高二数学竞赛试题

高二数学竞赛试题 一、选择题：本大题共4小题，每题6分，满分24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合, 则有( ) A. B. C. D.2已知等差数列的前项和为, 且, 则公差的值为( ) A. B. C. D. 3. 方程所表示的曲线是 A. 一个圆 B. 两个圆 C. 半个圆 D. 两个半圆4. 的内角、的对边分别为、，设向量， 则是的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件二、填空题: 本大题共6小题，每题6分，满分36分.5已知，则的值为 * . 6已知向量，若向量与向量共线（R，且，则的值为 * . 7. 在区间和上分别取一个数, 记为 , 则方程表示焦点在轴上并且离心率小于的椭圆的概率为 * . 8. 三棱锥的所有棱长均为, 顶点在底面上的正投影为点, 点在上, 且使, 则的长为 * . 9已知函数，若，且，则的取值范围是 * .10. 对于任意两个正数, 定义运算“”如下：，其中为常数.已知，并且存在一个非零实数，使得对于任意实数都有，则的值为 * . 三、解答题: 本大题共5小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.11.(本小题满分15分) 已知函数的最大值为. (1) 求的值;(2) 若, 求的值.12. (本小题满分15分) 如图,在三棱锥中, 平面, , , ,分别是的中点.(1) 求证:; (2) 求二面角的余弦值;(3) 求点到平面的距离.13.(本小题满分20分) 已知平面内的动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线. (1) 求曲线的方程;(2) 若直线与曲线相交于、两点, 问在曲线上是否存在点,使为等边三角形? 若存在, 求点的坐标; 若不存在, 说明理由.14. (本小题满分20分)已知数列的前项和为, 对任意N都有（为常数，）.(1) 求数列的通项公式;（2）令，若数列为等比数列，求的值；(3) 在满足(2)的条件下, 记,设数列的前项和为, 求证:.15.(本小题满分20分)已知函数R.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设函数的图象与函数的图象交于不同两点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，试判断在点处的切线与在点处的切线是否平行，并说明理由.高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：每小题6分，满分24分。1A 2C 3D 4C二、填空题：每小题6分，满分36分。5 6 7 8 9 10三、解答题：满分90分。11. (1) 解: (其中). 函数的最大值为 , 解得. (2)解:由(1)知. , ,得. . 12.(1) 证明:取的中点,连接.则,又平面,平面.平面,. 分别为的中点,.,即,. 平面平面平面. 平面,. 解:过作且与的延长线相交于点, 连接.由三垂线定理知, 是二面角的平面角,也是二面角的平面角的补角, 在Rt中，. 在Rt中，. 在Rt中，. 二面角的余弦值为. (2) 解:过点作于, 由(2)知平面平面,且平面平面,平面. 的长为点到平面的距离.在Rt中，. 点是的中点, 点到平面的距离是点到平面的距离的倍. ,平面.点到平面的距离等于点到平面的距离. 点到平面的距离是. 13.(1)解法1:点到点的距离比到直线的距离小， 点到点的距离与它到直线的距离相等。 点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线. 曲线的方程为. 解法2:设点的坐标为, 依题意得,. 当时, 得, 化简得. 当时, 得得 化简得,得,矛盾. 曲线的方程为. (2)解:设、的坐标分别为,线段的中点为. 由消去,得. . ,. 点. . 假设曲线上存在点,使为等边三角形,设点, 由,得,即. 又,得. 由或 解得或 点的坐标为或. 点或不在曲线上, 曲线上不存在点,使为等边三角形. 14.(1) 解: 当时, 解得, 当时, , 整理得. 数列是首项为,公比为的等比数列. . (2)解:由(1)得,则. . 由,得, 解得. 又时, ,显然数列为等比数列，故. (3) 证明:由(2)知,故. . 当时, . . . 15.（1）解：， 函数的定义域为. . 当时， 令得；令得. 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 当时，令得， . . （）当，即时，得，故 函数的单调递增区间为. （）当，即时，方程的两个实根分别为 ，. 若，则，此时，当时，当时，.函数的单调递增区间为，单调递减区间为.若，则，此时，当时，当时，.函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）证法1：设点、的坐标分别是. 则点、的横坐标为. 在点处的切线斜率为， 在点处的切线斜率为. 假设在点处的切线与在点处的切线平行，则， 即， 则. . 设，则. （*） 令，则. ，. 在上单调递增. ，即，这与（*）式矛盾，假设不成立. 在点处的切线与在点处的切线不平行. 证法2：设点、的坐标分别是. 则点、的横坐标为. 在点处的