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电子科技大学硕士学位论文 对角占优矩阵遗传性的研究与块迭代法的谱半径的估计 摘 要 本文主要分两大部分: 1 .对角占优矩阵遗传性的研究:主要给出了对角占优矩阵为非奇异 h矩 阵和正定矩阵的几个有趣的充分条件和充要条件，这些条件是已有结果的推 广和改进。如: 2 . 1 节 对角占优矩阵为非奇异h 矩阵的研究，指出了: 若一般对角占 优矩阵a 为非奇异h 矩阵当 且仅当班 司是非奇异h 矩阵。 这里a a 仅仅是由 矩阵a的非严格对角占 优行的行标所决定的主子阵。 因此一 般对角占优矩阵的非奇异h 矩阵性具有 “ 遗传性” 。并且指出，利用这种 “ 遗 传性”可以方便地对对角占优矩阵的非奇异 h矩阵性质给出简单、快捷的判 断。而且这种方法很利于计算机的操作。 2 . 2 节 对角占优矩阵为正定矩阵的研究，类似2 . 1 节给出了: 若一般对角占 优矩阵a 为正定矩阵当 且仅当a a 为正定矩阵。 这里a a 仅 仅也是由矩阵a的非严格对角占 优行的行标所决定的主子阵。因此一般对角 占优矩阵的正定性也具有 “ 遗传性， 。 2 .块迭代法的谱半径的估计:给出了一般块分裂迭代阵m - n谱半径 p ( m- n ) 新的上下界的估计，其中 矩阵m分别为块严格对角占优矩阵和块双 严格对角占优矩阵。如: 3 . 1 节 给出了块严格对角占 优矩阵下块迭代法的谱半径的估计: iin il卜 y iin i ii p ( m- n ) m a x ， - i - 一 一 不 了 im u 1 11 一 l iim 1 11 并将其推广: p ( m- n ) m a x iin j 卜 f ( t ( n ) ) iim ,ll 一 f ,(t (m ) 3 . 2 节 给出了块双严格对角占优矩阵下块迭代法的谱半径的估计: 第 n页 共 ，页 电子科技大学硕士学位论文 、!、! 、1、resj p m -n b 十 以 b 2 一 4 a c e 十 j e 2 一 4 d f 浏1月.esest n m 广llj!、 2 d 所得结果具有很好的实用价值和理论意义。 关键词:一般对角占 优矩阵，非奇异h矩阵， 线性方程组，块迭代法 半径 第 i i i 页 共 ，页 电子科技大学硕士学位论文 c o n t r i b u t i o n s t o t r a n s m i s s i b i l i t y o f d i a g o n a l l y d o m i n a n t ma t r i c e s a n d e s t i ma t e s f o r b o u n d s f o r s p e c t r a l r a d i u s o f bl o c k i t e r a t i v e ma t r i c e s o f i t e r a t i v e me t h o d ab s t r a c t t h i s p a p e r m a i n l y i n c l u d e s t w o p a r t s : 1 . c o n t r i b u t i o n s t o t r a n s m i s s i b i l i t y o f d i a g o n a l l y d o m i n a n t ma t r i c e s : we p r e s e n t s o m e i n t e r e s t i n g s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s a n d s u f f i c i e n t n e c e s s a ry c o n d i t i o n s , w h i c h g e n e r a l i z e a n d i m p r o v e t h e p r e v i o u s r e s u l t s . f o r e x a m p l e : i n 2 . 1 , w e g i v e s o m e s i m p l e c r i t e r i a f o r d i a g o n a l l y d o m i n a n t ma t r i c e s t o b e n o n s i n g u l a r h - ma t r i c e s : i f d i a g o n a l l y d o m i n a n t m a t r i x a i s a n o n s i n g u l a r h - m a t r i x , t h e n i f a n d o n l y i f a a i s a l s o a n o n s i n g u l a r h - m a t r i x , w h e r e a a ) i s a p r i n c i p a l s u b m a t r ix o f a t h a t l i e s i n t h e r o w s a n d c o l u m n s i n d e x e d b y a 二 1 , 2 ， 一 。 ， w h i c h i s a n i n t e r e s t i n g i m p r o v e m e n t o f t h e p a p e r 9 . i n 2 .2 , w e p r e s e n t a n o t h e r t r a n s m i s s i b i l i t y o f d i a g o n a l l y d o m i n a n t m a t r i c e s - p r o p e r t y o f p o s i t i v e d e f i n i t e . s o m e s i m i l a r s u f f i c i e n t a n d n e c e s s a r y c o n d i t i o n s a r e o b t a i n e d . f o r e x a m p l e , i f d i a g o n a l l y d o m i n a n t m a t r i x a i s a p o s i t i v e d e f i n i t e m a t r i x , t h e n i f a n d o n l y i f a a i s a l s o a p o s i t i v e d e f i n i t e m a t r i x , w h e r e a a i s t h e s a m e a s s e c t i o n 2 . 1 2 . e s t i m a t e s f o r b o u n d s f o r s p e c t r a l r a d i u s o f b l o c k i t e r a t i v e m a t r i c e s o f b l o c k i t e r a t i v e me t h o d :we g i v e i t e r a t i v e s o m e n e w u p p e r a n d l o w e r b o u n d s f o r t h e s p e c t r a l r a d i u s o f b l o c k m a t r i x p ( m- n ) , w h e r e m i s r e s p e c t i v e l y a b l o c k s t r i c t l y d i a g o n a l d o m i n a n t m a t r i x a n d b l o c k d o u b l e s t r i c t l y d i a g o n a l d o m i n a n t m a t r i x . f o r e x a m p l e : i n 3 . 1 , f o r a b l o c k s t r i c t l y d i a g o n a l d o m in a n t m a t r i x m, w e o b t a i n 第 i v页 共 7页 电子科技大学硕士学位论文 iin j j+ e iin 6f ii p ( m - n ) m a x 不 ，不 商 一 wi-1 一 乙wd i s u b s e q u e n t l y , w e a g a i n g e t p ( m- n ) 0: a ( i ) : d i a g ( a ) r ; ( a ) c , ( a ) : r ; ( a ) 自 然数集合. 复 ( 实 ) 数集合. 。 维复( 实) 向量集合. n 阶复( 实 ) 矩阵集合， j a = ( a i; ) e m , ( r ) : a , _ 0 ， 则当: p ( b ) 时 ， 称a为 非 奇 异的m矩阵， 简 称m矩阵; 若a 满 足 a # 0 ，1 i # j n ， 则称a为z 矩阵; 若a 。 z月 满足 a ii 0 , i = 1 ,2 ， 二 ， , n , 则称a为l 矩阵。 定 义1 .2 .2 9 设 a = ( a ) 。 c -， 令 d = d ia g ( a , , , . . , a . ) ， c = d 一 a ， 则 称 矩阵! d卜i c 为a 的 比 较 矩 阵， 记 作。 ( a ) : 即 门日曰川月leeseseesj m ( a ) a 一 a l l 一 a ,2 i i a 2 2 一 i a , 一 】 a 2 . 一 ! a z i a . . i 州.lwel -一 若。 ( 沟是 非 奇异的m矩阵， 则 称a 为 非 奇 异的h 矩阵， 简 称h矩阵。 定 义1 .2 .3 1 0 设 a = ( a 1 ) 。 c . , 若 a 为 一 阶 零 矩 阵 或 者 对 ， _ 2 有 置 换 矩 阵尸，使得 p t a p = ( b c l 又 0 d ) 其中，b 和d 为阶 数大于等于 1 的 方阵， 贝 嘛 a 为 可约的 矩阵。 若a 不是可约 的， 就称a为不可约的矩阵。 定 义1 .2 .4 1 2 设 a 二 ( a ) 。 c ， 若 a 满 足 卜1月 a z 艺 i a j 1+ 艺 i a ， 1 , 一 ， ,2 , . . ， 。 ， 1 二 ; = ! , l 第 3页 共 4 0页 电子科技大学硕士学位论文 则 称a 对角占 优 矩阵 ， 记 为a e d o ; 若a e 几且a 不 可 约， 而 且 至 少 有 一 个i 使 上述不等式严格成立， 则称a不可约对角占 优矩阵， 记为a e i d; 如果上述n 个 不等式 都严格成立， 则称a 为严格对角占 优矩阵， 记为a e d。 若存在正对角矩 阵x， 使b = a x为 严 格刘角占 优 矩阵， 则 称a 为 广义 严 格 对角占 优矩阵， 记为 ad 。 定 义1 .2 .5 9 设a e d o 且 i a , 1 r ; , i e ， 则 称a 为 下 半 强 对 角占 优 矩 阵 ， 记 为 a e l d o 。 若 存 在 引 例阵 p ， 使 p a p t 为 下 半 强 对 角 占 优 矩 阵 ， 则 称a 为半强 对角占 优矩阵，记为a e l d. 定 义1 .2 .6 9 设a e d o ， 若a 满 足 : j # o; 对 任 意i o j ， 有a 之 非 零 元 素 链 气 a , , * , a ,， 使 得 i e j ， 则 称 a 为 非 零 元 素 链 对 角 占 优 矩 阵 。 定 理1 .2 . 1 1 2 严 格刘角占 优 矩阵 或 不 可约 对角占 优 矩阵皆 是非 奇 异的h 矩 阵。 定 理1 .2 .2 1 2 设 a = ( a ,; ) e c . ， 则 a 为 广 义 严 格 对 角 占 优 矩 阵 当 且 仅 当 a为非奇异的h矩阵。 注: 定义1 .2 .4 - 1 .2 .6 各对角占 优矩阵与非奇h矩阵之间的关系如下: 图 1 - 1 第 4页 共 4 0页 电子科技大学硕士学位论文 1 .3迭代法概述 迭代法一般可表述为: x k = p k ( x k _. . ., x * 一 小 k = 1 , 1 + 1 ， 一 ，( 1 .3 . 1 ) 其中 9 * 称 作 迭 代 算 子 ， x 0 , x 1 , ， 二 ， x ,_ ， 为 迭 代 初 值， 通 常 称 迭 代 淑1 .3 . 1 ) 为1 步 迭 代 法; 1 = 1 时 ， 亦 称为 单 步 迭 代 法。 如 果 迭 代 算 子ip * 与k 无 关， 即(o k 二 9) ， 则 称 迭代法 ( 1 .3 . 1 )为定长迭代;否则称为不定长迭代。 下面讨论单步定长迭代法: x k = g x k _ , + c ，k =1 , 2 ， 二( 1 .3 .2 ) 其 中 g 。 尸朋 称 为 迭 代 矩 阵 ， x 。 称 为 初 值 。 定 义 1 .3 . 1 如 果存在x e r ， 使 得对 任意的 初 值x , 。 r ” ，由 迭 代法( 1 .3 .2 ) 产 生 的 序 列l x k k . , 都 收 敛 到x ， 即 lim x kk - am = x 则 称迭代离1 . 3 .2 ) 是收 敛的; 否 则 称之为 发散的。 如果 迭代法 ( 1 .3 .2 ) 是收 敛的， 则 必有 x二g x +c ， 记u k = x * 一 x ， 则 易 证 u k = g k u o 由 此可知，迭代法 ( 1 .3 .2 ) 收敛的充要条件是: l i m g k = 0 定 理1 .3 . 1 1 1 迭 代 法 ( 1 .3 . 1 ) 收 敛 的 充 要 条 件 是 p ( g ) w为非零实数， 迭代矩阵为 口 称为松弛因 子。 、 ，1 一口卜 。 i v 山=刀+ 口 ， aj l . , = m . n . = ( i 一 r) l ) 一 ， ( ( 1 一 0 ) ) i + m u ) ,( 1 .3 . 1 1 ) 当w= 1 时， s o r迭代法就 是g a u s s - s e i d e l 迭代法。因 此 适当 选取参数。可 望s o r 迭代 法比g a u s s - s e i d e l 迭 代法具 有 更快的 收 敛 速度。 1 .3 .2 分块迭代法简介 矩阵a的另 外分裂， 在一些情况下， 可能 产生快速收敛的 迭代， 例如， 三 对角线和块三对角线方程组是容易求解的; 另一方面， 随着对计算精度要求的提 高， 得到的稀疏线性方程组的规模越来越大， 稀疏线性方程组的求解在整个计算 过程中 越来越成为瓶颈。 刘 此类矩阵， 直接法存储需求和计算量比 较大， 且难以 控制。 于 是分 块迭代 技术 9 受到青 睐。 另 外， 大量的 实 例也 表明， 当 一 些点 迭 代法 不收 敛时， 块迭 代法有 可能 还 是收 敛的 2 0 ) . 同样地考虑线性方程组 ax=b 其中 a 。 尺 n “ 月 和b e r 已 知， x 。 r . 未 知。 将 其 行 标 分 划 为 q, ( 1 ) , p ( 2 ) , - . , 9 ,( m ) 使州1 ) + 州2 ) + 二 + 诚二 ) = n 。 以 同 样 的 顺 序 和 数目 将 列 标 进行 分 划， 这 样 就 得 到了 一 个m行和m列的 分 块 矩阵 。 其对 角 块 为p ( 1 ) 阶 ， p ( 2 ) 阶， op ( - ) 阶 第 8页 共 4 0页 电子科技大学硕士学位论文 方阵。 我们把这样的分块形式表示为: 瑞凡人 .!.人人凡 队队曰以 肚 并将其分为三部分: a - a 0 - a , . - a , . 耐0 a - a , , 0 . . . 0 a r.eseseseses万l - = d 一 c l 一 c r, . 同 样 ， 对x , b 进 行同 样的 分 块 。 这 样 相 应的 点 迭 代 脚1 .3 .7 ) , ( 1 .3 . 1 0 ) 和 ( 1 .3 . 1 1 ) 就 变成了 相应的块j a c o b i 、 块g a u s s - s e i d e l 、 块s o r迭代法等。相应的收敛定理也 成立。 由 以 上 分 析 可 知， 迭 代 阵 m - n 的 谱 半 径p ( m- n ) 的 上 界 估 计 在 迭 代 法 收 敛性分析中 起着关键性作用。 在其它理论分析中， 如: 在差分方程的稳定性和收 敛 性 分 析 和 行 列 式 的 估 计 中 也 常 用 到 p ( m- n ) 的 上 界 估 计。 就 其 迭 代 法 本 身 来 讲， 其大小也 是比 较其收敛速度的 一个常见 尺度。 因 此， 迭代阵m- n的 谱半径 的 估计很久以 来就是众多数学家研究的 焦点 之一。 如: d o u g l o u s 在6 0 年代， 对m为 三 f3 寸 角 行严 格 对角占 优矩阵， 给出 了 如 下估 计: iim -n ii- m a x ,- in i - ; . i mu ! 一 乙 ! m i l 随 后， v a r a h 在1 9 7 5 年， 将其推广到一般 行对角占 优矩阵类上。 进入8 0 年 代， 我国 学者胡家赣教 授对其进行了 深入 研究， 采用尺 度变换与最优尺度矩阵 技 术得出 一系列至今仍有较大影响的结果: ( 1 ) 1 9 8 2 年 ， 在 文 2 2 1 对ii b - a ll二 的 估 计 进 行 研 究 ， 给出 了 “ b - a iiw 5 1 的 几 组 充分剩牛 ， 并将其 应用于对迭代 法 ( 1 .3 .5 ) 的 矩阵分解研究， 在对其收敛速度 第 9页 共 4 0页 电子科技大学硕士学位论文 的研究时得出其收敛速度的估计: ei n , ! p ( m- n ) 1i m- n ii_ 0 卿 p ( m - n ) _ m a xi ( 非负方阵) ，则 n ! + z 1 n ;, i ! jn a i - - y - i - y ( 3 ) 1 9 8 6 年， 胡 又在 文 2 4 中 ， 在 对m a rt in s 关于a o r 迭代矩阵 谱半径的 估 计作注时，得出有一结果: “ 当m 为n 阶严格对角占 优矩阵，则 i n + 习 n ; i a ;j ( m - n ) 1 m in ! n , i + e j - y i i mi + 艺i n ( 1 .3 . 1 3 ) 此结 果 将m- n的 谱半 径的 估 计， 得以 更进一 步的 改 进.1 9 9 4 年， 王新民 在 文 2 习 中 采用不同的 方 法得到 与 此同 样的 结 果。 1 9 9 8 年， 文 2 6 利 用g 一 函 数的 概 念对m为 更 广 泛的 非 奇 矩阵 类 ( 拟 线 性 g 一 对角占 优矩阵 类) 获得了 更 一 般的 估计， 文 2 2 2 5 的 结 果皆 成了 其 特 例。 1 9 9 8 年， 向 淑 晃 教 授 在 文 2 刀 中 又 对m- n的 谱 半 径 作出 了 与 胡 行和 估 计 式 完全类似的列和估计式。 最 近 文 2 8 , 2 9 分 别 对m为n e lm a s o v 矩阵( 是比 严 格 5n 角占 优 矩阵 稍 弱 的 一类矩阵) 和双严格对角占 优矩阵给出了 估计， 推广和改进了以上相应结果， 分 别如下: 文 2 8 1 的 结果 如下: 设 m= ( m ) , n= ( n ,; ) e c. ， 并 且 m是n e k r a s o v 矩 阵 ， 则 第 1 0页 共 4 0页 电子科技大学硕士学位论文 p ( m - n ) i = n ; a a 为 行 列 指 标 皆 在 。 一 f i, i, - r , ( a ) , e e 到 a , i ， “ 则 “ 称 为 下 半 强 x lf f fi 占 优 第 1 2页 共 4 0页 电子科技大学硕士学位论文 矩 阵 ， 记 为a e l d o 。 若 存 在 排 列 阵 p ， 使p a p t 为 下 半 强 对 角占 优 矩阵 ， 则 称a 为 半强 对角占 优矩阵， 记为a r l d 定 义2 . 1 .3 ( 9 ) 设a 二 d ， 若a 满 足: 1 ) j a 0， 2 ) 对 任 一 i o j ， 有a 之 非 零 元 素 链 a w a 4h . . . a , ， 使 得 j e j ; 则称a 为非零元素链对角占优矩阵。 3主要结果 此， 角元 由 于当 某 一a n = 。 时， 对 角占 优 矩 阵 必 为 奇 异 矩阵 ， 已 没 有 研 究 的 必 要， 因 本 节 若 无 特 别 说 明 ， 以 下 矩 阵 a = ( a , ) 皆 表 示n 阶 复 矩 阵 ， 且 具 有 4 m - 主 对 引 理2 . 1 . 1 ( 9 1 ) ( n e u m a n , 1 9 7 9 )设a e d ， 则a e d 的 充分必 要 条件为 存在n 阶置换矩阵p ，使得p a p t 为下半强对角占 优矩阵，即a e l do 引 理2 . 1 .2 ( 9 ) 设a e d ， 则a e d 的 充 要 刹牛 是a 为 非 零 元 素 链 对角占 优 矩 引 理2 . 1 .3 ( 9 ) 设a = ( a o ) e c ( b q ) e 2 ” ” ” b= 则a e d的充要条件是其相应的比较矩阵 陈肚 l a , 卜 一 a 1,t = 1,i x j . 为非奇异m矩阵。 引 理2 . 1 .4 ( 9 7 ) 设a = ( a l ) e z ， 则a a s 奇 异m矩 阵 的 充 要 条 件 是 其 任 意 阶主子阵皆是非奇异m矩阵。 定 理2 . 1 .1 设a r d o ， 若j i z ( 。 一 1) ， 则 a e d 。 证( 1 ) 当 冈= 。 时 ， a 本 身 即 为 严 格 对 角 占 优 矩 阵 ， 从 而a s 力 ; ( 2 ) 当 冈= n - 1 时 ， 不 妨 设 第 i 行 非 严 格 对 角 占 优， 现 对a 的 行 作 如 下 置 换 : 周 2 3 2 3 i 一1 i i +l i 一1 1 i +l j门|日、 若记相应的置换矩阵为p， 则矩阵b = p a p t 即为下半强对角占 优矩阵，由引 理2 . 1 . 1 知: a e d。 证毕 推论 2 . 1 . 1 设a e d , ， 口 若 冈- n - 1 ， 则 a 非 奇 异 第 1 3页 共 4 0页 电子科技大学硕士学位论文 注: 此推论即 为 文 1 0 1 中 的 定 理6 . 1 . 1 1 . 定 理 2 . 1 .2设a e d . ， 则a e d 当 且仅当a a e d 。 证 必要性:由 引 理2 . 1 .3 , 2 . 1 .4 ， 易知: 若a为非奇异h矩阵， 则其任意阶 主子阵皆 是非奇异h矩阵。 从而a a e d。 充 分 性: 若a a e d ，由 a e d . ， 可 知a a e d . ， 记 p 一 i ll a , l= 、 e * l a ;, i,i e a jso j x， j p = fi ll a , i) s a , x i i a . i, i e a ) 。 因 a a e d ， 由 定 义2 . 1 .3 和 引 理2 .1 .2 知 ， 几* 0 ; 且 对 矩 阵 a 来 说 ， 有 a = q u 几。 因 此 对 任 意i c a ， 可 分 为 两 部 分 来 考 虑 : 情 况1 : 若 i e 寿， 又 i e a ， 因 此 在 矩 阵 a 中 ， 对 任 意 i e 寿， 皆 存 在 某 个 i e j 使 得a x 0 。 即 从矛 到， 情况2 : 若i e 刀， 之间至少有一个非零元素链。 由 a a 。 力 和 引 理2 .1 .2 知 ， 存 在 非 零 元 素 链a , a 。 . . a , 使 得j e 几。 又由 情 况1 可 知 ， 存 在 i e j ， 使 得 a ., * 0 。 从 而 有a , a , . . . a , j a i, x 0 , 即 从i 到i 之间 亦 有 一 个 非 零 元 素 链。 总上所述，并由定义2 . 1 .3 及引 理2 . 1 .2 可知a为非奇异h矩阵，即a e d, 证毕. 口 注:u) 若a二沪，即j= ， 显然a为非奇异h扼阵，因 此， 在此 约 定 ， 当 a = 沪 时 ， a a e 力 ; ( 2 ) 由 于 对 主 子 阵a a 来 说， 仍 是 一 般 对角占 优 矩阵 ， 这 样， 对 一 个n 阶 一般对角占 优矩阵， 最多经过n - 1 次判断， 就能给出 其是否为非奇异h矩阵的明 确 判断。 这 要比 引 理2 . 1 . 1 , 2 .1 .2 简 捷; 另 外，由 文【 1 7 1 和定 理2 . 1 .2 ， 不 难 推出 下 列结 论成 立: 推论2 . 1 .2设a e r ， 且对角 元皆 为正的 一般对角占 优矩阵， 则a 是p 矩阵 当且仅当a a 是p 矩阵。 推 论2 . 1 .3设a e r 0 ， 且 对角 元皆 为 正的 一 般刘角占 优 矩阵， 若a a e d , 则a 是正稳定的矩阵。 注:由 文4 ,3 4 知， 一 般对 角占 优 矩阵 其 4 m异的 充分必 要条 件为a a 非奇 异。 从这里可以 看出厂 般对角占 优矩阵具粼良 好的“ 遗传性质” ， 其他性质( 如: 正定性、稳定性等) 是否也具有类似的“ 遗传性” ?仍是一个值的研究的课题。 第 1 4页 共 4 0页 电子科技大学硕士学位论文 4数值例子 例 1设 显然， a为对角 非奇h矩阵。 例 2设 占 优， 由 定理2 . 1 . 1 知a为 03-10 5.刁01 2!1we电l、 - a 显 然 j = l , 3 ) ， a = 2 , 4 ， 从 而 ， a 显然是非奇h矩阵，因此 山月州川刁习门刊月 -4i-l4.了曰丸 由 定理2 . 1 .2 知a为非奇h矩阵。 例 3设 、12 011-l 0040 12.-l0 月!月01 2廿.leseseses.tj 一- a 办 -一 j 中 、!胜!./ 0!刁 121n -1 了.、 - 显 然j = ( 3 ) ， 。 = 1 ,2 ,4 ， 但， fa 所以，由定 理2 . 1 .2 知a 不是非奇h 矩阵。 注: 从以 上 例子可以 看出， 在判断 非奇h矩阵 方面， 定理2 . 1 .2 要比 著名的 引理2 . 1 . 1 、 引理2 . 1 .2 要简捷的多， 且对任意n阶矩阵， 最多需要n - 1 次计算就 能判别。其算法也很容易用ma t l a b 实现。具有一定的实用价值。 第 1 5页 共 4 0页 电子科技大学硕士学位论文 第2 .2 节 对角占 优矩阵为正定矩阵的 研究 i引言与记号 对于n 元二次型 f = x t ax- z z a y - iy ; i = t i = l 若 将 任 意 非 零 列向 量x= ( x i , x z , . . . x j t ? t 。 代 入 其中 ， 对 应的 函 数 值 恒 大 于 零， 则称该二次型为正定二次型，所对应的 实对称 矩阵a为正定矩阵。 一 般来说， 对于 具体的 实 对 称矩阵 ， 常 用矩阵的 各1f 1 ) lm 序主 子式 是否 大 于 零 来 判别该矩阵的 正定 性。 对抽 象的 矩阵， 由 给 定 矩阵的 正 定 性， 利用 标准形， 特 征 值及充分必要条件 来证明 相关 矩阵的 正定性和其它命题。 显然这些判断方法都 是很复杂的。 在此节中， 洲门 对对角占 优矩阵 进行了 研究， 证明了 其也具有类似 第2 . 1 节的“ 遗 传性”-a正 定当 且 仅当a a 正定。 并给出了 一些 有趣的 相关 结论。 在此我们仍引用第2 .1 节中的符号和定义如:设a = ( a j ) e r , j = i 日 a y 卜 凡 , ) e , a = f i ll a ; 卜 尺 , i e ) , a q 为行列指标皆在 。 一 i, i2 . . . 0 ( i = 1 , 2 , . . . n ) 。 证:由 引 理2 .2 . 1 ( 4 ) 易 知。口 第 1 6页 共 4 0页 电子科技大学硕士学位论文 注: 此条件 不是充分条 洲 二 ， 因 此不育 拥来判断是 正定矩阵， 但用来判断 实对 称矩阵不是正定矩阵是可以的。 引 理 2 .2 .3 3 4 若a是正 定 矩阵 ， 则 对任 何 非 奇 异矩阵p， p t a p 也 是 正定 矩阵。 引 理2 .2 .4 f , 文 廷 设 a 一 ( a l ) e c . ， 若 a e 办 ， 且 a ， 中 有 p 个 正 数 ， q 个 负 数 ， p + q = n ， 则a 的 正 特 征 值 个 数k , p ， 负 特 征 值 个 数k , 0 ( i 二 1 , 2 , . . . n ) ， 则a 是正 定 矩阵 。 证:由于实对称矩阵皆是 h e r m it e矩阵，因此，其特征值皆为实数。再由 a . 0 ( i = 1 , 2 , . . . n ) 和 引 理2 .2 .4 可 知 ， a 的 特 征 值 都 大 于 零 。 由 引 理2 .2 . 1 ( 2 ) 知，结论成立。口 推 论2 .2 . 1 若 在 实 对 称 对角占 优 矩 阵 a中 ， a ( a e d 且 0 ( i = 1 , 2 , - - - n ) 则a是正定矩阵。 证:由 第2 . 1 节中的定理2 . 1 .2 和上面定理2 .2 . 1 ，易得。口 然而，上面的定理2 .2 . 1 仅是充分条件，而不是必要条件，如: . ，.1.ij ，1，12 1曰门 月，门j.二 一!1.l -一 a 由引理2 .2 . 1 可以 判断其为正定矩阵， 但显 然它不是非奇h矩阵 ( 无严格对 角占 优行) 弓 i 理 。那么对此类矩阵有无新的充要条