（计算数学专业论文）jacobi阵和酉hessenberg阵的逆特征值问题.pdf

中文摘要 摘要 结构矩阵的逆特征值问题来源于许多研究领域，如固体力学、粒子物 理、结构设计、系统参数识别等。一般而言，它研究的主要内容包括问 题的可解性( 必要或和充分条件) 、计算的适定性f 解的存在性、唯一性和 稳定性) 、数值方法以及问题的实用性等方面。 本文主要讨论了两类结构矩阵的逆特征值问题。旨先给出的是一 类j a c o b i 阵的逆特征值问题，即给定三组实数：一组是j a c o ，i 阵的，z 个特 征值，组是只修改了最后一个对角元的它的前七阶顺序主子阵的特征 值，最后一组是修改了第一个对角元的后礼一阶余子阵的特征值，用这 些给定的特征值来确定相应的j a c o b i 矩阵。文中首先讨论了这三组特征 值之间的交错( 隔离) 关系，接着确定了该逆问题有解的充要条件，并论 证了其解的唯性问题，最后给出了相应的数值算法；本文第二个问题 解决的是一类不可约的酉h e s s e n b e r g 阵的逆特征值问题：即个不可约的 酉h e s s e n b e r g 阵可以由它的特征值、它的前阶秩一修正的顺序主子阵的 特征值以及它的后n 一 阶余子阵的秩一修正阵的特征值来确定，文中最 后讨论了唯一性和相应的算法。 本文的创新之处在于提出一类新的结构矩阵的逆特征值问题，证明的 基本技巧是用分而治之方法，将矩阵分解为两个阶数低的小矩阵，通过 研究它们的特征值和原矩阵的特征值之间的交错关系，从中找出特征值 与特征向量之间的关系，丽最终构造出原来的矩阵。 关键词：j a c o b i 阵；酉h e s s e n b e r g 阵：逆特征值问题 蜒文摘要 a b s t r a c t s t r u c t u r e di d v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e i l l s ( s i e p ) a r i s ei nav a r i e t yo fa p p l i c a - l i o n s f o re x a m p l e ，s o l i dm e c h a n i c s ，p a r t i c l ep h y s i c s ，m e c h a n i s md e s i g n ，s y s t e m i d e n t i f i c a t i o na n ds oo i l g e n e r a l l ys p e a k i n g ，t h er e s e a r c ho fs i e pi sc o n c e n t r a t e d o nt h ef o l l o w i n gp r o b l e m s ：t h et h e o r yo fs o l v a b i h t y ( n e c e s s a r yo r m i ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n s ) ，t h ep la c t i c eo fc o m p u t a b i l i t y ( e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n ds t a b i l i 够) ， t h ea n a l y s i so fs e n s i t i v i t ya n dt h er e a l i t yo fa p p l i c a b i l i t y i nt h i sp a p e r ，t w ok i n d so fs t r u c t u r ei n v e ls ee i g e n v a l u ep r o b l e m sa r ed i s c u s s e d f i r s t l y ，a l li n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e mf o rj a c o b im a t r i c e si sp r e s e n t e d ：w ec o u l d c o u s t r u c tt h ej a c o b im a t r i xti fw e k n o wt h es p e c t r a ld a t a ：t h ee i g e n v a l u e so f ta n dt h ee i g e n v a h m so f 而a n do f 乃，w h e r e 乃i sd i f f e i e n tt ot h ek 七1 e a d i n g p r i n c i p a ls u b n m t r i xo fto n l ya tt h e ( k ，k ) p o s i t i o n ，w h i l e 乃i sd i f f e r e n tt ot h e ( n 一矗) ( n k ) r e m a i n8 r 1 ) i n a t r i xo n l 3 ra tt i l e ( 1 1 ) p o s i t i o n a n dt h es u f f i c i e n t a n dh e c e s s a r yc o n d i t i o n sa r eo t ) t a i n e da n dt h eu n i q u e n e s so fti sd i s c u s s e dm i d a l la l g o r i t h mf 0 1 - s o l r i n gt h ei n v e r s ei ) l o b l e mi sp r o v i d e d t h eo t h e rk i n do fs t r u c t m ei n v e r s ee i g e n v a h mp r 0 1 ) l e mi sf o ru n i t a r yh e s s e n b e r gm a t r i c e sw i t hp o s i t i v e s u b d i a g o n a e 1 e n l e l l t s ，t h a tj s an n i t a r yh e s s e n b e r gm a t r i c e sw i t hp o s i t i v es u b - d i a g o n a le l e m e n t sc a nh ec o n s t r u c t e dw h e ni t se i g e n v a l u e ! sa n dt h ee i g e n v a l u e so f h l la n dh 2 2t i r ek u o w n h e r e 奶1a n dh 2 2a r er a n k - o n em o d i f i c a t i o n so f 七k l e a d i n gp r i n c i p a ls u b m a t r i xo fh a n do fi t s ( 他一七) ( n 一) r e m a i ns u b m a t r i x r e s p e c t i v e l y i nt h ee n d t h eu n i q u e n e s so fh a n da na l g o r i t h mi so b t a i n e d i n t h i sp a p e r ，w ep u tf o r w a r dan e wk i n do fi n v e r s ep r o b l e m ，a n dw et t l a , k e u s eo ft h ed i v i d ea n dc o n q u e rm e t h o df o rt h ee i g e n v m u ep r o b l e n l st od i v i d et h e n l a t r i xi n t ot w op a r t i t i o n s b yd i s c u s s i n gt h es e p a r a t er e l a t i o n sb e t w e e nt h e s e g i v e ne i g e n v a l u e s ，w ec o n s t n m tt h ee i g e n v e c t o r sf r o mt h eg i v e ne i g e n v a h l e sa n d p r e s e n tr e l e v a n ta l g o r i t h m sf o rs o l v i n gt h e s ei n v e r s ep r o b l e m s k e yw o r d s ：j a c o b im a t ti c e s ；u n i t a r yh e s s e n b e r gm a t r i c e s ；i n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m s 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任。 声明人( 签名) ：争虱 p e 年岁月卜日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦 门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸 质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利日的的少量复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关 数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密 的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密() ( 请在以上相应括号内打“4 ”) 作者签名：办虱 导师签名： ， 日期：矽年明日 日期：年月 日 第章引言 第一章引言 在数值代数领域，结构矩阵的特征值问题探讨的是给定一类具有一 定特点的矩阵，通过直接法、迭代法等方法求出它们的特征值和特征向 量：反之，由预先给定的特征值或特征向量来构造出满足一定结构( 或 类型) 的矩阵的问题，我们称之为结构矩阵的逆特征值问题f 特征值反问 题1 。 结构矩阵的逆特征值问题来源非常广泛，它不仅来源于对数学物理逆 问题的离散化，而且来自固体力学、粒子物理、量子力学、机构设计、 系统参数识别、自动控制等诸多领域。在这些领域中，由于系统的动态 行为经常被系统所蕴含的固有频率和标准模式所控制，因此系统中谱的 信息就被继承下来。而我们往往期望的是能够从它们的动态行为来确定 原来的物理系统，从而产生了逆特征值问题。又因为一般的物理系统要 服从一些可行性的限制，所以逆特征值问题通常指的是构造具有一定结 构的矩阵。一般而言，结构矩阵的逆特征值问题所研究的主要内容包括 问题的可解性( 必要或和充分条件) 、计算的适定性( 问题解的存在性、唯 一性和稳定性) 、数值方法以及问题的实用性等方面。 本文讨沦的第一个问题是大家熟悉的j a c o b i 矩阵( 即次对角元为正数 的对称三对角矩阵) 的一类逆特征值问题。由于j a c o b i 矩阵自身结构具有 非常好的性质，所以这类矩阵的逆特征值问题比其它的逆问题发展的更 加成熟与完善。最早提j j a c o b i 阵的逆特征值问题的是h t t o c h s t a d t 1 1 ，0 h h a l d 在f 2 1 中严格证明了此问题：j a c o b i 阵可以被它的所有特征值和其 前礼一1 阶顺序主子阵的特征值来唯一确定。文献f 3 1 又提出了一类逆问题： 给定两组实数 九 坠l 和“t 饕l ，构造了n 阶j a c o b i 阵乇，。l ，使得 九) 翟l a ( 厶) ， 胁) 警，a ( 五) ，其中厶和元除了在( n ，n ) 位置的元素外，其余元素 均相同。一些其他的j a c o b i 逆问题和数值算法也被相继提出或解决，如参 见文献f 4 一l o l 等。文献 1 1 1 、f 1 2 1 对j a c o b i 逆特征值问题的发展过程进行了总 结。2 0 0 3 年蒋尔雄在1 3 1 中提出了类新的j a c o b i 矩阵的逆特征值问题： 一个j a c o b i 阵可以由它的所有特征值和它的前一1 阶顺序主子阵的特征值 和后7 1 一阶顺序丰子阵来确定( 这里l k n ) ，并讨论了唯一性及给出了 干h 应的数值算法。根据蒋老师对逆问题的提法，本文讨论了下面的一类 逆问题。定义n 阶j a c o b i 阵： 其中觑 0 ，i ：1 ，2 记 0 1p 1 卢1n 2 疡 国 0 l 卢l 0 卢10 2 国 阮。 o 扎一1 o 觑l 觑1o k 码= 阮1 阮1 n 乃2 0 n 1 口1 0 p 1a 2 历 岛。 风一1 0 凤一l 硫 a k + l 风+ 1 0 5 k + 1o + 2 仇+ 2 凤+ 2 0 岛1 岛t ln n 0 p n 一1 8 n1c m r ( 1 2 ) ( 1 3 ) 其中l k n ，且规定当：n 时，磊：0 。注意这里的矗，磊与乃l * d t 2 2 只是在最后一个对角元和第一个对角元不i 刊。本文考虑的是：能否根 据翕，磊的特征值和t 的特征值来构造j a c o b i 阵t 呢? 仔细观察不难发现， 当= n 时，这个问题是与文献 3 中提出的逆f q n y e - - 致的，冈此我们的 问题吲以看成是这个问题的推广。鉴1 ：此，此文我们假设1 k - a n 若矗和显如( 1 2 ) 和( 1 3 ) 所定义，结合( 1 1 ) ，则如果 r = 言墨 + 卢； 。羔， s 暑，一一，s f 】， c z t ， 那么通过简单计算即可知 瞰= o e k p 反， 该+ 1 = 。女+ j 一目一1 陬( 2 2 ) 设矗和磊的谱分解分别为 矗= q d l q l ，磊= q t d 2 q 2 ，( 2 3 ) 其中q 1 o r 。，口2 o r ( “一) 。( ”一) ，d l = d i a g ( d 1 ，d 2 ，一，以) ，i ) 2 ： d i a g ( d k + l ，d k + 2 ，厶) ，a ( n ) = d l ，如) ，a ( 码) = d k + 1 ，d n ) 。定 义如下列向量 引扎珏班- - 眺q 2 弦c h kh 繁。 仁a ， 把( 2 3 ) 和( 2 4 ) f 匕k ( 2 ，1 ) 中，得到 t = 鼍1 兰 1t 0 最 + p z 。t ， 言兰 = q t c 。+ p 。丁，q ， 期i 忙慨，q = l 暑1 卦釉于。o 胪“故矩盼与d + p z z t 且有 相同的的特征值。因此矩阵t 的特征多项式为 x ( t ) = d e t ( t a i ) ：d e t ( d + p z z t a ，1 6 第璋类j a c o b i 阵的逆特征值问题 = d e t ( d a i ) ( 1 + p z2 ( d m ) 一z ) ( 2 5 ) 以上的这种讨论在分而治之法求j a c o b i 矩阵的特征值问题时经常会用 到( 如见文献f 2 3 2 5 1 ) 。注意到d + p z z t 是对角阵与秩一矩阵之和，而这类 矩阵的特征值与对角阵的对角元之间存在如下的关系： 引n 21 1 2 0 1 设d = d i a g ( d l ，d 2 ，厶) r n “满足d l d 2 ；p o 并且g = ( z 1 ，z 。) r ”，z i 0 ，v i 一1 ，2 ，扎。如果 f d + p z z t ) 那么z t 0 并且d a ，是非奇异的。 由引理2 1 1 我们不难看出，如果d 的对角元互不相同且p 0 ，那 么矩阵( d + p z z t ) 的特征值与d 的对角元一定互不相同，即如果a a ( d + p z z t ) ，那么必有a d i ，i = 1 ，2 ，? - t 。 引n 2 1 2 2 0 设d = d i a g ( d l ，d 2 ，翰) r “并且满足d l d 2 d n ；p o 并且z = ( g l ，一，锄) r ，饬0 ，v i = 1 ，2 ，一，礼。如 果v 0 酽“，且满足 y t ( d + p z z r ) y = d i a g ( ) 、l ，一，k ) ， 其中a 1 a 2 之2h ，且v = p l ，v 2 ，u 。】，那么 ( 1 ) 扎) 警l 是方程，( a ) 一1 + p z t ( d a ”一1 z 的根a ( 2 ) 如果p 0 ，则a l 血 a 2 d 2 k 靠：如果p a 1 d 2 a 2 d 3 - d n a n 。 下面我们推出j a e o b i 阵的根的隔离| 生质。 i n 2 1 3 设t ，磊与磊如( 1 1 ) ，( 1 2 ) 和( 1 3 ) 所定义且满2 4 2 ，2 ) ，a ( t ) = 九) 鍪1 ，a ( 磊) = 如) 坠1 ，a ( 磊) = d ， 。：女+ 1 ，且 a 1 a 2 a n ； d l d 2 - d k ；d l ：+ l d k + 2 如 令p = 口凤，则 ( i ) 如果磊与磊没有相同的特征值，那么必定存在唯一的置 换 j l ，j 2 ，如 菌足： 第二章类, a c o b i 阵的逆特征值问题 吗， a i d j 。 a 2 出。 h ，当0 o 时，( 2 6 ) 式中用咄= a 件1 = d j 。代替d j 。 九+ 1 d j 。仍然成立； 当口 o 时，用出。= 九= d j 。代替d 5 。 a d j 。式( 2 7 ) 亦然。 证明：将 d i ) 銎。重新排序： 吗，d j 。一2d j 。一，( 0 。，( 2 8 ) 并且如果吗： = 呜。，则约定屯 a ( 磊) ，咄+ ， a ( 磊) ， 那么( j l ，j 2 ，h ) 是( 1 ，2 ，n ) 的唯一嚣换。记此置换阵 为i i ( j l ，j 2 ，矗) ，又i i 。= = ，则令矩阵a = n ( d + p z z t ) h t = d + 妒碧，其中d = d i a g ( ，吗。，d j , 。) ，相应的z = ( 勺。，强，勺。) 丁。 f l t i i 雕3 1 e 交性可矢| i a 与- ( d + p z z t ) 特征值相同，进而与? 的特征值相同。所 以， 凡) 坠1 一a ( a ) = a ( d + p ；茅。) 。 对于i n 5 1 ( i ) ：如果 吨) 冬1 一b ；l d ，t ；n + 1 没有公共值，n ( 2 8 ) 式一定为 吗， 吗。 屯一。 吗。 又由于风 0 ，则如果0 0 ，那么p = 呱 0 。因此由引理2 1 1 及引 理2 ，1 2 可以很容易得n ( 2 6 ) 成立：同理可得0 0 ，即p o 时，假设 也 整l 上j d d l + 1 重新排序后所有 公共特征值中下标最小的为西。，又因为磊和磊是j 乩b i 阵，所 以d 1 ，d 2 ，- 一，如与d ，。中相同的至多有2 个，因此必有 吗。 吗。 d 。= d j 。 d j 。 由上：面讨论可知当l i o ， 上式中我们假设v z i o 。因此，在它的奇点之间的区间上是严格单调上升 的。任给充分小的正数e ，可知 f ( d j 。一e ) 0 ，( 出。+ e ) 0 ， 因此我们知道在( 专。嘞。) ，( 屯，专，) ( 而。+ 。o ) 这些区间七必存在，( 妁的 根，即 + a 1 吗l a 2 出2 凡 呜 而由上讨论可知吗。= d j 。必是t 的特征值，所以必是a 川，因此 + o 。 a 1 吗1 a 2 d j 2 a t d j = = ) 、1 = 由蚪1 用同样的讨论我们可以得到不等式的另一边。同理可证p a 2 - a m 且设( j l ，2 ，一，办) 是( 1 ，2 ，n ) 的置换，使得( 28 ) 式成立。 ( i ) i 如果( 2 8 ) 式中的不等号全是严格的，那么能够唯的构 造j 一山i 阵丁，使得a ( t ) = 九) 坠l ，a ( 磊) = ( 哦准1 ，a ( 磊) = 也) 鍪女+ 1 ， 其中t 、磊与磊司由( 11 ) 、( 1 2 ) - - 与( 1 3 ) 定义，r ( 2 2 ) 成立的充分必要条件 是( 2 6 ) 或( 2 7 ) 成立。 ( i i ) 如果( 2 8 ) 式中存在d j 。= d j 。，那么可以构造j a c o b i 阵，使 得 九) 翟1 = a ( r ) ， d k ；l = a ( 翕) ， 也) 冬k + 1 = a ( 磊) ，其中t 、磊与磊可 由( 1 1 ) 、( 1 2 ) 和( 1 3 ) 定义r ( 2 2 ) 成立的充分必要条件是( 2 6 ) 中用d j 。= a 抖1 = d j 代替d j 。 九+ 1 d j 。+ 。；或者式( 2 7 ) 中d j 。 九 d i 被d i 。= 儿= 呶+ 代替。 证明：( i ) ，( i i ) 的必要性我们在上一节已经证明，现只须由已知条件 将t 构造出来。我们的想法是先构造出翕、磊，然后再确定反，a ，k + l ， 这样t 就能被完全确定出来。由引理1 1 知如果能够知道q 1 、q 2 的第一 列或最后一列，那么就可以唯一的得到翕和磊。为了简便，我们只考虑 当0 o 时的情况，而0 0 ，所以此时必存在k 1 f t ) ，使得d j ；= 九+ l = 西。 在( 2 1 0 ) 式中令a = d j 。，m t ，m t + 1 ，则 ( a 。一吗。) = pr 兹( d j 一) ， i = 1 1 = i ，l # m 所以， v | z j 2 = p - 1 熙1 l i = lk ：；| i 荔兰3 m 痔 记 丽氅等，r a = 1 , 2 , t m 沼z 。， 在( 2 1 0 ) 式中令a = 而。，则 ( 九一奶。) = o + p ( 4 + 磋+ ，)i i ( 由。一d d 。) i = 1 ，i t + 1i = 1 i # t ，i # t + l 所以 缘墙。可1 哉端 记 6 = 瓜 i i 磊= l , i c 磊t + l 而( a i - - i d j t 丽) ( 22 1 ) 任取? 7 ( 0 ，1 ) ，令 y j 。= q d ，珊。+ ，= ( 1 一q ) 6 ( 22 2 ) 第：章 类。l a c o b i v l ：的逆特征值闷题 这样，只须用( 2 2 0 ) ( 22 1 ) 和( 2 2 2 ) 代替情况( i ) 的( 2 1 2 ) ，其他的步骤均与情 况( i ) 相同，最终也可以构造出丁。应该注意的是此时构造出来的丁是不唯 一的，而是随着”的变化而变化。口 2 3 算法及数值例子 总结以上的讨论，我们给出以下的算法解决此逆问题( 当取p o 时) ： 算法1 ： ( 1 ) 情况( i ) ：根据( 2 1 2 ) ) 1 1 ( 21 3 ) 求得 玑) 鍪1 ； 1 i 氰z ( u ) ：用( 22 0 ) 、( 2 2 1 ) 、( 2 2 2 ) 2 1 ( 2 1 3 ) 求得 矾) 翟 ； ( 2 ) 由( 2 1 6 ) 得到p ：由( 2 1 8 ) 求得 、z ，i v 。1 ； ( 3 ) 由( 2 1 5 ) 年u ( 2 1 7 ) 分别得到目和风； ( 4 ) 由( 2 1 4 ) 得到1 ，； ( 5 ) 通过l a n c z ( ) s 算法或者g i v e n s 正交约化法，由d l ，d 2 ，d k 和f l 计 算磊；用同样的方法，由d 蚪1 ，d + 2 ，d n 和计算磊； ( 6 ) 根据式( 2 1 9 ) 得到o k ，a + l 。 例1 ：设9 阶j a c o b i 阵 它的特征值为 乃，8 = a l = 87 4 6 1 9 4 1 8 2 5 9 8 2 8a 2 = 7 2 1 0 6 7 8 5 2 9 3 2 2 8 6 a ： = 6 0 3 8 9 3 j 4 5 8 7 4 4 8 4 八1 = 50 ( ) 3 7 2 6 7 9 4 8 9 2 0 5 a 5 = 3 9 9 6 2 7 3 2 0 5 1 0 7 9 5 a 6 = 2 9 6 1 0 6 6 5 4 1 2 5 5 1 6 2 一 f2 3 1 a 7 = 1 7 8 9 3 2 1 4 7 0 6 7 7 1 4a 8 = o2 5 5 8 1 7 4 0 1 7 1 8 0 0 o 0 o o l 8 0 o o 0 o l 7 1 o o 0 0 1 6 1 o o 0 0 1 5 1 0 0 o o l 4 1 o o 0 0 l 3 1 0 0 0 0 l 2 1 o o o o 0 1 1 o o o 0 0 o 第二章类j a c o b i w i ；的逆特征值问题 取0 1 ，令 1 l 12 01 0 0 0 0 10 3l 13 41 16 01 o o 0 0 10 71 18 它们的特征值分别为： d l = 42 8 3 9 9 7 8 7 0 1 4 2 0 7d 2 = 2 7 8 5 2 6 1 4 4 8 4 9 3 5 6 d 3 = 1 6 8 1 5 4 1 1 0 3 4 2 5 2 8d 4 = 0 2 4 9 1 9 9 5 7 7 9 3 9 0 8 4 和 d 5 = 8 7 4 2 2 6 5 6 0 2 5 3 5 9 6d 6 = 7 1 1 8 6 1 5 7 3 1 2 1 9 7 l d 7 = 5 6 0 3 0 8 6 5 9 6 4 5 3 9 1 出= 3 5 3 6 0 3 2 0 6 9 7 9 0 4 1 ( 2 2 4 ) f 22 5 1 从( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 和( 22 5 ) 不难看出， 存在唯一置换 阵n ( 5 ，6 ，7 ，1 ，8 ，2 ，3 ，4 ) ，使得这三组特征值之问存在严格的交错关 系。现在根据算法l ，由以上的特征值( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 平h ( 22 5 ) 来重新建造一 个j a c o b i 阵。最终我们得到以下结果： d 1 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 5 口1 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 陡 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 n 3 2 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9角1 o o 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 o l 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 伪 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 侥 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 6 5 6 5 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 ：8 傀 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 2 6 0 1 7 6 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 5 8岛 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 3 3 0 8 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 8口0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 一一 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5 3 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 f ，k j 2 ：给定三组谱： s l = 8 7 4 6 1 9 4 1 6 2 8 8 1 0 1 ，8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ， 7 2 1 0 6 7 3 6 2 1 8 0 7 0 9 6 ，0 3 8 7 2 5 8 6 9 4 3 9 3 6 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 9 6 1 2 7 4 1 3 0 5 6 0 6 4 2 7 8 9 3 2 6 3 7 8 1 9 2 9 1 1 2 5 3 8 0 5 8 3 7 1 1 8 9 8 = f 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 第二章1 类j a c o b i 阵的逆特征值问题 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ； & = 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，1 o 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 1 ： 可知s 1 ，境，岛满足条件( 2 6 ) ，构造：j a c o b i 阵t 。 取卵= 0 5 ，则得到的矩阵为： o q 6 8 2 0 6 1 7 5 9 7 5 4 1 5 1 历 o 7 7 3 7 1 6 5 4 7 5 7 4 5 6 8 0 2 6111 6 6 9 4 9 0 8 3 5 7 4 口2 1 1 7 7 1 1 8 9 9 6 1 1 4 3 1 o z 3 5 9 3 3 9 5 7 7 0 0 0 1 2 8 3 岛 17 4 5 11 9 2 2 3 8 0 8 7 0 0 4 6 1 0 0 9 4 7 1 9 9 5 1 6 1 9 8 4 15 6 5 1 5 5 4 6 0 7 1 3 6 8 o l 5 4 ，9 1 5 4 0 9 8 7 6 3 6 6 2 0 腾 1 7 7 ( ) ( 】4 9 4 3 9 7 7 6 1 5 0 j 6 5 8 4 了8 5 3 9 5 8 2 9 1 9 0 风 2 1 8 3 3 7 2 0 2 3 2 3 3 3 4 n 7 4 4 4 6 6 4 7 6 6 6 5 4 0 8 7 钕 17 ( ) 7 9 2 4 9 7 4 2 1 5 8 l 0 ：8 28 2 2 8 9 6 5 1 0 8 9 4 7 3口0 6 1 7 9 5 2 6 6 4 8 8 4 3 2 7 一一 n 4 5 ，1 3 3 7 5 5 2 1 1 6 0 9 9 2 n 5 23 8 2 6 0 1 8 6 4 2 7 2 5 0 取r = 0 2 ，则得到的矩阵为： n 1 70 1 2 7 9 2 5 5 3 2 3 2 4 0 疗1 o 8 3 1 1 4 8 9 8 8 0 6 2 2 2 4 n 2 6 2 9 8 6 8 8 1 0 3 8 9 9 4 5p 2 117 6 8 0 1 4 5 1 5 2 1 9 5 0 3 58 4 6 1 4 7 5 2 6 7 4 8 6 9 风 1 5 6 0 4 3 6 2 3 2 5 5 5 4 7 a 4 5 7 2 0 3 1 2 1 0 3 3 4 5 4 7阮1 5 1 7 2 3 8 2 3 3 5 5 3 4 9 a 5 7 7 9 9 1 4 4 5 5 8 0 3 3 3 7风2 2 9 2 2 6 0 7 8 2 3 2 7 4 0 6 4 ，9 0 6 8 9 0 2 3 2 1 5 4 5 0 风 2 。3 0 8 3 3 7 0 1 6 7 0 9 5 9 血73 5 9 6 5 3 7 5 5 4 3 6 6 7 0 8 t 0 6 9 2 4 0 3 6 1 7 ( ) 0 2 5 1 o 电 1 8 1 9 4 8 7 3 6 8 2 1 9 4 1口o 5 7 8 6 4 3 6 6 1 7 6 0 2 2 2 一 0 4 4 8 4 2 3 7 1 8 1 6 1 1 9 4 6 n 5 5 1 7 7 0 8 4 8 4 5 2 5 9 3 9 注释： 1 以上的数值例子是l 主t m a t l a b 6 5 计算得到的，其数值精度为l o - 1 6 ； 2 算法的第五步我们采用的是i 埘：z o s 算法。 堑至空丝堕坚! ! 塑! ! ! ! ! 坚堕垄堑堑堕! ! 墼 第三章 一类酉h e s s e n b e r g 阵逆特征值问题 3 1 不可约的酉h e s s e n b e r g 阵及其特征值的基本性质 首先给出不可约的酉( 上) h e s s t ) e i g 阵的定义 定义3 1 1 设h = ( ) c n 一，如果满足 ( 1 ) = 0 ，当i + 1 ，ij = 1 ，2 ，n ； ( 2 ) 九t ，i l 0 ，i = 1 ，2 ，佗： ( 3 ) h + h = 厶， 那么称日为n 阶不可约的酉( 上) h e s s e n b e r g 阵，此文中简称为 f 骂 h e s s e n b e r g 阵，并记n 阶不可约的酉( 上) h e r - b e r g 阵的全体为爿在 利用快速算法解决酉h t 端s e r - b e r g 阵的特征值问题时常用到这样的事实f 如 参见文献f 2 6 j ，f 2 7 】，f 2 8 ) ：任何一个 阶不口j 约的酉h e s 。b e r g 阵都可以被唯 一地表示为几个复的g 而e 粥旋转矩阵的乘积，h 口：如果h 7 - 。，那么 h 兰h ( 1 1 ，他，) = g 1 ( t 1 ) g n - - 1 ( 7 n - - 1 ) 否。( ) ，( 3 1 ) 其g i v e n s 旋转矩阵的定义如下： 并且 这里讥c ，1 砖m 在信号传输过程中被称为r e ，f e 丘i 1c 。c f f i c ：i t s 或s c 7 z “r p a r a m e t e r s ；o - k r ，砖= 1 ，2 ，n 一1 被称 e o m p l e e t p a r a m e t e 他，并目、满足m 1 2 + 仃；= 1 ，吼 0 ，和1 l ：1 。特别地， 在 2 8 一，式子( 3 1 ) 被称为矩阵日的j c 胁rp n z e 州cf 。，m 。这种形式在 求其特征值问题及其逆问题中都起了非常关键的作用。由此，一个。阶的 、， 丽 七 1 ， k叼 凼 塑三望耋宴旦! ! 苎! ! 查! 竖堕望堑型：堕塑垦 1 i 可约的酉h e s s e n b e r g 阵具有如下形式： 一7 1 一仃1 仡- - 盯i a 2 7 3 一仃1 口k l m l o 1 一，y 1 忱一加固一饥口2 1 0 2一他7 3一优o r 3 西r 】 观察以上的形式我们可以看出，这些c n 川e m e t w yp a r a m e t e r s 吼) z ：1 就 是矩阵日的次对角元，即= e 玉l h e k 0 ，自= 1 ，2 ，n l ：并且每 一个不可约的酉h e s s e n b e r g 阵日都可以由s c h u rp a r a m e t e r s 7 ) 釜1 唯一确 定。 众所周知，任何一个( 3 2 ) 式中的复例”e n s 矩阵都酉等价于一个实 的g i v e n s 旋转阵。这也就是说，如果定义： 碱= 它竺柔关三爱 s ， 则 因此，式( 3 1 ) 可被重写为 卜-1 h = g i g l 7 ： i i“j p g k ( ( - i 。u 一1 l 1 1 bj 吼 口七1 7 后 一1 7 七l 盯七 仃七1 7 七 一l 讯l 。k o ki 仇 如1 i _ ，卜1 l n 一七一1j g + 1 ( 可：7 女+ 1 ) - 否。( 可：7 。) ( 34 ) 1，j k n f 记 k 。l1，j 七k 以 ok 。l = 。 g 7 ， 1-itj l 艘 ( | h k ，。l 2 塑三望：耋堕旦! 塑坚壁坚堕望堑堑堕鲤些 其中 o k ( ) = d i a g & 1 ，以 ， h 1 12 i t ( v x ，7 1 ，一以) 珂 ， f 3 5 ) 圩2 2 = h ( 程佻十j ，磊7 协+ 2 ，一，) 7 - i 。一，协6 ) 并且w r n ， 卸2 o , k e k + w k + l e k + 1 其中u = ( 生掣) ；，帆十1 = ( 掣) ；对比( 1 4 ) 式中的玩。和飓2 ，注意 到曰1 1 ，鼠2 与研l ，上如2 只是在最后一行和第一列不同，所以我们称它们 分别是凰1 与飓2 的秩一的修正矩阵。以上的分解常见于用分而治之法求 酉特征值阿题( 如见文献 2 7 】，f 2 9 ，跚 ) 。 设成立下列谱分解 h = w + a 眦 扈严孵哦m i ：1 ，2 ， 其r j w u c “，w _ u c 2 ”，u c ( 一砷( 一k ) ；并且a ： 成翟( a ”。，a n ) ，q 2d i 9 ( “”一，舳) ，这里 知) 警1 = a ( h ) ， p i ) 肇1 ： a ( 乜1 ) ，似 鍪+ l = ( 巩2 ) 。定义下列分块： 帝= ，q = 卜卜b ，珏，矧t ： 西鬻甜 ( 3 7 ) 将以上各式带入( 3 4 ) 式，可以得到： h = 形+ n ( ，2 z z * ) 形限8 ) 记 a = n ( ，一2 z z + ) 由于彤是酉阵，所