2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编5.4解斜三角形.doc

高考地理复习第五章平面向量四解斜三角形【考点阐述】正弦定理余弦定理斜三角形解法【考试要求】（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形【考题分类】（一）选择题（共7题）1.（安徽卷文5）在三角形ABC中，5,3,7ABACBC,则BAC的大小为（）A23B56C34D3解：由余弦定理2225371cos2532BAC，23BAC2.（北京卷文4）已知ABC中，2a，3b，60B，那么角A等于（）A135B90C45D30【解析】由正弦定理得:2322,sinsin,sinsinsinsin23abABABAB45abABA【答案】C3.（福建卷理10文8）在ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为A.6B.3C.6或56D.3或23解：由222(a+c-b)tanB=3ac得222(a+c-b)3cos=22sinBacB即3coscos=2sinBBB3sin=2B,又在中所以B为3或234.（海南宁夏卷理3）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为A.185B.43C.23D.87解：设顶角为C，因为5,2lcabc，由余弦定理222222447cos22228abccccCabcc高考地理复习5.（山东卷文8）已知abc，为ABC的三个内角ABC，的对边，向量(31)(cossin)AA，mn若mn，且coscossinaBbAcC，则角AB，的大小分别为（）A63，B236，C36，D33，解析：本小题主要考查解三角形问题。3cossin0AA，；3A2sincossincossin,ABBAC2sincossincossin()sinsinABBAABCC，.2C6B.选C.本题在求角B时,也可用验证法.6.（陕西卷理3）ABC的内角ABC，的对边分别为abc，若26120cbB，则a等于（）A6B2C3D2解：由正弦定理621sinsin120sin2CC，于是30302CAac7.（四川卷文7）ABC的三内角,ABC的对边边长分别为,abc，若5,22abAB，则cosB()（）53（）54（）55（）56【解】：ABC中522abAB5sinsin2sinsin22sincosABABBB5cos4B故选B；【点评】：此题重点考察解三角形，以及二倍角公式；【突破】：应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的；在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用。（二）填空题（共6题）1.（湖北卷理12）在ABC中，三个角,ABC的对边边长分别为3,4,6abc,则coscoscosbcAcaBabC的值为.高考地理复习解：由余弦定理，原式1636993616169366122222.（湖北卷文12）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知3,3,30,abc则A.解：由余弦定理可得239233cos303c,330()6caAC或3.（江苏卷13）若2,2ABACBC，则ABCS的最大值。【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想设BCx，则AC2x，根据面积公式得ABCS=21sin1cos2ABBCBxB，根据余弦定理得2222242cos24ABBCACxxBABBCx244xx，代入上式得ABCS=2221281241416xxxx由三角形三边关系有2222xx解得222222x，故当22x时取得ABCS最大值22【答案】224.（山东卷理15）已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m（1,3），n（cosA,sinA）.若mn，且acosB+bcosA=csinC，则角B_.解：mn3cossin0AA,3AsincossincossinsinABBACC2sincossincossin()sinsinABBAABCC.2C6B5.（陕西卷文13）ABC的内角ABC，的对边分别为abc，若26120cbB，则a2解：由正弦定理621sinsin120sin2CC，于是30302CAac6.（浙江卷理13文14）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若CaAcbcoscos3，则Acos_。解析：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。依题由正弦定理得：(3sinsin)cossincosBCAAC,即3sincossin()sinBAACB,高考地理复习3cos.3A（三）解答题（共16题）1.（海南宁夏卷文17）如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，BD交AC于E，AB=2。（1）求cosCBE的值；（2）求AE。【试题解析】：.(1)因为0009060150,BCDCBACCD所以015CBE，0062coscos45304CBE(2)在ABE中，2AB，故由正弦定理得00002sin4515sin9015AE,故00122sin30262cos15624AE【高考考点】正弦定理及平面几何知识的应用【易错点】：对有关公式掌握不到位而出错。【全品备考提示】：解三角形一直是高考的重点内容之一，不能轻视。2.（湖南卷理19）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+(其中sin=2626，090)且与点A相距1013海里的位置C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解:（I）如图，AB=402，AC=1013，26,sin.26BAC由于090,所以cos=2265261().2626由余弦定理得BC=222cos105.ABACABAC所以船的行驶速度为10515523（海里/小时）.EDCBA高考地理复习（II）解法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1=22AB=40,x2=ACcos1013cos(45)30CAD,y2=ACsin1013sin(45)20.CAD所以过点B、C的直线l的斜率k=20210,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=|05540|357.14所以船会进入警戒水域.解法二:如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在ABC中，由余弦定理得，222cos2ABBCACABCABBC=22240210510132402105=31010.从而2910sin1cos1.1010ABCABC在ABQ中，由正弦定理得，AQ=10402sin1040.sin(45)2210210ABABCABC由于AE=5540=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在RtQPE中，PE=QEsinsinsin(45)PQEQEAQCQEABC=515357.5所以船会进入警戒水域.3.（江苏卷17）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知20ABkm,10CDkm,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。高考地理复习（I）按下列要求写出函数关系式：设()BAOrad，将y表示成的函数关系式；设()OPxkm，将y表示成x的函数关系式。（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。【解析】本小题主要考查函数最值的应用（）由条件知PQ垂直平分AB，若BAO=(rad)，则10coscosAQOA,故10cosOB，又OP1010tan，所以10101010tancoscosyOAOBOP，所求函数关系式为2010sin10cosy04若OP=x(km)，则OQ10x，所以OA=OB=222101020200xxx所求函数关系式为2220200010yxxxx（）选择函数模型，2210coscos2010sin102sin1coscossiny令y0得sin12，因为04，所以=6，当0,6时，0y，y是的减函数；当,64时，0y，y是的增函数，所以当=6时，min10103y。这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边1033km处。4.（江西卷理17）在ABC中，角,ABC所对应的边分别为,abc，23a，tantan4,22ABC2sincossinBCA，求,AB及,bc解：由tantan422ABC得cottan422CCcossin224sincos22CCCC14sincos22CC高考地理复习1sin2C，又(0,)C566CC，或由2sincossinBCA得2sincossin()BBBC即sin()0BCBC6BC2()3ABC由正弦定理sinsinsinabcABC得1sin2232sin32BbcaA5.（辽宁卷理17）在ABC中，内角ABC，对边的边长分别是abc，已知2c，3C（）若ABC的面积等于3，求ab，；（）若sinsin()2sin2CBAA，求ABC的面积说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力满分12分解析：（）由余弦定理及已知条件得，224abab，又因为ABC的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab4分联立方程组2244ababab，解得2a，2b6分（）由题意得sin()sin()4sincosBABAAA，即sincos2sincosBAAA，8分当cos0A时，2A，6B，433a，233b，当cos0A时，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，联立方程组2242ababba，解得233a，433b所以ABC的面积123sin23SabC12分6.（辽宁卷文17）在ABC中，内角ABC，对边的边长分别是abc，已知2c，3C高考地理复习（）若ABC的面积等于3，求ab，；（）若sin2sinBA，求ABC的面积解：（）由余弦定理得，224abab，又因为ABC的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab4分联立方程组2244ababab，解得2a，2b6分（）由正弦定理，已知条件化为2ba，8分联立方程组2242ababba，解得233a，433b所以ABC的面积123sin23SabC12分7.（全国卷理17）设ABC的内角ABC，所对的边长分别为abc，且3coscos5aBbAc（）求tancotAB的值；（）求tan()AB的最大值解析：（）在ABC中，由正弦定理及3coscos5aBbAc可得3333sincossincossinsin()sincoscossin5555ABBACABABAB即sincos4cossinABAB，则tancot4AB；（）由tancot4AB得tan4tan0AB2tantan3tan3tan()1tantan14tancot4tanABBABABBBB34当且仅当14tancot,tan,tan22BBBA时，等号成立，故当1tan2,tan2AB时，tan()AB的最大值为34.8.（全国卷文17）设ABC的内角ABC，所对的边长分别为abc，且cos3aB，sin4bA（）求边长a；（）若ABC的面积10S，求ABC的周长l高考地理复习2222CCDABDCDbsinA=4,BD=acosB=3,BCDa=BC=BD+CD=5113S=ABCD=AB4=10,AB=5,acosB=3,cosB=2253b=c+a2accosB=25+2522520255552510251025解：过作于，则由在直角三角形中，由面积又再由余弦定理得：周长为。9.（全国卷理17）在ABC中，5cos13B，4cos5C（）求sinA的值；（）设ABC的面积332ABCS，求BC的长解：（）由5cos13B，得12sin13B，由4cos5C，得3sin5C所以33sinsin()sincoscossin65ABCBCBC5分（）由332ABCS得133sin22ABACA，由（）知33sin65A，故65ABAC，8分又sin20sin13ABBACABC，故2