2014届高三数学（理）总复习--状元笔记整理版

空间几何体的三视图及其表面积、体积和立体几何的三个难点问题 一、空间几何体的三视图及其表面积、体积 柱、锥、台、球及其简单组合体，三视图，直观图等内容是立体几何的基础，是研究空间问题的基本载体，也是高考对立体几何考查的一个重要方面，其中几何体的结构特征和三视图是高考的热点 (一 )高考对三视图的三个考查角度 1由几何体画三视图或考查对简单几何体的三视图的识别 解答此类问题的关键是：一要掌握各种基本几何体的三视图，注意简单组合体的构成；二要熟悉三视图 “ 长对正、高平齐、宽相等 ” 的法则 例 1 如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为 3 和4，过直角顶点的侧棱长为 4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是 ( ) 解析 结合三视图的画法规则可知 B 正确 答案 B 2由三视图还原几何体，考查对空间几何体的认识及空间想象能力由几何体的三视图还原几何体，一般如下处理： 首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状，然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，确定几何体的形状 例 2 三视图如图所示的几何体是 ( ) A三棱锥 B四棱锥 C四棱台 D三棱台 解析 由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形 答案 B 3借助于三视图研究几何体的表面积、体积 解决此类问题关键是通过三视图确定空间几何体中的几何量的关系 其中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度 例 3 如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为 2a 的直角三角形，侧视图是半 径为 a 的半圆，则该几何体的体积是 ( ) A. 36 a3 B. 3a3 C. 34 a3 D 2 3a3 解析 由侧视图为半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥，将剖面放置在桌面上，如图，由条件知，半圆锥的母线长为 2a，底面半径为 a，故半圆锥的高为 2a2 a2 3a，几何体的体积 V 12 13 a2 3a 36 a3. 答案 A (二 )求体积的几种方法 空间几何体的体积是高考考查立体几何的考点之一，求空间几何体的体积的常用方法主要有：公式法、转化法、割补法 1 公式法： 直接根据相关的体积公式计算 例 4 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 4 3，则该正方体的表面积为 _ 解析 依题意知正方体的体对角线长等于球的直径，设球的半径为 R， 则 4 3 43R3， 所以 R 3，于是正方体的体对角线长为 2 3. 设正方体的棱长为 a， 则有 2 3 3a， 于是 a 2，因此正方体的表面积为 6a2 24. 答案 24 2 转化法： 根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高，从而使得体积计算更容易，或是可 以求出一些体积比等 例 5 如图所示，在正六棱锥 P ABCDEF 中， G 为 PB 的中点，则三棱锥 D GAC 与三棱锥 P GAC 体积之比为 ( ) A 1 1 B 1 2 C 2 1 D 3 2 解析 根据三棱锥的特点，可以采用等体积转化的方法解决 法一： 如图所示，由于点 G 为 PB 的中点，故点 P， B 到平面 GAC 的距离相等，故三棱锥 P GAC 的体积等于三棱锥 B AGC 的体积，根据三棱锥的特点，所要解决的两个三棱锥的体积之比就等于三棱锥 G ACD 与三棱锥 G ABC 的体积之比，由于这两个三棱锥的高相等，体积之比 等于其底面积之比，即 ACD 与 ABC 的面积之比，这个面积之比是2 1. 法二： 如图所示，连接 BD 交 AC 于 H，则点 D， B 到平面 GAC 的距离之比等于 DHBH，因为 AHD CHB，故 DH BH AD BC 2 1，三棱锥 D GAC 与三棱锥 BGAC 底面积相等，故其体积之比等于其高的比，即所求比值是 2 1. 答案 C 3 割补法： 把不能直接计算其体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可以计算体积的空间几何体，通过这个空间几何体的体积计算所求的空间几何体的体积 例 6 如图所示，若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ( ) A. 26 B. 23 C. 33 D.23 解析 如图所示，平面 ABCD 把该多面体分割成两个体积相等的正四棱锥 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该正四棱锥的高是正方体边长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半， V 2 13 12 2 2 12 223 . 答案 B 二、破解高考中立体几何的三个难点问题 破解难点一：探究与球有关的组合体问题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的 棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、 “ 切点 ” 或 “ 接点 ” 作出截面图 例 1 四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2，点 S， A， B， C， D 都在同一个球面上，则该球的体积为 _ 解析 如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线 SE 上找到一个点 O 使得 OA OS，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上 在 Rt SEA 中， SA 2， AE 1，故 SE 1.设球的半径为 r，则OA OS r， OE 1 r.在 Rt OAE 中， r2 (1 r)2 1，解得 r 1，即点 O 为球心，故这个球的体积是 43 . 答案 43 破解难点二：平面图形翻折问题的求解 将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称之为平面图形翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变 化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化，解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法 例 2 如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE交于点 G，已知 A DE 是 ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是 ( ) 动点 A 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上； BC 平面 A DE； 三棱锥 A FED 的体积有最大值 A B C D 解析 中由已知可得面 A FG 面 ABC， 所以点 A 在面 ABC 上的射影在线段 AF 上 BC DE，且 BC平面 A DE， DE 平面 A DE， BC 平面 A DE. 当面 A DE 面 ABC 时，三棱锥 A FED 的体积达到最大 答案 C 破解难点三：立体几何中的探索性问题 立体几何中的探索性问题的主要类型有： (1)探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么； (2)探索结论，即在给定的条件下，命题的结论是什么 1 综合法 对命题条件的探索常采用以下三种方法： (1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； (2)先通过命题成立的必要 条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； (3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件 对命题结论的探索常采用以下方法： 首先假设结论成立，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设 例 3 (2013东城模拟 )如图，在 BCD 中， BCD 90， BCCD 1， AB 平面 BCD， ADB 60， E， F 分别是 AC， AD 上的动点，且 AEAC AFAD (01) (1)判 断 EF 与平面 ABC 的位置关系并给予证明； (2)是否存在 ，使得平面 BEF 平面 ACD，如果存在，求出 的值；如果不存在，说明理由 解 (1)EF 平面 ABC. 因为 AB 平面 BCD，所以 AB CD， 又在 BCD 中， BCD 90，所以 BC CD， 又 AB BC B，所以 CD 平面 ABC. 又在 ACD 中， E， F 分别是 AC， AD 上的动点， 且 AEAC AFAD (00 恒成立 f(x)min0； f(x) 0 恒成立 f(x)max 0. (2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围，则有 (下面的 a 为参数 )： f(x)f(x)max； f(x)g(a)恒成立 g(a)0，得 x1.且定义域为 (0， )，所以函数 f(x)的单调增区间是 (1， ) 令 f (x) 2x2 1x 0，得 1x0. 因而 a x2 2xx ln x(x 1， e) 令 g(x) x2 2xx ln x(x 1， e)， 又 g (x) x 1x 2 2ln xx ln x2 ， 当 x 1， e时， x 1 0， ln x 1， x 2 2ln x0， 从而 g (x) 0(当且仅当 x 1 时取等号 ) 所以 g(x)在 1， e上为增函数 故 g(x)max g(e) e2 2ee 1 . 所以 a 的取值范围是 e2 2ee 1 ， . 点评 利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成一次函数或二次函数 (二次方程 )的问题研究，一般有下面几种类型： 1一次函数型问题：利用一次函数 的图象特点求解 对于一次函数 f(x) kx b(k 0)， x m， n，有 (1)f(x) 0 恒成立 fm 0，fn 0. (2)f(x)0 恒成立 fm0，fn0 对 x R恒成立 a0，0， (2)f(x)0 对 x R恒成立 a0，a2k 1，求 c 的取值范围 解 (1)由 a1 1， a2 ca1 c23 3c2 c (22 1)c2 c， a3 ca2 c35 8c3 c2 (32 1)c3 c2， a4 ca3 c47 15c4 c3 (42 1)c4 c3， 归纳猜想 an (n2 1)cn cn 1， n N*. 下面用数学归纳法证 明： 当 n 1 时，等式成立； 假设当 n k 时，等式成立，即 ak (k2 1)ck ck 1， 则当 n k 1 时， ak 1 cak ck 1(2k 1) c(k2 1)ck ck 1 ck 1(2k 1) (k2 2k)ck 1 ck (k 1)21ck 1 ck， 综上， an (n2 1)cn cn 1对任何 n N*都成立 (2)由 a2ka2k 1，得 (2k)2 1c2k c2k 1(2k 1)2 1c2k 1 c2k 2， 因 c2k 20，所以 4(c2 c)k2 4ck c2 c 10 对 k N*恒成立记 f(x) 4(c2 c)x2 4cx c2 c 1，下面分三种情况讨论： 当 c2 c 0，即 c 0 或 c 1 时，代入验证可知只有 c 1 满足要求 当 c2 c0 时，即 0c1，抛物线 y f(x)开口向下，因此当正整数 k 充分大时， f(k)0，即 c1 时，抛物线 y f(x)开口向上，易知 0，其对称轴 x 121 c必在直线 x 1 的左边因此， f(x)在 1， )上是增函数 所以要使 f(k)0 对 k N*恒成立，只需 f(1)0 即可 由 f(1) 3c2 c 10， 解得 c 1 136 . 结合 c1，得 c1. 结合以上三种情况， c 的取值范围为 ， 1 136 1， ) 点评 本题中关于 k 的不等式，不能通过分离参数将 k 与 c 分离，这时的一般解法是直接利用函数知识 求函数最值，只是这时的函数定义域不是连续区间，这也是数列与函数的区别由此可见，数列中的不等式恒成立与函数中不等式恒成立的解法基本相同，不同之处就是定义域不同 排列组合在高考中的多方位交汇及古典概型与几何概型中的三类错误 一、排列组合在高考中的多方位交汇 排列组合问题在高考中是常考内容，但近些年在考查角度及与其他知识的综合上有了加强，这反映出高考题中重在考查学生综合运用知识、分析问题、解决问题的能力有以下几个题型 热点一：组合知识与向量知识的综合 例 1 在集合 1,2,3,4,5中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 a(a， b)从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为 n，其中面积不超过 4 的平行四边形的个数为 m，则 mn ( ) A. 415 B.13 C.25 D.23 解析 由已知条件，满足要求的向量分别为 (2,1)， (2,3)， (2,5)， (4,1)， (4,3)， (4,5)，故能构成的平行四边形个数 n C26 6 52 15. 由 S 平行四边形 |x1y2 x2y1|可得， (2,1)， (2,3)两向量构成的平行四边形面积为 S1 |2 3 1 2| 4， (2,3)， (2,5)两向量构成的平行四边形面积为 S2 |2 5 2 3| 4， (2,1)， (4,1)两向量构成的平行四边形面积为 S3 |2 1 1 4| 2， (2,1)， (4,3)两向量构成的平行四边形面积为 S4 |2 3 1 4| 2， (2,3)， (4,5)两向量构成的平行四边形面积为 S5 |2 5 3 4| 2. 面积不超过 4 的共有 m 5 个 故所求概率为 mn 13. 答案 B 点评 本题中计数要求不高，但大家要有代入检验的意识 热点二：组合知识与概率知识的综合 例 2 盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 _ 解析 由题意知，从 5 个球中随机取出 2 个球共有 C25 10 种不同取法，而取出的球颜色不同共有 C13C 12 6 种不同取法，故所取出的 2 个球颜色不同的概率 P C13C12C25 61035. 答案 35 点评 注意情景中的抽取球的过程与顺序无关，因此属组合问题，在找 2 个球颜色不同的个数时，又用了分步计数原理的知识 热点三：排列知识与概率知识的综合 例 3 有 5 本 不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45 解析 5 本书的全排列有 A55种排法，其中语文书相邻的排法有 A22A44种，数学书相邻的排法有 A22A44种，语文书数学书各自同时相邻的排法有 A22A22A33种，故所求概率为A55 A22A44 A22A44 A22A22A33A55 25. 答案 B 点评 图书摆放在书架上具有顺序性，因此属于排列问题，本题在处理都不相邻的问题上 灵活应用了间接思维，使复杂问题简单化 二、盘点古典概型与几何概型中的三类错误 古典概型与几何概型是高考中的常考知识点对于古典概型，列举法仍是求解其概率的主要方法，而与排列、组合问题相结合的概率问题仍是命题的热点；对于几何概型除掌握其定义外，其题型的重点主要体现在两种常见的几何度量 长度、面积，难度不会太大，但题型可能较灵活，背景更新颖 如下几个类型易错： 类型一：知识性错误 例 1 设袋中有 4 只白球和 2 只黑球，现从袋中无放回地摸出 2 只球 (1)求这 2 只球都是白球的概率； (2)求这 2 只球中 1 只是 白球 1 只是黑球的概率 错解 一次摸出 2 只球，观察结果的颜色只能是 (白，白 )， (白，黑 )， (黑，黑 )3 种情况， (1)用 A 表示 “ 2 只球都是白球 ” 这一事件，则 A (白，白 )，所以 P(A) 13. (2)用 B 表示 “ 2 只球中 1 只是白球 1 只是黑球 ” 这一事件，则 B (白，黑 )，所以 P(B) 13. 错因分析 在上述错解中 (白，白 )， (白，黑 )， (黑，黑 )3 种结果的出现不是等可能的 正解 我们不妨把 4 只白球标以 1,2,3,4 号， 2 只黑球标以 5,6 号，则基 本事件有 (1,2)，(1,3)， ， (1,6)， (2,1)， (2,3)， ， (2,6)， ， (6,1)， (6,2)， ， (6,5)，共 30 个 (1)用 A 表示 “ 2 只球都是白球 ” 这一事件，则 A (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)， (2,3)， (2,4)，(3,1)， (3,2)， (3,4)， (4,1)， (4,2)， (4,3)共 12 个 所以 P(A) 1230 25. (2)用 B 表示 “ 2 只球中 1 只是白球 1 只是黑球 ” 这一事件，则 B (1,5)， (1,6)， (2,5)，(2,6)， (3,5)， (3,6)， (4,5)， (4,6)， (5,1)， (5,2)， (5,3)， (5,4)， (6,1)， (6,2)， (6,3)， (6,4)共 16个 所以 P(B) 1630 815. 类型二：数学思维方法应用错误 例 2 有 6 个房间安排 4 个旅客住，每个人可以住进任一房间，且住进各房间是等可能的 (1)指定的 4 个房间中各有 1 人住的事件的概率为 _； (2)指定的房间有 2 人住的事件的概率为 _ 错解 所有基 本事件的个数为 6 5 4 3 360. (1)指定的 4 个房间中各有 1 人住，有 4 3 2 1 24 种，故所求的概率为 115； (2)从 4 人中选 2 人去指定的房间，有 6 种方法，余下 2 人每人去 5 个房间中的任一间，有 5 4 20 种方法，故所求的概率为 6 206 5 4 3 13. 错因分析 本题错误地理解了基本事件的个数，忽视了基本事件可以包含多个人住一个房间的情况 正解 每人可以进住任一房间，且进住各房间都有 6 种等可能的方法，故所有可能的情 况有 64种， (1)指定的 4 个房间中各有 1 人住，有 4 3 2 1 24 种，故所求的概率为 2464 154； (2)从 4 人中选 2 人去指定的房间，有 6 种方法，余下 2 人每人去 5 个房间中的任一间，有 52种方法，故所求的概率为 6 5264 25216. 类型三：审题错误 例 3 在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 在 ACB 内部任作一射线 CM，与线段 AB 交于点 M，求 AMAC 的概率 错解 如图，点 M 随机地落在线段 AB 上，故 线段 AB 的长为基本事件的度量，当 M 位于线段 AC (AC AC)上时， AMAC，故线段 AC 的长为所求事件的度量 故 P(AMAC) P(AMAC ) ACAB ACAB 22 . 答： AM 的长小于 AC 的概率是 22 . 错因分析 由于本题是在 ACB 作射线 CM，等可能分布的是 CM 在 ACB 内的任一位置，因此基本事件的度量应是 ACB 的大小而不是线段 AB 的长，这是类似问题由于等可能的视角不同造成的，概率也会不一样 正解 据题意知 AMAC 的概率应为满足条件的 ACM 与 ACB 大小的比，即P(AMAC) 67.590 34. 几点建议 1 重视错题病例 “ 错误是最好的老师 ” ，错题病例也是财富，它有时暴露我们的知识缺陷，有时暴露我们的思维不足，有时暴露我们的方法不当毛病暴露出来了，也就有治疗的方向，提供了纠错的机会，只有认真地追根溯源查找错因，教训才会深刻建议在复习过程中做到建立错 题集，特别是那些概念理解不深刻、知识记忆错误、思维不够严谨、方法使用不当等典型错误收集成册，并加以评注，指出错误原因，经常翻阅，常常提醒，以绝后患注意收集错题也有个度的问题，对于那些一时粗心的偶然失误，或一时情绪波动而产生的失误应另作他论 2 培养良好的审题能力 解题时审题要慢，要看清楚，步步为营，稳中求快，立足于一次成功，不要养成唯恐做不完，匆匆忙忙抢着做，寄希望于检查的坏习惯，这样做的后果一则容易先入为主，致使有时错误难以发现；二则一旦发现错误，尤其是起步就错，又要重复做一遍，既浪费时间，又造成心理 负担 平面向量中的三角形 “ 四心 ” 问题 在三角形中， “ 四心 ” 是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力现就 “ 四心 ” 作如下介绍： 1 “ 四心 ” 的概念与性质 (1)重心：三角形三条中线的交点叫重心它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为 2 1.在向量表达形式中，设点 G 是 ABC 所在平面内的一点，则当点 G 是 ABC的重心时，有 GA GB GC 0 或 PG 13(PA PB PC )(其中 P 为平面内任意一点 )反之，若 GA GB GC 0，则点 G 是 ABC 的重心在向量的坐标表示中，若 G，A， B， C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为 G(x， y)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3，y3)，则有 x x1 x2 x33 ， y y1 y2 y33 . (2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心它与顶点的连线垂直于对边在向量表达形式中，若 H 是 ABC 的垂心，则 HA HB HB HC HC HA 或 HA 2 BC 2 HB 2 CA 2 HC 2 AB 2.反之，若 HA HB HB HC HC HA ，则 H 是 ABC 的垂心 (3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心 内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等在向量表达形式中，若点 I 是 ABC 的内心，则有 |BC |IA |CA |IB |AB |IC 0.反之，若 |BC |IA |CA |IB |AB |IC 0，则点 I 是 ABC 的内心 (4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等在向量表达形式中，若点 O 是 ABC 的外心，则 (OA OB )BA (OB OC )CB (OC OA )AC 0 或 |OA | |OB | |OC |.反之，若 |OA | |OB | |OC |，则点 O 是 ABC 的外心 2 关于 “ 四心 ” 的典型例题 例 1 已知 O 是平面上的一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足 OP OA (AB AC )， (0， )，则点 P 的轨迹一定通过 AB