（计算数学专业论文）基于偏微分方程的遥感图像去噪方法研究.pdf

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n o i s i n gm e t h o db a s e do np a r t i a ld i f f e r e n t i a l ” e q u a t l o n a b s tr a c t t h eq u a l i t yo fr e m o t es e n s i n gi m a g e si sa l w a y sd e g r a d e db yn o i s e sd u r i n ga c q u i s i t i o n a n dt r a n s m i s s i o n , w h i c hm a k ei td i f f i c u l tt oi d e n t i f ya n da n a l y s i s i m a g e s o i t i sm u c h n e c e s s a r yt oe f f e c t i v e l yr e m o v et h e s en o i s eb e f o r eu s i n gi t i nr e c e n ty e a r s , n o n l i n e a rd i f f u s i o n m o d e lb a s e di m a g ed e - n o i s i n gh a v er e c e i v e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o ni nt h ef i e l do fr e m o t e s e n s i n gi m a g ea p p l i c a t i o ns i n c et h em o d e lc a nw e l lp r e s e r v et h ee d g e ，a n dt h em e t h o do f d e - n o i s i n gh a v eb e c o m ean e wi m a g ep r o c e s s i n gt o o l sa f t e rw a v e l e t f i r s t ，t h ep a p e ri n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nd e - n o i s i n g ，a n d t h e i rd e - n o i s i n gc h a r a c t e r i s t i c sa n df o c u so ni n t r o d u c i n gt h ep me q u a t i o n s e c o n d , t h ep a p e r i n t r o d u c et h et h e o r e t i c a lb a c k g r o u n do fd i f f u s i o na n dv a r i a t i o nd e - n o i s i n g f i n a l y , t h ep a p e r p r o p o s e st h r e ed e n o i s i n gm o d e l sb a s e do np d ea sf o l l o w s ：( 1 ) t h i sp a p e rp r o p o s e sa p d e b a s e dh y b r i dm o d e lt od e - n o i s et h ep r e - p r o c e s s e dr e m o t es e m i n gi m a g e s ，w h i c ha r e o f t e np o l l u t e db yg a u s s i a na n ds a l t - p e p p e rn o i s e s o u rm o d e ls o l v e st h ee x c e s s i v ed i f f u s i o n p r o b l e ma ts m o o t hr e g i o n sa n ds t a i r c a s ee f f e c tp r e s e n t e di nt r a d i t i o n a lp u r ea n i s o t r o p i c d i f f u s i o nm o d e l m e a n w h i l e ，t h ep r o p o s e dm o d e lo v e r c o m e st h es h o r t a g eo f4 一o r d e rp d e m o d e lt h a tt e n d st ol o s em u c he d g ei n f o r m a t i o n ( 2 ) t h ep a p e rp r o p o s e san e wn o n l i n e a r d i f f u s i o nm o d e lb yi n t r o d u c i n gw a v e l e tm o d u l u sm a x i m u mi n t od i f f u s i o nm o d e la n dg i v e sa d i s c r e t es c h e m e o u rm o d e ls o l v et h en o i s en o te a s yt or e m o v en e a rt h es t r o n ge d g ep r e s e n t e d i np - m m e a n w h i l e ，t h ep r o p o s e dm o d e lo v e r c o m et h es h o r t a g eo fa l mm o d e lt h a tt e n dt o b l u r i n ga n dl o s i n gs i n g u l a rp o i n t o u rm o d e lc a nn o to n l ye f f i c i e n t l yr e m o v en o i s ei nr e m o t e s e n s i n gi m a g e , b u t a l s o s i m u l t a n e o u s l y r e t a i nd e t a i l i n f o r m a t i o n , s u c h 猫e d g ea n d t e x t u r e e x p e r i m e n t a l r e s u l t si l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s sa n ds t a b i l i t yo ft h e p r o p o s e d m o d e l ( 3 ) t h i sp a p e rf i r s ta n a l y z e sf u n d a m e n t a lp r i n c i p l ea n dd e f i c i e n c yo ft h eo r i g i n a tt o t a l v a r i a t i o nm o d e l ( t vm o d e l ) a n di t si m p r o v e dm o d e l ( m - m o d e l ) t h e na ni m p r o v e dt o t a l v a r i a t i o nm o d e li sp r o p o s e db a s e do ns t a n d a r dg r a d i e n ta n de d g eg u i d a n c ef u n c t i o n o u r m o d e ls o l v e st h es t a i r c a s ee f f e c tp r e s e m e di nt r a d i o n a lt vm o d e l ，a n dt h es h o r t a g et h a t m m o d e lt e n d st ot h ee x c e s s i v es m o o t h a n dl o s i n gt e x t u r ea n dd e t a i li n f o r m a t i o n k e yw o r d s ：r e m o t es e n s i n gi m a g e ；d e - n o i s i n g ；p d e ；n o n l i n e rd i f f u s i o n ；v a r i a t i o nm e t h o d i i 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 1 绪论1 1 1 研究背景及意义。l 1 2 遥感图像的噪声分析。2 1 3 基于偏微分方程的图像去噪综述2 1 4 本文的主要工作及内容安排5 2 扩散和变分理论6 2 1 扩散理论6 2 1 1 扩散过程的物理背景6 2 1 2 线性扩散与图像滤波8 2 1 3 非线性扩散的图像滤波：9 2 2 变分理论1 3 2 2 1 变分原理及梯度下降流1 3 2 2 2 变分有界函数空间与全变分范数1 5 2 2 3t v 基本模型18 3 遥感图像高斯与椒盐噪声的p d e 混合去噪模型研究2 0 3 1 引言2 0 3 2 两种p m 改进模型2 0 3 2 1 纯各向异性扩散模型2 0 3 2 2 四阶p d e 图像平滑方法。2 2 3 3 混合模型2 3 3 3 1 模型的提出2 3 3 3 2 模型的数值解2 4 3 3 3 讨论2 4 3 4 实验与讨论2 4 3 5 小结2 7 4 基于小波变换模极大值的p d e 遥感图像去噪模型研究2 9 4 1 引言2 9 4 2 非线性扩散模型分析2 9 4 3 一种新的基于小波模极大值的扩散模型3 0 基于偏微分方程的遥感图像去噪方法研究 4 3 ，l 小波模的极大值属性3 0 4 3 2 新模型的建立3 1 4 3 3 提出模型的离散化3 2 4 4 实验与讨论3 4 4 5d 、结3 6 5 基于改进总变分算法的遥感图像去噪方法研究一3 7 5 1 引言3 7 5 2 总交分模型3 7 5 3 改进的总变分模型。3 9 5 3 1 标准梯度。3 9 5 3 2 基于标准梯度的改进总变分模型4 0 5 4 改进模型的离散化4 l 5 5 实验与讨论：4 2 5 6d 、结z 似 结论4 6 参考文献4 7 攻读硕士学位期间发表学术论文情况4 9 致谢5 0 辽宁师范大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 研究背景及意义 遥感图像降噪技术是遥感图像处理的一个重要课题，因为遥感图像在成像和传输过 程中会受到大量噪声的干扰，在一定程度上降低了图像的清晰度，影响了图像的质量。 为了抑制噪声，改善图像质量，便于图像识别、分析，以及更高层次的处理，必须对遥 感图像进行去噪预处理。 噪声可以理解为“妨碍人们感觉器官对所接收的信源信息理解的因素刀。影响图像 质量的噪声种类很多，根据其产生的原因可以分为外部噪声和内部噪声。外部噪声指系 统外部干扰以电磁波或经过电源进入系统内部而引起的噪声，如天体放电现象，电气设 备等引起的噪声。内部噪声，一般可分为以下四种：( 1 ) 由光和电的基本性质所引起的 噪声；( 2 ) 电器的机械运动所产生的噪声；( 3 ) 器材材料本身引起的噪声；( 4 ) 系统内部 设备电路所产生的噪声。研究者们根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的 规律，发展了各式各样的去噪方法。 常见的去噪方法主要有两类：一类是基于频域，针对整幅图像的全局处理，如低通 滤波、w i e n e r 滤波、k a l m a n 滤波、最小二乘滤波等；另一类是基于空间域，针对图像 中某一像素中邻域的局部处理，如中值滤波、统计滤波、局部自适应滤波等。但总体来 说，上述方法的去噪效果往往还不能令人满意。 近年十年来，基于p d e ( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p d e ) 图像处理方法因其所具 有的局部自适应特性、形式上的规范性和模型建立的灵活性而成为继小波分析工具之后 的另一新型的图像处理数学工具，并被广泛应用于图像去噪、图像分割、图像修复、图 像放大、图像重构、医学图像处理、遥感图像处理等多个领域。基于p d e 图像处理方 法的基本思想是令图像或以图像为背景的几何曲线( 曲面) 按指定的p d e 进行演化或形 变，而p d e 的解就是我们希望处理的结果。换句话说，针对所要解决的图像问题，建 立适当的p d e 和其对应的数值方案，求其稳定解是基于p d e 的图像处理的关键。 目前主要有两种建立p d e 模型的途径：一是将所期望实现的图像演化问题域与某 种物理过程进行类比( 如图像的平滑去噪类似于杂质的扩散或热传导过程) ，建立相应的 p d e 模型；二是通过建立一个“能量”泛函，所得到的e u l c r l a g r a n g e 方程是一个p d e ， 这就把建模问题转化为一个变分问题。 本文首先介绍了遥感图像噪声的特点，其次介绍了利用偏微分方程进行图像去噪的 发展状况，在本文最后介绍了本文的文章结构和内容。 基于偏微分方程的遥感图像去噪方法研究 1 2 遥感图像的噪声分析 。 遥感图像在成像和传输过程中都可能产生噪声，一般认为其噪声主要由电噪声和光 学噪声组成【1 1 。电噪声泛指辐射噪声、热噪声、散粒噪声、转移噪声等；光学噪声特指 因结构引起的空间随机不均匀性噪声。在成像过程中，由于电荷耦合器件( c c d ) 所具有 的暗流、零响应偏移和响应不一致等特性，产生了c c d 噪声，对该噪声中暗流的直流 分量、零响应偏移等进行消除后，可以认为所剩c c d 噪声为高斯噪声和椒盐噪声的叠 加【2 】。 高斯噪声是一种具有正态分布( 也称作高斯分布) 概率密度函数的噪声，其值在各个 频率分量上的能量具有高斯分布，其一维概率密度函数可用数学表达式表示为： p 2 去e x p 卜等】 其中，a 为噪声的数学期望值，也就是均值；一为噪声的方差。在噪声均值为零时， 噪声的平均功率等于噪声的方差。 椒盐噪声是一种随机的灰度值很小或很大的污染点，在图像中呈现出类似胡椒和盐 分的一个个白或黑噪声点。包含该噪声图像的特点是噪声点在图像中的分布均匀，这样， 当图像中椒盐噪声率增加时，图像灰度直方图表现出如下特点【3 】，即除了0 和2 5 5 附近的 噪声灰度值外，其余各点的直方图的高度均有所下降，并且随着噪声率的增加，直方图 曲线在保持凸凹性基本不变的情况下，逐渐趋于扁平状态。 1 3 基于偏微分方程的图像去噪综述 利用偏微分方程进行图像处理的思想可以追溯到g a b o i l 4 和其后j a i n 【5 】的工作。但是 这个领域实质性的创始工作应该归功于k o e n d e r i i 世6 】和w i t k i n l 7 各自独立的研究。他们 将尺度空间的理论引入到图像处理中，并指出图像与具有递增方差的高斯函数做卷积实 现低通滤波，等价于求解以原图像为初值的热传导方程： = c a i v ( v d ，i ( x ，y ，0 ) = l o ( x ，少) ( 1 1 ) 定义多尺度图像，“y ，f ) ：q x 【o ，佃) 一五，qc r 2 ， 厶0 ，y ) 为原图像。求解( 1 1 ) ， 一2 l 。，2 得到：，( 工，y ，f ) = g t o ，y ) * i o ( x ，y ) ，其中g 。( x ，y ) = c t - x a e x p ( - 三 q 是方差为，= 2 t 的高斯函数，c 为常数，t 代表一个尺度参数。 但高斯滤波属于线性扩散，对图像的特征和平坦区域采取同样强度的扩散，在去除 噪声的同时也使图像特征( 边缘) 遭到了破坏，严重影响后续的图像处理。因此，研究者 一2 一 辽宁师范大学硕士学位论文 们设想能否找到一种扩散方法使其自动区别特征和噪声，在边缘和平坦区域采取不同的 滤波策略。 基于这种想法，1 9 9 0 年p e r o n a 和m a h k 【8 】首先提出了著名的非线性扩散方程： a ， 三= d m g ( 1 w 1 ) w ) ，l ( x ，y ，o ) = j l d o ，y ) ( 1 2 ) 研 其中，g o ) 为非增光滑函数，p m 方程可以根据图像梯度模实现有选择的扩散平滑， 在梯度模值1 w i 较大的区域( 如边缘附近) 减小扩散速率；在梯度模值1 w | 较小的平坦区 域增大扩散速率，将图像的去噪与边缘检测统一起来考虑，很好地解决了平滑去噪与边 缘保护之间的矛盾。在随后的研究中，c h a r b o n n i c r 在文献 9 】中明确指出利用梯度模值 1 w i 作为特征检测算子，通过在梯度模值i w _ i 较小的区域加强扩散和在梯度模值1 w i 较大 的区域减小扩散，以达到保护特征的目的。p - m 方程被认为是一个具有里程碑意义的模 型，因为它将图像的平滑去噪与边缘检测这统一起来考虑实现了二者很好的平衡，该模 型的提出引发了理论和实践两个方面的大量研究。 但随后的研究发现，尽管p - m 方法在图像的平滑去噪和特征保持方面都有其良好的 特性，但其它诸多问题也逐渐显露，c a r e 1 0 】等人指出p - m 方法是“病态”的，输入的微 小变化会导致输出完全改变，他们在文献中用g ( | q v u l ) 代替g ( 1 w 1 ) ，提出正则化的p m 模型，并证明了该模型存在唯一的连续依赖于初始值的解 豢= 咖( g q q v x l ) w ) ，地少，妒厶( w ) 式( 1 3 ) 中瓯是方差为盯的高斯卷积，g ( ) 是关于图像梯度的单调下降函数。该模 型虽然克服了p m 方程的不适定性，但是却无法证明当盯一0 时的稳定性，并且没有明 确的几何意义。 为了更好的保持边缘，去除噪声，a l v a r e z 1 1 】等人对( 1 3 ) 进一步改进，在平均曲率 的框架下提出了如下的扩散模型( 或称a l m 模型) ： 瓦0 1 。g ( p v i ) l v z l d i v ( 简，( x , y , o ) = 驰，y ) ( 1 4 ) 该方程是平均曲率流模型的变形，因此具有明显的几何意义，并且可以证明粘性解 的存在唯一性。但实验表明，经a l m 模型处理后的图像，尽管能够很好的保持图像的 边缘线条，但却容易造成奇异点的模糊，甚至丢失。 基于偏微分方程的遥感图像去噪方法研究 w h i t a k e r l l 2 1 证明p - m 方法处理所得的图像容易产生“阶梯 效应，视觉效果差； y o u 1 3 1 从偏微分方程的角度详细分析了p - m 方法产生“阶梯”效应的原因，并提出了利 用拉普拉斯模值i v ：“l 刻画图像平滑度，进一步提出如下的四阶p d e 扩散模型： 下o i ( x , y , t ) = 司2 c ( 1 v 2 “吵”m 训，o ) = i o ( x , y ) ( 1 5 ) 同时y o u 也证明了( 1 5 ) 式的迭代结果也是分段线性图像，不受“阶梯”影响。然 而在实验中，研究者们发现，用式( 1 5 ) 处理后的图像中存在许多孤立的噪声点，因此， y o u 等人另外又提供了一种去除孤立噪声点的算法。 1 9 9 2 年，学者l r u d i n 1 4 】等人提出的著名总变分模型( i v 模型) 也是一种广泛使用 的非线性扩散方法，但它也同样存在“阶梯 效应问题，其模型定义为： m i n e ( “) = 肿细删b j e a t o 踟1 飞) 2 蛐= c r 2 ( 1 6 ) 式( 1 6 ) 中盯表示图像中噪声的方差，该模型相比其他模型的优势在于它的解空间 是变分有界函数( b v ) ，而该空间中的函数允许边缘等不连续的信息存在，这就为在图 像去噪的过程中保持边缘提供了理论基础。而且总变分模型是一个凸函数，因此也保证 了解的存在性和唯一性。 c h a m b o l l e 分析并证明了模型( 1 6 ) 解的存在性和唯一性【1 5 】，同时证明了模型( 1 6 ) 和下式等价： e ( “) = ，m 蚴+ 片( u - - u 0 ) 2 螂 ( 1 7 ) 利用变分原理可以得到模型( 1 7 ) 对应的e u l e r 方程： d i v 尚) + 办 。叫) _ o ( 1 8 ) 实际上扩散方程的模型同样可以通过极小化某种能量的变分方法得到，p m 方法也 和泛函最小相联系，p - m 方程对应如下泛函： e ( u ) = lu ( i v u l ) d q 矗 其中，q 是图像区域，“( x ) 0 且为递增函数，且扩散系数为 ( 1 可1 ) = 哿 l y s a k 一1 6 】【1 7 】等提出了用高阶方法来解决“阶梯”效应，利用 尺 ) = ，( i “搿i + 1 l 矽q 一4 一 辽宁师范大学硕士学位论文 来描述噪声，并推导出如下的偏微分方程 暑一l 乱一吲以”， 上式中，名是拉格朗日乘子，代表原图像。虽然高阶t v 方法的处理结果较为理 想，但它们普遍是在有关噪声先验知识的基础上，利用拉格朗日乘子法推导偏微分方程， 数值方法的应用也很复杂。 建立数学模型之后，怎样求解所得的p d e 就成为最重要的问题。图像函数固有的不 连续性，所得p o e 的非线性，以及图像庞大的数据量等，都给模型的数值求解带来一定 的困难，在图像处理的p d e 方法中，数值实现是与数学模型建立同样具有挑战性的课题。 1 4 本文的主要工作及内容安排 第一章，绪论部分，主要介绍了遥感图像噪声及偏微分方程去噪的发展。 第二章，介绍了扩散和变分方法去噪的基本理论。 第三章，介绍了纯各向异性扩散方法和四阶p d e 扩散方法在去除图像噪声时所表 现的优点和不足，结合这两种扩散方法的优点，针对遥感图像混合噪声提出一种新的去 噪方法，从而克服了纯各向异性扩散模型去除图像噪声时容易产生“阶梯”效应和利用 四阶p d e 对图像去噪时边缘保持差的不足。 第四章，介绍了p m 模型和a l m 模型去除图像噪声时的不足，基于小波模极大值 性质，将小波模极大值引入非线性扩散模型，提出了一种基于小波模极大值的新的非线 性扩散方法，从而克服了p m 模型难以去除边缘处强噪声和a l m 模型去除图像噪声时 容易模糊甚至丢失奇异点的缺点。 第五章，介绍了基本t v 模型以及改进后的t v 模型的在去除图像噪声时所表现的 缺点，同时介绍了一种新的梯度定义，称为标准梯度，将标准梯度引入基本t v 模型中， 进而提出一种基于标准梯度的总变分模型，克服了基本t v 模型在去除图像噪声时容易 产生“阶梯”效应等不足。 总结，本文的主要研究工作主要集中在第3 ，4 和5 章，分别给出了遥感图像高斯 与椒盐噪声的p d e 混合去噪模型研究，基于小波变换模极大值的扩散模型研究和基于 改进的总变分算法的遥感图像去噪研究。实验结果表明，本文提出的去噪算法具有较好 的去噪效果。 基于偏微分方程的遥感图像去噪方法研究 2 扩散和变分理论 2 1 扩散理论 2 1 1 扩散过程的物理背景1 8 】 若介质中含某种杂质，且其浓度呈不均匀分布，则杂质将会从浓度较高的区域迁移 到浓度较低区域，该过程在物理学上称为扩散；同样地，当介质中的温度呈不均匀分布 时，热量将从温度较高的区域迁移到温度较低的区域，该过程称为热传导。 如果浓度随空间和时间的变化用函数u ( x ，y ，z ，f ) 表示，则空间的不均匀性分布可用 梯度v u 来表征，那么可将杂质在宏观上的定向迁移，看作是由梯度产生的作用力司“所 推动的，负号表示作用力指向“值减小的方向。 若介质是各向同性( i s o t r o p i c ) 的，则在此作用力的推动下，将产生流密度，即单位时 间通过与梯度矢量垂直的单位面积的杂质： f = - a v u ( 2 1 ) 式( 2 1 ) 中a 称为传输系数，它是一标量，a 既可以是一个常数，也可以是依赖于空 间位置的标量函数，即a ( x ，y ，z ) ；a 还可以是依赖于u 本身的函数a ( x ，y ，z ，“) 。 在另一类介质中，流密度的方向并不与梯度的方向一致，如晶体中的杂质扩散就可 能有这种情况产生。此时流密度可表达为 f = - d v u ( 2 2 ) 式( 2 2 ) 中d 为2 x 2 或3 x 3 矩阵。该介质称为各向异性( a n i s o t r o p i c ) 介质，矩阵d 称 为扩散张量。 现在考察包围某一给定点尸的闭合曲面s 的总流量 f = 娥，d a 由g a u s s 定理，上式可改写为 ，= 川d i v ( f ) d v 矿 式中y 表示闭合曲面s 所包围的体积，则f 的物理意义为单位时间通过曲面s 流出 杂质( 或热量) 的总量，即杂质的损失率，从而有 昙j j j d v 一y d i v ( f ) d v 即 一6 一 辽宁师范大学硕士学位论文 i o u ：- d i v ( f ) i b t ( 2 3 ) 一= izi 对于各向同性介质来说，由式( 2 1 ) 有 i o u ：d i v ( 口v “) ( 2 4 ) 一= 皿v “iiz4j ， 在任意正交系 ，力中，上式可表示为 鲁= 丢( 口考) + 昙( 口1 考) c 2 一= 一in i + 一i lizl &锄i 却j 却i 却j 即它可看作两个互相垂直方向上的一维扩散之和，并且在两个相互垂直方向上的传 导系数相同，因此称为“各向同性扩散”。 如果式( 2 5 ) 中的传导系数a 为一常数，则称为线性扩散；如果a 是依赖于空间位置 ( x ，y ) 的函数，则式( 2 4 ) 称为拟线性扩散方程，如果a 还是依赖于“的函数，那么式( 2 4 ) 就称为各向同性的非线性扩散。 对于各向异性介质，根据式( 2 2 ) 有 娑：d i v ( d v a l v ( i j v “) ( 2 t “a ) i 2 “j kz 在图像处理中常用2 x 2 对称矩阵作为扩散张量 d ：p6 i l bc i 于是在正交系( x ，y ) 中，式( 2 5 ) 可表示为 尝= d i v ( d v 班机噼钏 亿7 ， = 兰( 口蚝+ ) + 晏( 址+ d ，) 以 。 卵 由此可见，在固定坐标系( x ，) ，) 中，它无法表示成两个一维扩散之和。但如果利用 矩阵d 的两个本征矢( m ，屹) 构成局部坐标系，则由矩阵本征分解定理有 d = 朋h + 鲍v 2 谚 于是 v “：盟m + 生 砒毗 根据本征矢( m ，吃) 的正交归一化性质得 基于偏微分方程的遥感图像去噪方法研究 d v u = m m f + 6 v 2 v 2 r 】( 祟m + 昙屹) 抛锄 2 鸽_ m + 鲍：一吃 毗叱 d i v ( d v “，= 毒( 肛詈) + 毒( 鸬毒 则张量扩散方程可改写为 罢= 罢幽罢) + 要魄刍 ( 2 8 瓦= 瓦瓦+ 瓦鸲硎 喵岗7 上式表明，尽管在特定的局部坐标系( h ，v 2 ) 中，张量扩散也可表达为沿两个正交方 向( 即m 和) 的一维扩散之和，但沿着这两个方向的传导系数不同，这与各向同性扩散 方程( 2 5 ) 在本质上是有区别的，因此张量扩散也称为“各向异性扩散( 一些文献中将 非线性标量扩散称为各向异性扩散，从以上的论述中来看，这样命名显然是不恰当的) 2 。1 2 线性扩散与图像滤波 不考虑常数a ，二维线性扩散方程可表达为 亟笋= d i v c 叨= 髻+ 雾 街 、7 缸2 勿2 。 【i ( x ，y ，o ) = i o ( x ，y ) 式中，d i v 为散度算子，v 为梯度算子，i ( x ，y ，f ) 表示演化中的图像， 像。上式也可通过f o u r i e r 变换方法，得到它的解为 i ( x ，y ，f ) = i o ( x ，y ) 木g f ( x ，y ) 式中 ( 2 9 ) 厶o ，y ) 为初始图 g t ( x ，y ) = c t 以尼e x p ( 崔与 | 【 表示方差为盯2 = 2 t 的二维高斯函数，c 为常数。由此可见，令图像进行线性扩散，等价 于传统图像处理中对图像采用高斯滤波。 线性扩散方程生成尺度空间的性质，数学上已给予了充分证明，其主要结论如下1 9 1 ： ( 1 ) g a u s s i a n 函数是唯一能满足对称性、归一化并且不增加局部极大值的卷积核。 ( 2 ) 对于图像对比变换和e u c l i d e a n 变换而言，线性扩散方程的解具有不变性。 ( 3 ) 满足极值原理，即 i - ，。f i o ( x ，y ) ) i ( x ，y ，f ) s u p z o ( x ，y ) ) 一8 一 辽宁师范大学硕士学位论文 式中，常数q 是图像的定义域。 ( 4 ) 线性扩散方程的稳态解为 - l i m i ( x ，y ，t ) = a 式中，常数a 等于j l d o ，y ) 的平均灰度， l o ( x ，y ) d z d y 胪旷 z 随着扩散时间的增大，图像变得越来越模糊，最终以图像灰度值变为常数( 平均值) 而告终。图2 1 给出图像线性扩散的一个实例。其中1 ) 是原图像，2 ) 是加噪图像，其余 的六幅图对应迭代次数为n 时的去噪结果。从图2 1 中我们明显看到，g a u s s i a n 滤波在 平滑噪声的同时，使图像越来越模糊。而在图像处理中，边缘被认为是图像的最重要的 特征，边缘模糊化往往是不能接受的。 f 1 ) 原图2 ) 加高斯嗓声 5 ) n = 1 06 ) n = 2 0 7 ) n = 5 08 ) n = 1 0 0 图2 1 线性扩散 f i g 2 1l i n e a rd i f f u s i o n 2 1 3 非线性扩散的图像滤波 为了能在去噪的同时保护图像的边缘，很自然的一个想法是令扩散方程中的“传导 系数 依赖于图像的局部特性。即在图像相对平坦的区域，传导系数能自动增大。这样 基于偏微分方程的遥感图像去噪方法研究 就能快速去除相对平坦区域中的较小的不规则噪声；而在图像的边缘附近，传导系数能 自动减小，这样就可以保护边缘。基于这种考虑，p e r o n a 和m a l i k 于1 9 9 0 年首先提出 著名的非线性扩散偏微分方程( p d e ) 【8 】： j 掣= d i v g ( 1 w r l ) v i ( 2 1 0 ) l i ( x ，y ，o ) = 厶( x ，) ，) 式中咖是散度算子，v 为梯度算子，扩散系数g ( ) 为非增光滑函数，它随图像，的变化 而自适应的变化，因此p - m 方程属于非线性扩散方程。p m 方程将图像的去噪和图像 边缘检测过程统一起来，而在传统的图像处理中，它们是两个相对独立过程，正是这种 机制赋予了p m 方程较线性滤波更优良的性能。模型根据图像梯度模1 w i 实现有选择的 扩散。在梯度模i w i 较大的边缘处，g ( 1 w i ) 取得较小值，达到减小扩散保护边缘的目的， 而在梯度模值i w l 较小的平坦区域，g ( 1 w i ) 取得较大值，从而能迅速去除噪声。基于以 上特性，作者在文献中将扩散系数g ( ) 定义为： 到哪朋邴2 齑 q 1 1 lk 4 或 g o v i ( x , y , t ) i ) - 唧旧) 2 亿埘 这里g ( ) 又称边缘停止函数，k 为常数，对于不同的图像k 可以按下式计算【1 9 】： k = i 4 8 2 6 m e d i a 靠 - m e d i a ，l ( 1 w 1 ) 1 其中1 w l 是图像，的梯度模值，m e d i a n 是取中值的意思。 通过比较( 2 1 1 ) 式和( 2 1 2 ) 式，会明显发现，虽然两式中的g ( 1 w 1 ) 都随着梯度模 1 w i 的增大而趋向于零，但( 2 1 2 ) 式下降的速度要比( 2 1 1 ) 式快的多。所以( 2 1 2 ) 式在 处理具有高对比度边缘成分的图像时更有优越性，能够更好地保护边缘；反之，则用 ( 2 1 1 ) 式更合适。 对于处理不同类型的图像，边缘停止函数的选取是很重要的，它对图像的滤波有非 常大的影响，在一些文献中也有使用如下几种形式的边缘停止函数： 辽宁师范大学硕士学位论文 删小唧卜剖3 3 1 5 g ( j v i ( x , y ，f ) i ) ( 2 1 3 ) 1 - ( 嘲2 陬邪k 亿均 为了进一步地分析p - m 方程的扩散特性，引入局部坐标系( ，7 ，孝) ，其中，7 表示平行 于图像梯度矢量w 的单位矢量，即 刁2 尚2 o s 0 , s i n 0 ， 用善表示图像水平线集( 或称等照度线) 的单位切矢量，则切矢量孝可以表示为 善= ( 一s i n 0 ，c o s 8 ) r 与善可构成一个移动的正交坐标系。在这一局部坐标系中，有 堕：o ，旦o a 亏a 故有 w i = 从而有 a w i a 2 i - = 一 a ，7a ，7 2 这样一来，p m 方程可以改写为 a ， a ，7 瓦a = 琵a g ( | w i ，妻 + 南 g d v l i ) a a l 叩 刮w 1 ) 髻q w d 百a l v l i 琵a i 侧- v 叫万0 2 1 圳w | ) 筹妻 = 9 0 w i ) 乇+ k q w l ) + g 。q w i ) 1 w l 】 - - g ( 1 w 1 ) z + + + q w i ) 基于偏微分方程的遥感图像去噪方法研究 该式表明，沿善方向，即平行于等照度线的切线方向，扩散总是正向( 由于g 0 ) 的，只是当1 w i 足够大( 即边缘附近) 时，g d w i ) 下降到接近为零，因而扩散几乎被“停 止 。但沿r 方向( 即等照度线的法方向) ，扩散则可能是正向的( 当( 1 w 1 ) 0 ) ，也 可能反向的( 当矽d v l i ) ( 3 ) 平均灰度不变，即 ， 南黔少力姗2 2 葱讹y ) a x a y ( 4 ) 收敛于常数稳态解，即 u ( x ，y ，f ) 与 ( 5 ) l y a p u n o v 泛函递减性。即对任何凸性函数，( ) ，如下定义l y a p u n o v 泛函： l ( f ) 1r ( u ( x ，y ，t ) ) d x d y 矗 贝ul ( t ) 是时间t 的单调递减函数，并且其下界为ir ( ) a x a y 矗 2 2 变分理论 2 2 1 变分原理及梯度下降流【1 8 】 在一维情况下，最小化某一能量泛函( e n e r g yf u n c t i o n ) 可以表示为如下形式： e ) = e f o , u , u x ) d x ( 2 1 6 ) 其中，函数“( 力满足端点固定条件u ( x o ) = 口，“( 而) = 6 。在微积分学中，函数f ( x ) 的 极值对应于厂：0 的点，类似地，e ) 的极值对应于变分竽：o 所对应的函数。为了求 一阶变分e ，考虑对最优解“( 功作一微扰，得“o ) + v ( 功，当1 ，( x ) 和1 ，。( x ) 足够小时，由 t a y l o r 展开得 ，( z ，“+ v ，“+ ，)