h e r e f o r e ，w ed e f i n et h ef o l l o w i n g 龇；，；扒= z 6 肿) 业筹尝业a t + 嘉学z 翟岛m ， w h e r e ( a ，b ) a n d p n o ：= o ，1 ，) i ng e n e r a l ，t h es e c o n di n t e g r a lo nt h e r i g h t - h a n ds i d eo f ( 1 ) c a np r o p e r l yb ec o m p u t e d t h e r e f o r e ，w ee m p h a s i z et h e n u m e r i c a le v a l u a t i o nf o rt h ei n t e g r a lo ft h ef i r s tt e r m f i r s to fa l l ，w ec a nr e w r i t et h ef i r s ti n t e g r a li nt h ef o l l o w i n gd i v i d e dd i f f e r e n c e f o r m 。肛) 业号芝警坚业出= b p 化严( 2 ) t ot h ea p p r o x i m a t ee v a l u a t i o no fi n t e g r a l ( 2 ) i ns p i t eo fu s i n ga l lo r d i n a r y g a u s s i a nr u l eo ri n t e r p o l a t o r yq u a d r a t u r ef o r m u l a ，t h e r ea r ea l lc o n c e r n e dw i t h t h ep r o b l e mo fc a l c u l a t i n gt h ed i v i d e dd i f f e r e n c ef x k ，f ，司，w h e r ez 女i so n e o ft h eq u a d r a t u r en o d e s v c h e nt h ed i s t a n c eb e t w e e nt h en o d e 卫膏a n dfi sv e r y s m a l l ，t h ed i v i d e dd i f f e r e n c e z k ，；，qo ff u n c t i o n ，i sv e r yd i f f i c u l tt oc o m p u t e i nt h i sp a p e r ，w eu s et h ed i v i d e dd i f f e r e n c eo ft h el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n 毹| t oa p p r o m m a t et h ed i v i d e dd i f f e r e n c eo f t h el a g r a n g ei n t e r p o l a t i n g p o l y n o m i a lb a s e do na n o t h e rs u i t a b l en o d e sn o ，a l ，a l t h o u g h ，t h ed i - v i d e dd i f f e r e n c ei sc o m p u t e db a s e do na o ，a l ，w h i c ha r ea s s u m e dt h a tt h e a b s t r a c t d i s t a n c e sb e t w e e nt h en o d e sa r el a r g ee n o u g hs u c ht h a tt h ec o m p u t a t i o no ft h e d i v i d e dd i f f e r e n c ec a nb ec a r r i e do u ts m o o t h l y t h e n ，t h eq u a d r a t u r ef o r m u l ai se x p r e s s e de x p l i c i t l yb ym e a i l so fc y c l ei n - d i c a t o rp o l y n o m i a l so fs y m m e t r i cg r o u pa n ds o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ea l s o g i v e n k e y w o r d s ：s o b o l e vc l a s s ，h e r m i t ei n f o r m a t i o n ，b e s tq u a d r a t u r e ，b e s ti n - t e r p o l a t i o n ，p e r f e c ts p l i n e ， y e n g a ri n e q u a l i t y ，c e n t r a la l g o r i t h m ，g a u s s - t m - h n q u a d r a t u r e ，c a u c h yp r i n c i p a lv a l u e ，h a l a m a r df i n i t e - p a r ti n t e g r a l ，c y c l ei n d i - c a t o r 第一章绪论 1 1引言 设，是区间【o ，6 】上某一给定的可积函数，现在要求计算定积分e f ( z ) d t 微积分教课书中有许多计算这类定积分的方法，或是借助于原函数，或是不经 过原函数，而是借助于各种各样的，大部分是技巧性的方法来计算当然，对 于莱些可以求出精确表达式，但是我们又不熟悉的积分，我们可以参考积分 表然而，随着电子计算机的高速发展，人们往往不满足于现有的积分表，更 何况现有的这些积分表或多或少存在一些数学上的或者印刷上的错误k l e r e r 和g r o s s m m a 曾经专门研究了八种十分流行的数学用表，发觉表中的差错率几 乎超过百分之五 不管是借助于原函数还是查找积分表，用这些方法只能解决很狭隘的一类 积分，在它的范围外通常采用各种近似计算的方法在工程计算中，由于许多函 数的不定积分无法用简单函数表达出来，甚至函数本身都无法详尽地描述，而 代之以表格的形式给出一些离散点上的函数值在上述这些情况下，理论上的 积分式就可能完全用不上了，我们必须采用数值积分数值积分是研究如何求 出一个积分的数值，确切地说是积分的近似值为此，我们定义任何一个能够近 似定积分cf ( z ) d t 的数值表达式，通常称为数值积分公式或求积公式 当然，可积函数的种类是极其多种多样的若考虑函数的近似积分的某个 完全确定的方法，则不可能对所有一般可积函数预先指出逼近的信值，这种估 值显然等于无穷大例如，考虑梯形公式显然，可以构造在区间【n ，6 】端点处 等于零的函数而使它在这区间上的定积分大于任何预先给定的数按梯形公 式逼近这样函数的定积分所得的误差就等于这个积分本身，从而可以任意的 大f 5 1 1 所以，数值积分的基本问题就是针对某些函数类，选择合适的求积节点 和求积系数，使得求积公式尽可能好地逼近cf ( x ) d t 正如前面所说的，在许 多情况下，我们所面l 临的问题是要从实验数据求出积分，这时理论上的积分式 就可能完全用不上了这样，寻求基于给定信息的求积公式就变得十分必要和 有意义了 另外，我们遇到的函数可能不光滑，甚至并不连续，有时函数还会发生振荡 第一章绪论 2 或者在某点无界在这些情况下，我们必须考虑一些特殊的处理手段，以适应不 同的函数类若积分式中的被积函数在求积区间上无界或积分域无界，则这种 积分就是大家熟知的反常积分( 也称之为奇异积分或非正常积分) 我们知道， 微分方程边值问题的解都可以用积分的形式表示，而且也常会遇到一些被积函 数在积分区域内具有奇异性的积分另外，奇异积分方程在力学、空气动力学及 数学物理等学科中的应用非常广泛而上述问题中，对奇异积分的处理是数值 计算实现的关键由此可见，如何计算奇异积分的近似值是一类很重要的问题 1 2 最佳求积 在介绍最佳求积公式之前，我们先来看看一些经典的求积公式 1 2 1 经典的求积公式 数值积分，即用被积函数值的一种线性组合( 偶尔也采用非线性组合) 来 逼近所求积分： ，6 n 札捌( ，) ：= f ( t ) d t a i ，( 瓯) ， ( 1 1 ) 。o 1 商1 在( 1 1 ) 式中，z 1 ，茁2 ，称为求积公式的节点，a 1 ，a 2 ，k 称为求积系 数，或者称为相应于这些求积节点的n 个“权”有时，( 1 1 ) 式最后项还可能出 现被积函数的导数我们将与函数值有关的信息称为l a g r a n g e 信息，与导数值 有关的信息，则称之为h e r m i t e 信息 所以，只要确定节点和权九，求积公式也就确定了一种很经典也最简 单的方法，是取区间【a ，6 】上的等距节点作为求积节点，即x i = o + ( i - - 1 ) ，h = ( b o ) m 一1 ) ，i = 1 ，2 ，竹利用这些节点上的函数值作l a g r a n g e 插值多 项式： 胁) ：= 善蓑m t )1 2 1 因此，我们可以用丑。，q ( 厶) 作为棚( ，) 的一个近似，这样得到的求积公式 捌( 厶) 称为n e w t o n c o t e s 求积公式这类求积公式最大的优点就是表达式简 单，而且当n = 2 时，得到梯形公式；当礼= 3 时，就是s i m p s o n 公式或抛物型 第一章绪论 3 公式然而，采用n 点的n e w t o n - c o t e s 公式而且n 趋于无穷大时，它有龙格现 象 另一类重要的近似求积就是g a u s s 型求积公式如果考虑如下形式的积分 ，6 丑。，q ，p ( ，) ：= p ( t ) ( t ) d t j o p ( t ) 是在a ，6 】上l e b e s g u e 可积的非负函数，称之为权函数那么求积节点翰 可以取成是相应于权函数p ( t ) 的正交多项式的零点，则可以找到正常数 a i ，a 2 ，h 使得只要p ( 力是类危。一l ( 巧r 表示次数sn 的多项式函数) 中 的多项式，便有 ，6 “ p ( t ) p ( t ) d t = a p ( x f ) ( 1 2 ) j 4 面 而且，g a u s s 型求积公式是具有最高代数精度的这里的代数精度是指：若求 积公式具有m 次代数精度，则对所有次数不超过m 的代数多项式p ( t ) 均能 使( 1 2 ) 成立具体的可以参考【1 6 ，5 7 ，8 5 ，1 0 3 综上，不管是n e w t o n - c o t e s 求积还是g a u s s 型求积，它们的求积节点都是 周定的，比如等距节点，比如正交多项式的零点，但是，由于实际情况的限制， 这些求积节点上的函数值并不一定都是已知的一些理论上可行的求积公式在 实际中可能并不能达到预期的效果，这样寻求基于某些己知信息的求积公式就 变得非常重要另外，评判这些经典的求积公式的好坏，主要还在于代数精度 从某种意义上来讲，代数精度越高，求积公式的逼近程度越好但是这里，我们 建立一种全新的评判标准，也就是最佳求积 1 2 2不同理论框架下的最佳求积 s a r d 【5 s ，n i k o l s k i i 【5 1 】和s c h o e n b e r gf 5 9 】等开创了最佳求积公式的研究 s a r d 和n i k o l s k i i 的时代，计算机的使用远没有现在普及，科学计算更没有现在 发达也许正因为如此，在他们的理论框架下，信息的价值没有得到充分的体 现然而，时代在发展，科学计算越来越重要科学计算的一个重要特征是信 息的获取往往是有代价的，它们可能是一次大规模科学与工程计算的结果f 6 2 1 ， 也可能是一个实际测量的数据，是一些散乱的数据我们得到这些信息是昂贵 的，因而废弃这些经过相当大的代价获得的信息显然是不经济的，甚至是不明 第一章绪论 4 智的【9 4 】正是基于科学计算的经验和问题的实际背景，王兴华和宓湘江 9 2 】 首先提出了基于给定信息的最佳求积公式的概念在定义给出之前，我们首先 介绍一些记号 给定常数k 0 ，以k w 陋，6 】表示区间【a ，6 】上具有绝对连续函数的r 一1 阶导数并且r 阶导数满足 ，7 ( t ) i ka e t 【口，6 】 的函数f 的全体所构成的s o b o l e v 类设x ：= ( $ 1 ，x 2 ，z 。) 酞n 是区 问f a ，b l 上一组给定的节点： a = ：x o z l t 2 茁n 0 和0 口1 ，使得对陋，6 】中任意两 点t 】与t 2 有 f ( t 1 ) 一f ( t 2 ) isl i b t 2 1 。 ( 1 5 ) 一般来说，积分c 毪d 亡不存在但f ( t ) 在满足( 1 5 ) 条件之f ，司研冗以r 表 达式： 酬r 1 罄a t + 罄叫 q 6 ， 如果( 1 6 ) 存在，我们就称此极限是积分c 篾d t 的c a u c h y 主值，记为 z 6 罄妊器盱1 罄出+ 罄d 小 下面我们来看一下，( 1 6 ) 式是否存在? 因为 f 6 罄出= 器丛掣出+ ，( 。r 一及d t + 等玳，老 ， 上式右端第二与第四项之和的极限为，( f ) l o g 羞，而，( t ) 满足条件( 1 5 ) ，因此 第一和第三项的积分是存在的所以得到下面的c a u c h y 主值表达式 z 6 罄m = f 等笋胀，z 6 砭d t =j广等笋dt+，(汕s甚ot f一o 第一章绪论 9 现在我们考虑二阶奇异积分i 翳m 的c a u c h y 主值，并且假设，( t ) 满 足h s l d e r 连续条件因此有 z 等拈z 6 盟掣三铲幽堋。名鲁+ ，f ( 。bd t i ， 由前面的讨论可知，上式右端第一项和第三项的积分是存在的我们看一下第 二项的积分，根据定义 z 6 南= 黯旷南+ 志 、 ：土一土+ u m 2 ” 2 石j 一泛十器i 显然，第二项的极限一般是不存在的( 除非，( f ) = 0 ) 从以上讨论过程看出， 二阶奇异积分的c a u c h y 主值一般情况下并不存在 1 9 3 2 年h a d a m a r d 在( 2 8 】中把c a u c h y 主值中引起积分发散的项删去，将 剩下的有限部分积分定义成高阶c a u c h y 积分的主值，称之为h a d a m a r d 有限 部分积分( 有些文章称为h a d a m a r d 主值) ，用符号“手”表示 因此，我们将( 1 7 ) 中第二个等号的最后一项去掉，就得到h a d a m a r d 有限 部分积分 眦b 虿d t = 器尚+ e 。志一和 、 = 去a 一去b = 鑫z 去 。 一一fd 厶t f 而二阶奇异积分ci 翳出的h a d a m a r d 有限部分积分定义为 f 器拈f 6 盟锷笋州f 挪b d t 孬州9z 簧 有了这样的主值定义之后。我们可以推广到更高阶的奇异积分设，0 ) 满足h s l d e r 连续条件，其中p 是非负整数，去掉c a u c h y 主值中的发散项，我 们得到下面的定义 定义1 4 p + l 阶奇异积分e 嘏出的h a d 锄盯d 有限部分积分为 王器一z 6 业掣出 + 砉学z 高为 第一章绪论 1 0 从( 1 8 ) ，我们还可以得到下面的命题 命题1 1 当p 是非负整数，并且f ( n 6 ) 时，我们有 鑫z 器d t = p z 菩务此 和 z 精m = 刍暴z 6 罄a t 命题1 1 给出了h a d a m a r d 有限部分积分和c a u c h y 主值之间的关系 虽然早在1 9 2 3 年h a d a m a r d 就已经提出了积分有限部分的思想，然而它 的应用却很晚直到1 9 5 1 年，m a n g l e r1 4 0 利用它来解决在空气动力学中的一 些问题( 也可以参考f 2 1 ) 接下来的这些年，人们发现h a d a m a r d 有限部分积 分在高阶奇异积分中的应用也非常广泛 众所周知，奇异积分方程的研究与发展由来已久，而高阶奇异积分的主值 在研究双曲偏微分方程的c a u c h y 问题和高阶奇异积分方程方面起了重要作用 特别是对于h a d a m a r d 有限部分积分意义下的高阶奇异积分已有一系列研究， 它们在复分析、偏微分方程、奇异积分算子理论、断裂力学、微波技术以及信号 和图象处理等方面有着广泛应用 因此，研究h a d a m a r d 有限部分积分的数值解显得非常有意义当然，有许 多学者致力于这方面的研究，比如文献【6 ，1 5 ，2 0 ，3 l ，4 1 ，4 9 ，5 3 以及它们的参 考文献现有的数值积分方法主要还是插值型求积公式，不同的地方就是对插 值节点的选取因为f 是区间【a ，6 】上的奇点，所以插值节点选取的好坏会直接 影响到求积公式的稳定性，特别是当奇点和某个求积节点充分接近时本文就 是为了解决这个问题，从差商和计算组合数学的观点提出一种新型的求积公式 考虑到h a d a m a r d 有限部分积分第一项中的被积函数又可以用差商的形式表 示，而且是关于奇点和求积节点的重节点差商当奇点和某个求积节点充分接 近时，直接用函数在奇点和求积节点的函数值来计算差商将是非常困难的在 文中，我们用函数的l a g r a n g e 插值多项式的差商来近似代替原函数的差商，而 此处的插值节点可以取成是另外一组间距足够大的节点，从而使得数值计算能 顺利进行具体的构造过程详见第四章 第二章最佳求积和i y e n g a r 不等式的推广 在这一章，我们主要讨论s o b o l e v 类耳r 陋，6 】p = 3 ，4 ) 上基于给定信 息y 的最佳求积第一节考虑特殊类1 w r 【0 ，1 】：= w r 上给定信息的最佳求 积，并且给出了具体的求积公式、信息半径以及信息特征，同时还得到了函数 类彬r 陋，6 lp = 3 ，4 ) 上基于给定信息的最佳插值和最佳求积的具体表达式 在第二节中，作者比较了三种不同意义下的最佳求积公式之间的关系最后，第 三节给出i y e n g a r 不等式三阶、四阶的推广 2 1 基于给定信息的最佳求积 王兴华、马万和宓湘江曾在【7 1 】中讨论过函数类w l k6 1 上的最佳求积， 得到开型复合梯形公式就是相应的最佳求积公式函数类k 2a ，6 1 上的最佳 求积的结果在王兴华和宓湘江【9 2 】中给出，相关的文献可以参考【8 6 】在这一 节中，我们的主要任务是将求积公式推广到r = 3 ，4 ，并且给出显式的结果为 讨论方便，我们先考虑类w r 上基于两点h e r m i t e 信息( 已知x = ( 0 ，1 ) 上的信 息) 的最佳求积公式 2 1 。1r = 1 的情形 在这- - , j , 节中，我们先从另一种观点一一完全样条的观点来重新阐述一 下r = 1 时的情形设妒w 1 ，e = 士( 或相应地e = 士l ，由上下文关系而定 ) 并且 ，l ( t ) = p ( 1 ) + e l t + 2 ( t 一，1 ) 一) ，t 【o ，1 】， ( 2 1 ) 这里 靠，= 互1 ( - + e 妒【0 ，1 ) ，妒【0 ，】：= 妒( ) 一妒( 。) ，近= ，萋：三主 显然有& 1 w 1 和 耳，1 ( o ) = s _ 1 ( o ) 2 妒( o ) ，鼻，1 ( i ) = n ，：( 1 ) 2 妒( 1 ) ；( 2 2 ) s - , l ( t ) 妒o ) ss i ，1 ( t ) 对任何妒w 1 ，t 【o ，1 】 、 第二章 最佳求积和i y e n g a r 不等式的推广 那么，可以看出凡 1 js - 1 是样条函数，更准确地说是完全样条如果 i 妒f o ，l 】j 1 ，最，i 有一个自由节点否则的话，妒f 0 ，1 】= 士l ，& ，l 退化威一次多 项式为了排除这些退化情形，我们给出一个新的记号设珥是中具有i 个自由节点的r 次完全样条的集合，令 称i 为r 阶非退化规范s o b o l e v 类 那么，相应的问题就转化为：设有妒职，如果已知其在给定节点x = ( o ，1 ) 上的r 阶两点h e r m i t e 信息 v ( o ) 心( 小：i ! 。) i： ! o ( r - z ) ( o ) i ，a ( r - z