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插值算子列在函数概率空间下的平均误差 摘要 插值理论是一门既悠久又现代的数学理论，它丰富的理论和先进的方法为解决当今层 出不穷的计算问题提供了卓有成效的工具，而且许多插值算子列在一些函数概率空间下的平 均误差是非常重要的目前大部分关于插值算子列的平均误差的工作都是在w i 钿髓空间下 讨论的，然而在以喇【o ，1 】的再生核为协方差核的重要函数概率空间和布朗桥测度空间下， 讨论插值算子列的平均误差的文章尚未出现因此本文把在w i 舶盯空间下讨论平均误差的 方法迸一步应用到这两种函数概率空间上，对h 锄i 皓f e j 打插值算子列、b g r a n g e 插值算子 列的甲均误差做了进一步的研究本文首先得到了在w i e n e f 空闻f 基于第一类仇匆s k y 多项式零点的一种修正的h e 彻i 瞎f e 净插值算子列的平均误差的弱渐近阶；其次得到了在 一种重要的函数概率空间下，基于第类c 缸缈s 触l ，多项式零点的ia 鲫g e 和蛐喇打 插值算子列的平均误差的弱渐近阶；最后得到了在布朗桥测度空间下，基于等距结点组的 l a g r a n g c 三角多项式插值算子列的平均误差的弱渐近阶根据内容我们将本文分成四章 第一章为绪论 第二章得到了在w i 髓空间f ，基于第类c 讫p 勿s 妇1 ，多项式零点的一种修正的 蛔m i 皓 f e j 白插值算子列的平均误差的弱渐近阶，对插值算子列在w e n e r 空间下的平均误差的有关 结果进行了推广 第三章得到了在协方差核为删【o ，1 】的再生核的函数概率空间下，基于第类c 钆勿曲删 多项式零点的ia g 髓n g e 和 l a 胁i 珏f e j 臼插值算子列的平均误差的弱渐近阶 第四章得到了在布朗桥测度空间下，基于等距结点组的b g r a n g e 三角多项式插值算子 列的平均误差的弱渐近阶 关键词c 抛勿妫纠多项式；修正的h e 彻i t e 州白插值算子列；琢釉1 i t e 厕打插值算子 列；l a g r a n g e 插值算子列；l a 舯n g e 三角多项式插值算子列；w i 嘲空问；叫【0 ，l 】空间； b r 洲n i 姐桥测度空间 t h e a v e r a g ee r r o r0 f t h ei n t e r p o l a t i o no p e r a t o rs e q u e n c ei n f u n c t i o np r o b a b i l i t ys p a c e 】n h 卵o l a t i t 1 1 e o 巧i sam a t l l 锄a t i c a lt l l e o 嘎o l db i l tf 磷o n 曲k i t sa b i m d a i l tt l l e 砥e s 趾d a d v 卸l c e dm e m o d s 删d ep o w e 栅锄d 砌饪m 伽l sf 研s o ：| 、，i 】唱c 0 噬n p m ep m b l 伽啮t h ea v e 卜 a g e 即饼0 f i n 唧o l 撕0 p 蝴s e q 噼i n ai e wf h n 嘶鲫) b 捌l i 哆恻i sv e f y 啦 t a i l t m 旬孵w o 呔a b ( m tt b e 钠嘲薯g p 咖o fi n t e j 删a 吐o n0 l 煳噙t o f q u e n i so n l yd i s c 吣s c di n w i 印髓s p a c ea t 珥础k l w e 、，盱，t 0 恤缸玳财呻b a b i l i 哆s p a w h o c o v a i ! i 锄i l 【e m e li s 也e 呻c i n g 蛔e lo f 魄【0 1 】雏d 龇洲柚m d g e m 黼s p 蛾，t h c 毗棚p a 芦i s f 孤w i t h 位m e t h o d s o fd i s c 啦s i n g 到惯弩跚i n w 妇s p 截唧d i s c ：璐s 也e 副惯a g e 删o f h 组m 娩恻白觚d 乙i g r a n g ci n 叫棚0 l 翩啦盯q 1 撇i n 铆。如n c 吐o n 硼b 蛐哆s p a c 铭 a tf i r 啦，w ed i s c u 稿t h e 孙嘲翟g e 咖o fe g e f v 哪- 1 、l 锄h 锄i 咄j 打i d t 既p 0 1 a n o n0 l 翮瞄t 眶给 q u i 撇h e d o n 啦e x t e n d e d 嬲o f 曲e b y 洳一) ，n 咄i a l o f t h c 凰t k 砌i n t h c 晰e 嘣s p a 鹏， t h e nw ed i s c 峭st h e 剞嘲麓g e 咖o fl a g r a n g e 勰dh “t e 州臼i n t e ：删a 矗o n0 l 煳恻【o f q l l e e i n 姐i m p o m m tf u n 撕胛。：b a b i h t ) ，蹭a c e ，w ed i s c i l s st h ea v 啪g e 明o fk l g r a n g e 仃i 蹰出ei 曲昏 叫撕哪哪a t o rs e q m n c e i nb r o w n i 觚b d d g em e 撇s p a c ci nt h ee n d0 ft b i s 班l p 既a c c 幽g t 0t b ec o n t e n t ，w ed i v i d ei ti n t 0f 0 u rc h a 邮 h 恤f i r s t c h a 眦w c 酉v e t b e 皿f 疵 h 也e c o n d c h 枇w e e s b b h s h t h c w e a l d y a s y m p 州c 妇0 f t b e 釉g e 踟0 f e g e w a 驴 1 、l r 趾h 衙m i 皓f 巧白i 删a t i o p e r a l 饼s e q n c eb a s e d 加坞弧忱l n d c d 硼琊o fc 抽b y s h e 、， 删”o 血a l o f 位i i r s t 枷i n t h c 啪e 暇s p a c e h 恤t l l i r d 蝴w c 鼬l i s h 岫蛐a s y 吣油o f 也e 嗍踟0 f 恤k g r a n g ea n dh 删t e 州白帅l a l i 吼0 p e 嫩0 rs e q 吲撇w h i c h 锄b a s e d 也ef i r s t 咖凼w n o d e s i n 恤s p a o e w h 0 0 0 v a r i 撇k 哪l e l i s t h e f e l r o d u c 堍k 锄e l0 f 明【o ，1 】 ht ：b ef 0 缸hc h a p t e r w ee s t a b l i s ht h ew e a l 【l y 勰) ，i n l 肋位。柑e ro ft h e 钾e 豫g e 咖o f 血e l a g r a n g et r i a n g l ei n t 唧o l 撕伽0 p e 姐t o rs e q u e n c ew h i c h i sb 雏c d 恤e q 试v a l 明c cn o d 船i n 恤 b r o w n i 锄b r i d g e 皿e 弱u s p a o e k e yw o r 吐s 讯b y s h e vp 0 1 ) ，n o 蚵a l ；m o d j l i e di 壬a 血t e 恻打i n t ( 印o l 砸0 p 蹦衄s e q l l e n c e ； h 删t e f 巧白i n t e r p o l 撕o no p e 瞰0 rs e q u e n c e ；蛔g ei n t e r p o l a l i 0 p 嘲i 缸s e qu e 】e ；蛔g e t r i 姐g l ep o l y n o l n i a li 衄p o l a l i o 衄t o fs e q u e n c e ；w i 嘲s p a c e ；明【o ，1 1s p a c e ；b r _ a w n i 姐 b d d g em e 鹪删f es p 口c e 附件2 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得盘鲞竖莲盘堂或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名： 学位论文版权使用授权书 本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 日期： g 习乡曰 鲶诏 第一章绪论 函数逼近论是近现代数学的重要研究方向，c 忱勿s k ，在1 8 5 9 年提出的连续函数利用 多项式逼近的最佳逼近的特征定理及w r e i e r s t r 舔s 在1 8 8 5 年建立的用多项式逼近连续函数的 著名定理，为函数逼近论作为一门独立的学科奠定了基础，并于上世纪得以蓬勃发展在函 数逼近论的研究范畴里是用简单的可计算函数对一般的复杂函数进行逼近，然而满足条件 的简单可计算函数可能很多，这时就需要我们去考虑逼近程度，寻找最佳逼近在实际上我 们总是希望利用代数多项式作为逼近函数如果从单个函数的逼近误差来考虑算子列逼近 的逼近效果，那么到现在为止，还未出现具体的多项式逼近算子序列，对任何函数来说，能 够实现算子列的逼近速度都能够被最佳逼近多项式的收敛速度所控制但是从平均误差的角 度来考虑，如果对连续函数空问赋予w i 贸测度，在o ( 1 p + ) 范数逼近的意义下， 孙永生、王辰永在文献【7 】中证明了j a 出n 算子逼近的平均误差能够被最佳逼近多项式的 平均误差所控制注意到ja c ! b 阻算子所利用的是目标函数在所有点的函数值，而就实际问 题来讲，我们仅能得到目标函数在有限个点的函数值因此，对于实际问题，上述逼近算子 是无法实现的本文首先证明了在w i 锄盯空间下，基于第一类c 忱勿s k y 多项式零点的一种 修正的h 锄i t e - l e 净插值算子列逼近所产生的平均误差能够被最佳逼近多项式列产生的平 均误差所控制；其次，注意到s o b o l w 空间喇【0 ，l 】在平均误差讨论时的重要意义( 见文献 【3 】) ，我们得到了在以其再生核为协方差核的函数概率空间下，基于第类c 忱勿妫纠多项 式零点的ia g 阳n g e 插值算子列和h t 釉】i 睁f e j 白插值算子列逼近所产生的平均误差的弱渐近 阶；最后得到了在布朗桥测度空间下，基于等距结点组的i 嗣g 均n g e 三角多项式插值算子列 逼近所产生的平均误差的弱渐近阶这些结果进一步证实了插值算子列是一种非常有效的计 算工具 本章由兰部分组成第一部分给出了在w i e n 盱空间下，基于第一类c k 砂，l l 纠多项式 零点的一种修正的i 蛔m i 珏f e j 白插值算子列的平均误差的弱渐近阶；第二部分给出了在以 喇【0 ，l 】的再生核为协方差核的函数概率空间下，基于第一类呐妫纠多项式零点的【加 g r a n g e 插值算子列和h 锄i t 净插值算子列的平均误差的弱渐近阶；第三部分讨论了在 布朗桥测度空问f 基于等距结点组的k 黟a n g e 三角多项式插值算子列的平均误差的弱渐 近阶现分别介绍如下 1 1 插值算子列在w i e n e r 空间下的平均误差 设，是个实可分的b 撇c h 空问，p 是定义在，的b o 犯l 子集上的概率测度设g 为另 个范数为f 1 的赋范空间，连续嵌入到g 任意使得厂hi 矿一a 为可测映照的算子 a ：，一g 被称为个逼近算子算子a 的p 平均误差定义为 砒g ) = ( 肛一删m 们) 5 在实际问题中，目标函数常常仅由有限个点的函数值给出，因此逼近算子常常仅由函 数在相应点的值给出许多文章都研究了这种算子在平均情形下的计算复杂性考虑到插值 算子列是一类仅依赖于函数在有限个点的值的重要逼近工具，在此将考虑以扩充的第一类 c k 毋s k y 多项式的零点为插值结点组的e g e f v a r ) r 珂l r 锄修正的i 妇m i t c - 】嘲白插值算子列 在w i e n 盯测度下的平均误差 设x 是由定义在【o l 】上的连续函数，构成的空间，且，( o ) = o 空间x 被赋予最大范 数，w i 蝴测度是通过如下的性质被唯一刻画的 叫x ：卜一，讹) ) 研2 密南上扫裂妣妣，卢ly “v j j l ，v o 对于每个玎l ，曰双卵) ，o = 幻 f l 气1 且l o = 0 它的关联算子是通过下面式 子给出：对于k = 讹) ，厶。( ) = 砌 工l ，恐l ，即 i 似l 坍) “们= m i n 石l ，恐 ，h l ，恐【o 1 】 设f = 矿c 【一l ，l 】：g ( 力= ，( 办一1 ) 田。对于每一个可测子集ac 只我们定义 ，( a ) = “ g = ，( 2 一1 ) ，a 1 ) 设襁= 硒= c o s 等丌七= l ，以是刀次第一类蚴j 栅多项式瓦( = c o s ，毋 z = c o s p 的零点，则以 投l 岛为插值结点组的，的 h m i t e - f e j 自插值多项式为( 见文献【5 】) 风力= 他) k ， 其中 版纠- 刊( 器灿喜乩 文献【5 】同时给出了e g e r v a 巧- t u 瑚1 修正的h 即商睁f e j 臼插值多项式，即 g 曲= 风仇力+ 一风) ( 字器) 2 + 抓- 1 ) 一风饥- 1 ) ) ( 字器) 2 2 定理2 2 1 设么伉力是如上定义的e g e f v a r ) r 一1 、啪n 修正的h t 釉m 州白插值多项式， 则在w i 锄盱测度下 晚( 蜴x ( 护 翻( q i l ( 护 在这里及以下a ( ，1 ) xb m ) 指存在着不依赖于n 的正常数c ，使得a ( n ) c5 烈疗) c a o ) ， 且同一式子的c 可以不同 说明一用p i 表示次数不超过刀的代数多项式的全体，瓦，表示k - 范数逼近下，的聘 次最佳逼近多项式，即 l 旷一瓦月l 覃2 篡l 旷一p 则在厶| - 范数逼近下，连续函数利用以次最佳代数多项式逼近的p 平均误差( 见文献【7 】) 勺( 瓦，岛) = ( j i 扩一瓦弘( 奶) 5 刀一 因此由定理2 2 1 可知，当1sp ，鼋4 时 勺( 级，坳勺( l ，厶) 圹 说明二设，是个集合，g 是个范数为l 的线性赋范空间，弘是定义在f 的b o r e l 子集上的概率测度j 是f 到g 的一个可测映射，被称为解算子；设是，到觯的一个可 测映射，被称为信息算子；西是彤到g 的个可测映射，被称为算法当lsp + 时， 逼近m o 相应于测度p 的平均误差为 勺岱，m 。，p ，i ) = ( f 临( 曲一西( ( 砌i 陬( 奶) 5 信息相应于测度p 的信息半径为 白( s ，p ，l | 1 i ) ：2 擎勺岱， ，卢，”1 1 ) 如果存在个算法妒使得 昂哂，+ ，p ，i i ) = b ( s ，p ，1 1 1 1 ) 我们称妒为相应于信息的一个最佳算法记 勺，s ，p ，i i 1 i ) ：= 1 萨_ ( s ，| i 1 1 ) 为第一个最小信息半径 由文献【2 】及定理2 2 1 可知，在最小少平均信息半径的定义中，如果f 为晰咖空 间，s 为恒等算子厶可允许信息泛函为计算函数在固定点的值，信息算子为非自适应的，那 么当1 p ，留 时 b ，p ，岛) 意 很明显，么伉力是基数为疗+ 2 的非自适应信息基逼近算子，且当l p ，q 4 时， 1 勺( 么，岛) 勺( l 胁如) 素 1 2 插值算子列于以瞅【0 ，l 】的再生核为协方差核的函数概率空间下的平均误差 设建立于c 【o l 】上的零平均g a l i s s i 觚测度山的协方差核为 ， jm l m 奶= 1 + m i n 庇l ，慨l ，娩【o ，l 】 j 由文献【3 】知道，此协方差核相应的再生核空间为s 咖厶纠空间w ；【0 ，l 】，由文献【3 】的讨论知 道此g 孤s s i 趾测度是非常重要的，因此我们考虑ia g 嘲n g e 插值多项式和 五啪i 睁f c j 白插值 多项式在此概率测度下的平均误差详细介绍如下 设f = u e c 【一l ，1 】：g ( 力= 八力一1 ) 硒，对于每个可测子集ac 只我们定义 ，( a ) = “ g ( f ) = 八各一1 ) ，刖) 设溉= = c o s 等7 r ，七= 1 ，弗，是n 次第一类c 抛缈砌纠多项式瓦( 曲= c o s 加，工= c o s 口的零点，则以l 冬l 为插值结点组的，的琢锄血讣巧打插值多项式为( 见文献【5 】) 一 甄曲= 他池( 力， 其中 邓侧( 器m 塾乩 以琏l 为插值结点组的，的b 舯n g e 插值多项式为( 见文献【5 】) 厶i 坼曲= 厂( 磁) 改( 曲， 一 其中 蚧揣：譬如k 一 对于1 p + ，我们记q 卜1 ，l 】为【_ 1 ，l 】上的加权岛可积函数按如下范数l f h 构成 的线性赋范空间 帅= ( f l p 志硝 文献【4 】讨论了基于第一类c 抛勿s 拓y 多项式零点的蛔g e 插值算子列和h 即咀i 睁 f e j 钉插值算子列在w i 即e r 空间下的平均误差本文在新的函数概率空间下得到 定理3 2 1 设l 嗣g r a n g e 插值多项式z i 抗力和蜥t e f e j 白插值多项式风饥力定义如 上，则在以喇【o ，1 】的再生核为协方差核的零平均g 孤s s i 觚概率测度f 。，r ，! 、s i n ：c o s 轰+ s i n 刍( 1 一c o s ：) 、l 柏 g 2 ) - ( _ 葡焉尹) 。 、，护i l c 0 s2 ， 晚，g 2 ) 创 1 3ia g 豫n g e 三角多项式插值算子列于布朗桥测度空间下的平均误差 设x 是由周期为l 的连续周期函数，构成的空间，且，( 0 ) = 八1 ) = o 由文献【3 】知道， 建立在空问x 上的零平均q 啪s i 姐测度所形成的布朗桥测度空间的协方差核为 f 磅厂( | 油耐d = m i n 仅订一硝y 文f 【o l 】 设，= 杪c 五：g = 删田对于每一个可测子集ac 只我们定义 跗) = “留( f ) = 八及力，a 1 ) 我们考虑ia g 翰n g e 三角多项式插值算子列在此测度毋下的平均误差，简介如下 记易为周期为幼的岛可积函数按如下范数1 1 构成的线性赋范空间 m i ，= ( f 尸母 设及= 硒= 藉，七= o ，知，则以k 店为插值结点组的，的啪g e 三角多项式 插值算子列为c 见文献【5 】) 厶l 坼力= y 他) & ， 丽 其中 乓：器加忆知2 面满 = o ，勘。 定理4 2 1 设蛳g e 插值多项式厶功定义如上，则在布朗桥测度下， 勿，厶) 创 5 第二章一种修正的h e m i t e f e j 细插值算子列于w i e n e r 空间下 的平均误差 2 1 预备知识和引理 设f 是个实可分的b 柚a c h 空间，p 是定义在f 的b o l 子集上的概率测度设g 为另 一个范数为i i 的赋范空间，f 连续嵌入到g 任意使得，卜i 扩一a i l 为可测映照的算子 a ：，一g 被称为一个逼近算子算子a 的p 平均误差定义为 ，r、 勺( a ，g ) = l | i 扩一a u 乍( d 力l r 、j f 在实际问题中，目标函数常常仅由有限个点的函数值给出，因此逼近算子常常仅由函 数在相应点的值给出许多文章都研究了这种算子在平均情形下的计算复杂性考虑到插 值算子列是一类仅依赖于函数在有限个点的值的重要逼近工具，在此考虑以扩充的第一类 c 忱勿5 触 ，多项式的零点为插值结点组的e g e r y a d r 国啪n 修正的删喇白插值算子列 在w i 即盯测度下的平均误差 设x 是由定义在【o 1 】上的连续函数，构成的空间，且( 0 ) = o 空间x 被赋予最大范 数，w i 盯测度u 是通过如下的性质被唯一刻画的 w x ：抓f 1 ) ，八知”动 = 密南f 劳i 蔷拶砒 1 对于每一个万l ，b 男( 卵) ，0 = 硒 f l ，耳1 且1 1 0 = o 它的关联算子是通过下面式 子给出的：对于k = 讹) ，厶l 瞩厶) = m 切，娩) ，即 m l m 们= m i n ，址慨l ，娩【o 1 】 ( 2 ) j z 设，= 扩c 卜l ，1 】：g ( 砂= m ，一1 ) 册，对于每一个可测子集ac 只我们定义 啦) = “( g = 八力一1 ) ，a ) ) 设a = = c o s 等丌，七= l ，n ，是一次第一类蚴s 枷多项式瓦( 力= c o s ，以工寻 c o s p 的零点，则以 毛l 为插值结点组的，的蜥t e 州臼插值多项式为傀文献【5 】) 风忻力= 他池( 破 6 其中 k 州刊( 器灿喜乩 文献【5 】同时给出了e g e r v a r ) r m 珊n 修正的i i e 皿沁- 】嘲白插值多项式，即 么伉曲= 珥优力+ 一风) ( 字器) 2 + ) 一玩以字器) 2 由文献【5 】知 幺力= ，( 反) ，z u 敏) = 0 ， = l ，刀) 蜴1 ) = 八士1 ) 引理2 1 1 对于任葸的os 而耽两再sl ，我们有 上m - m = h - 恐怕勋 证明由( 1 ) 式和正态分布及r 函数的相关性质可得 | q q t 嗡l 铷 t 心氓4 n j f = 密南上f 上f m t 屹的心l 辉譬霉t 妣妣妣 = 0 南上上上距t 屹疃已硌l 篝客机砒砒 = 密南肌懒舻矧州屹 = 确一勉) + 轨一而) + 志上乖蓦砒= 锄恐+ 殉两 类似地，对于任意的os 石ls 娩拗s1 ，由( 2 ) 式和正态分希及r 函数的相关性 质我们可以得到上八x 1 ) 八娩) 胁) 的值例如t i ，( 规v 阮) 八拓m 厂) = 6 工l 恐而+ 缸1 娩缸+ h l 恐忍+ h i 而缸+ x l 玛玛 j x 通过基本的积分运算可得 引理2 1 2 f 塑掣出= f 盟孚出三 f 型掣出= f 掣掣出等， 2 2 主要结果及证明 定理2 2 1 设g 伉曲是如上定义的e g e r v 哪瓤修正的h t 和舭州白插值多项式， 则在w i e n 盯测度下， 因此 吮c g x ( 护 “c 幺= ( 护 证明由文献【2 】我们可以得到下界估计，因此我们只需考虑上界即可当p = 2 时 记 谚抗力：叭，一风坼，( 字器) 2 + 叭一- ，一风一- ( 字杀) 2 磅( 级u 力，如) = f j r l 一幺忻曲1 2 蝴 2 上f 一删2 删+ 2 f f 妣钟蝴 = a i + a 2 根据文献【4 】，可得 由q ：动的定义可得 1 a l 一 n 郇f 塑孚出 + j = 型孚出 叭1 ) 一风以1 ) 1 2 y ( 们 抓一1 ) 一焉一1 ) 1 2 “们 当f5j 时，结合( 2 ) 式，司得 f 抓1 ) 一触) ) 抓1 ) 一厂( 乃) ) y ( d = 与孚i 抓1 ) 一触) ) 抓1 ) 一八乃) 脚= _ 产 由( 5 ) 式 可得 f 叭1 ) 一风1 ) 1 2 y ( 们= 上l 喜墩( 1 灯( 1 ) 一他) ) 1 2 y ( = 主( 1 一秘) 磺( 1 ) + ( 1 一视) 舷( 1 ) 乃( 1 ) = 召l + 岛 8 r山r山 由( 1 一致) 舷( 1 ) = 孝，o 舷( 1 ) l 和冬i 惋( 1 ) = 1 ，可得 耻刍喜刍 毋2 否”枞( 1 ) 磊 ) 去善磊岬) 扛l卢“lt = l 卢七+ i 岛去+ 三未 又当f _ 时，结合( 2 ) 式，可得 上帆- 1 ) 一讹) m 1 ) 一舭) 脚= 字 由( 6 ) 式，类似可得 再由引理2 1 2 可得 上州) 一飓) 1 2 蝴s 丢 如s 兰 故由( 3 ) ，( 4 ) 和式可得定理2 2 1 对于p = 2 是正确的 当p = 4 时由( 口+ 矽8 ( 口4 + 矿) 可得 幺( 么仇力，厶) = 上j r l 一么坼力1 4 加( 们 s8 上f 一风坼曲1 4 蝴+ 8 f f 批硝删 = a + c 2 根据文献【4 】 可得 由q ：辑曲的定义可得 ax 三 ，护 g f 掣出加- ) 一风| 4 蝴 + f 盟掣出f 岬) _ 风) 1 4 蝴 当hs 恕七3 k 时，据引理2 1 1 ，可得 f 叭1 ) 一觚，) ) 抓1 ) 一，( ) ) 抓1 ) 一八确) ) 叭1 ) 一八札) ) 1 ，( j f 9 ( 9 ) 由( 1 0 ) 式，并经整理可得 ：! ! 二垫塑二垫! + ! ! 二垒! 丛! 二垫! 24 i 抓1 ) 一甄1 ) 1 4 以 = f i 喜枷胛，一 = 三( 1 一溉) 2 磁( 1 ) + 3 ( 1 一溉) 2 嚏( 1 ) b ( 1 ) + 3 ( 1 一溉) 2 噬( 1 ) ( 砖( 1 ) ) 。 + 呈( 1 一般) 籼( 1 一而地( 1 慨( 1 ) + 2 岬” 一bl卢“l卢a l + 3 ( 卜投溉( 1 ) ( 卜而) j l ；( 1 ) + 9 ( 卜溉池( 1 ) ( 1 一而竭( 1 ) + 3 妻( 1 一叔溉( 1 ) 杰( 1 一而如( 1 妻吩( 1 ) ) 2 + 3 ( 1 一溉地( 1 ) ”) ( 1 一枞( 1 ) ( 堋) + 2 纵1 ) ) = a + 伤+ d 3 + 眈+ 眈+ 仇+ 凸+ 风 下面分别对d 1 ，伤，功，d 4 ，岛，d 6 ，d 7 ，协进行估计 、 ( 1 0 ) 耻旮耐( 志) 2 啪，嘉 见；善堋，2 砉 伤3 喜”删m = 吾 功三( 1 一旅) 岫( 1 一而孵( 1 ) + 3 ( 1 一取) 噬( 1 ) ( 1 一即羽) 姒1 ) 一b l芦“l扛l扛“lj ：，+ l s 未喜c 一双豫t ，毒姒，+ 3 喜c - 一瓢蛸- ，毒c t 一而如m 刍+ 吾 1 0 协5 熹静洲- ，蠢哪主静，= ； 仇9 耋( 1 刊枷) 塞( 1 一而蜘) 昙喜( 1 叫岬) = 砉 t = l 卢t + l 。t = l 岛s 3 ( 1 一溉) 圳) ( 1 一即) 幻( 1 ) 去 d ss3 ( 1 一溉) 舷( 1 ) b ( 1 ) ( 1 一而) 砖( 1 ) + 6 ( 1 一视溉( 1 ) j ( 1 ) ( 卜而溉( 1 ) i l ，( 1 ) 主( 1 一溉m ) 幻( 1 ) + 6 ( 1 一溉蹦1 ) 吩( 1 ) ( 1 一而m ) 一扫l卢h l七；l 卢h l士= p l 36 万+ 万 因此 上抓，一风辑t ，r 蝴杀+ ；+ 吾+ 刍+ ；+ 吾+ 导+ 丢+ 吾+ 熹等 当七l 恕s 七3 k 时，由引理2 1 1 可得 fu ( 一1 ) 一，。) ) 0 i 一1 ) 一瓶) ) u i 1 ) 一瓶) ) u x 1 ) 一肌) ) y j f = 坠等型+ 坠警型 ( 1 1 ) f 州) 一喝) 1 4 蝴朵 再由引理2 1 2 可得 岛s 訾 ( 1 2 ) 由( 8 ) ，( 9 ) 和( 1 2 ) 式可得定理2 2 1 对于p = 4 是正确的 用相同的方法，通过更复杂的计算，我们可以猜出对任意偶数p ，都有 印( 幺蚓x ( 护 第三章l a g r a n g e 和h e 础t e - f e j 打插值算子列于一种函数概率 空间下的平均误差 3 1 预备知识和引理 设，是个实可分的b 锄a c h 空间，p 是定义在f 的b o 谳子集上的概率测度设g 为另 个范数为”的赋范空间，f 连续嵌入到g 任意使得，卜i 扩一a 为可测映照的算子 a ：f g 被称为个逼近算子算子a 的少平均误差定义为 勺g ) = ( f i 扩一a l 陬( ) 5 设建立于c 【o ，1 】上的零平均g 锄s s i 锄测度的协方差核为 fm 1 ) ，( 砘) _ 旺，) = 1 + m i n 规，恐l ，v _ i ，勋【o ，1 】 ( 1 3 ) 由文献【3 】知道，此协方差核相应的再生核空间为s 0 蝴空间啊【0 ，l 】，由文献【3 】的讨论知 道此g 孤s s i 觚测度是非常重要的，因此我们考虑ia g 栩n g e 插值多项式和m 棚函l i 均白插值 多项式在此概率测度下的平均误差详细介绍如下 设f = 矿c 卜1 ，l 】：g ( f ) = ，( 2 卜1 ) 硼，对于每个可测子集ac ，我们定义 y ( a ) = “ g ( f ) = ，( 力一1 ) ，厂a ) 对于l p + o o ，我们记q 【一l ，l 】为【一1 ，1 】上的加权易可积函数按如下范数i i 构成 的线性赋范空间 怫= ( f r 志硝 设溉= 硒= c o s 等7 r ，七= l ，是n 次第一类蚴曲纠多项式瓦= c o s ，峨工= c o sp 的零点，则以k 瑶l 为插值结点组的，的姗t 啦i 白插值多项式为( 见文献【5 】) 羁n 力= 他， 其中 却侧( 器灿喜玩乩 c - 旬 以堰。为插值结点组的，的b 伊锄g e 插值多项式为( 见文献【5 】) 厶l 伉力= ，( 溉) & ( 力， k c 力：揣：! 二掣，七= t ，万 c 5 ， 引理3 1 1 坛i ，庇【一l ，1 】，有 f 肌m = 掣 证明v x l ，恐【1 ，l 】，由( 1 3 ) 式，可得 f 似- ，蝴= 上g ( 字弦( 半 = 1 + 血n 半，半) 3 + m i n x l 恐l 一= i 一 3 2 主要结果及证明 定理3 2 1 设k 舯n g e 插值多项式厶i 以劝和釉血嘲白插值多项式风力定义如 上，则在以啊【0 ，1 】的再生核为协方差核的零平均g a 璐s i 抓概率测度f 他耻( 塑寄掣) 5 吮慨x ( 护 证明由文献【2 】我们可以得到下界估计。因此我们只需考虑上界据引理3 1 1 可得 磅，g 2 ) = 上f 叭曲一厶伉力1 2 了禹y ( = f f 尸志一 一2 “喜八堋投地志一 + 上f 毫讹批姒荆志一 = f 志出上尸一一2 喜胁志出f 俐 + 耋f 玑砒c 力志出f 删锄m 1 3 易知 = j = 志出j ! ：9 2 ( 字卜 一2 喜f 击出j ! ：g ( 字) g ( 半胁， + 毫f 删力志出j ! ：g ( 半) g ( 半胁 = j = 嘉南出一言f 。+ m 伽k 溉，乓丽与出 + 毫f 型掣c 力志如 由l 如( 曲= 1 可得 耻f 箍出毒 喜f & 志出= 无 由冬。溉改= x 及z ) 二鲁罄可得 ( 1 7 ) ( 1 8 ) 喜f 酬舳圾去办 = 喜( r 地丽与出+ f 瓢厶c 曲丽与叫 = 吝( r 一瓢，k 丽与出+ f 投k 丽与曲 = 喜怒志出+ j = 去出 2 善志丘石0 0 s 舢 l 蠢2 七一1 一万台锄1 f 丌 j | = l ：一塑i 竺娶型掣 ( 1 9 ) 刀2 ( 1 一c o s ：) 、 1 4 由( 1 9 ) 式，可得 由文献【9 】，可得 易= 新一鳖锦铲 ，l i l c 0 s 兰j f 志出：岳暑 ( 2 0 ) ( 2 1 ) 岛= 毫f 型掣c 力志出= 警 由( 1 6 ) ，( 1 7 ) ，( 2 和( 2 2 ) 式可得证 编g ：，= ( 坚蔫掣) 5 由文献【2 】我们可以得到下界估计，因此我们只需考虑上界类似于( 1 6 ) 式的证明，可 以得到 慨，锄亏f 另尚出一喜f 。+ 砌k 溉，丽与出 + 毫f 尘掣氟幻币与觑 q 3 ， 由冬l ( 力= l 可得 喜f 墩志出= 无 毒f 三c 桃去出= 卢l 。一1 一 ，1 “ 由( 1 7 ) ，( 2 3 ) ，( 砷和；2 5 ) 式，结合m i n 口，6 ：华，可得 鼋，倪，= 三砉f 嘞+ 叔溉乃丽与出， 一三毫小州醐曲去出 一三喜f 。+ 敏地c 曲丽与出+ 三砉j = 卜一戳l 做丽与出 1 5 ( 砷 ( 2 5 ) = 一忍一厶+ 厶 ( 2 6 ) fk ( 龇( 力志址小( 嘲( 一曲志出 2 j - l k h “。志饥 ( 2 7 ) 由( 2 7 ) 式m = 一l t ，七= 1 ，以，可得 五= 吾毫f 嘶陬t 吐t 刺志出 = 吾砉j = + 投+ t 。+ t 。c 砒c 力丽与办= o q 8 ， ；笆似地 毛= 三喜f 工丽与出+ 三喜f - 4 + 溉，惋丽与出= 。 对于七工易证 露1 + 如，砰2 砰。砰、 贾而i 2 丽鬲尹i 丽一万i 两+ 两j o 一磁) 2 伍一桫2 ( 极一即) 2 o 一取) 2o 一取) o 一劫。伍一而) 2 ，。 由( 2 1 ) ，( 2 9 ) 式及蚴j 枷多项式关于权( 1 一户) 一l 的正交性可得 f 陬一乃陬去出= 篆等 由( 1 4 1 式可得 ( 2 9 ) ( 3 0