高中数学必修四教材分析.pdf

教育科学与管理学院教育科学与管理学院教育研究方法课程教育研究方法课程 期末研究报告期末研究报告 学学 期：期： 2012016 6- -2012017 7 学年第学年第一一学期学期 学学 号号： 14432010000461443201000046 姓姓 名名： 李秋霖李秋霖 高中数学必修四教材分析高中数学必修四教材分析 以三角函数为主以三角函数为主 摘要：摘要： 三角函数在高中是很重要的一块内容，此教材分析主要针对必修四的 三角函数和三角恒等变换。 从任意三角形推广到周期函数， 特殊化到锐角三角形， 然后又联系到解三角形，类比了指数函数对数函数，幂函数，联系了物理生物， 自然界中的周期现象。第三章从差角余弦公式到和角公式再到倍角公式，最后掌 握简单三角恒等变换。 关键词：关键词：正弦函数；余弦函数；正弦余弦正切公式 一：内容简括一：内容简括 （一）（一）三角函数三角函数 1：任意角，弧度：任意角，弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。 2：三角函数三角函数 （1） 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义。 （2） 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图像，了解三角函数的周期性。 （3） 借助图像理解正弦函数，余弦函数，正切函数的性质（如单调性，最大和 最小值，图像与 x 轴交点等） 。 （4） 理解同角三角函数的基本关系式。 eg： sin2()cos2()1 1tan2() sec2() 1cot2()csc2() （5） 结合实例，了解 y=Asin(x+)的实际意义，能借助计算器或计算机画出 y=Asin(x+)的图像，观察参数 A，对函数图像变化的影响。 （6） 会用三角函数解决一些简单的实际问题， 体会三角函数的描述周期变化现 象的重要函数模型。 3：三角恒等变换：三角恒等变换 （1） 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程， 进一步体会向量方 法的作用。 （2） 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦，余弦，正切公式，二倍角 的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系。 （3） 能运用公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差，和差化积，半 角公式） 。 二：三角函数分析二：三角函数分析 （一）（一）任意角和弧度制任意角和弧度制 课本从体操转体以及齿轮转动引出正角和负角的概念， 加上零角就构成了任 意角。 因为同一个角度位置可以用不同角的大小来表示，所以就给出了下列几何 定义： 一般的，我们有： 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 S=|=+K 360,KZ,即任一与角终边相同的角， 都可以表示成为角 与整数个周期的和。 因为角可以用单位进行度量，1 度=周角的 1/360，这叫角度制，为了方便， 数学上还引用了弧度制。把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角， 用 rad 表示。一般，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度制是一个负数，零角 的弧度数为 0，如果半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l，那么，角的弧度 数的绝对值是|=l/r 分析：通过了解任意角和弧度制来引出三角函数概念，这是最基本的内容。 接下来 就进入更深一步的学习。 （二）任意角的三角函数以及其诱导公式（二）任意角的三角函数以及其诱导公式 引进弧度制时我们看到，在半径长为单位长的圆中，角的弧度制的绝对值 等于圆心角所对的弧长，在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长 度为半径的圆为单位圆， 这样我们锐角三角形可以用单位圆定义任意角的三角函 数。 如图是对于单位圆的认识 siny cosx tan x y 分析： 通过单位圆可以将很抽象的角度 转换到直角坐标系中，用坐标来表示。而 三角函数的正负取决于坐标正负。 图一 这里给一个例题：选择sin0,sin0,cos0, tan0 中适应的关系式的序号填空： （1） 当角为第一象限角时，是对的 （2） 当角为第二象限角时，是对的 （3） 当角为第三象限角时，是对的 （4） 当角为第四象限角时，是对的 通过对单位圆的认识，课本又引入了三角函数的诱导公式： 分析：三角函数的诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般 可按下面步骤进行： 上述步骤体现了由未知转化为已知的化归思想。这也是接下来要掌握的内 容的基础。 接下来给出一个关于诱导公式的例题： 已知 sin(3)2cos(4)，求 52 3 2 2 sincos sinsin （ ）（ ） （ ） 的值 【解析】 sin(3)2cos(4)， sin(3)2cos(4)， sin2cos，且 cos0. 原式 52533 22244 sincoscoscoscos cossincoscoscos sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (-)=-tan sin(/2-) = cos cos(/2-) = sin sin(/2+) = cos sin(-) = sin cos(-) = -cos sin(+) = -sin cos(+) = -cos tanA= sinA/cosA tan（/2）cot tan（/2）cot tan（）tan tan（）tan 任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数 02的 角 的三角函数 锐 角 三 角 函 数 分析：诱导公式的运用很灵活，学生需要多做题，练题，举一反三 （三）三角函数的图像与性质（三）三角函数的图像与性质以及以及 y=Asin(x+)的的图象图象 课本通过抽象的了解三角函数的诱导公式等，再给出正弦函数，余弦函数的 图象，使学生更形象的了解三角函数。 下面是函数的图象： 图二 要求：1、能正确画出sinyx，cosyx，tanyx的图象 2、给定条件，能够求sinyx，cosyx，tanyx的定义域、值域、单 调区间； 3、给定条件，能够求sin()yAx中的, ,A 。 4、掌握正弦余弦函数图象平移法则，区分先平移后伸缩与先伸缩后平移 之间的差别。 5、结合图象，会求诸如 13 sin 22 x的取值范围。 6、 会作出含有绝对值的正弦、 余弦、 正切函数图象。 如sinyx，sinyx 分析：此两章节详细的叙述出三角函数的具体性质，这是高中学习的重点，也是 高考的重点。三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，学 习三角函数及其基本性质， 体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作 用。 三三：三角恒等变换：三角恒等变换 两角和与差的正弦，余弦和正切公式两角和与差的正弦，余弦和正切公式 从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦，余弦，正切公式，二倍角的正 弦余弦，正切公式，了解它们的内在联系。数学课程标准上说明要求学生能运用 上述公式进行简单的恒等变换。 下面是三角函数的推导公式 分析：推导公式的运用是学生学习的难点，这需要学生灵活运用，且要能自 己推导，这一章不仅给出二倍角公式，半角公式，还有一个很重要的考点就是辅 助角公式的运用。掌握推导公式和辅助角公式，对于高考题型也就掌握了大部分 了。 下面是辅助角公式的具体内容： asin+bcos= sin(a+)，其中 tan=b/a，其终边过点（a, b） asin+bcos= cos(a-)，其中 tan=a/b，其终边过点（b,a） 这个公式通常用于特殊角，下列是一些具体事例，让我们从中体会辅助角公 式。 化简 （1） 13 cossin 22 xx （2）3sincosxx =sin（/6-x）=cos(/3+x) =2sin(x+ /3)=2cos(/6-x) sin(+)=sincos+cossin cos(+)=coscos-sinsin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) sin2=2sincos cos2=(cos)2-(sina)2=2(cos)2-1=1-(sin)2 tan2=(2tan)/(1-(tan)2) 分析： 这两个题都是利用特殊角的正弦余弦值以及推导公式化简的， 很灵活， 而且都可以化为两种形式。 四：平面向量四：平面向量 平面向量中包含其线性运算河基本定理及坐标表示，还有数量积，因以三角 函数为主，这里就不详细叙述。 五：总结五：总结 高中必修四的内容里主要就是叙述了三角函数以及平面向量的知识， 我以三 角函数为主展开分析它其中的深意以及内容要求。 课本主要先说明各种新有名词， 比如任意角弧度制，单位圆等这些都不难，学生也能接受，然后先进入诱导公式 的学习，先在代数上使学生熟知如何将任意角转换为锐角三角形： ；再来就进入 图像的学习，使学生更形象的了解三角函数；后面进入三角恒等变换，要求学生 更灵活掌握其运用。但是总体来说，必修四的三角函数内容虽是高考的必考点， 但只要熟练掌握它的公式运用，和每一种常考方法，多加练习，对于学生来说， 高三后期不作为一个难点。 参考文献参考文献 1章建越.数学必修 4（普通高中课程标准实验教科书）M.北京：人民教育出版 社，2011 2中华人民共和国教育部.数学课程标准M.北京：人民教育出版社，2012 附录：附录： 三角函数高考真题三角函数高考真题 一.选择题 1、 （2009）函数 2 2cos1 4 yx 是 A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数 C最小正周期为 2 的奇函数 D最小正周期为 2 的偶函数 2、 （2008）已知函数 2 ( )(1 cos2 )sin,f xxx xR，则( )f x是（ ） A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为 2 的奇函数 C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为 2 的偶函数 3.（2009 浙江文）已知是实数，则函数的图象不可能 是（ ） 4.(2009 山东卷文)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移 1 个单位,所 得图象的函数解析式是( ). A. B. C. D. 5.（2009 江西卷文）函数的最小正周期为 a( )1sinf xaax sin2yx 4 2 2cosyx 2 2sinyx) 4 2sin(1 xycos2yx ( )(13tan )cosf xxx A B C D 6. （2009 全国卷文） 如果函数的图像关于点中心对称， 那么 的最小值为 A. B. C. D. 7. （2008 海南、 宁夏文科卷） 函数的最小值和最大值分别为 （ ） A. 3，1 B. 2，2 C. 3， D. 2， 8.（2007 海南、宁夏）函数在区间的简图是（ ） 二.填空题 1.（2009 宁夏海南卷文）已知函数的图像如图所示，则 。 2 3 2 2 3cos(2)yx 4 (,0) 3 6 4 3 2 ( )cos22sinf xxx 3 2 3 2 sin 2 3 yx 2 ， ( )2sin()f xx 7 12 f 2.（2009 年上海卷）函数的最小值是_ . 3.（2009 辽宁卷文）已知函数的图象如图所示,则 三.解答题 1、 （2008）已知函数( )sin()(0,0),f xAxaxR的最大值是 1，其图像经 过点 1 (, ) 3 2 M 。 （1）求( )f x的解析式； （2）已知,(0,) 2 ，且 312 ( ),( ), 513 ff求()f的值。 12、已知函数( )sinsin(), 2 f xxxxR . (I)求( )f x的最小正周期； (II)求( )f x的的最大值和最小值； (III)若 3 ( ) 4 f，求sin2的值. 30.（2009 北京文） （本小题共 12 分）已知函数. （）求的最小正周期； （）求在区间上的最大值和最小值. 2 2cossin2yxx ( )sin()(0)f xx ( )2sin()cosf xxx ( )f x ( )f x, 6 2 40 （2013年高考北京卷（文）