正交变换与QR迭代矩阵特征值计算.ppt_第1页
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文档简介

1,第八章矩阵特征值计算,计算方法,正交变换与QR迭代,2,本讲内容,正交变换,QR迭代,Householder变换Givens变换QR分解Schur分解Hessenberg矩阵,3,Householder变换,性质,(1)对称：(2)正交：(3)对合：(4)保模：(5),定义：设且，称矩阵,为Householder变换，或初等反射矩阵。,4,Householder变换,定理：设x,yRn,xy且|x|2=|y|2，则存在n阶Householder变换H，使得y=Hx,5,Householder变换,定理：对任意的非零向量xRn，存在Householder变换H，使得Hx=e1其中=sgn(x1)|x|2,e1=(1,0,.,0)T，,的选取是为了防止在实际计算中与x1互相抵消若x1=0,则取=|x|2,6,Givens变换,定义：称矩阵,为Givens变换，或旋转变换。,i,j,7,Givens变换,性质,(1)只有四个元素与单位矩阵不同(2)正交：(3)用G左乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两行的值(4)用G右乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两列的值,8,Givens变换,定理：设x=(x1,.,xi,.,xj,.,xn)T，且xi,xj不全为零，则存在Givens变换G=G(i,j,)，使得,9,QR分解,定理：（QR分解）设n阶实矩阵A非奇异，则存在正交分解A=QR其中Q是正交矩阵，R是非奇异上三角矩阵。若限定R的对角线元素为正数，则此分解唯一。,10,QR分解算法,设,(j=1,.,n),(1)构造H1使得H1a1=1e1，令,(2)构造使得，令,算法（QR分解）,11,QR分解算法,以此类推，经过n-1步，可得Householder矩阵H1,H2,.,Hn-1，使得,令，即得,12,QR分解举例,例：用Householder变换计算的QR分解,解：(板书),13,Schur分解,定理：（Schur分解）设A为n阶实矩阵，则存在正交矩阵Q，使得其中Rii是一阶或二阶方阵。,若Rii是一阶方阵，则它就是A的特征值；若Rii是二阶方阵，则其特征值为A的两个共轭复特征值。,拟上三角矩阵,14,QR迭代,QR迭代算法,计算矩阵的所有特征值和特征向量计算过程,(1)令A1A(2)对k=1,
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