（应用数学专业论文）目标函数系数为模糊数的规划问题研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 摘要 胜现实生活和工程领域中，存在着许多不确定性现象，这种不确定性现象 主要表现在两个方面：是随机性，二是模糊性。而在数学规划问题中，这 种不确定性现象会给决策者作决策时带来很大的困难。因此对于研究这种在 不确定环境下的最优化问题，具有很重要的理论和实际意义矿本文讨论了一 类不确定性线性规划问题目标系数分别为区间数和模糊数的线性规划问 题。全文主要内容如下： 首先，对目标函数中具有区间系数的线性规划问题进行了讨论。觥最大 化区间目标函数而言，通过在区间数之间的左端点、右端点、中点以及区间 的半长度引入序关系，然后再通过所定义的这些序关系，可把问题转化为求 解一个多目标问题。而对最小化问题，也可定义区间数之削的另序关系， 同样可把原问题转化为个多目标问题，通过求此多目标问题得到原问题的 解。) 厶”一 进一步，本文还就目标系数为三角型模糊数的多目标问题给出了种解 法，同时对目标系数为般模糊数的多目标问题也作了重点讨论。( 从模糊数 之间的序关系出发，分别定义了弱较优解和较优解，然后对模糊多目标问题 引入模糊评价函数，将多目标化为单目标，在此也证明了求得的解为原问题 的弱较优解。还讨论了系数为一般模糊数的多目标问题，通过模糊集的五水 平集可将多目标问题转化为区间数线性规划问题，并利用上一章所讲的方法， 碍到原问题的弱较优解。x 卢 最后，对变量为模糊数的线性规划问题也进行了讨论。f 实际上，在许多 的数学舰划问题中，所有决策变参量都为模糊数，对于此类问题通常采用可 能性规划或多目标规划方法来解决，遗憾的是，所有这些方法均存在不足。 因此在第四章中，为解决一类具有模糊变量的线性规划问题提出了一种切实 可行的方法。) t ， 关键词 区间线性规划：多目标规划：模糊优化；模糊变量j 西南交通大学硕士研究生学位论文第页 a b s tr a c t i nr e a l i s t i cl i f ea n dm a n yf i e l d si n c l u d i n ge n g i n e e r i n gt e c h n o l o g y ，t h e r ee x i t s al o to fu n c e r t a i n t y i n c l u d i n gs t o c h a s t i c a n df u z z yt h eu n c e r t a i n t yw i l l b r i n g a b o u t g r e a td i f f i c u l t y i n m a k i n gd e c i s i o n f o rd e c i s i o nm a k e ri nm a t h e m a t i c a l p r o g r a m m i n g s ou n d e rt h eu n c e r t a i ne n v i r o n m e n t sr e s e a r c ho no p t i m a lp r o b l e m s i sv e r yi m p o r t a n tf r o mt h et h e o r e t i c a la sw e l la sf r o mt h ep r a c t i c a lp o i n tv i e wt h e d i s s e r t a t i o nt a k e sa c t i o na b o u tak i n do fu n c e r t a i nl i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e m w i t hi n t e r v a ln u m b e r sa n df u z z yn u m b e r si no b j e c t i v ep r o g r a m m i n gr e s p e c t i v e l 3 7 t h em a i nc o n t r i b u t i o n so f t h i sd i s s e r t a t i o nc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： f i r s to fa l l ，i nt h ed i s s e r t a t i o nt h el i n e a r p r o g r a m m i n gp r o b l e mw h o s e o b j e c t i v e f u n c t i o nh a si n t e r v a lc o e f f i c i e n t si s i n v e s t i g a t e d t o m a x i m i z et h e i n t e r v a lo b j e c t i v ef u n c t i o n t h eo r d e rr e l a t i o n sa r ed e f i n e db yt h er i g h tl i m i t t h e l e f tl i m i t ，t h ec e n t e ra n dt h eh a l fw i t ho fa ni n t e r v a l t h em a x i m i z a t i o np r o b l e m w i t ht h ei n t e r v a lo b j e c t i v ef u n c t i o n si sc o n v e r t e di n t oa m u l t i o b j e c t i v ep r o b l e m b 、 u s i n gt h eo r d e rr e l a t i o n s s i m i l a r l y , t h em i n i m i z a t i o np r o b l e mi sa l s ot r a n s f o r m e d i n t oam u l t i o b j e c t i v ep r o b l e mb yu s i n gt h eo t h e ro r d e rr e l a t i o n s ，s ob ) d o i n gt h e m u l t i o b j e c t i v ep r o b l e m as o l u t i o no ft h ep r i m i t i v ep r o b l e mc a nb eo b t a i n e d f u r t h e r ，t h i s t h e s i s b r i n g s f o r w a r dam e t h o db a s e do n m u l t i o b j e c t i v e c o e f f i c i e n t sw i t h t r i a n g u l a rf u z z yn u m b e r s ，a n dl a y s u n d u ee m p h a s i so nt h e m u l t i o b j e c t i v ep r o b l e mw i t hg e n e r a lf u z z yn u m b e r si no b j e c t i v e c o e f f i c i e n t s a c c o r d i n gt o o r d e rr e l a t i o n sd e f i n e db e t w e e nf u z z yn u m b e r s ，t h ep a r e t ol e s s o p t i m a l s o l u t i o na n dt h ep a r e t o o p t i m a l s o l u t i o na r e d e f i n e d ，t h e n af u z z 、 e v a l u a t i o nf u n c t i o ni si n t r o d u c e di n t oam u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n g p r o b l e m ，t h i s m e t h o dr e s u l t si nam u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n gp r o b l e mb e e nc o n c r t e di n t oa o n eo b j e c t i v ep r o g r a m m i n gp r o b l e m a c c o r d i n g l yt h es o l u t i o nb yt h i sm e t h o di s t h ep a r e t ol e s so p t i m a ls o l u t i o nt ot h ep r i m i t i v ep r o b l e m ，w h i c hi s g i 、e np r o o f a m u l t i o b j e c t i v ep r o b l e mw i t hg e n e r a lf u z z yn u m b e rc o e f f i c i e n t s i sa l s of u r t h e r d i s c u s s e d ，b y 一o u t s e t o f f u z z y s e t sa m u l t i o b j e c t i v ep r o b l e m c a r lb e t r a n s f o r m e di n t oai n t e r v a ll i n e a rp r o g r a m m i n g p r o b l e m ，a n du s i n gt h em e t h o do f t h ep r e v i o u sc h a p t e r , w ec a no b t a i nt h ep a r e t ol e s so p t i m a ls o l u t i o n l a s t l y , i nt h et h e s i st h ef u z z yl i n e a rp r o g r a m m i n gw i t hf u z z yv a r i a b l e si s d i s c u s s e d i np r a c t i c e ，t h e r ea r em a n y p r o b l e m si nw h i c ha l ld e c i s i o np a r a m e t e r s 西南交通大学硕士研究生学位论文第页 a r e f u z z yn u m b e r s ，a n d e i t h e r p o s s i b i l i s t i cp r o g r a m m i n g o r m u l t i o b j e c t i v e p r o g r a m m i n gm e t h o d su s u a l l y s o l v e ss u c h p r o b l e m s u n f o r t u n a t e l y ，a l l t h e s e m e t h o d sh a v es h o r t c o m i n g ss oi nt h ef o u r t h c h a p t e r ap r a c t i c a lm e t h o df o r s o l v i n gl i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e m sw i t hf u z z yv a r i a b l e si sd i s c u s s e d k e yw o r d s ：o p t i m i z a t i o n ；i n t e r v a ll i n e a rp r o g r a m m i n g ； m u l t i o b j e c t i v e p r o g r a m m i n g ；f u z z yo p t i m i z a t i o n ；t h z z y v a r i a b l e 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 引言 第1 章绪论 众所周知，传统的数学规划问题是人们在工程技术。科学研究和经济管 理等各个领域中经常遇到的问题，它所研究的是在众多的方案中什么样的方 案最优以及怎样找出最优方案，例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得 设计方案既满足设计要求又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源， 使得分配方案既能满足各方的要求，又能获得好的经济效益；生产计划安排 中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润等等，在人类活动的各个领域 中，诸如此类，不胜枚举。最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决， 提供了理论基础和求解方法，是一门应用广泛，实用性很强的学科。 数学规划问题是个古老的课题，长期以来人们对它进行了深入地探讨和 研究。1 9 3 9 年苏联数学家j i b t a h t o p o b h 提出了解决下料问题和运输问题， 并提出了求解这两种线性规划问题的方法。虽然入们关于最优化问题的研究 工作随着历史的发展而不断深入，但是任何科学的进步都受到历史条件的限 制。宜到本世纪三十年代，数学规翅j 这个古老课题并没有形成独立的有系统 的学科。 自从四十年代以来由于生产和科学研究突飞猛进的发展。特别是电子 计算机日益广泛应用，这使得对数学规划问题的研究不仅成为一种迫切需要， 而且有了求解的有力工具。随着数学规划理论和方法的不断发展，最终形成 了一个新的学科。至今已出现了线性规划、整数规划等等许多分支，其中线 性规划在数学规划中占有重要地位，在理论和算法上已趋向成熟，在实践上 有着广泛的应用。但是入们在处理实际问题时经常遇到大量的不确定因素像 模糊性、随机性，而这些不确定性因素所带来的问题，用传统的数学规划方 法一般难以得到解决。 于1 9 6 5 年，美国加利福尼亚大学控制论专家扎德( z a d e t hl a ) 教授在 l n f o r m a t i o na n dc o n t r 0 1 ) ) 杂志上发表了一篇开创性论文“f u z z ys e t s ”。这 标志着模糊数学的诞生。 它的产生与其他科学一样，是由于实践需要而产生的。这种模糊概念( 或 现象) 无处不在，不管是在日常生活中还是在生命科学、经济管理领域。而 当代科学发展趋势之，就是各个学科领域都要求定量化、数学化，当然模 糊概念所面对的这种趋势也毫无例外地促使人们要寻找一种解决此类问题的 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 新的数学方法。而模糊集合作为经典集合的推广，可以用来表示人类知识中 大量存在的模糊性概念。模糊集合的出现，使人们处理带有模糊概念的问题 就比较容易得多了。 所谓模糊性，就是客观事物之间的差异在其中介过度时的“不分明性”， 而事物之间的这种差异性很难用数学语言来划出一条明确的分界线。例如要 你在某日上午1 0 时到学校门口去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边墨色 眼睛的中年人”，尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他信息大 胡子、高个子、长头发、宽边墨色眼睛等都是模糊概念。对于这种模糊性存 在的主要原因是：人类对事物的特征无法给出一个截然的界限；另外一点， 在实际生活中人们对事物的评价不需要作出精确的回答，扎德教授曾指出， 事物的复杂性与其精确性是矛盾的，这就是著名的z a d e t h t l , 2 1 不相容理论。 在模糊集合论中，为了对模糊子集中的元素有一个定量的描述，z a d e t h 教 授引入了“隶属函数”的概念，同时也给出了对模糊现象的分析运算方法。 而在此前，人们只知道有普通集合，它的特征是“非此即彼，非彼即此”，非 常绝对。z a d e t h 把所讨论的对象x 属于集合4 的程度用l o ，1 l 闭区间的实数，即 隶属函数，b ) 来度量。当x a 时，厂0 ) = 1 ；当x 叠a 时，厂b ) = 0 。由此可见， 普通集合是模糊集合的特例。模糊集理论揭示了事物的渐变性，使理论的认 识更接近于实际。在求解数学规划的实际问题中，不管是在目标函数中，还 是在约束条件中，均会涉及到模糊量的问题，这种问题是无法用常规的数学 规划方法来解决的。因此人们就设法把模糊集合理论与传统数学规划相结合， 这不仅给传统的规划问题带来了新的活力，而且还形成了一门新的学科 模糊数学规划。 在不确定性规划问题中，还包括一种含有区间数的线性规划问题，称之为 区间线性规划( i l p ) 。这里所说的区间数就是把一个闭区间i 口，b l 作为一个数来 处理，而区间数与模糊数有类似之处，模糊数可以看成是区间数的推广。两 者通过截集联系起来，因此可以这样说，实数集中的任意闭区间k ，b 都是- - 个模糊集。由此可见。模糊集是区间数的推广，而区间数是模糊数的特例【3 1 。 1 2 不确定性规划的发展概况 在现实中，数学规划问题的各个方面都包含着许多不确定因素，或称信 息。王光远先生在工程软件设计理论一书中，认为不确定性信息主要 分为未来事物的不确定性( 随机性) 和人们认识的不确定性两大类：而认识 的不确定性又可分为客观( 人们认同) 认识的不确定性( 模糊性) 与主观( 决策者) 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 认识的不确定性( 未知性) 两类。本文主要讨论的是目标中含有区间数和模糊数 的不确定性线性规划问题。 在不确定信息的条件下，要求决策者用传统方法作出精确决策是一件相 当难的事情。以往决策者利用传统方法在不确定情况下做决策时，有时会丢 掉很多有效信息而且还会面临建立模型的困难。因此为了减少有效信息的损 失同时避免建立非现实的模型，于七十年代，r e b e l l m a n 和l a z a d e t h l 5 首 先把模糊集理论运用到传统的规划问题中而提出了模糊数学规划这一概念， 又称之为柔性规划( s o f tp r o g r a m m i n g ) 。这主要用来解决具有模糊目标和模糊 约束的决策问题，所采用的是交互方法，这时还没有建立正式的模糊规划方 程；后来n e g o i t a t q 在此基础上对具有模糊系数的线性规戈0 问题首先用模型的 形式提出，并且他把这类问题称为稳健规划( r o b u s tp r o g r a m m i n g ) ；大约在八 十年代初，d u b o i s 和p r a d e f 7 】在研究目标函数和约束中只含有模糊参数的数 学规划问题时，首先提出了模糊系数的线性方程模型，从而为进一步研究模 糊线性规划的求解方法奠定了基础。在1 9 8 4 年，t a n a k a 和a s a l l 8 1 也对具有模 糊系数的模糊线性规划提出了一个模型并利用模糊数之间的不等关系为这类 问题的解决给出了一种方法。后来随着模糊集理论的不断发展与完善，相应 的模糊线性规划理论也进一步得到了加强。不少学者根据此类问题的各种情 况，相应地提出了各种不同的解法，如对约束为模糊的情形【9 2 “，有l a ia n d h w a n g 的方法，w e m e r 的方法，n a k a h a r a , g e n a n d i d a 的方法，l e u n g 的方法， f a b i a n ，c i o b a n u a n ds t o i c a 的方法等等；对目标中有模糊系数的情形，如对线 性规划多目标问题的解法 9 , 1 0 j h 、模糊非线性规划问题的解法 1 2 , 1 3 1 等；对目标 及约束均含有模糊的情形，在文献【1 1 1 中也讨论过，综合以上各种方法，第三 章中从模糊数的序关系出发讨论了目标中含模糊数的多目标问题的解法以及 所得出的解的意义；同时在第四章讨论了变量为梯形模糊数的求解方法，并 引入辅助问题，最终能够求得原问题的优化解。 模糊集对于数学规划方法的贡献在于：一是模型的建立更符合实际，尤 其适合于不确定性参数的系统建模；二是为模型的求解带来了新的方法。到 目前为止，模糊优化作为模糊集理论的一个分支，内容已相当丰富。 区间数是属于灰色理论的一个部分，丽区间数线性规划作为种柔性数 学规划和模糊决策方法，已有很多人对此进行过研究，r o m e l f a n g e r 1 4 和 t a n a n k a ”i 曾讨论目标函数系数为区间数的情况。因为目标函数的每个可能解 都是一个闭区间，童绍诚1 1 6 则考虑了目标函数系数和约束系数均为区间数的 情况，根据其最大限度不等式和最小限度不等式求出了目标函数解的可能区 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 间，这个解区间的端点代表了目标函数和约束条件的两种极端情况 1 3 本文的结构及主要内容 本文基于对前人在相关问题的研究成果的分析总结，主要讨论了规划问题 中目标系数为区间数，三角型模糊数以及变量为梯形模糊数的不确定性线性 规划问题。 1 对数学规划以及模糊集理论的发展进行了简单的阐述，重点概述 了国内外在模糊规划和区间数规划方面的研究发展概况。 2 第二章对数学规划问题中目标函数系数是区间数的线性规划问 题进行了综合性讨论。在求最大化问题和最小化问题时，分别引入了区间数 之间的序关系，然后再通过这种序关系转化成具有两层目标的多目标问题来 求解，最后求得原问题的p a r e t o 优化解。 3 第三章中，从目标函数系数为三角型模糊数的序关系出发，定义 了模糊多目标问题的弱较优解及较优解解。通过引入模糊评价函数，多目标 问题可转化为单目标来解，并证明了所求得的解为原问题的弱较优解。对系 数为一般模糊数的问题，取模糊集的旯水平集将它化为系数为区间数线性规 划问题，再利用上一章所讨论的区间数多目标方法来求解，从而求得原问题 的弱有效解。 4 在以往的文献中主要研究了目标变量为三角型模糊数的求解方法，但是 对目标变量含梯形模糊数的讨论得不多。因此在最后一章中，利用前人在梯 形模糊数研究成果的基础上，给出了一种基于原问题的辅助问题的方法，并 通过分析它们之间的关系，最终能够比较简单的求得目标变量含有梯形模糊 数的模糊优化解。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 第2 章目标系数为区间数的规划问题 2 1 问题的提出 在传统数学规划问题中，系数均假定为确定的实数值。但在很多情况下， 系数是不确定的，基于这一点，人们提出了随机规划和模糊规划。在随机规 划中，系数为随机数，由概率分布函数确定：而在模糊规划中，系数为模糊 数，由隶属函数确定。但分布函数和隶属函数有时是很难确定的，例如在不 确定环境下，目标系数为一个区间。对这类问题在本文中进行了讨论，主要 讨论了系数为区间数的单目标规划问题。对形如下列模型的问题，现以序关 系来研究其求解过程。 m a x z ( x ) = a l x l + a 2 x 2 + + a 。x 。 ( 2 - 1 ) s tx s c r ” 其中s 为变量向量x 的可行域，爿，为一个闭区间i = 1 , 2 ，n 。对于问题 ( 2 - 1 ) ，可以变为如下问题： m a x ( m i n z ( x ) = a l x ，+ a 2 2 2 + + a n x 。) ( 2 - 2 ) s tx s c r “ 由问题( 2 2 ) 所得的解称为极大极小解1 1 7 1 对于问题( 2 2 ) 只考虑了目标函数z ( x ) 的很少一部分信息，这样所反映问 题的信息量太少。因此为了使反映的信息量不会损失太多，就必须利用区间 的右端点、中点和区间长度，然后把问题( 2 1 ) 转变成多目标问题来求解，进 一步求得问题( 2 1 ) 的解，当然这个解不一定为精确解。为了转化为多目标问 题就可能通过上面三个信息点来定义区间之间的序关系。 当然对下面的最小化问题，也可利用区间数之间的序关系来求解， m i n z ( x ) = a l x l + a 2 x 2 + - - + a 。x 。 ( 2 - 3 ) s tx s c r ” 2 2 区间数之间的运算 为了定义区间数之间运算，作如下规定：小写字母表示实数：大写字母表 示闭区间：实数域用r 表示。 定义2 , 2 1 设r 为实数域，称区间a = 陋一，a + 】为闭区间数，其中 a a + r ，a 一a + ，r _ i z n 全体闭区间数所组成的集合记为( r ) 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 假定区间数a 的中点值用4 表示，a 的半长度用a 。表示，其中 1t a c = 一+ d + ) ，a = 去( 口+ 一a - ) ，由定义2 2 1 以及4 c ，句，则a 可表 二二 示为： a = ( a c ；a ) = 扣：a c a 口a c + a ，a r 普通的算术运算同样可以作用在区间数之间，因此有如下的定义： 定义2 2 2 设+ + ，一， 是r 上的二元运算，利用经典的扩展原理可在 i ( r ) 上定义算术运算如下f 3 1 8 】： 对v a ，b i ( 8 ) ，定义a b = k + b ：v a a ，b b 易知： 彳+ b = 【a 一，1 7 1 + 】4 - 【b 一，b + 】= 【a 一+ b 一，a + + b + a 4 - b = 0 c ；爿，) + p c ；b ) = ( a c4 - b c ；彳+ b ) a b = a 一，口+ 】一 b 一，b + = 【口一一b + ，a + 一b 一】 a b - m i n ( a b + ，口+ b 一，a b 一，口+ b + ) ，m a x ( a b + ，a + b 一， 口一b 一，a + b + ) 1 4 + b = 曲( 吾，等，等，罟 ，m a x ，一，) 其中。t b 特别地，如果a 一，b 一 0 ，则： 爿b = 【口一b 一，口+ b + 4 + b = ，j 翩= 七c 口一，口+ ，= 笔：笔：七k - 。o j l k a = k ( a ，；a ，) = ( k , 4 ，；l 七1 4 。) 其中七e r 2 3 区间数之间的序关系 在实数集中，任意两个实数是很容易比较大小的。但对两个区间数要比 较大小，相对来讲困难一些，。为了解决区间数之间的大小问题，可引入序关 系，当然这种序关系一般不为全序。现分别从目标函数系数为区间数的单目 标最大化问题和最小化问题入手，来讨论怎样定义区间数之间的序关系。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 2 3 1 最大化问题的序关系 在本节中，所讨论的是：在求解目标函数系数为区间数的最大化问题时， 怎样把区间系数转化为确定的实数呢? 在讨论之前，定义如下几种序关系。 定义2 3 1 两个区间数a = 陋一，口+ 】，b = b 一，b + 】，在它们之间定义序关系 ! 及 ： 4 墨b ：a 一b - 且口+ b + 称b 不比a 差。 a b ：铮4 塑f l a b 称8 优于爿。 从定义2 3 1 不难得出下列性质： 性质1 爿塑j a cs b c其中a 。和丑。分别代表区间数彳和b 的中点值。 性质2a 一= 口+ 且b 一= 6 + j 序关系“ ”就变成了实数集上的普通大小序 关系“s ”f ”1 从定义2 3 1 可看出，序关系“! ”是一种偏序关系，并且认为区间数爿和 b 是可以比较大小的。当然还可以根据区间数的中点值和区间的半宽度来定 义区间数之间的另外一种序关系。 定义2 3 2 已知两区间数为a = ( 爿c ；彳) ，曰= ( b 。；b ，) ，定义他们之间的 序关系“墨c ”： 4 1 c 矿廖：a c b c 且4 b w 称曰不比a 差。 爿一c b ：爿c 矿b 且爿b 称b 优于a 。 此序关系墨满足偏序集的三要素，从而也构成一种偏序关系。由此定义可 推出如下性质： 性质3 彳! c b ；a 一6 一， 性质4a ，= b ，= 0 j “! ，”变为在实数集上的普通大小关系“” 从两种序关系的定义可看出，在某种意义上二者不会产生矛盾，也就是说 不可能存在区间数a 和口，使得a b ，彳塑以及b ! 删a 三者同时成立。因 此就有如下的性质： 性质5 如果有一= 丑和艇伽a 成立的话，那么就有a = b 成立 证明：一方面由定义2 3 1 知：爿邓j 口一= a c a s 6 一= & 一b 另一方面又由定义2 3 2 知： 腿c ajb c a c r b a 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 由上面两方面有：a c a b c b a c b a c a 从而可得出a c a ，= b c b 又由于口一= a c a ，b 一= b c 一日 从而又可得日一= b 一 同理可得口+ = b +一 2 3 2 最小化问题的序关系 对于最小化问题，同样可以利用求最大化问题的方法来定义序关系，首 先定义如下的序关系： 定义2 3 3 有区间数a = 一，d + 】，b = 6 一，b + 】，则定义下列序关系 “! 为： 爿 b ：幸，口一b - 且口+ b + 表示a 不比丑差。 a + 丑：爿曼b 且4 b 表示爿优于b 注意：定义2 3 3 的序关系“墨。与定义2 3 1 的序关系5 在形式上是相同 的。但是对于不同的实际问题，就要相应地使用不同的序关系，因此在本质 上是不同的。 仿照定义2 3 2 就有下列序关系的定义形式： 定义2 3 4 假设a = ( 4 c ；4 ) ，b = ( 曰c ；邬) 有如下的序关系，记为 “! 品”，如果有： 爿曼：矿四：a c 茎b c e l 4 妒b 表示a 不比b 差。 a ：b ：臼爿墨；舻曰且一4 b 表示a 优于b 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 注意：定义2 3 4 所定义的序关系“! ”与定义2 3 2 所定义的序关系“! 。、，” 的形式上是不相同的，当然它们也为偏序关系，因此对于此序关系，可推出 如下的性质： 性质6 爿1 0 b j 口+ b + 性质7a ，= b ，= 0 j 序关系“! 匆”就变为实数集上的普通大小关系 “”。 注意到所定义的这两个序关系“! 。和“1 0 ”，在某种意义上彼此也都不会 产生矛盾，换句话说，不存在区间a i 1 b 使得a b ，爿! b n i b _ * c ，a 同时成立， 用性质的形式表述如下； 性质8 如果两区间数a ，b 有序关系爿! b k f l b ! c ，a 同时成立的话，那么必 定有a = b i y _ n ：一方面，a z b j 盘一= a ( 一a b 一= b c b 另一方面，b 5 品a j b c a c 且b s a 由上面两方面得到：口一= a c a b 一= b c 一日， 同理可得口+ = b + 。 一 a c a j a 一= b 2 4 多目标问题的生成 在这一节，主要是利用上面定义的各种序关系来把最大化和最小化问题 分别转化为相应的多目标问题来求解，当然在一般情况下对这类问题求得的 解为非最优解，所定义的序关系是一种偏序关系，而不是全序关系。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 2 4 1 最大化问题 把问题( 2 - 1 ) 用序关系转化为多目标问题，由于问题( 2 - 1 ) 的目标函 数z h ) 的系数为区间数。因此利用2 3 1 节所定义的序系来求解式问题( 2 - 1 ) ， 不加证明的认为此解应该为p a r e t o 最优解。 定义2 4 1 s 为问题( 2 - 1 ) 的解：不存在x ，s 使得 z d 0 _ z ( x 减z 饫) 。，z t x ) 为了简化此定义，利用下面所定义的序关系“! 。”： 爿! c b ：a 一b - 且4 c b c 4 cb ：a ! c b r a b 从这里可以看出，所定义的这个序关系“ ，”，不具有自反性，并且这个序 关系不能使得a 和b 同时有a - 4 。b ，b - - ：。a 均成立，因此所定义的这个关系 也不为偏序关系。 由上面所定义的关系“ ，”，可得如下性质： 性质9 爿! c b 营彳二蟑l 妇蔓c b ( 2 4 1 ) ，rb 营a b 茑狙 c b ( 2 4 - 2 ) 证明：现只证明式( 2 4 1 ) ，因为式( 2 - 4 2 ) 用同样的方法可证。 “j ”： 。a 三c b ：j 口一蔓b 一，a c b c ( 2 - 4 - 3 ) 如果假定a ，b 。，那么再由式( 2 4 - 3 ) 可得一! 。，b ，反之如果假定 a b ，又a + = 口一+ 2 a 矿b 一4 - 2 b = b + ( 2 - 4 4 ) 那么同样再由式( 2 4 - 3 ) 有4 妒 因此这就表明如果a - c c b 成立，那么就有一邓或爿! c ，b 也成立 “乍”： 首先证4 垫j 么c b 由a - b 得出： d s b 一a + s b +( 2 - 4 5 ) 再又由式( 2 4 5 ) 知：a 。= 丢g + + 口。) 去( 6 + + 6 一) = b c ( 2 4 6 ) 因此由式( 2 - 4 5 ) 和式( 2 - 4 6 ) 知a - b 成立 同理：a - c b有a c 茎b c ，a 矿b w ( 2 4 - 7 ) 从式( 2 - 4 - 7 ) 有a 一= a c a b c b = b 一 ( 2 4 8 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 因此再由式( 2 - 4 7 ) 和式( 2 - 4 8 ) ，有a - ，b 也成立 结论得证。 由定义2 4 1 和性质9 可得下列定义： 定义2 4 2 x s 是问题( 2 一1 ) 的解：不存在x s 使z ( x ) 。z ( x ) 由上面的讨论，可以开始转化问题( 2 - 1 ) 了。假如问题( 2 - 1 ) 的区间系数a ，用0 e ；爿峨) 表示的话，那么z g ) 的左端点z 。g ) 和中点z 。g ) 可 以表示为： z l g ) = 0 q x + a 。：x ：+ + a c , x n ) 一0 嵋l x 。l + 爿l x ：l + + 4 i x 。i ) ( 2 - 4 ) z c g ) = a c , x l + 一c ：x 2 + + a cx 。 ( 2 5 ) 当x 0 时，问题( 2 4 ) 可转化为 z l g ) = - c x l + - + a g x 。) 一0 啦x 1 + - + a w x 。) ( 2 6 ) 从目前的讨论中看出，问题( 2 1 ) 的解可通过求问题( 2 - 5 ) 和问题( 2 - 6 ) 的p a r e t o 最优解可得到，即求解下列的多目标函数： m a x ( z 。z c g ) ) s tx s c r ”( 2 7 ) 2 4 2 最小化问题 在求解最小化问题时同样可以利用上面所定义的序关系来求解，当然求出 的解不一定为原问题的最优解，大多数情况下为原问题的非劣解，在求解之 前，先给出解的定义： 定义2 4 3x s 是问题( 2 3 ) 的解：不存在x s 使得 z ( x ) z ( x 溅z 0 ) 矗z b ) 根据此定义同样可以如下的序关系 4 1 麓b ：甘a + 6 b a c b c a 斋口：4 墨麓b 且b 由上面所定义的序关系，能够得到下面的性质： 性质1 0 a ；c b 铮4 1 b 或4 墨；b 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 a ；cb 辛a 占l - c b 由性质l o 可以把定义2 4 3 转变成另外一种形式，即下面的定义： 定义2 4 4 x s 是问题( 2 - 3 ) 的解：不存在x s 使得z g ) 叠z ( x ) 由此定义， z i n 目标函数z g ) 的右端点z 。0 ) 可以依据2 2 小节的区间数 的相关运算来得出下面的形式： z a g ) = 0 q x 。+ a 。：x ：+ + a c x n ) + ( a m i x ，i + - + 爿l x n i ) 其中a c , 和爿” 分别为区间数a 。的中心值和区间数a 。的半长度，并且在 x 0 的情况下，上式进一步可简化为： z r g ) = - 。x + + 4 。x 。) + - h x + + 4 x 。) 因此含区间数线性规划问题( 2 3 ) 的解集可以通过求解下面的多目 标规划问题的非劣解来获得： m l n z 。g ) z 。g ) j x s c r “ 砖连一步转化为： ? ， m i n z 月b ) = a c l x i + _ + a c x h + a w , x l + 。+ a wx 。 、，z c b ) = a c , x l + a c x 。 l ! s rx s c r ” 最后在求解时必须注意到，对于最大化问题所求的解就是在约束条件下，多 一百标。苗数z l b ) 和z 。g ) 所构成的p a r c t o 最优解；反之，对于最小化问题，所 求的就是在约束条件下，多目标函数z 。g 网z c g ) 的有效解。 2 。5 多目标问题的求解 对于目标系数为区间数的多目标线性规划问题的求解，在区间数序关系 下提出了序关系评价函数的概念，并利用评价函数求解此类问题，而且还在 序关系评价函数下，本节给出的一个命题，能够把复杂的多目标线性规划转 化为简单的单目标规划问题。 2 5 1 评价函数 评价函数法是借助于构造某种适当的评价函数，将多目标规划问题化为 西南交通大学硕士堑奎生学堂篁论j l 一 塑旦页 单目标规划问题来求解，因此在构造一种评价函数时，最重要的问题是构造 的这种评价函数是否有效，也就是说，这个函数是否具有收敛性。一般来讲， 利用评价函数方法求解，得到的最优解不是原问题的最优解，而是原多目标 规划问题的有效解或至少为弱有效解。若不是，得到的解就毫无意义，现在 问题在于：在什么条件下，才能得到有效解或至少为弱有效解? 回答是：只 要评价函数具有一定的单调性质，当然这里所指的单调性为具有某种序关系。 如果满足这种单调性，那么所定义的序关系评价函数才会有效，也就才能保 证求出的最优解为原问题的有效解或至少为弱有效解。 1 单调函数设h ( f ) 为定义在j r ) 上的函数，若对任意满足f 1 世2 的 f 1 “矗l 平日f 2 ，( 矗) 均有h ( f 新，2 2 严格单调函数设而妒) 为定义在，( 足) 上的函数，若对任意f ，f2 ，伙) f 1 f 2 的均有 ( f 1 ) ( f2 ) ，则称 p ) 为严格单调函数。 2 5 2 序关系上的评价函数 在这里主要讨论的问题是：在区间数序关系“ ，”下，如何来定义评价 函数，并且又如何来利用评价函数求解这类带区间数系数的多目标线性规划 的问题，现给出序关系评价函数定义。 定义2 5 1 a ，：x 呻，俅) 是区间映射，对x j ，a ，0 ) ，仅) 是一个 区间数。g ：丛型兰等铲_ ，伍) 是区间数变换，对任意 4 。( x ) ，4 ：g ) ，a m g ) f ) ，g ( a 、( x ) ，a 2 g ) ，4 。g ) ) ( r ) ，作 区间变换h ：x i ( r ) g ) = 9 0 ，g ) ，爿：g x ，a 。g ) ) i ( r ) 。 如果函数向b ) 满足下列条件： 若a b 1 卜：l ca ，b 2 ) ，对任意工1 ，x 2 x ，i = 1 , 2 ，所成立，则 有 0 1 ) 。 g 2 ) 则称变换h 为区间数序评价函数。 多目标系数为区间数线性规划问题的一般形式为 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 m a x a i ( x ) = a l l x l + a 1 2 x 2 + + a l n x n ；( 2 - 8 ) m a x a 。( x ) = a ，l x l + a 。2 x 2 + + a m , x h s t x x = k r ”l a x - b , x o ) 其中a ，x ) ，a 。e i ( r ) ，i = 1 , 2 ，m ，= 1 , 2 ，1 1 ， ，伍) 为实数轴上的全体区间数之集，即：， ) = 如一，口+ 】l 口一口+ ，口一，d + r 因此为了利用上面所讨论的，以便解决具有区间数系数的多目标规划问 题，现给出问题( 2 - 8 ) 关于区间数序关系 ，的评价函数的一个命题。 命题1 令g ：i ( r ) x i ( r ) x ，似) 一i ( r