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四川大学硕士研究生毕业论文摘要 摘要 用格点重叠算子研究q c d 真空结构 理论物理专业 研究生汪自庆指导教师吕晓夫 瞬子真空模型解决了许多问题，但也存在许多有争议的地方。尤其瞬予液 体模型是一个非常成熟的半经典唯象理论，而且它会引起一个非常有趣的机制 手征对称性自发破缺。在这篇文章中，我们用格点q c d 来研究它。 以往用格点q c d 研究真空结构一般都用到冷却或者平滑，但这些方法具 有很大的主观性，其结果很难真正地说明问题。而我们用一种格点费米的方法 来研究纯胶子场的真空，即用一个无质量的费米子作为探针来探测q c d 真空， 真空作为一个背景场，其性质也就自然反映到了费米子的状态上。我们可以通 过研究费米子的重叠算子的低位本征模来推测真空结构。 我们计算的格点大小为1 0 3 x2 0 ，格点步长为口= o 1 2 3 f i n 。计算结果与瞬 予液体模型一致，即瞬子的密度为月= l f m 一。为了检验我们的结果，我们用上 述结果计算了q c d 真空的胶子凝聚值，所得结果为2 1 8 9 7 g e v4 ，在唯象值的 范围内。 关键词：瞬子液体模型：格点q c d ：重叠算子的低位本征模：胶子凝聚 四川大学硕士研究生毕业论文a b s t r a c l a b s t r a c t s t u d y o fq c dv a c u u m b y l a t t i c e o v e r l a po p e r a t o r m a j o r t h e o r e t i c a lp h y s i c s g r a d u a t e w a n gz i q i n g a d v i s e rl ux i a o f u t i l ei d e ao ft h ei n s t a n t o n d o m i n a t e dq c dv a c u u mh a ss o l v e dm a n y p r o b l e m s ， b u ti ts t i l lq u e s t i o n a b l y n e v e r t h e l e s s ，q c di n s t a n t o nr e m a i n e dr a t h e rp o p u l a ra sa f r e q u e n t l yp r e f e r r e dw a y o f t h i n k i n ga b o u tv a c u u mt o p o l o g yt h ei n s t a n t o ns o l u t i o n w a su s e da sab a s i sf o r d e v e l o p i n gar a t h e r s u c c e s s f u l s e m i c l a s s i c a l l y m o t i v a t e d p h e n o m e n o l o g y ，i n s t a n t o nl i q u i d m o d e l t h i s s e t u p a l l o w sf o ra l l i n t e r e s t i n g m e c h a n i s mo fs p o n t a n e o u sc h i r a ls y m m e t r yb r e a k i n g i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t e t h i sp i c t u r eb yl a t t i c eq c d i nt h ep a s t ，m a n yp e o p l eu s e dc o o l i n go rs m o o t h i n gt oi n v e s t i g a t et h es t r u c t u r e o fl a t t i c ev a c u u mb u tt h ec o o l i n go rs m o o t h i n gh a ss u b j e c t i v en a t u r e ，s ot h er e s u l t s o b t a i n e d b y t h i s w a ya r e u n r e l i a b l e i nt h i s p a p e r ，w e u s el a t t i c ef e r m i o n st o i n v e s t i g a t et h ep u r eg l u o nf i e l dv a c u u m ，i e w eu s eam a s s l e s sf e r m i o n t op r o b et h e s t r u c t u r eo ft h ev a c u u m t h ev a c u u ms e v e r e da sab a c k g r o u n d ，a n di t sp r o p e r t i e sc a r l b er e f l e c t e db yt h es t a t e so ft h ef e r m i o n s ow ec a nd e r i v et h es t r u c t u r eo ft h e v a c u u mf r o mt h el o w l y i n ge i g e n m o d e so fo v e r l a po p e r a t o ro f t h em a s s l e s sf e r m i o n t h el a t t i c es i z ew ec a l c u l a t e di s 10 3 2 0 ，a n d t h el a t t i c e s p a c i n g i s a = 012 3 砌t h er e s u l tw eo b t a i n e di sc o n s i s t e n tw i t ht h ei n s t a n t o nl i q u i dm o d e l i e t h ed e n s i t yo fi n s t a n t o n si sn 1 砌。i no r d e rt oc h e c ko u rr e s u l t ，w eu s ei t t o c a l c u l a t et h eg l u o nc o n d e n s a t e t h er e s u l ti s 2 18 9 7 g e v 4 ，w h i c hi na g r e e m e n tw i t h t h ep h e n o m e n o g i c a lv a l u e 2 四川大学硕士研究生毕业论文a b s t r a c t k e yw o r d s ：i n s t a n t o nl i q u i dm o d e l ；l a t t i c eq c d ；l o w l y i n ge i g e n m o d so fo v e r l a p o p e r a t o r ；g l u o nc o n d e n s a t e 3 四川大学硕士研究生毕业论文 第一章引言 19 7 5 年，p o l y a k o v 等人在寻找与th o o f f p o l y a k o v 单极子类似的非平庸 拓扑的经典解时发现了y a n g m i l l s 方程的瞬子解【1 】。之后，许多科学家证实了 瞬子的物理意义是简并经典真空之间的隧穿过程【3 4 ”，并提出了瞬子q c d 真 空的概念。尤其瞬子气体图像模型【6 1 ( 将真空看成是由分立的瞬子组成的) 利 用半经典方法很好地解决了u o ) 问题( 7 ”，并得出结论：q c d 物理依赖于0 参 数4 i 。然而，很快证实了这样的真空不能导致禁闭。w i t t e n 9 m 1 认为巨大的量 子振动完全破坏了半经典真空，而且瞬子在q c d 真空中并不起重要的动力学 作用。他还认为规范场振动能足够很好地解释通常用瞬子解释的那些效应。 然而，q c d 瞬子依然是研究真空拓扑的个重要途径。与瞬子相关的稀 薄瞬子液体模型( i l m ) ” 】是个非常成熟的半经典唯象理论。虽然在此 称为液体，但相应的真空中的瞬子是非常稀的，瞬子的半经为p z l 3 加 ，密度 为h = i 励- 4 。这一模型会引起一个非常有趣的机制一一手征对称性自发破缺 1 。由于i l m 的重要性，我们准备用格点q c d 来研究它。我们预期格点q c d 将会给我们一个关于q c d 真空的一个很好的答案。然而要用格点q c d 得到一 个干净而满意的答案也并非那么容易，因为规范场振荡得非常厉害。为了消除 短程振荡而对规范场进行冷 - j ( c o o l i n g ) 盼1 6 】或者平滑( s m o o t h i n g ) 7 】非常有必 要。冷却是对用m o n t e c a r l o 过程1 9 , 2 0 1 模拟的q c d 组态的规范作用进行的一 个定域最小化过程。然而经过一定的冷却扫描之后规范场就有很大的改变且变 得平滑，如果进一步冷却就会变得更为平滑甚至变成没有非微扰效应的平庸 组态，其过程如图l 所示。冷却或平滑具有主观因素，因为可人为地控制扫 描，当规范场组态出现i l m 结构时即停止扫描。 最近，h o r v d t h 等人提出了- - g ef e r m o i n s 的方法，即利用一个无质量的 夸克来对真空进行探测。真空作为个背景场，其性质就自然反映到了夸克的 状态上，所以我们可以通过研究该夸克的重叠算子【2 2 ，那 2 4 】的低位本征模来推测 真空性质。因为夸克的低位本征模要比规范场本身平滑的多，该方法也就自然 达到了冷却的效果。 我们用重叠算子来研究拓扑荷的定域振动性质。因为真空结构接近于手征 4 四川大学硕士研究生毕业论文 第一章引言 ( c ) 图1 冷却过程图 ( a ) 是冷却之前的作用量密度分布，( b ) 是冷却到2 5 步时的分布 ( c ) 是冷却到5 0 步时的分布。 对称性自发破缺，通常的费米形式就不能用。为了检验我们的结果我们用格点 的形式计算了胶子凝聚值。许多人发现胶子凝聚的值为【2 5 2 6 , 2 7 , 2 ”： o 5 1 5 g e v4 。而低能理论【2 9 1 指出，在没有轻夸克的世界中，胶子凝聚值应该 2 到3 倍于三个夸克味的世界。故在纯胶子场中，胶子凝聚值应为： ( g2 f f ) = ( 1 3 ) g e v 4 ( 11 ) 许多人研究过这个问题。但他们用的是冷却方法，凝聚值依赖于冷却扫描的次 四川大学硕士研究生毕业论文第一章引言 数。 现在我们可以用重叠算子的低位本征摸来平滑规范场，以及计算真空。计 算表明i l m 可以利用，我们的结果支持利用i l m 来计算胶子凝聚 g = ( o l g2 瞄墨1 0 ) ，。 ( 1 2 ) 文章内容安排如下，第二章介绍了格点规范场的基本理论，以及w i l s o n 作用量；第三章讲述怎样利用m o n t e c a r l o 方法来模拟s u ( n ) 胶子场的真空结 构；第四章讲述了重叠算子的一些基本性质，以及求解重叠算子低位本征模的 相关算法：在第五章我们对真空组态进行了滤波，并由此定出了真空中的瞬子 分布，再计算了胶子凝聚值；最后是总结和致谢。 6 四川大学硕士研究生毕业论文第二章格点规范场 第二章格点规范场 2 1 s u ( 加规范场 在讨论格点规范场之前，我们先讨论连续规范场3 0 , 川。考虑在欧几里得 空间下的个复标量场矽。( x ) ( f = 1 ，n ) ，我们可以引进一个内部空间k ， 这些复标量场可以看成内部空间复矢量场痧( x ) 的个分量。对于每一个时空点 x ，( x ) 是矢量空间的一个元素。在这里，每一个与c ”同构。在吃空间标 积定义为： = 确” ( 2 1 ) 作用量为： s = f d 4 x 侈( x ) ( v2 一a ? + m2 ) 妒( x ) + 矿够( x ) ( z ) ) ( 2 2 ) 浚作用量在以下的变换下是不变的： 庐( x ) ( x ) = 人一1 ( x ) ，a s u ( n )( 2 3 ) 即a 是一个n n 的矩阵，且与x 无关，满足 a t a = 1 ，d e t a = 1( 24 ) 以上的变换称为第一类规范变换。 一个更大的变换是 痧( x ) 7 ( x ) = a “( x ) ( x ) ( 25 ) 在这里，a ( x ) 随着z 的改变而改变。这种变换称为定域规范变换或者第二类规 范变换。它们可以看成是由与x 有关的基底变换引起的变换。( 2 2 ) 式中的作用 量在定域规范变换下是变化的。 我们有必要修改作用量，以使得它在定域规范变换下是不变的。与广义相 对论一样，我们可引入协变微分。协变微分又是由平行变换引起的【3 2 ”】。矢量 沿着一条曲线的平移变换可以用以下的方式定义。设c 。是四维时空中从x 到y 的盐线，可以通过 7 四川大掌硕士研究生毕业论文第二章格点规范场 c ”( j ) ，j o ，1 ，c , u ( o ) = x ”，c ”( 1 ) = y ”( 2 6 ) 将之参数化。对于c 。，我们将找出一个s u ( n ) 的矩阵 u ( c 。) ：_ v 。( 2 7 ) 它定义了一个从k 到的映射。则 u ( c ，。) ( z ) ( 28 ) 定义为矢量( x ) 沿着c 。平行变换到点y 。u ( c ，) 称为平行变换- 子二( p a r a l l e l t r a n s p o r t e r ) 。通常，对于时空中的每一条曲线都对应着一个连续且可微的平行 变换子。平行变换子必须满足以下条件： ( 1 ) u ( o ) = l( 2 9 ) 0 代表长度为零的曲线 ( 2 ) u ( c 2 。c ，) = u ( c 2 ) u ( c t ) ( 2 1 0 ) c ：。c 表示由c ，c ：两条路径的组合路径，c ：的起点是c 。的终点t 如下 图所示。 ( 3 ) u ( 一c ) = u ( c ) 。1 ( 21 1 ) 一c 代表路径c 沿着相反的方向变换，如下图所示。 在定域规范变换 图2 组合路径及逆路径 8 声 ! 鲨竖望兰生丝查圭兰些堡圭 箜三主鳖查丝蔓望 翌呻缎酣一婶o )( 7 1 2 1 ( y ) ( y ) = a 。1 ( y ) ( y ) 一7 下平行变换子满足如下变换： u ( c “) u ( c 吖) = a q ( y ) u ( c 。) a ( x )( 213 ) 为了定义协变微分，我们必须将相隔无穷小的点x 及y = x 十d r 上的矢量相减。 因为不同点上的基底是任意选取的，我们只有将它们变换到同一点上爿能对它 们进行比较a 让我们考虑直接从z 到，一= z + d r 的无穷小路径以及相应的平行变 换子。因为它只偏离单位矩阵一个很小的值，所以可以写为 u ( c ，峨，) = 1 一a 。( x ) 出”( 21 4 ) 其中 a 。( x ) s u ( n )( 2 ，1 5 ) 是s u ( n ) 群的李代数的元素，即它是一个无迹的反厄密矩阵。如果我们 通过 d 妒( x ) = u 。( c 。+ 。) 庐( x 十d x ) 一( x )( 21 6 ) 来定义协变微分，我们可以得到 d f j ( x ) = d 。妒( x ) 出“( 217 ) 协变微商为： d ，矽( x ) = ( a ，+ 爿。( x ) 弦( x ) ( 2 1 8 ) 4 。( x ) 称为规范场。从定域规范变换下的平行变换子的变换定理我们可以得到 规范场的变换定理： 4 ：( x ) = a 。( x ) 4 ，( x ) a ( 工) 一p 。a “( x ) 扒( x ) = a - l ( x ) p 。+ a 。( x ) 扒( 羔) ( 2 1 9 ) 则协变微商以如下方式变换： d ：( z ) = a 。( x ) d 。( ) ( 2 2 0 ) 我们可以定义场强： 9 四川大学硕士研究生毕业论文 第二章格点规范场 图3 在连续场中的无穷小矩形及格点空间中的基本方块( p l a q u e u e ) 瓦( x ) = 【d ，d ， - a ，a ，( x ) 一a ，a ，( x ) + 【爿，( ) ，a v ( x ) ( 22 1 ) 它的几何意义可以认为是一个沿着无穷小矩形的平行变换( 如图3 所示) 。相应 的平行变换子为 u ( c 。) = 1 一。( x ) d x “咖” ( 2 2 2 ) 在定域规范变换下场强按以下方式变换 e 。( x ) = a 。( z ) 。( x ) a ( x ) ( 2 2 3 ) 现在我们引入组分标记，实李代数5 “( ) 的每一个元素都可以写成生成元仉的 线性组合： 2 一i a = i ( o 。l ， 街。r( 2 - 2 4 ) l 也叫生成元，是无迹的厄密矩阵，通常规格化为： t r ( t o t , ) ：三如 ( 22 5 ) 它们满足对易关系 疋，瓦】= 吮。疋 ( 2 2 6 ) 结构常数兀。是完全反对称的a 对于s u ( 2 ) l = 要， d = 1 ，2 ，3 ( 2 2 7 ) 其中r 。是p a u l i 矩阵以及 1 0 四川大学硕士研究生毕业论文第二章格点规范场 l ：冬， a = l ，2 ，8 其中五。是g e l t m a n n 矩阵。 每一个s u ( n ) 的元素可以表示成 规范场爿。，( x ) 及，定义为 a 。( x ) = 一倒：( x ) l r 2 2 8 ) f 22 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 瓦，( x ) = 一f g ，( x ) 瓦 ( 23 2 ) 它们满足关系 f 二= a 。一：一a ，爿：+ g 乙。a ，b a ，c ( 2 3 3 ) 其中g 是耦合常数。 现在我们转到定域规范不变的问题。用到协变微商，场矿( x ) 的规范不变作 用量可写为： s j = 4 x d 。庐( x ) d ，庐( x ) + m2 ( x ) 庐( x ) + 矿( ( x ) - 庐( x ) ) ( 23 4 ) 规范场本身的动力学通过y a n g m i l l s 作用而引入 s w = 一专 t 峨一，一l + i 如 q 3 5 1 我们再次转到平行变换子，从上面可知它们唯一地确定规范场，即给定一 个规范场a u ( x ) 就可以构造出平行变换子。考虑一条曲线c 。，与( 2 6 ) 式一样 对之进行参数化。设c 。是对应于参数f 从。到s 的一段曲线，改变c ，的末端， 我们得到微分方程： 罢叩弘以似跏型d su ( c s ) 3 6 ) 初始条件为： 四川大学硕士研究生毕业论文 第二章格点规范场 u ( c o ) = 1 j ，j 所以 邶弘胁- 一r 爿肌，) 等凼 = p e x p - f 以出j ( 2 - 3 8 ) 符号p 代表参数s 的路径顺序，它使s 大的矩阵爿。( c ( j ) ) 位于左边，而5 小的矩 降付于右沩。 2 2 格点规范场 在连续场中，规范场由沿着无穷小距离的平行变换予给出。而在格点规范 场【1 83 5 1 中最小的格点距离是格点步长a 。因此，在格点规范场中基本的平行变 换子元素是连接最近的点的连接( 1 i n k s ) b 。设x 是格点空间中的一点，z + 砸 ( 卢1 ，2 ，3 ，4 ) 是与之相邻的点，相应的连接b 是直接从x 到z + 鼬的路径，它用 一对有序的点表示： b = ；( x ，) ( 2 3 9 ) 与连接b 相关的平行变换子为 u ( 6 ) s u ( x + 举，x ) ；u 。g ( 2 4 0 ) g 是规范群。矾6 ) 称为连接变量且满足 u ( y ，x ) = u 1 ( x ，y ) ( 2 4 1 ) 对于格点中的任意路径 c = b 。b 2 。b i ( 2 - 4 2 ) 平行变换子由连接变量决定 ，( c ) = u ( b 。) u ( b 。) = 兀u ( 6 ) ( 24 3 ) 6 e ( 因此，我们可以将所有的连接变量的集合妙( 6 ) 作为格点规范场变量。 在规范变换下，连接变量按以下方式变换： u ( y ，x ) = a 一( 一) u ( y ，x ) a ( x ) ( 24 4 ) 1 四川大学硕士研究生毕业论文第二章格点规范场 因此耦合项 矽( x ) u ( x ，j 1 ) ( y ) ( 24 5 ) 是定域觑范不变的。我们可以定义格点协变微分( 向前微分) 为： 2 似x ) = 去( 训) m + 审) 叫x ) ) ( 24 6 ) 2 3w i l s o n 作用 在格点中最小的封闭捌是由四个连援组成的方块( p l a q u e t t e ) ( 如图3 所不) ， 它包括以下的点： x ， x + 日丘，x + a p + a p 。 工+ 口p ( 2 4 7 ) 它的取向如图3 所示。格点封闭圈表示为 p = ( x ；z ，v ) ( 2 4 8 ) 相应的平行变换子简写为 u p 2 u v5 r 2 4 9 1 u ( x ，工+ d 口) u ( x + c l # ，x + q 舀+ 日口) u ( 工+ 口丘+ 口p ，x + 口p ) u ( x + q 矗，x ) 。 称为方块变量( p l a q u e t t ev a r i a b l e ) 。w i l s o n 给出了纯格点规范场的作用量【3 6 j ： s m = s p ( u p ) ( 25 0 ) 其中 已( u p 卜“嘉u + t r u - 1 ) 一- ) = 一专r e 丹u s ， 在这里对方块p 求和时，每个方块只取一个方向，即： * ( 2 5 2 ) 常数项物理意义不大，通常忽略掉。w i l s o n 作用是规范不变的，因为 t r u ：= t r u p ( 25 3 ) 四川大学硕士研究生毕业论文第二章格点规范场 也石 阻用其他方式定义规范不变性，但w i l s o n 作用是最简单的形式。 现在我们证明s u ( n ) 格点规范场的w i l s o n 作用与连续规范场的y a n g m i l l s 作用是一致的。在格点规范场中连接变量为： u ( x ，2 ) ；p “_ = 卜a a ，( 工) + a - a 。( x ) 2 + ( 25 4 ) 其中 a 。( x ) = 一姆爿：( r ) 瓦 ( 25 5 ) 用到t a y l o r 展开式，我们可得到 爿，( x + 口丘) 兰a 。( x ) + a o 。a ，( x ) + o ( a2 ) 爿一。( x + q d + 口i ) = 一一。( x + d 口) 兰一1 4 。( x ) + 口a ，a 。( x ) + o ( 以2 ) ( 25 6 ) a 一。( x + ) = 一a ，( x ) + o ( a2 ) 则 u 。兰一。f 。旧。删p 一。m p 俐1 9 一“口 ( 25 7 ) 利用c a m p b e l l b a k e r h a u s d o r f f 方程 e 。e y = e x + y + 1 7 2 1 h 卜 r 2 5 8 ) 可得到 ，一m m 埘以) 弓，删 ) 。“圳坞埘肿) ) + 譬，删 ) 兰e x p _ a 2 ，a ，( x ) 一0 ，a ，( x ) ) + 爿，( x ) ，爿，( x ) = e x p a 2 f 。( x ) ( 25 9 ) 所以 t r ( u ，+ u ；1 ) = 2 t r l + a 4 t r ( f u ，( x ) ) 2 + o ( d 5 )( 26 0 ) e 式用到 丁m ：，( x ) = 0 ( 2 6 i ) 1 4 四川大学硕士研究生毕业论文第二章格点规范场 利用 我们最后得到 如果没 n ( ( x ) ) 2 = f 26 2 、 s 一景莓d 4 n ，( x ) f “( x ) + 。( 。5 ) ( 26 3 ) ：2 - _ n【26 4 ) g 。 其中g 是格点理论的裸耦合常数，则其形式与y a n g m i l l s 作用一样。 1 5 四川大学硕士研究生毕业论文第三章m o n t e c a r l o 模拟 第三章m o n t e c a r l o 模拟 在这犟我们用m o n t e c a r l o 过程1 9 t2 0 1 来模拟真空组态。对于真空， s 叫r 1 【c 扣】取最大值，其中5 妒】是格点作用。所以我们必须找到一个组态 妒 使得 p 。t e l d 0 ) 及s i n 0 。在这旱我们用0 代替，且c o s 只= 1 i x ，i i l l x 。s i n 目，= 口i f p 。i i l l x 。 ( 4 ) 根据 x 7 = x c o s 0 + s i n o p i l p l j ， y = y c o s 0 + s i n o z l l p t l f 4 ，1 3 1 ( 41 4 ) 计算x 及y 。 ( 5 ) 计算g7 = y 一k 并用辅助向量z 存下该结果。 ( 6 ) 计算恬7 i t 以x p = c 。s 9 恬1 1 2 i k l l 2 ，从而计算 p = g + b x ( x ，p ) ( 41 5 ) 这一算法肯定会收殓，因为1 2 是单调下降的，而且肯定先算出来的本征模 是低位模。在实际应用中我们必须在有限次的循环内终止程序。我们可咀利用 以下的严格的误差估计来设定终止条件： 2 3 四川大学硕士研究生毕业论文第四章重叠算子及其相关算法 如果x 是一个单位矢量且r i t z 泛函的梯度满足恬( 刮f 珊， 的本征值五满足 l 五- p ( x ) l 甜 对于更大的本征值，本征模必须与前面个低位模正交。 仞始矢量x i 以及寻找方向p ，乘上 q = 1 - f ，) ( ，| j = l 其中甜，是第个本征模a 则存在一个a ( 41 6 ) 凼此我们必须将 ( 4 1 7 ) 对于r i t z 方法有一种加速算法，在这里用到了中间对角化过程，我们并 非逐个地用c g 循环计算 个本征矢量，而是以同步的方式来计算 个本征矢 量。其流程如下； ( 1 ) 对于每一个k = l ，2 , - - , n ，我们只执行( d 个c g 循环，即最小化 ( q k l _ l z ，爿q 亡，z ) ( 笼i z , q 士，z ) ( 41 8 ) 来计算a 的近似本征模峨。 ( 2 ) 计算矩阵m m 。= 扫。，4 q ) 并将它对角化。再计算线性组合 ( 4 1 9 ) 出净甜 f o r t = 1 ，n( 42 0 ) ! = 1 其中毋。代表m 的第k 个归一化的本征矢量的第，个分量。如有必要， 我们必须交换脚标k ，以使得：p ，p ，i n ( v ，是m 的本征值) 。 ( 3 ) 如果对于所有的k = l ，”都满足终止条件( 见下) ，则退出程序。 否 则继续( 1 ) 中的c g 循环并用0 9 ：作为初始矢量。 ( 旬的选择有很多方式。我们使用如下的方式：( 妁不是固定的r 而是对 于每一个本征值以及每一个c g 循环使用一个恰当的标准来确定m 的。在此利 2 4 四川犬学硕士研完生毕业论文第四章重叠算子及其相关算法 用l i g t l ! 的收殓比例，当满足 蛘s y ，( 4 2 1 ) i g 2 。7 时则终止当前c g 循环。对于，的选择通常是y = 0 ( 1 0 ) 。最好给a ，( 句设置 一个最大值和最小值。最小限定值通常取得很小，比如5 ，以防止开始的一些 c g 循环数过小。而最大限定值一般取得比较大，o ( 1 0 0 ) 的量级或者更大，当 c g 循环数达到这一数量时就终止当前c g 循环( 都使还未满足( 4 1 6 ) 式) 。这样 的终止是很有必要的，因为有些时候c g 循环收殓得特别漫，而花费大量的时 间。 终止条件的选取是基于比较两个r i t z 泛函值和的差值( 它们相隔两 次中i n j 对角化) 。如果 2 辔蜢 ( 4 2 2 ) 就终e l 程序，其中是我们所需要的精度。 为了减少因为重新开始c g 循环而带来的损失，我们有必要在每个c g 循 环结束时保存最后的寻找方向p 。则在中间对角化之后，g z l f l 以 成= p 。 ( 4 2 3 ) 作为下一个c g 循环的初始寻找方向。 4 3 多变元共扼梯度法 因为重叠算子存在这样的项 删2 南 ( 4 2 4 ) 所以我们不能直接得到( z ，a z ) 的值。但是可将占( 。) 取一个合理近似2 4 删巩( c 0 + 薯去) ； ( 4 2 5 ) 糌 0 f | i c 四川走学硕士研究生毕业论文第四章重叠算子及其相关算法 其中p 。及q 。是正实数，并可以通过r e m e z 算法4 1 ，4 2 , 4 33 得到。我们利用多变 元共扼梯度法( m u l t i s h i f tc g s o l v e r ) h 4 懈决q ：+ q 女作用在一个矢量上的 问题。这一方法基于k r y l o v 空间解，对于所有的o - 能够同时求解 【a + 盯扣一v o = 0( 42 6 ) 我们的目的是建立一个算法，对于一系列的矩阵a + 口，在每一个循环中 我们只需计算一个矩阵和矢量的乘法。在该算法中用到一个多项式只( ：) 及矢 量h = 只( z ) v 。定义一个变元多项式： 则我们可以通过 彤( z + 盯) = c ：只( z ) v ；= 晔( a + 盯) v o = c n 4 v 。 来求解方程，且不需要让所有的矩阵爿+ 仃都与矢量相乘，因为 ( 爿+ 仃) v ? = c ( 爿k + j k ) 多项式可以这样给出 r ( z ) = 丌( 1 一厄z ) t = l 对于仃= 0 我们可以通过以下迭代来求解 r o + l = 0 一z 。爿0 x 。i 2 x 。+ z 。 其中r o = v o ，工【= 0 。很容易证明 a x = 一色( a ) v o + v o 我们可以让r 。( 爿) v 。快速趋于零，所以x 。会逼近真实解。 对j 一盯0 ， ，：益 “ 1 + z ，c y r ：( z + 盯) = p 孑r 。( z ) 2 6 ( 4 v 7 ) f 42 8 ) ( 4 2 9 ) f 43 0 ) ( 4 3 1 ) f 43 2 ( 4 3 3 ) ( 43 4 ) f 43 5 ) 四川大学硕士研究生毕业论文第四章重叠算子及其相关算法 我们可以构造 蜗= 百舞 z ：“= z i 牛z ，p ：r ， ( 4 ，3 6 ) f 43 7 ) 递归方程可以通过下式得到 ( a + o - ) x + - + l + p o + l = ( a + 盯) z 孑+ p 二【 ( 43 8 ) 或者 ( a + 盯) x 二1 + r ? ( a + o - ) r o = ( a + 盯) z 了+ r 二l ( a + o - ) v o ( 43 9 ) 我们最后得到 ( a + 盯) x 二l = 一r 了( a + 盯) v o + v 0 如果孵( 爿+ 盯) 很快收敛到零，则 乜+ 盯b = v o f 4 4 0 1 ( 4 4 i ) 为了使得多项式最小，我们利用l a n c z o s 多项式。多变元共扼梯度算法用 到了以下递归公式 其流程如下 p 。= v 。十a pl = q ( 爿) v o v + l = v + 卢。a p 。= z 。“( a ) v 。 x ；= 0 ，pa = r o = 成= b ，p i = 二= ；= 1 ，d ；= 0 ，= 硐未辩 2 7 r 4 4 2 1 f 4 4 3 1 一搓 于 对 四川大学硕士研究生毕业论文第四章重叠算子及其相关算法 p 二= 鬈i + l + 口二p j p = + 1 + 口。i p 盈f 一 讹川一舯一坳 唾。卜川虹“ = = = = f 四川大学硕士研究生毕业论文 第五章重叠算子的低位模与滤渡 第五章重叠算子的低位模与滤波 我们用r i t z 方法计算了重叠算子的低位模，其中格点大小为1 03 2 0 ，规 范场的耦合常数为口= 5 8 5 ，格点跨度为a = 0 1 2 3 f m ( 口a1 6 0 5 6 g e ，o 在计算 中我们并非直接计算玩的低位模，而是先计算h2 = d i d o ( 埘= 乃d 。y ，) 的 本征模。因为 h2 ，现】：0 ，且由第四章可知h2 是双重简并的，故玩的模可以 在相应的子空间建立；又因为 y ，h2 = 0 ，这就允许对不同的手征部分分别进 行对角化，而玖的本征模可以由y ，及2 的共同本征模组合得到。设妒。、妒：为 h2 同一本征值的两个本征模： h 2 妒1 = 五2 妒l ，h2 妒2 = 2 2 c p 2 ( 5 1 ) 且 ，5 妒i = 妒l ，5 伊2 = 一妒2 ( 52 ) 在这里纯、妒：均已归一化。从第四章可知存在以下等式 氟= 丑矾，h 疵= - , o ： ( 53 ) 且氟、2 是纯、妒：的线性组合。我1 1 。】以1 鼠设 d 。( n p ，十6 妒2 ) = y s h ( a r p i + 6 妒2 ) = ( 口妒，+ b 0 2 ) ( 5 4 ) 并用到【2 4 】 驴等等 5 ， 可得= h 即d 。的本征模为 甲：拿慨f 妒：) ( 5 ，6 ) 我们以最低的非零本征模来进行滤波。我们算出了空间各点的密度 d ( 月) ：甲? 甲。 ( 5 7 ) 2 9 四川大学硕士研究生毕业论文第五章重叠算子的低位模与滤波 因为在有瞬子或反瞬子的地方硪 ) 的值就会相应升高，所以可通过讲) 的分布 情况来研究真空中瞬子的分布情况。哦 ) 及真空组态中g2 a 4 n f 。( n ) f 。( ”) 的分 布情况分别如图5 、图6 所示。 我们可以这样认为，若对于菜一点 ，其密度值坝 ) 以及以月为中心距离 ，7 为r 的球面上的平均密度 d 。( ，) = ( d ( m ) ) 扯“， ( 5 8 ) 随着，的增大而在某个范围内单调下降，则该区域内有瞬子或反瞬子。在这里， 我们以8 d ( o 3 4 8 f m ) 为参考距离，因为按照瞬子液体模型 佗，1 3 , ”】，瞬子半径 约为l 3 f m 。我们得出在所研究的组态中有四个瞬子( 反瞬子) ，其密度与瞬子 液体模型值l 砌。相一致。 因为在稀薄瞬子气体近似下，只有瞬子反瞬子对胶子凝聚有贡献陋4 64 “， 即： g = ( oj g2 墨，品i o ) 。+ 。 ( 59 ) 而用m o n t e c a r l o 过程模拟的真空有许多噪音起伏，从表面上看显得杂乱无章。 故要研究胶子凝聚必先对其进行滤波，我们根据稀薄气体近似可以将瞬子( 反 瞬子) 以外的区域的t r f f 值视为零，因为这是随机涨落的贡献；而在瞬子( 反 瞬子) 内部应该将随机涨落部分去掉，但是随机涨