江苏省2019高考数学二轮复习微专题7解析几何中定点与定值问题课件.ppt

微专题7解析几何中定点与定值问题,微专题7解析几何中定点与定值问题题型一定点问题,例1(2018高考数学模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=r2和直线l:x=a(其中r和a均为常数,且00)的离心率为,焦点到相应准线的距离为1,点A,B,C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点,过点C的直线l交椭圆于点D,交x轴于点M(x1,0),直线AC与直线BD交于点N(x2,y2).(1)求椭圆的标准方程;(2)若=2,求直线l的方程;(3)求证:x1x2为定值.,解析(1)由椭圆的离心率为,焦点到对应准线的距离为1,得解得所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)由(1)知C(0,1),设D(x0,y0).由=2,得2y0=-1,所以y0=-.,代入椭圆的方程,得x0=或-.所以D或D,所以l的方程为y=x+1或y=-x+1.(3)设点D的坐标为(x3,y3).由C(0,1),M(x1,0)可得直线CM的方程y=-x+1,与椭圆方程联立,得解得x3=,y3=.,由B(,0),得直线BD的方程为y=(x-),直线AC方程为y-x+1.联立,得x2=,从而x1x1=2为定值.,【方法归纳】定值问题是解析几何中的一种常见问题,基本的求解方法是:先用变量表示所需证明的不变量,然后通过推导并结合已知条件,消去变量,得到定值.,2-1(2018南通高三第二次调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,B1,B2是椭圆+=1(ab0)的短轴端点,P是椭圆上异于点B1,B2的一动点,当直线PB1的方程为y=x+3时,线段PB1的长为4.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点Q满足:QB1PB1,QB2PB2.求证:PB1B2与QB1B2的面积之比为定值.,解析设P(x0,y0),Q(x1,y1).(1)在y=x+3中,令x=0,得y=3,从而b=3.由得+=1.所以x0=-.因为|PB|1=|x0|,所以4=.解得a2=18.所以椭圆的标准方程为+=1.(2)设直线PB1,PB2的斜率分别为k,k,则直线PB1的方程为y=kx+3.又QB1PB1,所以直线QB1的方程为y=-x+3.将y=kx+3代入+=1,得(2k2+1)x2+12kx=0.因为P是椭圆上异于点B1,B2的点,所以x00,从而x0=-.因为点P(x0,y0)在椭圆+=1上,所以+=1,从而-9=-.,所以kk=-,k=-.又QB2PB2,所以直线QB2的方程为y=2kx-3.联立解得x=,即x1=.所以=2.,2-2(2018苏州学业阳光指标调研)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,椭圆上的动点P到一个焦点的距离的最小值为3(-1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知过点M(0,-1)的动直线l与椭圆C交于A,B两点,试判断以AB为直径的圆是否恒过定点,并说明理由.,解析(1)由题意,=,故a=c.又椭圆上的动点P到一个焦点的距离的最小值为3(-1),所以a-c=3-3.解得c=3,a=3.所以b2=a2-c2=9.所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)当直线l的斜率为0时,令y=-1,则x=4,此时以AB为直径的圆的方程为x2+(y+1)2=16.当直线l的斜率不存在时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=9,联立解得即两圆过点T(0,3).猜想:以AB为直径的圆恒过定点T(0,3).对一般情况证明如下:设过点M(0,-1)的直线l的方程为y=kx-1,与椭圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则整理,得(1+2k2)x2-4kx-16=0.所以x1+x2=,x1x2=-.,所以=(x1,y1-3)(x2,y2-3),=x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9,=x1x2+(kx1-1)(kx2-1)-3(kx1-1+kx