2014高考百天仿真冲刺卷（理科数学试卷三）

第 1 页 共 10 页 2014 高考百天仿真冲刺卷 数 学 (理 ) 试 卷 （ 三 ） 第 卷 （ 选择题 共 40分） 一、本大题共 8小题 ， 每小题 5分 ， 共 40分 。 在每小题 列 出的四个选项中 ，选出符合 题目要求的 一项。 （ 1）“ 2x ”是“ 2 4x ”的 （ A）充分非必要条件 （ B）必要非充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 2） 已知数列 na为等差数列，且1 2a，2313aa，那么则4 5 6a a a等于 （ A） 40 （ B） 42 （ C） 43 （ D） 45 （ 3）已知函数 ()fx对任意的 x R 有 ( ) ( ) 0f x f x ，且当 0x 时， ( ) ln ( 1)f x x，则函数 ()fx的大致图像为 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 4）已知平面上不重合的四点 P ， A ， B ， C 满足 0P A P B P C ，且 A B A C m A P ，那么实数 m 的值为 （ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 （ 5）若右边的程序框图输出的 S 是 126 ，则条件可为 （ A） 5n （ B） 6n （ C） 7n （ D） 8n （ 6） 已知 ( , )2 , 1ta n ( )47 ,那么 cossin 的值为 （ A）51 （ B）57 （ C）57 （ D）43 （ 7）已知函数 31)21()( xxf x ，那么在下列区间中含有函数 )(xf 零点的是 （ A） )31,0( （ B） )21,31( （ C） )32,21( （ D） )1,32( （ 8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离已知平面 ， ， 两两互相垂直，点 A ，点 A 到 ， 的距离都是 3 ，点 P是 上的动点，满足 P 到 的距离是 P 到点 A 距离的 2 倍，则点 P 的轨迹上的点到 的距离的最小值是 O x y O x y O y x O x y 第 2 页 共 10 页 40 50 60 70 80 90 体重 (kg) 频率组距 0.005 0.010 0.020 0.030 0.035 0.015 0.025 O A D B C （ A） 33 （ B） 323 （ C） 36 （ D） 3 第 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分。 （ 9）如果 2( i)(1 i)mm是实数 ,那么实数 m （ 10） 已知曲线 C 的参数方程为 2 c o s ,s inxy（ 为参数） ， 则曲线上点 C 到直线 3 4 4 0xy 的距离的最大值为 （ 11）从某地高中男生中随机抽取 100名同学，将他们的体重（单位： kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）由图中数据可知体重的平均值为 kg；若要从体重在 60 , 70），70 ， 80) , 80 , 90三组内的男生中，用分层抽样的方法选取 12 人参加一项活动，再从这 12 人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为 （ 12）如图， 已知圆 O 的半径为 3 ，从圆 O 外一点 A引切线 AD 和割线 ABC ，圆心 O 到 AC 的距离为 22 ， 3AB ， 则 切 线 AD 的长为 （ 13）过抛物线 2 2 ( 0 )y p x p的焦点作倾斜角为 60 的直线，与抛物线分别交于 A ， B 两点（点 A 在 x 轴上方）， AFBF （ 14）已知数列 na满足：1 1a，2 2a ，3 3a，4 4a ，5 5a ，且当 n 5时，1 1 2 1nna a a a ， 若 数 列 nb满足对任意 *Nn ，有2 2 21 2 1 2n n nb a a a a a a ，则 b5= ；当 n 5 时， nb 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （ 15）（本小题共 13分） 在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c 分，且满足 2 c o sc o sc b BaA （）求角 A 的大小； （）若 25a ，求 ABC 面积的最大值 第 3 页 共 10 页 （ 16）（本小题共 14分） 已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱形 60BC D， 2A B P B P D ， 3PC ， AC 与 BD交于 O 点， E ， H 分别为 PA ， OC 的中点 （）求证： EC 平面 BDE ； （）求证： PH 平面 ABCD ； （）求直线 CE 与平面 PAB 所成角的正弦值 （ 17）（本小题共 13分） 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约 .乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约 .设甲面试合格的概率为 ，乙、丙面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响 （ ） 求 至少有 1人面试合格的概率； （ ） 求 签约人数 的分布列 和数学期望 （ 18）（本小题共 13分） 已知 函数 2( ) l n , ( )xxf x x x g x ee （ ）求函数 ()fx 在区间 1,3 上的最小值； （ ）证明：对 任意 , (0 , )mn ，都有 ( ) ( )f m g n 成立 O E C A B D P H 第 4 页 共 10 页 （ 19）（本小题共 13分） 已知 椭圆 22 1 ( 0 )yx abab 的 离心率为 22， 且两个焦点和短轴的 一 个端点 是一个等腰三角形的顶点 斜率为 ( 0)kk 的 直线 l 过 椭圆的上 焦点 且与 椭圆 相交 于 P ， Q 两点 ，线段 PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点 (0, )Mm （ ）求椭圆的方程； （ ） 求 的取值范围 ； （）试用 表示 MPQ 的 面积，并求面积的最大值 (20) （本小题共 14分） 对于 )2( nn *N ，定义一个如下数阵： nnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 其中对任意的 ni 1 ， nj 1 ，当 i 能整除 j 时， 1ija；当 i 不能整除 j 时， 0ija设njjjni ijaaaajt 211)( （）当 6n 时，试写出数阵66A并计算 61)(jjt ； （）若 x 表示不超过 x 的最大整数，求证： njjt1)( ni in1 ； （）若 njjtnnf1)(1)( ， dxxng n 1 1)( ，求证： ( ) 1 ( ) ( ) 1g n f n g n 第 5 页 共 10 页 2013 高考百天仿真冲刺卷 数学 (理 )试卷（ 三 ）参考答案 一、选择题 （本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分） （ 1） B （ 2） B （ 3） A （ 4） C （ 5） C （ 6） B （ 7） B （ 8） C 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分） （ 9） 1 （ 10） 3 （ 11） 5.64 32 （ 12） 15 （ 13） 3 （ 14） 65 n70 注：两个空的填空题第一个空填对得 2分，第二个空填对得 3分 三、解答题（本大题共 6小题，共 80分） （ 15）（共 13分） 第 6 页 共 10 页 解：（）因为 2 c o sc o sc b BaA ， 所以 ( 2 ) c o s c o sc b A a B 由正弦定理，得 ( 2 s i n s i n ) c o s s i n c o sC B A A B 整理得 2 s i n c o s s i n c o s s i n c o sC A B A A B 所以 2 s i n c o s s i n ( ) s i nC A A B C 在 ABC 中， sin 0C 所以 1cos2A，3A （）由余弦定理 2 2 2 1c o s22b c aA bc， 25a 所以 22 2 0 2 2 0b c b c b c 所以 20bc ，当且仅当 bc 时取“ =” 所以三角形的面积 1 s i n 5 32S b c A 所以三角形面积的最大值为 53 （ 16）（共 14分） （）证明：因为 E ， O 分别为 PA ， AC 的中点， 所以 EO PC 又 EO 平面 BDE ,PC 平面 BDE 所以 PC 平面 BDE （）证明：连结 OP ， 因为 PB PD ， 所以 OP BD 在菱形 ABCD 中， BD AC ， 又因为 O P A C O ， 所以 BD 平面 PAC 又 PH 平面 PAC ， 所以 BD PH 在直角三角形 POB 中， 1OB ， 2PB ， 所以 3OP 又 3PC ， H 为 OC 的中点，所以 PH OC 又因为 B D O C O 所以 PH 平面 ABCD （）解：过点 O 作 OZ PH ，所以 OZ 平面 ABCD 如图，以 O 为原点， OA ， OB ， OZ 所在直线为 ,x yz 轴，建立空间直角坐标系 可得， ( 3, 0, 0)A ， (0,1,0)B ， ( 3, 0, 0)C ， 33( , 0, )22P ， 33( , 0, )44E 所以 ( 3 ,1, 0 )AB ， 3 3 3( , 0 , )22AP ， 5 3 3( , 0 , )44CE 设 ( , , )x y zn 是平面 PAB 的一个法向量，则 00ABAP nn，即 303 3 3 022xyxz ， O E C D B A H 第 7 页 共 10 页 令 1x ，则 (1, 3 , 3 )n 设直线 CE 与平面 PAB 所成的角为 ，可得 4s i n c o s ,7n CE 所以直线 CE 与平面 PAB 所成角的正弦值为 47 （ 17）（共 13分） 解：（ ）用 A， B， C分别表示事件甲、乙、丙面试合格 .由题意知 A， B， C相互独立， 且 . 至少有 1人面试合格的概率是 （ ） 的可能取值为 0， 1， 2， 3. = = 的分布列是 0 1 2 3 的期望 （ 18）（共 13分） （ ） 解：由 ( ) lnf x x x ，可得 ( ) ln 1f x x 当 1( 0 , ) , ( ) 0 , ( )x f x f xe 单调递减， 当 1( , ) , ( ) 0 , ( )x f x f xe 单调递增 . 所以函数 ()fx 在区间 1,3 上单调递增， 又 (1) 0f ， 所以函数 ()fx 在区间 1,3 上的最小值为 0 第 8 页 共 10 页 （ ） 证明： 由（）可知 ( ) l n ( ( 0 , ) )f x x x x 在 1xe时取得最小值， 又 11()fee， 可知 1()fme 由 2()xxgx ee，可得 1( )xxgx e 所以当 ( 0 , 1 ) , ( ) 0 , ( )x g x g x单调递增， 当 (1 , ) , ( ) 0 , ( )x g x g x 单调递减 . 所以函数 ( )( 0)g x x 在 1x 时取得最大值， 又 1(1)ge， 可知 1()gne， 所以 对 任意 , (0 , )mn ，都有 ( ) ( )f m g n 成立 （ 19）（共 13分） 解：（）依题意可得，22ac， cb ， 又 222 cba ， 可得 1, 2ba 所以椭圆方程为 2 2 12y x （） 设直线 l 的方程为 1y kx， 由 221,1,2y kxy x 可得 22( 2 ) 2 1 0k x k x 设1 1 2 2( , ) , ( , )P x y Q x y， 则12 2 2 2kxx k ，12 2 1 2xx k 可得1 2 1 2 2 4( ) 2 2y y k x x k 设线段 PQ 中点为 N ，则点 N 的坐标为222( , )22kkk， 由题意有 1 kkMN， 可得 2222 12m kkkk 可得21 2m k ， 又 0k ， 所以 102m （）设椭圆上焦点为 F ， 第 9 页 共 10 页 则1212M P QS F M x x . 221 2 1 2 1 2 228 ( 1 )( ) 4( 2 )kx x x x x xk ， 由21 2m k ，可得 2 12k m 所以12218 ( 1 )8 ( 1 )1mx x m mm 又 1FM m ， 所以 32 (1 )M P QS m m . 所以 MPQ 的 面积为 3)1(2 mm （210 m） 设 3)1()( mmmf ， 则 )41()1()( 2 mmmf 可知 )(mf 在区间 )41,0(单调递增，在区间 )21,41(单调递减 所以，当41m时， )(mf 有最大值6427)41( f 所以，当41m时， MPQ 的 面积有最大值863 （ 20）（共 1分） （）解：依题意可得， 10000001000000100010010010101011111166A 14423221)(61jjt （）解：由题意可知， )(jt 是数阵nnA的第 j 列的和， 因此 njjt1)( 是数阵 nnA 所有数的和 而数阵nnA所有数的和也可以考虑按行相加 对任意的 ni 1 ，不超过 n 的倍数有 i1 ， i2 ， iin 因此数阵nnA的第 i 行中有 in个，其余是 0 ，即第 i 行的和为 in 所以 njjt1)( ni in1