2018年北京市数学应用竞赛答案.doc

北京二中 高二（2）班 王震一、解：结论：能理由：由题意，对于虫子的第n次爬行，有绳长=100n；虫子爬行的距离=1.（单位：cm）此时虫子爬行距离占绳长的，记作.设数列的前n项和为若满足当n取某一有限实数使得=1时，则可以证明虫子能够爬到绳子的另一端.由得：满足存在某一个小于的n能够使得.即小虫能爬到绳子的另一端.2、 解：已知（1）-（2）利用平方差公式得 又因为都是已知量故方程可以写成 同理运算（2）-（3）；（3）-（1）并化简得其中 都是已知量此时相当于解三元一次方程组，利用降次规避了需要大运算量的“平方”“开放”运算，使得这种三元二次方程组求解步骤变得很简单.3、 解：对于一个不规则凸n边形而言，其对角线个数为以其中任意一条对角线为半径作圆有以下两种结果：该圆与多边形有两个或两个以上交点该圆与多边形仅一个焦点由于题目中“北京城市副中心”几何图形过于复杂，故选取几个重要的顶点构造相对简单的多边形作为研究对象，如下图，即多边形ABCDEFGHIJ目测后易得：只有选取AE或AF为半径的圆才有可能满足条件 比例尺1：x如上图，发现其中AE满足条件，故AE为“北京城市副中心”的直径，粗度量之并代入比例尺，得AE实际长度为x.（单位：km）为求出x的大小，如下图在“北京城市副中心”几何图形上构造由小正方形组成的网格，大致数出被占全的正方形有13个，被占面积大于一半的正方形有5个，被占面积小于一半的正方形有2个.结果记18个，经计算得出“北京城市副中心”纸面面积为10.05cm，已知实际面积约为155km则有.代入数据得AE17km，即“北京城市副中心”直径约为17km.四、解：（1） 通过计算器的统计运算可得（标准差保留小数点后两位）： 一月早晨空气质量指标数据平均值=80.28；标准差s=104.19 晚上空气质量指标数据平均值=84.32；标准差s=108.59 二月早晨空气质量指标数据平均值=82.46；标准差s=73.45 晚上空气质量指标数据平均值=61.27；标准差s=65.13 三月早晨空气质量指标数据平均值=101.08；标准差s=80.19 晚上空气质量指标数据平均值=87.2；标准差s=80.51 四月早晨空气质量指标数据平均值=106.4；标准差s=145.79 晚上空气质量指标数据平均值=83.125；标准差s=111.20 五月早晨空气质量指标数据平均值=71.32；标准差s=86.22 晚上空气质量指标数据平均值=43；标准差s=41.33 六月早晨空气质量指标数据平均值=51.75；标准差s=46.38 晚上空气质量指标数据平均值=43.25；标准差s=45.58做出下表进行分析：一月二月三月四月五月六月早晨80.2882.46101.08106.471.3251.75晚上84.3261.2787.283.1254343.252017年1月到6月空气质量指数平均值一月二月三月四月五月六月早晨104.1973.4580.19145.7986.2246.38晚上108.5965.1380.51111.2041.3343.252017年1月到6月空气质量指数标准差（保留小数点后两位）结论：“晚上空气质量好些，更适合户外运动”的观点基本正确.（2）为了对数据进行大体感知，将早晨、晚上的数据进行计算整合得到下表：一月二月三月四月五月六月平均数82.371.85694.594.762557.1645.98标准差s106.4169.4180.35129.6567.6145.972017年1月到6月空气质量指数情况统计总表根据以上三张表格数据得出结论：二月到六月更适合在晚上进行户外活动；五月、六月平均空气质量优良，适合进行户外活动；三月、四月平均空气质量相对较差，建议减少户外活动；一月、四月空气质