北师版九年级上册图形的相似优秀教案导学案.doc

1 / 24 第一章第一章 图形的相似图形的相似 第一节第一节 成比例线段成比例线段 【学习目标学习目标】 1、认识形状相同的图形； 2、结合实例能识别出现实生活中形状相同，大小、位置不同的图形； 3、了解线段的比和比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法； 4、理解并掌握比例的基本性质，能通过比例形式变形解决一些实际问题。 【相关知识链接相关知识链接】 1、全等的图形：能够完全的两个图形叫做全等图形； 2、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除）以的整式，分式的值不变。 【学习引入学习引入】 一、 观察图片，体会相似图形 1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ 2 、小组讨论、交流得到相似图形的概念， 什么是相似图形? 3 、思考：如图 27.1-3 是人们从平面镜及哈 哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗? 2、归纳总结： 知识点 1、 相似的图形 一般而言，形状相同，大小、位置不一定相同的图形就是相似图形，但是全等图形也是 相似图形。 注意注意：形状相同的图形的对应线段的条数相同，对应线段长的比值相等，因此可以看做 的把其中一个图形放大或者缩小一点的倍数得到另外一个。 知识点 2、两条线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB,CD 的长度分别是 m，n，那么这两条线段的 比就是它们的长度之比，即 AB:CD=m:n,或写成，其中，线段 AB，CD 分别叫做这个 n m CD AB 线段比的前项和后项。如果把表示成比值 k，那么，或者 AB=kCD。 n m k CD AB 注意：注意：1、求两条线段的比的时候两条线段的长度单位要统一，当长度单位不统一时，要先 化成同一单位长度； 2 / 24 2、两条线段的比是一个没有单位的正实数，与所选线段的单位无关，只要选取相同 的长度单位即可。 知识点 3、成比例线段 对于四条线段 a,b,c,d，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即，那么这四条线 d c b a 段是成比例线段，简称比例线段。 注意注意：1、如果，那么 b 叫做 a 和 c 的比例中项； c b b a 2、在比例式 a:b=c:d 中，d 叫做 a，b，c 的第四比例项； 3、成比例线段是有顺序的，即 a,b,c,d 是成比例线段，则是 a:b=c:d 知识点 4、比例的性质 1、比例的基本性质：如果，那么 ad=bc； d c b a 如果 ad=bc（a，b，c，d 都不等于 0） ，那么 d c b a 2、等比性质：如果，那么)0.(.ndb n m d c b a b a ndb mca . . 【例题解读例题解读】 例 1、观察下列图形，指出是相似图形. 例 2、线段 AB 被点 M 分成,则, 3 2 BM AM MB AB AM MB 例 3、如果的值。求 x y y yx , 5 4 例 4、如图所示，,且 AB=10cm，AD=2cm，BC=7.2cm，E 是 BC 的中点， 求 EF,BF 的 EF BE AD AB 长。 3 / 24 例 5、已知0, 2fdb f e d c b a 且 （1）求的值； （2）若 a-2c+3e=5,求 b- fdb eca 2d+3f 的值。 【综合练习综合练习】 1、（1）；（2）；（3）；（4）. 在上述各种符号中，形状相同的符号有几组？（） A一组 B二组 C三组 D四组 2、下面各组中的两个图形，是形状相同的图形，是形状不同的图形. 3、 矩形 ABCD 中 AB=CD=8,AD=BC=6,矩形 EFGH 中，EF=GH=3,EH=FG=4,这两个矩形_ 4、ABC 的三条边之比为 2：5：6，与其相似的另一个ABC最大边长为 18cm， 则另两边长的和为_ 5、两个相似三角形的一对对应边长分别为 20cm，25cm，它们的周长差为 63cm，则这两个三 角形的周长分别是_ 6ABC 与DEF 中A=65B=42D=65F=73,AB=3,AC=5,BC=6,DE=6,DF=10,EF=12,则 DEF 与ABC_ 7、下列所给的条件中，能确定相似的有（ ） （1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等 边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形 A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 8、把 mn=pq（mn0）写成比例式，写错的是（ ） A B C D mq pn pn mq qn mp mp nq 8在一张比例尺为 1：15000 的平面图上，一块多边形地区的其中一边长为 5cm，那么这块 地区实际上和这一边相对应的长度应为（ ） A750cm B75000cm C3000cm D300cm 9、下列说法中，正确的是（ ） A正方形与矩形的形状一定相同 B两个直角三角形的形状一定相同 4 / 24 C形状相同的两个图形的面积一定相等 D两个等腰直角三角形的形状一定相同 10经历平移、旋转、轴对称变化前后的两个图形 （ ） A形状大小都一样 B形状一样，大小不一样 C形状不一样，大小一样 D形状大小都不一样 11在平面坐标系中，一个图形各点的横坐标、纵坐标都加上或减去同一个非零数，得到一 组新的对应用点，则连接所得到点的图形与原图形形状（ ） A不能够互相重合 B形状相同，大小也一定相同 C形状不一样 D形状相同，大小不一定相同 12、如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 、 的大小和 EH 的长度 x。 13、已知四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1相似，且 A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形 ABCD 的周长为 40，求四边形 ABCD 的各边的长 第第 2 2 节节 平行线分线段成比例平行线分线段成比例 【学习目标学习目标】 1、探索理解平行线分线段成比例定理及其推论； 2、会熟练运用平行线分线段成比例定理及其推论计算线段的长度。 【相关知识链接相关知识链接】 1、成比例线段： 2、若 3x=5y，则 x：y =；若 x：y =7:2，则 x：（x+y）= 【学习引入学习引入】 一、如图,任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 , l2 相交的平行线l3 , l4,l5.分别量 度l3 , l4,l5.在l1 上截得的两条线段 AB, BC 和在l2 上截得的两条线段 DE, EF 的长度, ABBC 与 DEEF 相等吗?任意平移l5 , 再量度 AB, BC, DE, EF 的长度, ABBC 与 DEEF 相等吗? 二、问题，ABAC=DE（ ） ，BCAC=（ ）DF 三、归纳总结： 知识点 1、平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例。 知识点 2、平行线分线段成比例定理的推论： 平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。 【例题解读例题解读】 例 1、如图所示，直线 l1l2l3，AB=3，DE=2，EF=4，求 BC 的长。 例 2、如图所示，在ABC 中，点 D,E 分别在 AB,AC 边 上，DEBC，若 AD：AB=3:4，AE=6，则 AC 等于 例 3、如图所示，在ABC 中，AD 平分BAC，求证： AC AB DC BD 【经典练习经典练习】 5 / 24 1、如图，已知直线 abc，直线 m、n 与直线 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则 BF=（ ） A、7B、7.5 C、8D、8.5 2、如图，点 F 是平行四边形 ABCD 的边 CD 上一点，直线 BF 交 AD 的延长线与点 E，则下列 结论错误的是（ ） A、B、C、D、 3、如图所示：ABC 中，DEBC，AD=5，BD=10，AE=3则 CE 的值为（ ） A、9B、6C、3D、4 4、如图所示，DEBC，DFAC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，求线段 BF 的长。 5、如图，设 M、N 分别是直角梯形 ABCD 两腰 AD、CB 的中点，DE 上 AB 于点 E，将ADE 沿 DE 翻折，M 与 N 恰好重合，则 AE：BE 等于（ ） A、2：1B、1： C、3：2D、2：3 6、如图，已知 ABCDEF，那么下列结论正确的是（ ） A、B、C、D、 7、如图，直线 l1l2l3，另两条直线分别交 l1、l2、l3于点 A、B、C 及点 D、E、F，且 AB=3，DE=4，EF=2，则（ ） A、BC：DE=1：2B、BC：DE=2：3 C、BCDE=8D、BCDE=6 8、如图，直线 ABCDEF，若 AC=3，CE=4，则的值是 BF BD 9、如图，已知：ABC 中，DEBC，AD=3，DB=6，AE=2，则 EC= _ 10、如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔 5M 有一棵树，在北岸边 每隔 50M 有一根电线杆小丽站在离南岸边 15M 的点 P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线 杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 M 6 / 24 11、如图，梯形 ABCD 中，则=EFBC 3 2 GC AG AD GF 12、如图所示：设 M 是ABC 的重心，过 M 的直线分别交边 AB，AC 于 P，Q 两点，且 =m，=n，则= _ PB AP QC AQ n 1 m 1 13、如图，ABCD、ADCE，F、G 分别是 AC 和 FD 的中点，过 G 的直线依次交 AB、AD、CD、CE 于点 M、N、P、Q， 求证：MN+PQ=2PN 14、已知：平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，点 P 是直线 BD 上任意一点（异于 B、O、D 三点） ，过 P 点作平行于 AC 的直线，交直线 AD 于 E，交直线 AB 于 F若点 P 在线段 BD 上 （如图所示） ，试说明：AC=PE+PF； 第三节第三节 相似多边形相似多边形 【学习目标学习目标】 1、了解相似多边形和相似比的概念； 2、能根据条件判断出两个多边形是否为相似； 3、掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行简单的计算 【相关知识链接相关知识链接】 1、相似图形：相同，但是 不一定的图形。 2、多边形：由若干条的线段组成的封闭平面图形。 【学习引入学习引入】 一、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形 在ABC 与ABC中，如果A=A, B=B, 7 / 24 C=C, 且 我们就说ABC 与ABC相似，记作ABCABC k AC CA CB BC BA AB ABCABC，k 就是它们的相似比 反之如果ABCABC， 则有A=A, B=B, C=C, 且 AC CA CB BC BA AB 二、问题：如果 k=1，这两个三角形有怎样的关系？ 三、归纳总结： 知识点 1、各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形， 相似多边形对应边的比叫做相似比。 知识点 2、相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例； 相似多边形的判定:边数相等；对应角相等；对应边成比例。 判断两个多边形相似，这三个条件缺一不可。 【例题解读例题解读】 例 1、下列判断中正确的是（ ） A、两个矩形一定相似 B、两个平行四边形一定相似 C、两个正方形一定相似 D、两个菱形一定相似 例 2、如图ABCDCA，ADBC，B=DCA （1）写出对应边的比例式； （2）写出所有相等的角； （3）若 AB=10,BC=12,CA=6求 AD、DC 的长 例 3、某机械厂承接了一批焊制矩形钢板的任务，已知 这种矩形钢板在图纸上（比例尺 1:400）的长和宽分别为 3cm 和 2cm，该厂所用原料是边长 为 4m 的正方形钢板，那么焊制一块这样的矩形钢板要用几块边长为 4m 的正方形钢板才行？ 例 4、如图所示，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩 形的长和宽之比为（ ） A、2:1 B、4:1 C、 D、1:21:2 【经典练习经典练习】 1、下列各组图形中，肯定相似的是（ ） A、两个腰长不相等的等腰三角形 B、两个半径不相等的圆 C、两个面积不相等的平行四边形 D、两个面积不相等的菱形 2、两个相似多边形边长的比为：3，它们的周长差为 4cm,则较大多边形的周长是 2 （ ） A . 8cm B. 12cm C. 20cm D. 24cm 3、已知平行四边形与平行四边形相似,对应边,若平行四边ABCDDCBA, 3AB4 B A 形的面积为 18，则平行四边形的面积为 （ ）ABCDDCBA A. B. C . D. 2 27 8 81 2432 8 / 24 4、如图，正五边形与正五边形是相似形，若,则下列结论正ABCDEFGHMN3:2:FGAB 确的是 （ ） A B. C. D. MNDE32MNDE23FA23FA32 5、如图，在梯形,将梯形分成两个相似梯形和梯ABCDADEFBCEFABCDAEFD 形,若求的值。EBCF, 4, 3BCAD EB AE 6、一个五边形的各边长为另一个与它形似的五边形的最长边的长为 12，则最短边, 6 , 5 , 4 , 3 , 2 的长为 （ ） A. 4 B.5 C.6 D.8 7、在梯形 ABCD 中，AD 平行于 BC，AC、BD 交于点 O，SAOD：SCOB=1：9 则 SDOC：SBOC=_ 8、在比例尺为的地图上，A,B 两城的距离为 7.2，则 A,B 两城的实际距离是1000000:1cm km 9、四边形 ABCD四边形，与是对应对角线，若则DCBAACCA, 2, 3BAAB =,= DCBAABCD CC 四边形四边形 : DCBAABCD SS 四边形四边形 : 10、在平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=4，EFAD，若ABCDEFDA,求 AE 的长。 11、如图所示，已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E， 沿 AE 将ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点处，若四边 形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD= 第四节第四节 相似三角形的判定相似三角形的判定 【学习目标学习目标】 1、理解相似三角形的定义； 2、熟练掌握三角形相似的判定方法，并能灵活运用判定方 法判断两个三角形是否相似； 3、能运用三角形相似的判定方法进行有关的计算和证明； 4、理解黄金分割的概念； 5、能做出线段黄金分割点，并会求满足黄金分割的线段的长，体会黄金分割的美。 【相关知识链接相关知识链接】 1、全等三角形的判定条件：、 、 、 、 。 2、相似多边形：各角、各边的两个多边形叫做相似多边形。 3、线段的比：如果选用量的两条线段 AB,CD 的长度分别的 m,n，那么就说两条线段 AB:CD=m:n F G B HM N D A B C E A BC D EF 9 / 24 【学习过程学习过程】 一、讨论：什么是相似三角形？ 知识点 1、相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 如图所示：ABC 与相似，记做ABCCBA ，其中,k 为相似比。CBAk CA AC CB BC BA AB 注意：（注意：（1 1）对应性：两个三角形相似时通常把表示对应顶点 的字母写在对应的位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。 （2 2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如：ABC，它们的相似比为CBA k，则；如果写成ABC，它们的相似比为,则 CA AC CB BC BA AB kCBA k ,因此 AC CA BC CB AB BA k k k 1 （3 3）传递性：若ABC，则ABC。CBACBA CBA CBA 二、探索：如何判断两个三角形相似？ 知识点 2、相似三角形的判定方法 1：两角分别相等的两个三角形相似。 即：已知ABC 和，若A=A ，B=B ，则ABC。CBACBA 注意：注意：（1）在两个三角形中，只需找到有两组角分别相等，就可以判定两个三角形相似； （2）这种方法说明我们不用边就可以判定两个三角形相似。 相似三角形常见构图方式相似三角形常见构图方式： （1）平行线型：若 DEBC， 则ABCADE （2）相交线型：若AED=B， 则ABCAED （3）“子母”型：若 ACD=B，则 ABCACD 知识知识点点 3 3、相似三角 形的判定方法 2：两 边成比例且夹角相等 的两个三角形相似。 即：已知ABC 和 CBA ，若 ,A=A ，则ABC。 CA AC BA AB CBA 注意：注意：通过此法判定三角形相似类似于判定三角形全等中的“SAS” 。 知识点 4、相似三角形的判定方法 3：三边成比例的两个三角形相似。 10 / 24 即：已知ABC 和，若，则ABC。CBA CA AC CB BC BA AB CBA 知识点知识点 5 5、黄金分割： 如图所示，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，若,那么就称线段 AB 被点 C 黄 AC BC AB AC 金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金 比。 记忆口诀：大：全记忆口诀：大：全= =小：大小：大 注意：注意：（1）由黄金分割的意义可知：。BCABAC 2 （2）黄金比618 . 0 2 1-5 AC BC AB AC （3）线段 AB 有两个黄金分割点，其中一个点 D 靠近 A 点，有；另一点 2 15 AB BD 靠近点 B，有,并且 AD=BC,AC=BD. 2 15 AB AC 【例题解读例题解读】 例 1、依据下列条件判断三角形是否相似，若相似请给出证明，若不相似请说明理由： （1）ABC 和中，A=40，AB=8，AC=15，A=40，AB=16，ACCBA =30，则ABC 和是否相似？CBA （2）ABC 和中，B=50，AB=4，AC=3.2，B=50，AB=2，ACCBA =1.6，则ABC 和是否相似？CBA （3）如图所示，已知 AC 和 BD 相交于点 E，CEAE=BEDE,则ABE 与DCE 是否相似？ （4）如图所示，D 是ABC 的边 BC 上的一点，AB=2，BD=1，DC=3，ABD 与CBA 是否相似？ 例 2、已知在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上一点，且 BP=3PC，Q 是 CD 的中点， 求证：ADQQCP 例 3、已知 DEBC，DFAC，AD=4，BD=8，DE=5，求线段 BF 的 长。 11 / 24 例 4、ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E。 （1）求证：ABDCED； （2）若 AB=6，AD=2CD,求 BE 的长。 例 5、已知在ABC 中，点 D,E,F 分别是边 AB,AC,BC 上的点，DEBC， EFAB，且 AD：DB=3:5，那么 CF：CB 等于。 例 6、ABC 为等边三角形，D,E 分别是 AC,BC 上的点（不与顶点重合） ，BDE=60.(1)求 证：DECBDA； (2)若等边三角形的边长为 4，并设 DC=x，BE=y，试求 y 与 x 之间的函数关系式。 例 6、在ABC 中，AC=8cm，BC=16cm，点 P 从点 A 出发，沿着 AC 边向 点 C 以 1cm/s 的速度运动，点 Q 从点 C 出发，沿着 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动，如果 P 与 Q 同时出发，那么经过几秒 PQC 与ABC 相似？ 【经典练习经典练习】 1如图 1， （1）若=_，则OACOBD，A=_ OB OA （2）若B=_，则OACOBD，_与_是对应边 （3）请你再写一个条件，_，使OACOBD 2如图 2，若BEF=CDF，则_，_ (1) (2) (3) 3如图 3，已知 A（3，0） ，B（0，6） ，且ACO=BAO，则点 C的坐标为 _，AC=_ 4已知，如图 4，ABC 中，DEBC，DFAC，则图中共有_对相似三角形 5下列各组图形一定相似的是（ ） A有一个角相等的等腰三角形 B有一个角相等的直角三角形 C有一个角是 100的等腰三角形 D有一个角是对顶角的两个三角形 6如图 5，AB=BC=CD=DE，B=90，则1+2+3 等于（ ） A45 B60 C75 D90 12 / 24 (4) (5) (6) 7如图 6，若ACD=B，则_，对应边的比例式为 _，ADC=_ 8如图，在ABC 中，CD，AE 是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明 理由 9如图，D，E 是 AB 边上的三等分点，F，G 是 AC 边上的三等分点，写出图中的相似三角 形，并求出对应的相似比 10如图，在直角坐标系中，已知点 A（2，0） ，B（0，4） ，在坐标轴上找到点 C（1，0） 和点 D，使AOB 与DOC 相似，求出 D 点的坐标，并说明理由 11如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 F 在 BA 的延长线上，连接 CF 交 AD于点 E （1）求证：CDEFAE （2）当 E 是 AD 的中点且 BC=2CD 时，求证：F=BCF 12如图，等腰直角三角形 ABC 中，顶点为 C，MCN=45，试说明BCMANC 13在ABCD 中，M，N 为对角线 BD 的三等分点，连接 AM 交 BC 于 E，连A 接 EN 并延长交 AD 于 F （1）试说明AMDEMB；（2）求的值 FN NE 14如图，在ABC 中，AB=AC，A=36，BD 平分ABC，DEBC，那么 在下列三角形中，与ABC 相似的三角形是（ ） ADBE BADE CABD DBDC 13 / 24 15、如第 14 题图，已知等腰三角形 ABC 中，顶角A=36，BD 平分ABC，则 的值 AD AC 为（ ） A B 1 2 5151 .1. 22 CD 16如图，ABC 和DEF 均为正三角形，D，E 分别在 AB，BC 上，请找出一个与DBE 相似 的三角形并证明 第第 5 5 节节 利用相似三角形测高利用相似三角形测高 【学习目标学习目标】 1、掌握几种测量旗杆高度的方法与原理，解决一些相关的生活实际问题。 2、通过设计测量旗杆高度的方案，学会将实物图形抽象成几何图形的方法，体会将实际问 题转化成数学模型的转化思想。 【相关知识链接相关知识链接】 1、相似三角形的定义：三角相等，三边 的两个三角形叫做相似三角形。 2、三角形相似的判定：。 。 。 【学习引入学习引入】 一、探索： 问题 1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？ 问题 2：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么 金字塔？ 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古 代七大奇观之一” 塔的个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约 230 多 M据考证，为建成大金字塔，共动用了 10 万人花了 20 年时间原高 146.59M，但由于 经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低 在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你 什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！” ，这在当时条件下是个大难题，因 为是很难爬到塔顶的你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 二、学生讨论 三、总结归纳： 知识点知识点 1 1、利用阳光下的影子测量旗杆的高度、利用阳光下的影子测量旗杆的高度： 让一名同学恰好站在旗杆影子的顶端，然后一部分 同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗 14 / 24 杆的影长。 原理：太阳是平行光线 ABCD，B=DCE ACB=DEC=90 ACBDEC BC CEAC DE CE BC DE AC 即, 结论：同一时刻， 参照物体影子的长度 参照物体高度 被测物体影子长度 被测物体实际高度 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影 子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度 如图，如果木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个 物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条 件，求出金字塔的高度 解： 知识点知识点 2 2、利用标杆测量旗杆的高度、利用标杆测量旗杆的高度 工具：皮尺、标杆 步骤：（1）测量出标杆 CD 的长度，测出观测者眼部以下高度 EF； （2）让标杆竖直立于地面，调整观测者 EF 的位置，当旗杆顶部、标杆顶端、观 测者的眼睛三者在同一条直线上，测出观测者距标杆底端的距离 FD 和距旗杆底部的距离 FB； （3）根据,求得 AH 的长，再加上 EF 的长即为旗杆 AB 的高度。 EH EG AH CG 依据：如图，过点 E 作 EHAB 于点 H，交 CD 于点 G CDAB ECG=EAH CEG=AEH ECGEAH EH EG AH CD EG=FD,EH=FB,CG=CD-GD=CD-EF, 且 FD，FB,CD,EF 可测 可求 AH 的长度 AB=AH+HB=AH+EF 知识点知识点 2 2、利用镜子的反射杆测量旗杆的高度、利用镜子的反射杆测量旗杆的高度 工具：皮尺、镜子 步骤：（1）在观测者与旗杆之间放一面镜子，在镜子上做一个标记； （2）测出观测者眼睛到地面的距离； （3）观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记 重合，此时测出镜子上标记 O 到人脚底 D 的距离 OD 及镜子上的标记 O 到旗杆底部的距离 OB； 15 / 24 （4）把测得的数据代入,即可求得旗杆的高度 OB OD AB CD AB。 依据：在COD 与AOB 中 COD=AOB，CDO=ABO=90 CODAOB OB OD AB CD CD,OD,OB 皆可测得 AB 可求。 【例题解读例题解读】 例 1、如图所示，从点 A（0,2）发出的一束光，经 x 轴反射，过点 B（4,3） ，则这束光从点 A 到点 B 所经过路径的长为 。 例 2、王华在晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处，测得影子 CD 的长为 1m，继续往前走 3m 到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2m，已知王华的身高是 1.5m，那么路灯 A 的高度 AB 等于。 例 3、学校的围墙外的服装厂有一旗杆 AB，甲在操场上直 立 3m 高的竹竿 CD，乙从 C 处退到 E 处恰好看到竹竿顶端 D 与旗杆顶部 B 重合，量的 CE=3m，乙的眼睛到地面距离 为 1.5m，丙在 C1处直立 3m 高的竹竿 C1D1，乙从 E 处退后 6m 到 E1处，恰好看到竹竿顶端 D1与旗 杆顶端 B 也重合，量的 C1E1=4m，求旗杆 AB 的高 度。 例 4、如图,一圆柱形油桶,高 1.5M,用一根长 2M 的 木棒从桶盖小口 A 处斜插桶内另一端的 B 处,抽出 木棒后,量得上面没浸油的部分为 1.2M,求桶内油面 的高度. 【经典练习经典练习】 1、在同一时刻同一个地点物体的高度与自身的影长的关系是( ) A.成反比例 B.成正比例 C.相等 D.不成比例 2、如图,DEEB,ABEB,DCE=ACB,DE=12 m,EC=15 m,BC=30 m,则 AB=_m. 3、如图，大正方形中有 2 个小正方形，如果它们的面积分别是 S1、S2 ，那么S1、S2的大 小关系是 (A) S1 S2 (B) S1 = S2 (C) S1S2 (D) S1、S2 的大小关系不确定 4、某一时刻,测得旗杆的影长为 8 m,李明测得小芳的影长为 1 m,已知小芳的身高为 1.5 m,则 旗杆的高度是_m. 5、如图，铁道口的栏杆短臂长 1m，长臂长 16m当短臂端点下降 0.5m 时，长臂端点升高_m（杆的宽度忽略不计） A B 16 / 24 第 2 题 第 3 题 第 5 题 6、如图所示是用杠杆撬石头的示意图,C 是支点,当用力压杠杆的 A 端时,杠杆绕 C 点转动,另 一端 B 向上翘起,石头就会被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的 B 端必须向上翘起 10 cm,已知杠杆的动力臂 AC 与阻力臂 BC 之比为 51,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的 A 端下压( ) A.100 cm B.60 cm C.50 cm D.10 cm 7、如图所示,要测量河两岸相对的两点 A,B 的距离,先从 B 处出发与 AB 成 90角方向,向前 走 80M 到 C 处立一标杆,然后方向不变向前走 50M 至 D 处,在 D 处转 90,沿 DE 方向走 30M,到 E 处,使 A(目标物),C(标杆)与 E 在同一条直线上,那么可测得 A,B 间的距离_. 8、如图,为了测量一棵树 CD 的高度,测量者在 B 点立一高为 2M 的标杆,观测者从 E 处可以 看到杆顶 A,树顶 C 在同一条直线上.若测得 BD=23.6M,FB=3.2M,EF=1.6M,求树高. 9、 如图,射击瞄 准时,要求枪的标尺缺口上沿中央A,准星尖 B 和瞄准点 C 在一条 直线上,这样才能命中目标.已知某种冲锋枪基线 AB 长 38.5 cm,如果射击距离 AC=100 m,当 准星尖在缺口内偏差 BB为 1 mm 时,弹着偏差 CC是多少?(BBCC) 10、如图,AB 是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚 B 距墙 80 cm,梯 上点 D 距墙 70 cm,BD 长 55 cm,求梯子的长. 11、一位同学想利用树影测量树高 AB,他在某一时刻测得小树高为 1M,树 影长 0.9M,但当他马上测量树影时,因树靠近建筑物,影子不全落在地上,有 一部分落在墙上,如图,他先测得地面部分的影子长 2.7M,又测得墙上的影 高 CD 为 1.2M,试问树有多高? 12、如图，零件的外径为16cm，要求它的壁厚x，需要先求出内径 AB，现用一个交叉钳(AD 与 BC 相等)去量，若测得 OA:OD=OB:OC=3:1，CD5cm，你能求零件的壁厚x 吗？ 17 / 24 13、如图，梯形 ABCD 中，ADBC，E、F 分别在 AB、CD 上，且 EFBC，EF 分别交 BD、AC 于 M、N。 （1）求证：ME=NF；（2）当 EF 向上平移至各个位置时， 其他条件不变， （1）的结论是否还成立？请分别证明你的判断。 第第 6 6 节节 相似三角形的性质相似三角形的性质 【学习目标学习目标】 1、理解并熟练应用相似三角形的性质； 2、类比相似三角形的周长比与面积比，猜想相似多边形的周长比与面积比，体验类比思想。 【相关知识链接相关知识链接】 1、相似三角形的定义：三角相等，三边 的两个三角形叫做相似三角形。 2、全等三角形的性质：全等三角形的对应角、对应边、对应角的平分线、对应边上的中线、 对应边上的高。 【学习过程学习过程】 知识点 1、相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边成比例； 相似三角形的对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于相似比； 相似三角形的周长比等于相似比； 相似三角形的面积比等于相似比的平方平方。 注意：注意：1、相似三角形的面积比等于相似比的平方，在计算时平方切记不可忘； 2、性质中的高、中线、角平分线必须是对应边上的，要一一对应； 3、面积比是相似比的平方切记不可与等底或等高的两个三角形面积比等于高或底之 比想混淆。 知识点 2、相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例； 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；平方； 相似多边形对应对角线的比等于相似比； 相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。 【例题解读例题解读】 例 1、在ABC 中，已知 DEBC，AE=3EC，SABC=48，求ADE 及四边形 BCED 的面积。 例 2、已知甲、乙两个多边形相似，其相似比为 2:5；若多边形甲的周 长为 24，则多边形乙的周长为；若两个多边形的面积之和为 174，则 多边形甲的面积为。 例 3、路边有两根电线杆相距 4m，分别在高为 3m 的 A 处和 6m 的 C 处 用铁丝将两杆固定，求铁丝 AD 与铁丝 BC 的交点 M 处 离地面的高度。 例 4、某生活小区的居民筹集资金 1600 元，计划在一 块上、下两底分虽为 10m，20m 的梯形空地上种植花木， M M N E M BC F D A NE BC F D A N E BC F D A （N ） M E BC F D A 18 / 24 如图所示，ADBC，AC 与 BD 相交于 M （1）他们在AMD 和BMC 地带上种植太阳花，单价为 8 元/m2，当AMD 地带种满花后，共 花了 160 元，请计算种满BMC 地带所需的费用； （2）在（1）的条件下，若其余地带有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择种，单价分别为 12 元/m2和 10 元/m2，问应选择种哪种花可以刚好用完所筹集的资金？ 例 5、如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形 ABC 的 空地进行生态环境改造已知ABC 的边 BC 长 120M，高 AD 长 80M学校计划将它分割成AHG、BHE、GFC 和矩形 EFGH 四部分（如图） 其中矩形 EFGH 的一边 EF 在边 BC 上其中两个顶点 H、G 分别在边 AB、AC 上现计划在AHG 上种草， 在BHE、GFC 上都种花，在矩形 EFGH 上兴建喷泉当 FG 长为多少 M 时，种草的面积与 种花的面积相等？ 【经典练习经典练习】 1、如果两个相似三角形对应边的比为 35 ，那么它们的相似比为_，周长的比为 _，面积的比为_ 2、如果两个相似三角形面积的比为 35 ，那么它们的相似比为_，周长的比为 _ 3、连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于 _，面积比等于_ 4、两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，若较大三角形的周长是 42 cm ，面 积是 12 cm2，则较小三角形的周长为_cm，面积为_cm2 5、如图,在正方形网格上有A1B1C1和A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出 A1B1C1和A2B2C2的面积比 6、在ABC 中，AB=AC，A=36，B 的平分线交 AC 于 D， BCD_，且 BC=_。 7、ABCA1B1C1， ，AB=4，A1B1=12， 则它们对应边上的高的比是，若 BC 边上的中线为 1.5，则 B1C1上的中线 A1D1=_ 。 8、 如果两个相似三角形的周长为 6cm 和 15cm，那么两个相似三角形的 相似比为_ 9、 在ABC 中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm，若另一个与它相似的三角形的最短边长为 15cm，则其周长为_ 10、 在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，若 BD=9，DC=12，则 AD=_，BC=_ 11、 ABCA1B1C1，且ABC 的周长与A1B1C1 的周长之比为 11：13，又 (第 3 题) 19 / 24 P A B C D A1B1AB=1cm，则 AB=_cm，A1B1=_cm。 12、 在梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 BD 分成的两部分面积的比是 1：2， EF 是中位线， 则被 EF 分成的两部分面积的比 S四边形 AEFD：S四边形 BCEF=_ 。 13、如图,要在底边 BC=160cm,高 AD=120cm 的ABC 铁皮余料上截取一个矩形 EFGH,使点 H 在 AB 上,点 G 在 AC 上,点 E,F 在 BC 上,AD 交 HG 于点 M,此时有 AM/AD=HG/BC (1)设矩形 EFGH 的长 HG=y,宽 HE=X,确定 y 与 X 的函数关系式 (2)当 X 为何值时,矩形 EFGH 的面积 S 最大? A A G GH H C C B B D D E E M M F F 14、如图, ABC 中,AB=6,BC=4,AC=3,点 P 在 BC 上运动,过 P 点作DPB=A,PD 交 AB 于 D, 设 PB=x,AD=y. (1)求 y 关于 x 的函数关系式和 x 的取值范围. (2)当 x 取何值时,y 最小,最小值是多少? 15、已知：如图，ABC 中，DEBC， （1）若， 求的值； 求的值； 3 2 EC AE AC AE ABC ADE S S 若，求ADE 的面积；5S ABC （2）若，过点 E 作 EFAB 交 BC 于 F，SS ABC 3 2 EC AE 求BFED 的面积； （3）若， ，过点 E 作 EFAB 交 BC 于 F，求BFED 的面积k EC AE 5 ABC S 第七节第七节 图形的位似图形的位似 【学习目标学习目标】 1、熟记位似图形的概念及性质； 2、知道利用位似的性质可以将一个图形放大或缩小； 3、会画一个简单图形的位似图形，掌握位似图形坐标的变化规 律。 【相关知识链接相关知识链接】 1、相似多边形：、 的两个多边形叫做相似多边形； 2、相似多边形的性质：。 【学习过程学习过程】 一、观察下列几幅图片： 20 / 24 二、问题：上图几幅图形有什么特征？ 学生活动：学生通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其 特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点 连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形. 这个点叫做位似中位似中 心心.这时的相似比又称为相似比.（位似中心可在形上、形外、形内.) 每对位似对应点与位 似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行 三、归纳总结： 知识点知识点 1 1、位似多边形的概念： 如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P，P所在的直线都经过同一点 O，且有 OP=kOP（k0） ，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点 O 叫做位似中心，k 就是 相似比。例如下图： 知识知识点点 2 2、位似多边形的性质位似多边形的性质： 位似多边 形上任意一 对对应点到 位似中心的 距离之比等于位似比； 位似多边形上对应点和 位似中心在同一条直线上； 位似多边形上的对应线段平行或在同一条直线上； 位似多边形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质。 注意：对某一图形进行放大（或缩小） ，使得放大（或缩小）前后的两个图形是位似图形。 知识点知识点 3 3、位似多边形的画法： 步骤：（1）确定位似中心； （2