初等数学研究课后习题答案.doc

初等代数研究课后习题20071115033 数学院 07（1） 杨明1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即（1）对任何，当且仅当时，.（2）对任何，在，中有且只有一个成立.证明：对任何，设，（1）“” ，则,使，,“” ，则,使，,综上 对任何，（2）由（1） 与不可能同时成立，假设与同时成立，则,使且，与B为有限集矛盾，与不可能同时成立，综上，对任何，在，中有且只有一个成立.2、证明自然数的加法满足交换律.证明：对任何设M为使等式成立的所有b组成的集合先证 ，设满足此式的组成集合k，显然有1+1=1+1成立，设，则 ， 取定，则，设，则 对任何，3、证明自然数的乘法是唯一存在的 证明：唯一性：取定，反证：假设至少有两个对应关系，对，有 ，设是由使成立的所有的组成的集合， 设则， 即，乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有组成集合 当时， ，设，有与它对应，且，对，令 即乘法存在p245、解：满足条件的有， ， 基数和为p246、证明：，中的与中的对应， p248、证明：1）3+4=7 2） p2412、证明：1） 2）p2636、已知对任何满足 求证：1）2）3） 证明：1)当时，结论成立，假设时，结论成立，即，当时，所以对一切自然数结论都成立2）当时，结论成立假设时，结论成立，即当时，所以对一切自然数结论都成立3）当时，结论成立假设时，结论成立，即当时， 所以对一切自然数结论都成立p621、证明定理2.1证明：，因为自然数加法满足交换律而，以为自然数满足加法结合律即整数加法满足交换律和结合律p622、已知，求证的充要条件是 证明：“” 已知则“” 已知则， p624、已知，求证证明： p625、已知，求证证明：左边 右边 所以左边等于右边p627、已知，求证当且仅当时证明：“” 已知， 因为 是负数， “” 已知则因为是负数，p629、已知，求证：1） ，2） 证明：设 1） 而 2） 而p6312、名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第名胜负的次数各为，求证：证明：对于，必存在一个使得 p6316、已知，求证证明：由已知：使， p6317、设2不整除，求证证明：因为2不整除，所以存在唯一一对，使，其中 ， p6320、设，求证是奇数的平方证明：肯定一奇一偶肯定为偶数肯定为奇数p6322、证明：前n个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9证明：前n个自然数的和为 因为：n个自然数的和仍为自然数 1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数 若个位数码为2 则1+n与n的个位数码只能是1,4或4,1 而（1+n）- n=1 个位数码不能为2 若个位数码为4 则1+n与n的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立 若个位数码为7 则1+n与n的个位数码有2种可能，则2,7或1,14 也不可能成立，若个位数码为9 则1+n与n的个位数码有2种可能，即2,9或1,18 也不可能成立， 综上，前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p6326、证明2.3定理1（）=（） 证明：因为：（）是的公因数中的最大数 所以R需考虑非负整数 （）=（）p6329、证明2.3定理4的推论的充要条件是有使得 证明：因为 不全为0 “” 由定理4 使“” 设则， p6330、证明2.3定理6及其推论。定理6：若，则证明：若都为0，则显然成立 若不全为零，则使 而 因为， 而 推论：设是的公因数，则的充要条件是证明：“” 是的公因数 “” 因为 ，使 ，使p6432、证明2.3定理七及其推论定理七：若，中至少有一个不为0，则证明：中至少有一个不为0 使 因为 因为 推论：若，则证明：因为，不为零 p6433、已知是奇数，求证证明：因为 ，因为是奇数， p6436、已知，求证证明： p6440、已知，求证中的倍数的个数等于证明：当时，结论成立，当时，令，则可改写为因为所以其中一定包括都是的倍数，共有个p6442、已知是异于3的奇素数，求证证明：是异于3的奇素数，为偶数， 其中都为合数，且都大于3 都可被2、3中的一个整除，若，则由，因为 p6444、已知整数都大于1，是素数，求证且是素数证明：反证 不是素数 当时不是素数与已知矛盾，所以是素数p6445、求不大于50的一切素数解：平方不大于50的素数是2,3,5,7则不大于50的一切素数 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47p6446、求下列各数的标准分解式：1）82798848 解：82798848=p6449、已知整数都大于1，求证证明：p6669、已知是奇素数，求证1） 2） 证明：1）因为 ，因为 2），p6670、设是相异素数，求证证明：， 同理 即p6